四海省廣元市蒼溪縣2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題 （原卷版+解析版）

2024年秋九年級(jí)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都在世界上具有重要影響，下列圖標(biāo)中，其文字上方的圖案是中心對(duì)稱圖形的是（）A.劉徽的割圓術(shù) B.中國七巧板C楊輝三角 D.趙爽弦圖2.將一元二次方程化成一般形式（）A. B.C. D.3.下列事件中的必然事件是（）A.地球繞著太陽轉(zhuǎn) B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心C.天空出現(xiàn)三個(gè)太陽 D.經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈4.如圖，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在AB邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（）A.－2 B.2 C.－4 D.46.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于E點(diǎn)，且BC＝6，∠BAC＝30°，則CD的值是（）A.4 B. C. D.9.67.若點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，下列數(shù)量關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.8.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（）A. B.C. D.9.如圖，在等腰中，，于點(diǎn)，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，當(dāng)三角尺繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)（點(diǎn)、分別在線段、上，端點(diǎn)除外），連接，則線段與的大小關(guān)系式為（）A. B. C. D.10.已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論中：①；②若點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實(shí)數(shù)，則；④若且，則；⑤方程的兩實(shí)數(shù)根為，，且，則，．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11.方程是關(guān)于的一元二次方程，則___________．12.拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是______．13.為了估計(jì)暗箱里黑球的數(shù)量（箱內(nèi)只有黑球），將6個(gè)白球放進(jìn)去，這些球與黑球除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回；攪勻后再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回……多次重復(fù)后發(fā)現(xiàn)摸出黑球的頻率穩(wěn)定在附近，那么可以估計(jì)暗箱里黑球的個(gè)數(shù)為______個(gè)．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．15.如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)到直線的距離為米，則的長為______米．16.如圖，正方形的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，邊，分別在軸和軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為圓心，為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)⊙與正方形的邊相切時(shí)，的值為______．三、解答題17.按要求解下列方程：（1）（任選一種方法）（2）（配方法）18.如圖，和關(guān)于某一點(diǎn)中心對(duì)稱，其中點(diǎn)，，，．（1）對(duì)稱中心的坐標(biāo)為______；（2）將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．①在直角坐標(biāo)系中畫出；②求點(diǎn)A經(jīng)過的路徑的長．19.已知關(guān)于的方程（為常數(shù)）．（1）請(qǐng)你說明，無論為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若，解這個(gè)方程．20.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O，并標(biāo)出圓心．（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半徑．21.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．（1）寫出、、的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍；（3）若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，求面積的最大值．22.為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識(shí)，某校初中開展了“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項(xiàng)球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有______名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“羽毛球”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是______；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率是多少？23.如圖，平分，與相切于點(diǎn)A，延長交于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作，垂足為B．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，，求的長．（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．24.在2024國際射聯(lián)射擊世界杯總決賽上，中國射擊運(yùn)動(dòng)員謝瑜以環(huán)的優(yōu)異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵(lì)著千千萬萬的青少年堅(jiān)定理想、奮力拼搏．謝瑜的家鄉(xiāng)貴州省某地盛產(chǎn)核桃，某農(nóng)戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴(kuò)大規(guī)模，到2024年，核桃種植面積達(dá)到了公頃．（1）求該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率；（2）某銷售核桃的干果店經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)核桃售價(jià)為20元/時(shí)，每天能售出，售價(jià)每降低1元、每天可多售出，為了盡快減少庫存，該店決定降價(jià)促銷，已知核桃的平均成本價(jià)為12元/，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價(jià)應(yīng)降低多少元？25.【模型感知】手拉手模型是初中數(shù)學(xué)里三角形全等知識(shí)點(diǎn)考察的重要模型．兩個(gè)有公共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系為______；【類比探究】（3）如圖3，已知和都是等邊三角形．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．求證：②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為______．26.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得的周長最?。舸嬖?，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)E在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．

2024年秋九年級(jí)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都在世界上具有重要影響，下列圖標(biāo)中，其文字上方的圖案是中心對(duì)稱圖形的是（）A.劉徽的割圓術(shù) B.中國七巧板C.楊輝三角 D.趙爽弦圖【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的定義；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．據(jù)此進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：A、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D、該圖形是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)是正確的；故選：D2.將一元二次方程化成一般形式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查一元二次方程的一般式，移項(xiàng)，將方程化為的形式即可．【詳解】解：，∴；故選D．3.下列事件中的必然事件是（）A.地球繞著太陽轉(zhuǎn) B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心C.天空出現(xiàn)三個(gè)太陽 D.經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈【答案】A【解析】【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，可得答案．【詳解】解∶A、地球繞著太陽轉(zhuǎn)是必然事件，故A正確；B、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；C、天空出現(xiàn)三個(gè)太陽是不可能事件，故C錯(cuò)誤；D、經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤；故選∶A．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4.如圖，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在AB邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形內(nèi)和定理求出即可．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，∴，，∴，∵．故選：C．5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（）A.－2 B.2 C.－4 D.4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．6.如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于E點(diǎn)，且BC＝6，∠BAC＝30°，則CD的值是（）A.4 B. C. D.9.6【答案】B【解析】【分析】AB是圓O的直徑，AB⊥CD，得到∠ACB=90°，∠AEC=90°，，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AB=2BC=12，，然后利用勾股定理求出即可得到答案．【詳解】解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD，∴∠ACB=90°，∠AEC=90°，，又∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=12，，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，直角所對(duì)的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握垂徑定理．7.若點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，下列數(shù)量關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱軸及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小關(guān)系．先將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸，再分別計(jì)算各點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值大?。驹斀狻繉⒍魏瘮?shù)化為頂點(diǎn)式：所以該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)，當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)圖象開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)隨的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)隨的增大而減小，且點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，比較距離大小，所以，故答案為：C．8.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)寬為x步，則長為步，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)寬為x步，則長為步，由題意得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．9.如圖，在等腰中，，于點(diǎn)，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，當(dāng)三角尺繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)（點(diǎn)、分別在線段、上，端點(diǎn)除外），連接，則線段與的大小關(guān)系式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而由余角性質(zhì)得，最后證明即可求解，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵等腰中，，于點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：．10.已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論中：①；②若點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實(shí)數(shù)，則；④若且，則；⑤方程的兩實(shí)數(shù)根為，，且，則，．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】由該拋物線經(jīng)過點(diǎn)即可判斷結(jié)論①；由各點(diǎn)到拋物線對(duì)稱軸的距離大小即可判斷結(jié)論②；由當(dāng)時(shí)函數(shù)值取最大值，即可判斷結(jié)論③；由對(duì)稱軸為直線，即可判斷結(jié)論④；由拋物線的對(duì)稱軸可得該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷結(jié)論⑤．【詳解】解：如下圖，∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為∴當(dāng)時(shí)，可有，故結(jié)論①正確；∵，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，∴函數(shù)圖象上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵對(duì)稱軸為，∵，，，又∵，∴，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，∴，∵，即，∴，∵該二次函數(shù)的圖象開口向下，∴當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取最大值，∴為任意實(shí)數(shù)，可有，即，故結(jié)論③正確；∵若且，即有，∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，∴，即，故結(jié)論④錯(cuò)誤；∵方程的兩實(shí)數(shù)根為，，∴拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，由拋物線的對(duì)稱性可知該拋物線與軸的另一交點(diǎn)為，即該拋物線與軸的交點(diǎn)為，，∵該拋物線開口向下，，∴，，故結(jié)論⑤正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①③⑤，共計(jì)3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系、利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11.方程是關(guān)于的一元二次方程，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義知，，且，據(jù)此可以求得的值．【詳解】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，，且，解得；故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．12.拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了拋物線的平移規(guī)律，熟練掌握“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是．故答案為：．13.為了估計(jì)暗箱里黑球的數(shù)量（箱內(nèi)只有黑球），將6個(gè)白球放進(jìn)去，這些球與黑球除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回；攪勻后再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回……多次重復(fù)后發(fā)現(xiàn)摸出黑球的頻率穩(wěn)定在附近，那么可以估計(jì)暗箱里黑球的個(gè)數(shù)為______個(gè)．【答案】9【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、頻率等知識(shí)，結(jié)合頻率的概念建立關(guān)于的分式方程是解題關(guān)鍵．設(shè)暗箱里黑球的個(gè)數(shù)為個(gè)，根據(jù)“頻率穩(wěn)定在附近”可得，求解并檢驗(yàn)，即可獲得答案．【詳解】解：設(shè)暗箱里黑球的個(gè)數(shù)為個(gè)，根據(jù)題意，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解，所以暗箱里黑球的個(gè)數(shù)為9個(gè)．故答案為：9．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得和的長度，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：作軸于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)可得，軸，∴四邊形為矩形，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)找到題目中線段之間的關(guān)系．15.如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)到的距離為米，米，為拱橋底部的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)到直線的距離為米，則的長為______米．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)該拋物線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式，再把點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解，解題的關(guān)鍵是正確地建立平面直角坐標(biāo)系．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)拋物線形的解析式為，把代入得，，解得，∴，把代入得，，解得，∴米，故答案為：．16.如圖，正方形的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，邊，分別在軸和軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為圓心，為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)⊙與正方形的邊相切時(shí)，的值為______．【答案】或【解析】【分析】先求出，則，再分分與相切和與相切兩種情況考慮：利用切線的性質(zhì)得到和圓的性質(zhì)分別表示出的長，再在中利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：四邊形是正方形，點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．分與相切和與相切兩種情況考慮：①當(dāng)與相切時(shí)，如圖1所示．點(diǎn)橫坐標(biāo)為，．在中，，，，，即，解得：；②當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接，如圖2所示．，，，四邊形為矩形，，．在中，，，，，即，解得：，（不合題意，舍去）．綜上所述：的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，坐標(biāo)與圖形等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．三、解答題17.按要求解下列方程：（1）（任選一種方法）（2）（配方法）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）根據(jù)一除，二移，三配，四變形，五開方的步驟，進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】解：將原方程化為一般形式，得即：∴∴∴；【小問2詳解】解：，，∴.18.如圖，和關(guān)于某一點(diǎn)中心對(duì)稱，其中點(diǎn)，，，．（1）對(duì)稱中心的坐標(biāo)為______；（2）將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．①在直角坐標(biāo)系中畫出；②求點(diǎn)A經(jīng)過的路徑的長．【答案】（1）（2）①見解析；②【解析】【分析】本題考查了圖形的變換：中心對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)變換，畫旋轉(zhuǎn)圖形，旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長；（1）根據(jù)A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定對(duì)稱中心；（2）①確定A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，依次連接即可；②求出的長，由弧長公式即可求解．【小問1詳解】解：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，即對(duì)稱中心的坐標(biāo)為；故答案為：；【小問2詳解】解：①如圖，即為所求．②連接OA，根據(jù)勾股定理可得，∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑的長為．19.已知關(guān)于的方程（為常數(shù)）．（1）請(qǐng)你說明，無論為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若，解這個(gè)方程．【答案】（1）見解析（2），【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程、根的判別式，熟記根的判別式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)根的判別式求出，再根據(jù)根的判別式求解即可；（2）把代入方程，解一元二次方程即可．【小問1詳解】解：由于是一元二次方程，，無論取何實(shí)數(shù)，總有，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【小問2詳解】解：當(dāng)，代入方程，得：，，，，．故答案為：，．20.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O，并標(biāo)出圓心．（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半徑．【答案】（1）作圖見解析；（2）直線BC與⊙O的位置關(guān)系為：相切；理由見解析；（3）⊙O的半徑為3．【解析】【分析】（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O，并標(biāo)出圓心；（2）根據(jù)切線的判定即可判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系；（3）根據(jù)AB=8，BD=4，即可求⊙O半徑．【詳解】（1）如圖，⊙O即為所求；（2）直線BC與⊙O的位置關(guān)系為：相切，理由如下：連接OD，∴OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，OD是半徑，∴直線BC與⊙O相切；（3）設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．答：⊙O的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、角平分線性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫圖．21.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．（1）寫出、、的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍；（3）若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）（3）最大值為【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：（1）分別令，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可；（3）連接，分割法表示出的面積，利用二次函數(shù)求最值即可．【小問1詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解得：，∴；【小問2詳解】∵，∴對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；【小問3詳解】連接，∵，∴，設(shè)點(diǎn)，∴，，∵點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．22.為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識(shí)，某校初中開展了“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項(xiàng)球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有______名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“羽毛球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，用列表或樹狀圖法求甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率是多少？【答案】（1）100，見解析（2）（3）【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）用選擇籃球的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)：求出選擇“足球”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（2）用選擇羽毛球的人數(shù)除以本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)再乘以360度即可；（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，以及甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)（人），喜愛足球的人數(shù)為：（人），條形圖如圖所示，；【小問2詳解】解：“羽毛球”人數(shù)所占比例為：，所以，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“羽毛球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)，【小問3詳解】解：設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別用字母A，B，C，D表示，根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

∵一共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，它們都是等可能的，符合條件的有兩種，∴P（甲、乙兩人被選中）．23.如圖，平分，與相切于點(diǎn)A，延長交于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作，垂足為B．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，，求的長．（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】（1）詳見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由與相切于點(diǎn)A，可得出，由角平分線線的性質(zhì)定理即可得出，即可得出是的切線．（2）利用勾股定理得出，線段的和差得出，設(shè)，則，利用勾股定理解，即可求出x．（3）根據(jù)求解即可．【小問1詳解】證明：∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵平分，，∴，∴是切線；【小問2詳解】解：∵的半徑為2，∴，∵，，∴，，∵，都是的切線，∴設(shè)，則，∴在中，即，解得，∴．【小問3詳解】在中，，，∴，，∴，∴，，，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明某直線是圓的切線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理以及求不規(guī)則圖形的面積等知識(shí)．24.在2024國際射聯(lián)射擊世界杯總決賽上，中國射擊運(yùn)動(dòng)員謝瑜以環(huán)的優(yōu)異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵(lì)著千千萬萬的青少年堅(jiān)定理想、奮力拼搏．謝瑜的家鄉(xiāng)貴州省某地盛產(chǎn)核桃，某農(nóng)戶2022年種植核桃80公頃，他逐年擴(kuò)大規(guī)模，到2024年，核桃種植面積達(dá)到了公頃．（1）求該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率；（2）某銷售核桃的干果店經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)核桃售價(jià)為20元/時(shí)，每天能售出，售價(jià)每降低1元、每天可多售出，為了盡快減少庫存，該店決定降價(jià)促銷，已知核桃的平均成本價(jià)為12元/，若要使該店銷售核桃每天獲利1750元，則售價(jià)應(yīng)降低多少元？【答案】（1）（2）3元【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率為x．根據(jù)兩年時(shí)間種植面積由80公頃變?yōu)楣暳谐龇匠糖蠼饧纯?；?）設(shè)售價(jià)應(yīng)降低y元，則每千克的利潤為元，銷售量為，再由總利潤為1750列出方程求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率為x．由題意，得，解得（舍去）．答：該農(nóng)戶這兩年種植核桃公頃數(shù)的年均增長率為．【小問2詳解】解：設(shè)售價(jià)應(yīng)降低y元．由題意，得，整理得解得．∵要盡快減少庫存，∴．答：售價(jià)應(yīng)降低3元．25.【模型感知】手拉手模型是初中數(shù)學(xué)里三角形全等知識(shí)點(diǎn)考察的重要模型．兩個(gè)有公共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：