高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：函數(shù)與極限

分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

第一節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)一、數(shù)集與鄰域二、函數(shù)的概念三、函數(shù)的表示法四、函數(shù)的特性五、初等函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、數(shù)集與鄰域N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集例如：10對于數(shù)集,記──正整數(shù)集──非零實(shí)數(shù)集──正實(shí)數(shù)集20由于實(shí)數(shù)集中的元素（數(shù)）與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，故我們也稱數(shù)為“點(diǎn)”．

1.數(shù)集——元素都是數(shù)的集合注機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為開區(qū)間,記作稱為閉區(qū)間,記作稱為半開區(qū)間,記作稱為半開區(qū)間,記作有限區(qū)間30區(qū)間是一類特殊的數(shù)集．?dāng)?shù)集數(shù)集數(shù)集數(shù)集機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束無限區(qū)間機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束──一類特殊的開區(qū)間

2.鄰域機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束30構(gòu)成函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.①自然定義域（由對應(yīng)法則（解析式）自然產(chǎn)生）；［約定:自然定義域是使解析式有意義的自變量的一切值］②人為定義域（由人為限定）；③實(shí)際定義域（由實(shí)際意義確定）．40

定義域的分類:注機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解(1)不同；(2)相同；(3)不同；(4)相同；機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.反函數(shù)定義注例1.海倫公式例2.如圖所示,對應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同X(≠

)Y(數(shù)集)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束f稱為X上的泛函X(≠

)Xf稱為X上的變換

Rf稱為定義在X上的為函數(shù)映射又稱為算子.的慣用名稱.例如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.解析法（公式法）20分段函數(shù)──在定義域的不同范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用不同的式子表示的函數(shù)．2.表格法3.圖形法注10顯函數(shù)與隱函數(shù)顯函數(shù)──因變量由自變量的解析式直接表示出來的函數(shù)．隱函數(shù)──自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系由一個(gè)二元方程來表示的函數(shù)．三、函數(shù)的表示法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)符號函數(shù)1-1xyo注●幾個(gè)特殊的分段函數(shù)：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyoy=[x]([x]表示不超過

的最大整數(shù).)(2)取整函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(4)取最值函數(shù)yxoyxo機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1．函數(shù)的有界性四、函數(shù)的特性定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束30函數(shù)f(x)在數(shù)集上有界函數(shù)f(x)在上既有上界又有下界．10在定義域內(nèi)有界的函數(shù)稱為有界函數(shù)．20有界函數(shù)的圖形的特征是它被夾在兩條水平直線之間機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2．函數(shù)的單調(diào)性定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注oxyxyo機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3．函數(shù)的奇偶性定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束偶函數(shù)xyxo-xyxox-x奇函數(shù)注機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4．函數(shù)的周期性10周期函數(shù)的周期通常是指其最小正周期.定義注20并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束①冪函數(shù)1．基本初等函數(shù)下列五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)：定義②指數(shù)函數(shù)③對數(shù)函數(shù)④三角函數(shù)⑤反三角函數(shù)五、初等函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注在基本初等函數(shù)中，以e為底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)特別重要，分別稱為基本指數(shù)函數(shù)與自然對數(shù)函數(shù)．2．復(fù)合函數(shù)定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注10并不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù).2030一個(gè)復(fù)合函數(shù)也可由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成．復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?0相應(yīng)于復(fù)合函數(shù)，把基本初函數(shù)以及由常數(shù)與基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)稱為簡單函數(shù)．一個(gè)基本初等函數(shù)的n次冪（即形如的函數(shù)）通常視作復(fù)合函數(shù)．機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3．初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束解解解∴函數(shù)的定義域?yàn)椋浩婧瘮?shù).偶函數(shù).六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.雙曲函數(shù)奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式2.反雙曲函數(shù)是奇函數(shù),上單調(diào)增加．上單調(diào)增加．奇函數(shù),上單調(diào)增加．▲小結(jié)數(shù)集區(qū)間鄰域函數(shù)分段函數(shù)隱函數(shù)有界性單調(diào)性奇偶性周期性反函數(shù)復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)基本概念函數(shù)的特性且備用題證明證:令則由消去得時(shí)其中a,b,c為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

設(shè)函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對稱性知于是故是周期函數(shù),周期為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、極限思想概述三、數(shù)列極限的定義四、收斂數(shù)列的性質(zhì)劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束一、數(shù)列的概念定義注1．?dāng)?shù)列的定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2．有界數(shù)列的定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3．單調(diào)數(shù)列的定義注機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義4．子數(shù)列的定義注◎割圓術(shù)：播放——劉徽二、極限思想概述極限概念是由于求某些問題的精確解答而產(chǎn)生的．例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（三世紀(jì)）發(fā)明的“割圓術(shù)”

利用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來推算圓面積的方法，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用．“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束●極限思想:極限是變量的一種變化趨勢，極限是由近似過渡到精確的橋梁．機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、數(shù)列極限的定義考察下列四個(gè)數(shù)列：(1)(2)(3)(4)容易看出：當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列（1）的一般項(xiàng)也無限增大；數(shù)列（2）的始終在1和－1兩點(diǎn)上來回跳動；它們都不趨近于一個(gè)確定的常數(shù)．而數(shù)列（3）與（4）的情形就不一樣，數(shù)列（3）無限趨近于常數(shù)0；數(shù)列（4）無限趨近于常數(shù)1．我們就稱常數(shù)0為數(shù)列（3）的極限；常數(shù)1為數(shù)列（4）的極限．機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1．?dāng)?shù)列極限的描述性定義問題:“無限趨近”的實(shí)質(zhì)是什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻畫它.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2．?dāng)?shù)列極限的分析定義（精確定義）注機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3．?dāng)?shù)列極限的幾何解釋機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1已知證明數(shù)列的極限為1.

證欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明證欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2已知證明等比數(shù)列證欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為0.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3設(shè)四、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)１（數(shù)列極限的唯一性）

［簡言之，收斂數(shù)列的極限是唯一的．］機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)２（收斂數(shù)列的有界性）

［簡言之，收斂數(shù)列必有界．］注20有界是數(shù)列收斂的必要條件而非充分條件，即：有界數(shù)列不一定收斂，無界數(shù)列一定發(fā)散.例如數(shù)列：有界，但發(fā)散．機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證由數(shù)列極限的定義,對于當(dāng)時(shí)，于是，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證從而有性質(zhì)３（收斂數(shù)列的保號性）

不妨設(shè)所以對推論如果數(shù)列從某項(xiàng)起有因?yàn)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)４（收斂數(shù)列的子列收斂性）

［簡言之，收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．］注20發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列．機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束*********************證設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證得*********************機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束返回劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:第三節(jié)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義二、函數(shù)極限的性質(zhì)自變量變化過程共有兩類六種：對于函數(shù)第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)定義（定義）第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束注第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)的幾何解釋第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束證證第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限(1)定義（定義）注(2)的幾何解釋例3證（3）雙側(cè)極限與單側(cè)極限的關(guān)系例4設(shè)求：解

（1）（2）（3）（4）二、函數(shù)極限的性質(zhì)（以為例）性質(zhì)1(唯一性)性質(zhì)2(局部有界性)性質(zhì)３(局部保號性)

推論性質(zhì)4(與數(shù)列極限的關(guān)聯(lián)性)

性質(zhì)5（保序性）例5證（反證法）若存在，設(shè)為取數(shù)列：則但由性質(zhì)4知：于是，并記矛盾！思考題思考題解答若極限存在,是否一定有？不一定！

第四節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束無窮小與無窮大一、無窮小與無窮大的定義二、無窮小與無窮大的關(guān)系三、函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系四、無窮小的性質(zhì)一、無窮小與無窮大的定義定義1定義2例如:注10不能把無窮小理解為很小的數(shù)，也不能把無窮大理解為很大的數(shù)．無窮?。ɑ驘o窮大）是一個(gè)函數(shù)，在自變量的某一變化過程中，其絕對值無限變?。ɑ驘o限增大）．任何除零外的數(shù)都不是無窮?。?0數(shù)零是任何趨勢下的無窮小．30無窮?。ɑ驘o窮大）總是與自變量的某一變化過程相聯(lián)系．40“無窮大”屬于極限不存在的情形．但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”．60對于自變量的其它四種變化趨勢也有類似的定義．50無窮小必是局部有界函數(shù)，無窮大必是無界函數(shù)．二、無窮小與無窮大的關(guān)系定理1三、函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系定理2證必要性充分性例1解四、無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2推論1推論2有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小．有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮?。?shù)與無窮小的乘積仍是無窮小．有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮?。?求下列極限：思考題思考題解答

第五節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算法則二、極限的復(fù)合運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算法則定理1注10法則（1）、（2）可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形．20法則對數(shù)列也適用．30使用極限四則運(yùn)算法則的注意點(diǎn)：①參與運(yùn)算的每個(gè)函數(shù)都要存在極限；②只能用于有限次運(yùn)算；③在商的情形分母的極限不能為零．推論2推論1

運(yùn)算法則求極限，只能用于次有限，每個(gè)函數(shù)有極限，分母不為零極限．例如：推論3當(dāng)時(shí)，有無窮小化出法:以分式中自變量的最高次冪除分子與分母,化出無窮小,然后再求極限.例1求：解

無窮小化出法解商的運(yùn)算法則不能用！由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2例3約去無窮小公因子法（約簡分式法）解例4解因?yàn)樗郧耶?dāng)時(shí)，解例5求例6求解有理化分子或分母法無窮小化出法例7設(shè)試求：解（1）所以從而（2）因?yàn)樗岳?例9解解無窮小化出法和式化簡法二、極限的復(fù)合運(yùn)算法則定理2注例10求解令則由于于是，思考題解答不存在．假設(shè)存在，存在，故由極限運(yùn)算法則可知：存在，與已知條件矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．思考題是否存在?為什么?問機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

第六節(jié)一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅰ準(zhǔn)則Ⅰ′例1解故由夾逼準(zhǔn)則得：例2求解因?yàn)榍夜?.單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅱ的幾何解釋:注10準(zhǔn)則Ⅱ可推廣為：“廣義單調(diào)有界數(shù)列必有極限”.準(zhǔn)則Ⅱ′

20準(zhǔn)則Ⅱ可分解為：單調(diào)增且有上界數(shù)列必有極限；單調(diào)減且有下界數(shù)列必有極限．例3證明存在．設(shè)證顯然數(shù)列單調(diào)增加．又即有界．據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在．所以當(dāng)n充分大時(shí)，數(shù)列單調(diào)減少．例4證明:證所以數(shù)列有下界．據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在．因?yàn)橐驗(yàn)榱盍顒t由兩邊令得，故二、兩個(gè)重要極限1．在單位圓中，取圓心角故此式對于推廣：例5求下列極限：2．推廣：注e為無理數(shù),例6求下列極限：思考與練習(xí)填空題第七節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、無窮小的比較二、等價(jià)無窮小的性質(zhì)

無窮小的比較第七節(jié)一、無窮小的比較兩個(gè)無窮小的和、差、積都是無窮小，但是兩個(gè)無窮小的商卻會出現(xiàn)各種不同的情形．例如,當(dāng)時(shí)，都是無窮小．但兩個(gè)無窮小之比的極限的不同情況，反映了不同無窮小趨于0的速度是有快有慢的，為了描述這樣的現(xiàn)象，我們引入無窮小的階的概念．定義例如，記作：記作：證二、等價(jià)無窮小的性質(zhì)定理1例如：當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，有：定理２(等價(jià)無窮小代換定理)證注10等價(jià)無窮小代換定理表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子和分母都可用其等價(jià)無窮小來代替換，使計(jì)算簡化．這種求極限的方法稱為等價(jià)無窮小代換法．20只能對分子或分母的“無窮小因子”代換，即只能在“乘除”的情形代換．30常用的等價(jià)無窮?。豪?解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，例1解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，例3解例4解例５解解錯(cuò)例6解思考題任何兩個(gè)無窮小都可以比較嗎？思考題解答不能．都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng)時(shí)，例：當(dāng)時(shí)，一、函數(shù)連續(xù)的概念二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、函數(shù)連續(xù)的概念0.函數(shù)的增量(改變量)1．函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義則(3)10函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)必須具備下列條件:(2)極限存在；(1)在點(diǎn)即有定義,存在；注20函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是局部性概念．例1討論處的連續(xù)性．解因?yàn)閺亩谔幉贿B續(xù)．例2討論處的連續(xù)性．解因?yàn)楣试谔幉贿B續(xù)．因?yàn)楣试谔幉贿B續(xù)．解因?yàn)槔?設(shè)處連續(xù)，求常數(shù)由在處連續(xù)得，故2．左連續(xù)與右連續(xù)的定義定理13．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不斷開的曲線．注

二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)定理2（連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性）（反函數(shù)的連續(xù)性）

【簡言之，單調(diào)連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù).】定理3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）

（極限號與函數(shù)號換序定理）

定理4定理5例4求下列極限：一般地，則三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．注10定義區(qū)間──包含在定義域內(nèi)的區(qū)間──定義域中除去＂孤立點(diǎn)＂的部分．20基本初等函數(shù)的定義域中沒有孤立點(diǎn)，故30定理6表明：初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是其定義區(qū)間．40定理6還提供了求極限的一個(gè)簡單而又重要的方法：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．四、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類1．間斷點(diǎn)的定義注2.間斷點(diǎn)的分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,若稱為可去間斷點(diǎn).若稱為跳躍間斷點(diǎn).則稱若其中至少有一個(gè)為為無窮間斷點(diǎn).若其中至少有一個(gè)振蕩,則稱為振蕩間斷點(diǎn).第一類間斷點(diǎn)跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyx可去型oyxoyx.例5解為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn),屬于第一類．例6解為函數(shù)的可去間斷點(diǎn),屬于第一類．注意只要改變或者補(bǔ)充可去間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義,即可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例7解為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn),屬于第二類．例8解且當(dāng)時(shí)函數(shù)值在－1與1之間變動無限多次．為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn),屬于第二類．例9解（1）為初等函數(shù)，其定義域?yàn)槭翘S間斷點(diǎn)，屬于第一類．例10解（1）為初等函數(shù)，其定義域?yàn)樗伎碱}1思考題1解答且（夾逼準(zhǔn)則）但反之不成立.反例:但思考題2思考題2解答一個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)是否只有是有限個(gè)？不一定．

狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.例如：

在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).

指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型:思考題3。一、有界性二、最值性三、介值性四、零點(diǎn)存在性第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

〇、預(yù)備知識1．函數(shù)的最值定義12．函數(shù)的零點(diǎn)定義2注一、有界性在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在上有界．定理1（有界性定理）若區(qū)間不是閉區(qū)間或區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),則結(jié)論不一定成立．注二、最值性在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在上取得它的最大值和最小值．定理2（最值性定理）若不是閉區(qū)間或閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),則結(jié)論不一定成立．注三、介值性定理3（介值定理）MCmabyx四、零點(diǎn)存在性定理4（零點(diǎn)定理）例1證令則在上連續(xù)，且由零點(diǎn)定理得：至少存在一點(diǎn)使得即方程至少有一個(gè)小于1的正根．例2證由零點(diǎn)定理,則在上連續(xù)，且至少存在一點(diǎn)使得上連續(xù),且恒為正,例3

設(shè)在對任意的必存在一點(diǎn)證使令使故由零點(diǎn)定理知,存在即當(dāng)時(shí),取或,則有證明:小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束則在上連續(xù)，且思考題1下述命題是否正確？思考題1解答不正確.例如，函數(shù)

任給一張面積為A的紙片(如圖),證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標(biāo)系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題2在上連續(xù)．則證明：使提示:令則易證

設(shè)至少存在一點(diǎn)習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題3在上連續(xù)，且在上連續(xù)，且備用題

至少有一個(gè)不超證證明令且根據(jù)零點(diǎn)定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然過4的正根.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、連續(xù)與間斷一、函數(shù)三、極限習(xí)題課機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)與極限

一、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義:定義域值域圖形:(一般為曲線)設(shè)函數(shù)為特殊的映射:其中機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性3.反函數(shù)設(shè)函數(shù)為單射,反函數(shù)為其逆映射4.復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈則復(fù)合函數(shù)為5.初等函數(shù)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.設(shè)函數(shù)求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性.代入原方程得代入上式得設(shè)其中求令即即令即畫線三式聯(lián)立即例2.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.下列各組函數(shù)是否相同?為什么?相同相同相同機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.下列各種關(guān)系式表示的y是否為x的函數(shù)?

為什么?不是是不是提示:(2)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束⑶⑵3.下列函數(shù)是否為初等函數(shù)?為什么?⑷以上各函數(shù)都是初等函數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.設(shè)求及其定義域.5.已知,求6.設(shè)求由得4.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.已知,求解:6.設(shè)求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、連續(xù)與間斷1.函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式有2.函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束有界定理;最值定理;零