平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)初步 -2025年浙教版九年級(jí)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第二單元方程(組)與不等式(組)

《第9講平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)初步》

【知識(shí)梳理】

1.平面直角坐標(biāo)系

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)嵔虒?duì)是一一對(duì)應(yīng)的.X軸、y軸上的點(diǎn)不屬于任何象限.

⑵各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

①點(diǎn)P(x,y)在第一象限Qx>0,y>0.

②點(diǎn)P(x,y)在第二象限QxVO,y>0.

③點(diǎn)P(x,y)在第三象限QxVO,yVO.

④點(diǎn)P(x,y)在第四象限Qx>0,yVO.

⑶特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

①點(diǎn)P(x,y)在x軸上Qx為任意賣數(shù)，y=0.

②點(diǎn)P(x,y)在y軸上Q,x=0,y為任意實(shí)數(shù).

③點(diǎn)尸(x,y)既在無(wú)軸上，又在y軸上Qx,y同時(shí)為0,即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0).

④點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限坐標(biāo)軸夾角的平分線上Qx=y.

⑤點(diǎn)尸(x,y)在第二、四象限生標(biāo)軸夾角的平分線上Qx+y=0.

(4)平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

①平行于x軸(或垂直于y軸)的直線上的點(diǎn)：縱生標(biāo)相同,橫生標(biāo)為不相等的實(shí)數(shù).

②平行于y軸(或垂直于x軸)的直線上的點(diǎn):橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)為不相等的實(shí)數(shù).

(5)點(diǎn)與坐標(biāo)軸的距離：

①點(diǎn)P(a,力到x軸的距離等于網(wǎng).

②點(diǎn)P(a,。)到y(tǒng)軸的距離等于1al.

(6)平面直角坐標(biāo)系中的平移：

①點(diǎn)的平移:在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P(x,y)向右或向左平移a(a>0)個(gè)單位，可以得到的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x+a,y)或(x—a,y);將點(diǎn)P(x,y)向上或向下平移儀。>0)個(gè)單位,

可以得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y+方)或(X,y—。).

②圖形的平移:對(duì)于一個(gè)圖形的平移，這個(gè)圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化，反過(guò)來(lái),

從圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)的某種變化也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了怎樣的平移.

(7)平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征:點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(x,—y);關(guān)于y軸的對(duì)稱

點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為(-x,y);關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)尸3的坐標(biāo)為(-x,—y).

2.函數(shù)與圖象

(1)常量與變量:在一個(gè)過(guò)程中，固定不變的量叫做常量,可以取不同數(shù)值的量叫做變量.

(2)函數(shù):一般地，在某個(gè)變化過(guò)程中，設(shè)有兩個(gè)變量x,?如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y

都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x叫做自變量.

(3)函數(shù)的表示方法:①解析法;②列表法;③圖象法.

(4)函數(shù)值:對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果當(dāng)自變量尤=。時(shí)，函數(shù)那么人叫做自變量的值為a時(shí)

的函數(shù)值.

(5)函數(shù)的圖象:一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐

標(biāo)、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟:①列表：②描點(diǎn)：③連線.

【考題探究】

類型一坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【例1][2023?麗水]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(T,m2+1)位于(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式1[2024?濱州]若點(diǎn)P(l—2a,a)在第二象限，那么a的取值范圍是(A)

11

A.〃>—B.QV—

22

11

C.0<a<-2D.0^a<-2

【解析】VAP(l-2a,a)在第二象限,

fl—2aV0,i

斛得。>]

(a>0,

類型二確定點(diǎn)的坐標(biāo)

[例2][2023?臺(tái)州]如圖是中國(guó)象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已

知“隼”所在位置的坐標(biāo)為（一2,2）,則“炮”所在位置的坐標(biāo)為（A）

A.(3,1)B.(l,3)

C.(4,1)D.(3,2)

變式2—1[2024?廣西]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,1）,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（C）

r------1---------1------1

卜——卜--+J

變式2—1圖

A.(3,0)

B.(0,2)

C.(3,2)

D.(l,2)

變式2—2[2024?甘孜州]如圖，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)，一臺(tái)雷達(dá)探測(cè)器測(cè)得在點(diǎn)A,B,。處

有目標(biāo)出現(xiàn).按某種規(guī)則，點(diǎn)A,5的位置可以分別表示為（1,90。），（2,240°）,則點(diǎn)C的位

置可以表示為（3,30。）,

變式2—2圖

類型三平面直角坐標(biāo)系中的平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱

【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A/（—4,2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,—2）,

關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,2）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-2）.

變式3—1[2023?杭州]在直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)2）先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3

個(gè)單位得到點(diǎn)區(qū)若點(diǎn)5的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則機(jī)=（C）

A.2B.3

C.4D.5

【解析】?把點(diǎn)2）先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)5,

AAB(m+1,2+3).

又AB的橫生標(biāo)和縱生標(biāo)相等,

.,.m+1=5,J.m—4.

變式3—2[2023?東營(yíng)]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。43c的邊長(zhǎng)為2連，點(diǎn)3在x

軸的正半軸上,且ZAOC=60°，將菱形Q4BC繞原點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到菱形OA'BC,

則點(diǎn)"的坐標(biāo)是（B）

A.(3V6,3V2)B.(3V2,3V6)

C.(3V2,6V2)D.(6V2,3V6)

類型四函數(shù)的概念與自變量的取值范圍

【例4】下列圖象中，能表示y是關(guān)于x的函數(shù)的是（A）

變式4［2024?齊齊哈爾］在函數(shù)y=++中，自變量x的取值范圍是.x>—3JL—

2.

類型五行程問(wèn)題、物理問(wèn)題中函數(shù)的圖象

［例5］［2023?溫州］【素材1］某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等,

⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等.

【素材2］設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過(guò)每個(gè)景點(diǎn)都停留20分鐘.小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時(shí)

3小時(shí)25分鐘;小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時(shí)間t的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖2所示,

在2100米處，他到出口還要走10分鐘.

【問(wèn)題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（B）

典例5圖

A.4200米B.4800米

C.5200米D.5400米

【解析】由圖象易得，游玩行走的速度為=60（米/分）.

752x20

設(shè)①④⑥各路段的路程都為a來(lái)，⑤⑦⑧各路段的路程都為b米，②③各路段的路程都為

米，

則小州游玩的路線各路段路程之和為a+c+b=2100+60X10=2700(米).

而小溫游玩的路線各路段路程之和為3(a+方)=(205—5X20)X60=6300(米).

易將a+i>=2100,c=600,

則所求路線各路段路程之和為2(a+Z?)+c=4800米.

變式5-1吳老師家、公園、學(xué)校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學(xué)校的距離分別

為400m,600m.他從家出發(fā)勻速步行8min到公園后，停留4min,然后勻速步行6min到

學(xué)校?設(shè)吳老師到公園的距離為y(m),所用時(shí)間為x(min),則下列表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的

圖象中，正確的是(C)

【解析】吳老師從彖出發(fā)勻速步行8min到公園，則y的值由400變?yōu)?,

吳老師在公園停留4min,則y的值仍然為0,

吳老師從公園勻速步行6min到學(xué)校，則在18分鐘時(shí)，y的值為600.

變式5—2[2024?金華模擬改編]小明與小華相約到公園去爬山，上午7:00,小明乘坐汽車從

家出發(fā)，同時(shí)小華乘坐公交車從學(xué)校出發(fā)，沿公路(如圖)前往公園.上午8:00,小明追上小華

并繼續(xù)前行，途徑超市時(shí)，小明下車購(gòu)買水和食品，然后乘車按原速前行，最后和小華同時(shí)

到達(dá)公園.設(shè)小明與小華離超市的路程為s(km),所用時(shí)間為/(h),則下列圖象能正確反映上述

過(guò)程的是（C）

變式5—3[2023?嘉興、舟山]如圖所示為底部放有一個(gè)實(shí)心鐵球的長(zhǎng)方體水槽軸截面示意圖,

現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度與注水時(shí)間Q）關(guān)系的是（D）

類型六幾何問(wèn)題中函數(shù)的圖象

【例6][2024?瑞安模擬]如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,P為線段A3上的動(dòng)點(diǎn)，并以

每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止.過(guò)點(diǎn)P作PM1AC于點(diǎn)M,PN±

BC于點(diǎn)、N,連結(jié)MN,線段MN的長(zhǎng)度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(s)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則

函數(shù)圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為(B)

M

C

APB8^(s)

圖1圖2

典例6圖

A.(2,3)B.(2,2V3)

C《，2V3)D&3)

【解析】如答圖，連結(jié)C2

w

APB

典例6答圖

VZC=90°,PMLAC,PN±BC,

四邊形PMCN為矩形，

：.CP=MN.

當(dāng)CPLA5時(shí)，CP最短，即M/V最短.

當(dāng)點(diǎn)尸住?于點(diǎn)A處時(shí)，x=0,y=4,即AC=4,

當(dāng)點(diǎn)尸位于點(diǎn)5處時(shí)，x=8,即A5=8

1

：.COSZCAP=-：.ZCAP=60°,

29

i

：

.AP=-2AC=2,

：.CP=JAC2-AP2=2V3,

.?.點(diǎn)E(2,2V3).

變式6[2024?臨夏州]如圖1,在矩形A3CD中，3。為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，

沿著。-3—C的路徑行進(jìn)，過(guò)點(diǎn)P作PQLCD,垂足為。設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,PQ-DQ

為y,若y與x的函數(shù)圖象如圖2,則AD的長(zhǎng)為（B）

力

圖1圖2

變式6圖

A.-V2

3

C.-V3

4D片

【解析】由圖象，得CZ>=2.

當(dāng)BD+BP=4時(shí)，PQ=CD=2.

設(shè)AO—CD=a,則BD=4~a.

在RS5CD中，BD2~BC2=CD2,

即(4一a)2-(a+2)2=22,

2

斛得。=不

AD=d~\~2=-.

3

類型七探究問(wèn)題中函數(shù)的圖象

【例7][2024?北京]小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯）.在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)

知識(shí)和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來(lái).新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如圖.

當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有V（mL）水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度/n（cm）和2號(hào)杯的

水面高度//2（cm）,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

V(mL)040100200300400500

/zi(cm)01.02.55.07.510.012.5

/i2(cm)02.84.87.28.910.511.8

（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.

（2）通過(guò)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫加與V,比與V之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系

中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題:

①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí),2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為二

cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.

②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一部分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其

水面高度約為8.6cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.

1

解⑴設(shè)加=左匕將（100,2.5）代入，得2.5=100匕斛得左=上,

40

1

工加=印

?."=40,：.h1=1.0.

（2）如答圖所示.

/z(cm)八

100：2。0；300：400：500

0--I——X■一1一一_1__1_一』——I——4--WmL)

典例7卷圖

(3)①當(dāng)V=320mL時(shí)，hi=8.0cm,由圖象可知相差約為1.2cm.

②作與x軸平行的直線y=a,取它被兩個(gè)函教圖象所戳的線段A5,當(dāng)線段A5故直線x=320

垂直平分時(shí)，a~8.6,故當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約為8.6cm.

【課后作業(yè)】

1.［2024?成都］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(l,—4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(B)

A.(-l,-4)B.(-l,4)

C.(b4)D.(l,-4)

2.［2023?紹興］在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)(加,咒)先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，

最后所得點(diǎn)的坐標(biāo)是(D)

A.(m―2,n-1)B.(m-2,n+1)

C.(根+2,n—1)D.(m+2>n+1)

3.［2024?廣元］如果單項(xiàng)式一x2?/與單項(xiàng)式2%4>2-〃的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，那么在平面直角坐

標(biāo)系中，點(diǎn)(如〃)在(D)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析】單項(xiàng)式一工2勺3與單項(xiàng)式2x4y2~n的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，

/.2m=4,2~n=3,

斛得7〃=2,n=-1,

.?.點(diǎn)(2,—1)所在的象F艮為第四象F艮.

4.小聰某次從家出發(fā)去公園游玩的行程如圖所示，他離家的路程為s米，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為/分

鐘.下列圖象中，能近似刻畫s與f之間關(guān)系的是(A)

休息10分鐘

公園

第4題圖

5.[2024?廣安]向如圖所示的空容器內(nèi)勻速注水，從水剛接觸底部時(shí)開始計(jì)時(shí)，直至把容器

注滿，在注水過(guò)程中，設(shè)容器內(nèi)底部所受水的壓強(qiáng)為y（單位:帕），時(shí)間為x（單位:秒），則y關(guān)

于x的函數(shù)圖象大致為（B）

第5題圖

6.[2024?湖北]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一4,6）,將線段OA繞點(diǎn)0順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（B）

第6題圖

A.(4,6)B.(6,4)

C.(—4,—6)D.(—6,—4)

7.龜兔賽跑之后，輸了比賽的兔子決定和烏龜再賽一場(chǎng).如圖的函數(shù)圖象表示了龜兔再次賽跑

的過(guò)程（x表示兔子和烏龜從起點(diǎn)出發(fā)所走的時(shí)間，yi,”分別表示兔子和烏龜所走的路程）.

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（C）

第7題圖

A.兔子和烏龜比賽的路程是500米

B.中途，兔子比烏龜多休息了35分鐘

C.兔子比烏龜多走了50米

D.比賽結(jié)果，兔子比烏龜早5分鐘到達(dá)終點(diǎn)

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)2）與點(diǎn)3（3,〃）.若點(diǎn)A和點(diǎn)3關(guān)于x軸對(duì)稱，則機(jī)=3,

n=-2;若點(diǎn)A和點(diǎn)3關(guān)于y軸對(duì)稱,則m=-3,n=2;若點(diǎn)A和點(diǎn)3關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱，貝!Jm=-3,n—2.

9.三個(gè)能夠重合的正六邊形的位置如圖所示.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（一班，3）,則點(diǎn)A的坐標(biāo)

為.（后—3）—.

【解析】易知點(diǎn)、A和點(diǎn)5關(guān)于原點(diǎn)、對(duì)稱.

又,點(diǎn)5的生標(biāo)為（一'g,3）,

.?.點(diǎn)A的金標(biāo)為（百，-3）.

10.[2023?自貢]如圖1,小亮家、報(bào)亭、羽毛球館在一條直線上.小亮從家跑步到羽毛球館打

羽毛球，再去報(bào)亭看報(bào)，最后散步回家.小亮離家距離y與時(shí)間x之間的關(guān)系如圖2所示.下列

結(jié)論正確的是①②③（填序號(hào)）.

①小亮從家到羽毛球館用了7分鐘.

②小亮從羽毛球館到報(bào)亭平均每分鐘走75米.

③報(bào)亭到小亮家的距離是400米.

④小亮打羽毛球的時(shí)間是37分鐘.

小亮家—報(bào)亭—羽毛球館

圖1

第10題圖

【解析】由圖象得，小亮從彖到羽毛球偏用了7分鐘，①正確.

小亮從羽毛球稔到報(bào)亭的平均速度為（1.0—0.4）+（45-37）=0.075（千米/分）=75（米/分），②正

確.

由圖象得，報(bào)亭到小亮彖的距離是0.4千米，即400米，③正確.

小亮打羽毛球的時(shí)間是37—7=30（分），④錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③.

11.[2024?包頭改編]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。45c各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。（0,

0),A(l,2),B(3,3),C(5,0),求四邊形。43c的面積.

解:如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AE±x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF±x軸于點(diǎn)E

第9題答圖

?.?點(diǎn)0(0,0),A(l,2),5(3,3),C(5,0),

：.OE=1,AE=2,BF=3,CF=2,EF=2,

?*.四邊形OABC的面積=SAAOE+SABCF+S梯形ABFE

=-X1X2+-X3X2+(2+3)X2=9,

222

12.德國(guó)醫(yī)生菲里斯和奧地利心理學(xué)家斯瓦波達(dá)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期臨床觀察發(fā)現(xiàn)，從出生之日起，人的

情緒呈周期性變化，在前30天內(nèi)，情緒的部分?jǐn)?shù)據(jù)及函數(shù)圖象如表：

天數(shù)/???2021222324252627282930

波動(dòng)值s…0.300.312.23.85.77.81012.314.3

20僻髀JT-I-!_i_rrrTT-i-|-i-|-rrTT-|-|-

111111111i?iiii?

111111111??i??i?

-rrrrT7Ti-i-rrrm-i-

X-LLL1」」」」

\i?????????i?i??

?\i??????iiiiii?

一1一<L』」」」-l_i_l.XJ.J-l.

111iSsJ111

11111

。1357911131517192123252729304無(wú)數(shù)）

第12題圖

⑴數(shù)學(xué)活動(dòng)：

①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過(guò)描點(diǎn)，連線(光滑曲線)的方式補(bǔ)全該函數(shù)的圖象.

②觀察函數(shù)圖象，當(dāng)/=14時(shí)，s的值為多少?當(dāng)s的值最大時(shí)，/的值為多少？

(2)數(shù)學(xué)思考:請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)或結(jié)論.

⑶數(shù)學(xué)應(yīng)用:根據(jù)研究，當(dāng)s>10時(shí)處于情緒高潮期，心情愉快;當(dāng)sVIO時(shí)為情緒低潮期，心

情煩躁;當(dāng)s=10時(shí)為臨界日，心情平穩(wěn).若小海從出生到今天的天數(shù)為5501天，則今天他心

情如何?

解：(1)①補(bǔ)全該曲教的圖象如答圖.

和(波動(dòng)值)

2市:：T-!-!

711-rrrm

inJJ_

C.J.XJ-1-1-

JIIIII

135791113151719212325272930//數(shù)）

第12題答圖

②根據(jù)圖象以及周期性易知當(dāng)，=14時(shí)，s=10;

當(dāng)