新高考數(shù)學(xué)模擬卷（一）（學(xué)生版+解析）

專題24新高考數(shù)學(xué)模擬卷（一）

（模擬測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.設(shè)集合A={x|lVx+l<5},B={x\x<2},貝&8）=（）

A.{x|2<x<4}B.[x\0<x<2jC.{x|0Vx<4}D.{x|x<4}

2.已知Z=5+10i,Z2=3-4i」='+，"，貝ijz的值為

Z21z2

A.—F5zB.—5iC.5—iD.—5H—i

2222

3.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列.若是公差不為零的等差數(shù)列，

則稱數(shù)列{〃“}為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)“三角垛”，共有40層，各層小球個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，第

一層放1個(gè)小球，第二層放3個(gè)小球，第三層放6個(gè)小球，第四層放10個(gè)小球，L,則第40層放小球的

個(gè)數(shù)為（）

A.1640B.1560C.820D.780

4.已知二￡?Lcosll=_—，sinll=-，則sm（a+尸）的值為（）

16B-竺C56D_至

A.——

65656565

——\[xx>0

5.已知函數(shù)/（力二%'有且僅有3個(gè)零點(diǎn)名尸,/,若a<一,則（）

ax2+2ax+3,x<0

A.lna/3=yB.lna/3=y-lC.lna/3<y-1D.lna/3>y

6.若的展開(kāi)式中項(xiàng)的次數(shù)為整數(shù)的有且僅有5項(xiàng)，則其常數(shù)項(xiàng)為（）

A.第8項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第5項(xiàng)

7.已知函數(shù)”尤）及其導(dǎo)函數(shù)/（尤）的定義域均為R,且〃—2x）+f（2x）=0,/（l-2x）-/（l+2x）=-4x,

則〃10）+/（11）=（）

A.11B.9C.0D.-9

8.等腰三角形ABC中，AB=BC=4,ZABC=120°./為AC中點(diǎn)，以為線段3c上靠近點(diǎn)C的四等分

點(diǎn)，將AAB尸沿AF翻折，使A到4的位置，且平面ABF，平面，則四面體4?根的外接球的表面

積為（）

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）

9.已知函數(shù)f（x）=Asin（ox+o）,[A>0,。>0,網(wǎng)<"部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）

A.的圖象關(guān)于直線彳=-若對(duì)稱

B.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

C.將函數(shù)y=Wsin2尤-cos2x的圖象向左平移叁個(gè)單位得到函數(shù)的圖象

D.若方程〃力=根在、上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是卜2,-括］

%

10.已知函數(shù)〃同二丁，下列結(jié)論正確的是（）

Inx

A.〃尤）在％=e處的切線方程為y=e

B.〃尤）在區(qū)間（0,e）單調(diào)遞減，在區(qū)間（e,+8）單調(diào)遞增

C.設(shè)g（x）=f+q,若對(duì)任意占eR,都存在馬?1,止），使8（%）=〃蒼）成立,則aCe

D.曰>3">非>3,

11.如圖，直角梯形A3CD中，AB//CD,AB1BC,BC=CD=-AB=2,E為A8中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕

2

把VADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PC=2g.則下列說(shuō)法正確的有（）

A.CD_L平面￡DP

B.四棱錐P-EBCD外接球的體積為4班兀

7T

C.二面角P—CD-3的大小為了

D.PC與平面EDP所成角的正切值為企

12.己知直線、=履+帆與圓。：/+y=4交于點(diǎn)知，N,若過(guò)點(diǎn)M和4（2,0）的直線與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)

M和3（0,2）的直線與％軸交于點(diǎn)。，則（）

A.△WON面積的最大值為2B."A.MB的最小值為4

C.網(wǎng)=8D.若k=l,則七"-QN=1

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.設(shè)某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，生產(chǎn)14nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、

乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率依次為現(xiàn)從這20

101520

塊芯片中任取1塊芯片，則取得的芯片是次品的概率為.

14.根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等

于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對(duì)直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若

AF=xAB+yAD,貝l]x+V=.

15.已知直線與拋物線丁=22吠0>0）交于48兩點(diǎn)，且。A，。民OD交AB于點(diǎn)。，點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(1,2),貝UAO3的面積=.

12

16.已知函數(shù)〃尤)=(X—I)，+1,且“2。)+/(b)=2(.>-1,6>0),則-+1的最小值是.

四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解

答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.記的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為。，4c,已知b+c=2asin（c+』.

⑴求A的值；

⑵若—B4c的平分線與3c交于點(diǎn)DAD=26，求.ABC面積的最小值.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且s,=d|W(〃eN*),數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且%T,4+1分別為

數(shù)列也｝的第二項(xiàng)和第三項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6=(/_))/J數(shù)列｛。0｝的前〃項(xiàng)和為4‘求證：T”<g.

19.如圖，在斜三棱柱ABC-4瓦G中，底面」RC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面8CG片為菱形，已知

ZBBtC=60,AB,=a.

(1)當(dāng)a=?時(shí)，求三棱柱ABC-A4G的體積；

(2)設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱8月上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。=3時(shí)，求直線PG與平面ACGA所成角的正弦值的取值范圍.

20.隨著春季學(xué)期開(kāi)學(xué)，郴州市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，

培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂每天

都會(huì)提供48兩種套餐供學(xué)生選擇(學(xué)生只能選擇其中的一種)，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A

套餐的概率為：，選擇8套餐的概率為§.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為I，選

擇8套餐的概率為前一天選擇8套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為選擇8套餐的概率也是；，

如此往復(fù).記同學(xué)甲第"天選擇8套餐的概率為匕.

(1)求同學(xué)甲第二天選擇8套餐的概率；

(2)證明：數(shù)列，勺-1｝為等比數(shù)列；

(3)從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)第二天選擇去A餐廳就餐的人數(shù)X,用P(X=左)表示這100

名學(xué)生中恰有k名學(xué)生選擇去A餐廳就餐的概率，求P(X=Z:)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的上的值.

21.已知函數(shù)/(x)=2(x—sin尤).

⑴判斷函數(shù)〃尤)的單調(diào)性；

⑵已知函數(shù)g(x)=/(x)-4x+2mInx,其中>1,若存在ga)=g(%)aW無(wú)2),證明：+x2>l+lnm.

22

22.已知橢圓K:「+[=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為1(-2,0),8(2,0),過(guò)右焦點(diǎn)F?的直線/交橢圓

ab

K于M,N兩點(diǎn)，以線段段為直徑的圓c與圓G：/+y2=8內(nèi)切.

(1)求橢圓K的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M作腔，x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)N作N。，無(wú)軸于點(diǎn)°,QM與NE交于點(diǎn)P,是否存在直線/使得

的面積等于池？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

專題24新高考數(shù)學(xué)模擬卷（一）

（模擬測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.設(shè)集合A={x|lVx+l<5},B={x\x<2\,貝（）

A.{x12<x<4}B.[x\0<x<2jC.{x|0<x<4}D.{x\x<4}

【答案】A

【分析】求出集合A,然后直接利用集合的交集與補(bǔ)集的概念求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?=卜|14了+1<5}="|0=彳<4},B={x|x<2},.?48=卜門>2},

.?.Ac03）={x[2<x<4}.

故選：A.

2.已知4=5+10z,z2=3-4，,一=—1,則Z的值為

ZZ]z2

A.—F5/B.—5iC.5--1D.-5+-Z

2222

【答案】C

Ill115-10z3+4z5-lOf3+4z4+2,

r:羊自忍】————?—=-------1------------1-------=---1-------

k汗用牛/zZ]z25+10/3-4z（5+10z）（5-10z）（3-4z）（3+4z）1252525

2525（4-2z）25（4-2。5

所以z==5f，

4+2z-（4+2z）（4-2z）20-2故選仁

3.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列.若｛。用-4｝是公差不為零的等差數(shù)列,

則稱數(shù)列｛4｝為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有一個(gè)“三角垛”，共有40層，各層小球個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，第

一層放1個(gè)小球，第二層放3個(gè)小球,第三層放6個(gè)小球，第四層放10個(gè)小球，L,則第40層放小球的

個(gè)數(shù)為()

A.1640B.1560C.820D.780

【答案】C

【分析】首先由二階等差數(shù)列的定義,得到="(〃22,〃eN*),再求和得到數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式,

即可求心.

【詳解】設(shè)第w層放小球的個(gè)數(shù)為%，由題意2-卬=2,a3-a2=3,,數(shù)列列”+「4｝是首項(xiàng)為2,公

差為1的等差數(shù)列,

所以%-a“_i=2+（〃-2）=M〃N2,"eN*）.

故=q+（。2-%）++3〃一凡—i）=1+2++n=—n（ji+1）,

故=gx40x41=820.

故選：C.

3兀3兀，夕兀，爸,COS71715

4.已知a，則sin(o+尸)的值為(）

~~5V4；13

16165656

A.B.C.D.

65656565

【答案】A

【分析】先利用誘導(dǎo)公式得sin(a+0=cos(a+￡-5),再令cos(a+4-g)=cos[(a-少+(4-,展開(kāi)即可求解.

2244

【.詳'-V*h解jl】Ysi,nz(a+0fix=cos(za+/C?--兀)、=cosr[z(a-兀-、)+z(c/?-兀-)、1]=cosz(a-兀-、)cozcs(兀^、sm?(/a-兀-、)s?m/(c￡-兀-、),

2444444

因?yàn)閑e序V，所以"共生三，則夕-巳在第二或第三象限，

因?yàn)閏os(a_?)=《，當(dāng)夕-；在第三象限時(shí)，由于網(wǎng)型=-變，

45442

又丫=85彳在xe私=上遞增，且_3>_也，

252

所以當(dāng)a在第三象限時(shí)，a~~7>~T與。―矛盾，

4442144J

7T

所以a-二在第二象限，

4

因?yàn)閏os（a~~）=，所以sin（a--^）=—.

4545

因?yàn)槠ィㄐ“l(fā)，所以夕一和（弓,\）,則cos（/?-：）<0.

因?yàn)閟in（2一；）=磊,所以cos（力一：）二一^|.

所以cos（a-；）cos（77—2）-sin（a-2）sin（力-^）=-|x（-j|）-|x^=i|,

即sin（a+y5）=—.

65

故選：A.

——_x>0

5.已知函數(shù)/（%）=卜”有且僅有3個(gè)零點(diǎn)7,若a<0<y,則（）

ax2+2ax+3,x<0

A.\na0=yB.\na/3=yC.In</-1D.Ina（3>y

【答案】c

【分析】當(dāng)x>0時(shí)，解出一根，由。<尸<7得7=7,當(dāng)尤V。時(shí)，還有兩根，則此時(shí)方程為二次方程，根

據(jù)題意建立不等式解出“的取值范圍，再根據(jù)其他條件即可得結(jié)論.

【詳解】當(dāng)尤>0時(shí)，令L-G=Q,解得X=1,即7=1；

X

當(dāng)工工。時(shí)，方程依2+2辦+3=0有兩個(gè)不等負(fù)實(shí)根a,P,

A=4/-12Q>0

所以<a+/7=—2<0,解得a>3,

3

af3=—>0

、a

當(dāng)a='=—1時(shí)，cc+p=—2,3^a<尸<0,則一2<a<—1<,<0.

3

所以Ina[3=ln—<0=/-l.

a

故選：C.

6.若+的展開(kāi)式中項(xiàng)的次數(shù)為整數(shù)的有且僅有5項(xiàng)，則其常數(shù)項(xiàng)為（）

A.第8項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第5項(xiàng)

【答案】B

【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意得到〃=9/=6,進(jìn)而求解即可.

【詳解】R的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為小=C口1’.(&)'=

因?yàn)閞eN,所以當(dāng)『0,2,4,6,8,10,…時(shí)，展開(kāi)式中項(xiàng)的次數(shù)為整數(shù)，

又展開(kāi)式中項(xiàng)的次數(shù)為整數(shù)的有且僅有5項(xiàng)，

3

所以〃=9或〃=8,當(dāng)〃=8時(shí)，令？-8=0,無(wú)整數(shù)解，舍去；

所以〃=9,故雹+]=cjx5",令”-9=0,

解得廠=6,所以其常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng).

故選：B.

7.己知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為R,M/(-2x)+/(2x)=0,/(l-2x)-/(l+2x)=-4x,

則〃10)+/'(11)=()

A.11B.9C.0D.-9

【答案】A

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后構(gòu)造函數(shù)g(無(wú))并求其對(duì)稱軸及周期，最后利用對(duì)稱軸及周期求函

數(shù)值即可.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的xeR,〃一2%)+"2x)=0,即〃T)=—〃尤)，

所以“X)為奇函數(shù)，故〃0)=0.

由,(1一2x)—/(l+2x)=-4x得，/(l-x)-/(l+x)=-2x,

即/(1一尤)一(1—尤)=/(l+x)—(1+x),

設(shè)g(x)=/(x)-x，則g(無(wú))為奇函數(shù)，g(O)=O,且g(l-x)=g(l+x),

所以g(x)圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

由g(l—x)=g(l+x)得，g(—x)=g(2+x),

所以-g(x)=g(2+x),

所以g(4+x)=g[2+(2+x)]=-g(2+x)=-(-g(x))=g(x)

所以g(x)的周期為4.

所以g(10)=g(2)=g(0)=0,所以〃10)=g(10)+10=10,

由g(lr)=g(l+x)求導(dǎo)可得_g'(l_x)=g'(l+x),所以g'(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱,所以g'(l)=0

由對(duì)稱性可知g(x)圖像關(guān)于直線―-1對(duì)稱，

因?yàn)?g(x)=g(2+尤)，所以g(x)=-g(2+x),

所以g'(x)=-g'(2+x),

所以g'(4+x)=g12+(2+x)]=_g，(2+x)=_(_g1x))=g，(x)

所以g'(x)的周期為4,所以g"l)=g，(-l)=-g")=0,

又g'(x)=F(x)-1,所以尸(ll)=g{ll)+l=l,

所以/■（io）+r（ii）=n.

故選：A.

8.等腰三角形A3C中，AB=BC=4,ZABC=120°.P為AC中點(diǎn)，/為線段BC上靠近點(diǎn)C的四等分

點(diǎn)，將△AB尸沿8尸翻折，使A到4的位置，且平面，平面，則四面體片5根的外接球的表面

積為（）

【答案】D

【分析】利用余弦定理求出月0,再根據(jù)給定條件確定球心位置，求出球半徑作答.

【詳解】等腰「ABC中，AB=BC=4,ZABC=120°,歹為AC中點(diǎn)，則3尸1AC,

有NABF=NMBF=60。,BF=2,AF=26,又BM=3,在中，由余弦定理得：

FM=V22+32-2X2X3COS60°=y/1-由正弦定理得外接圓半徑廠=、一業(yè)一='五

2sin6003

在四面體尸M中，A/_L5/，平面平面劭/F,平面43尸c平面=6尸，A/u平面尸，

則AF_L平面5M令外接圓圓心為Q,四面體外接球球心為0,

則。?！榔矫鍮MF，有OOJAF,顯然四面體外接球球心。在線段\F的中垂面上,取4尸中點(diǎn)E,

連接EO,FO,FQ,則有EO1A尸，而尸Qu平面BMF,即有OQ-LFOX,EF±FOi,

因此四邊形EO。尸為矩形，EO=FOi=r=殍,而郎=山,

于是四面體ABFM外接球半徑R=FO=1EF2+E02=卡,

-TT

所以四面體42根的外接球的表面積S=4TIR2=等.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問(wèn)題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是

解題的關(guān)鍵.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）

9.已知函數(shù)〃x）=Asin（°x+°）,3＞0,。＞0,附＜印部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）

A.”力的圖象關(guān)于直線》=-%對(duì)稱

B.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)H，。）中心對(duì)稱

C.將函數(shù)y=△sin2尤-cos2x的圖象向左平移I個(gè)單位得到函數(shù)“X）的圖象

D.若方程/"）=加在-],0上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是卜2,一0]

【答案】AD

【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出。，由五點(diǎn)法作圖求出夕的值，可得了（元）的解析式,

結(jié)合圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.

19jrTTJT

【詳解】由函數(shù)的圖象可得修，由屋至二-近求得0=2-

jrTT

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2x§+o=2E+7i,即0=2fai+§,左EZ,

又問(wèn)，求得展5,函數(shù)/(x)=2sin(2x+1J,

7T

-2sin-=-2,是最值，故A成立;

2兀

f2siny=-2sin1=-V3,不等于零，故B不成立;

將函數(shù)>=6sin2x—cos2x=2sin]2%—￡的圖象向左平移萬(wàn)TT個(gè)單位得到函數(shù)

y=sin|2（尤+/卜弓=sin（2尤+看）的圖象，故C不成立;

兀c兀2兀71

當(dāng)了￡__50時(shí),2xH---G

3T5i

由圖可知，m]-2,一向時(shí)，函數(shù)〃尤）與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn),

故方程〃冷=根在-',0上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，加的取值范圍是卜2,-G],故D成立.

故選：AD.

10.已知函數(shù)/(%)=—,下列結(jié)論正確的是()

Inx

A.在x=e處的切線方程為y=e

B.7'(X)在區(qū)間(O,e)單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+8)單調(diào)遞增

C.設(shè)g(x)=x?+a,若對(duì)任意占eR,都存在七使8(%)=〃彳2)成立，則

D.7in>3n>7i3>33

【答案】ACD

【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算切線得到A正確，根據(jù)定義域排除B,分別計(jì)算最值得到C正確，

根據(jù)哥函數(shù)單調(diào)性和/(x)單調(diào)性計(jì)算得到D正確，得到答案.

【詳解】〃x)=嬴，則:(無(wú))=而1，x?0,l)一

當(dāng)無(wú)?0,1)和xe(l,e)時(shí)，r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(e,??)時(shí)，>0,函數(shù)單調(diào)遞增.

對(duì)選項(xiàng)A：r(e)=0,/(e)=e,故切線方程為>=e,正確；

對(duì)選項(xiàng)B：函數(shù)定義域?yàn)?0,1)(1，H>錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)飛e(l,4w)時(shí),/(々L=/(e)=e,gQL=g(O)=a,故a*e,正確；

兀3

對(duì)選項(xiàng)D：根據(jù)募函數(shù)的單調(diào)性知的>3"，兀3>33,/(TT)>/(3),BP—>—,

故兀ln3>31nji,即3%>7?,故加>3兀>7?>3?,正確.

故選：ACD

11.如圖，直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±BC,BC=CD=3AB=2,E為AB中點(diǎn)，以DE為折痕

把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且尸C=2g.則下列說(shuō)法正確的有()

p

A.CD_L平面EDP

B.四棱錐P-EBCD外接球的體積為4年

71

C.二面角P-的大小為了

4

D.PC與平面￡DP所成角的正切值為正

【答案】ABC

【分析】易證得四邊形EBCD為矩形，得到CDLDE；利用勾股定理可得CD1.PZ）；由線面垂直的判定可

證得A正確；根據(jù)理，平面EBCD和矩形外接圓半徑廠可求得外接球半徑R=J度，代入球的體

積公式可知B正確；根據(jù)二面角平面角定義可知ZPDE即為所求角，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系知C正確；根據(jù)線面角

定義可知NCPD為所求角，由長(zhǎng)度關(guān)系可知D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,E為A3中點(diǎn)，.?.3E=CD,BE〃CD,.?.四邊形EBCD為平行四邊形，

又AB13C,四邊形￡BCD為矩形，，。。，。氏

PD=AD=722+22=272-CD=2,PC=2y/3,

:.PD2+CD2=PC2,CDLPD,又PD\DE=D,尸￡>,Z)Eu平面EDP,

\CD人平面￡2%，A正確；

對(duì)于B,BC//DE,AB.LBC,s.AELDE,即尸E_LOE,

CD_L平面EDP,PEu平面EDP,/.CDPE,

又CDDE=D,C。,。Eu平面EBa),PE_L平面EBCD；

矩形EBCZ)的外接圓半徑r=1x，22+22=&,

2

四棱錐P-EBCD的外接球半徑R=+=A/2TT=V3,

四棱錐尸-E3CD外接球的體積V=g?rR3=4扃，B正確；

對(duì)于C,CZ)_L平面￡DP,PDu平面EDP,.CD；

又讓1。。，，二面角尸一8-3的平面角為40￡,

71

PE^DE,PE=DE=2,:.NPDE=一,

4

TT

???二面角尸—CD—3的大小為了，C正確；

4

對(duì)于D,CD1.平面EDP,;.NCPD即為直線尸C與平面￡Z年所成角，

CD±PD,PD=2A/2-CD=2,tanZCP￡>=—=^=—,

PD2V22

即直線直線尸C與平面￡DP所成角的正切值為巫，D錯(cuò)誤.

2

故選：ABC.

12.己知直線，=履+加與圓O：尤2+^=4交于點(diǎn)M,N,若過(guò)點(diǎn)M和4(2,0)的直線與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)

M和3(0,2)的直線與無(wú)軸交于點(diǎn)。，則()

A.△WON面積的最大值為2B."A.MB的最小值為4

C.\AD\-\BC\=8D.若左=1,則七

【答案】ACD

【分析】利用面積公式以MON=；|°叫l(wèi)ONlsin/MON可判斷A；設(shè)加(4必),數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合重要

不等式可判斷B；利用M的坐標(biāo)表示出直線坐標(biāo)，從而可得C、。坐標(biāo)，然后直接求解可判斷C；利用韋

達(dá)定理可判斷D.

【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)橹本€好質(zhì)+“與圓O交于點(diǎn)M,N,所以QM=|ON|=2,

所以ZMON=^\OM\-\ON\sinZMON=2sinZMON,

JT

當(dāng)sinNMON=l,即/MON=—,OM_LON時(shí)，△AfON面積的最大值為2,A正確；

2

B項(xiàng)：設(shè)〃(%,,%),則M4=(2—yj,MB=(―%,2—%),

所以M4.MB=x；+y；_2%—2%=4—2(尤]+%),

因?yàn)?=x；+y；N2X[M，所以無(wú)aM2.

所以(%+yj=4+2%必48,即一2點(diǎn)4%%=2忘,

所以當(dāng)占+%=20時(shí)，跖MB取得最小值4-4啦，B錯(cuò)誤；

Vi—2

C項(xiàng)：當(dāng)直線MB斜率存在時(shí)，則直線-x+2.

xi

令y=0,可得x=故。[31-,。.

直線

X]—z

令x=0,可得>='，所以小0,1].

2-士（2-xJ

4-^1____+________

2-y2—X](2-Xj)(2-

4,44_2._2%+"必

[(x/2)(y「2).

1,4(xl-2)(yl-2)

(x1-2)(y1-2)

當(dāng)直線MB斜率不存在時(shí),“|=2,忸C|=4,則忸C|=8,

綜上所述，|AD|?忸C|=8為定值，C正確;

|12+y2=4

D項(xiàng)：當(dāng)左=1時(shí)，y=x+m,設(shè)N(羽,丹),聯(lián)立《

[y=x+m,

加2—4

消去y可得2Y+2mx+m之—4=0,則西+/二一相，x1x2=-----

則三=5V

西馬X1X2

再入2+根（尤1+%）+加2

故選：ACD

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.設(shè)某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，生產(chǎn)14nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、

乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率依次為，，（，5.現(xiàn)從這20

塊芯片中任取1塊芯片，則取得的芯片是次品的概率為.

7

【答案】0.07/—

【分析】利用條件概率即可求得從這20塊芯片中任取1塊芯片取得的芯片是次品的概率.

【詳解】記"20塊芯片中任取1塊芯片，取得的芯片是次品”為事件B,

分別記從這20塊芯片中任取1塊芯片，則該芯片為甲、乙、丙生產(chǎn)為事件A，4，A

則P（A）=/，P（4）=白尸⑷=去，

?但A）=:，P（叫

則尸（8）=尸（A）?尸伊⑷+尸（4）尸（叫4）+尸（A）尸（叫4）

故答案為：0.07

14.根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等

于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對(duì)直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若

AF=xAB+yAD,貝I]x+V=.

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2“，則正方形。E印的邊長(zhǎng)為正方形EFGC邊長(zhǎng)為。

可知A（0,0）,B（2a,0）,￡＞（0,2a）,石+l）a

則與=（若+l）a，cos3。,九=（石+l）a-sin30+2a

又AF=xAB+yAD,x（2a,0）+y（0,2a）=（2ax,2ay）

3+^/3

2ax=--------a

23+y/35+y/3a,化簡(jiǎn)得%+y=&+"

即《5指,即lax+lay=--------aH----------

222

lay=---a

故答案為：土土

2

15.已知直線與拋物線/=2px(p＞0)交于AB兩點(diǎn)，且。4，。氏。。，43交48于點(diǎn)￡),點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(1,2),則AQB的面積=.

【答案】25A/2

【分析】求出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由。4,03得到方程，然后求出

。的值，再求出|%-%|，最后求出面積即可.

【詳解】點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2),則kOD=2,

又且直線A3過(guò)點(diǎn)。(1,2),

貝U直線A3的方程為＞-2=—；"一1),整理得2y+無(wú)一5=0,

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(孫兀)，點(diǎn)5的坐標(biāo)為(太2,乙)，

由得OR.03=0，即％%+%力=0，

「直線AB的方程為x=5-2y,

不4+%%=（5-2”）（5-2%）+*%=5yMT0（X+%）+25=。,

；-2（%+%）+5=0①，

聯(lián)立尤=5-2y與丁=2px（p＞。），消去x得/+4處-1。。=0,

則

%%=T°P

把②代入①，解得P=|，

故|M_%|=1（%+為『-4%%=7100+100=1072,

又直線A3與X軸的交點(diǎn)為(5,0),

所以5項(xiàng)。=95、回一刃=250.

故答案為：25vL

12

16.已知函數(shù)〃X)=(尤―I)，+1,且“2。)+/(b)=2(a>-1,方>0),則---+1的最小值是.

【答案】2

【分析】利用/(6=(5+1,單調(diào)性與對(duì)稱性，可知,若有/(%)+"〃)=2,則必有機(jī)+”=2成立.再利

用基本不等式求」7+：的最小值即可.

【詳解】：>=尤3在R為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

y=x3有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心(0,0),

〃x)=(x-1)3+1單調(diào)遞增，有且僅有一個(gè)對(duì)稱中心(1,1),

又：f(2a)+f(b)=2(a>-l,b>0),

：.2a+b=2,則2（a+l）+6=4,

12

---------1----[2（〃+1）+月

Q+1b

1Fb4（〃+1）

=-44+------+--------

44+1b

1

>4,9Ib4(。+1)

4Na+1b

當(dāng)且僅當(dāng)一也=見(jiàn)"。即。=0,6=2時(shí)，等號(hào)成立,

a+1b

]2

?,?」7+1的最小值是2.

故答案為：2.

四、解答題(本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解

答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.記一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知6+c=2asin]c+^j.

⑴求A的值；

(2)若/BAC的平分線與8C交于點(diǎn)D,AD=20求J1BC面積的最小值.

【答案】(1)A=

(2)473

【分析】(1)根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)得sin(A-1[=；,再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析

求解；

(2)根據(jù)題意得=結(jié)合S.c=$的+$Q，得到加=2e+c),結(jié)合基本不等式，即可求

解.

【詳解】(1)因?yàn)?+c=2asin]c+由正弦定理可得sinB+sinC=2sinAsin[c+[],

貝ijsin_B+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

2sinAsin[C+弓）=2sinsinC+—cosC=石sinAsinC+sinAcosC

2

7

即sinAcosC+cosAsinC+sinC=^3sinAsinC+sinAcosC,

可得6sinAsinC-cosAsinC=sinC,

因?yàn)椋?,兀），貝！JsinCwO,則6sinA-cosA=1,

整理得sin〔A

又因?yàn)锳￡(0,7l),則

可得A4=g所以A=S

663

jr

(2)因?yàn)锳D平分/SAC且AT>=2&,所以NA4O=NC4D=：,

6

由SABC=SABD+SACD，RJW—&cx—=_CX2A/3x—+—ZJX2A/3X—,

222222

整理得bc=2(b+c)N4j無(wú)，則bc216,當(dāng)且僅當(dāng)匕=c時(shí)，等號(hào)成立，

故,ABC面積的最小值為工X16X1=46.

22

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且s,=^^(“eN*),數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且%-1,%+1分別為

數(shù)列也｝的第二項(xiàng)和第三項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè).數(shù)列匕,｝的前〃項(xiàng)和為4'求證：7；<1.

【答案】⑴4,=〃+1,bn=T

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)S“和an的關(guān)系求出｛凡｝的通項(xiàng)公式，由｛an｝中的項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)系求出｛〃｝的

通項(xiàng)公式；

(2)利用裂項(xiàng)求和進(jìn)行求解.

【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列｛氏｝的前"項(xiàng)和為臬，且s,=粵^(〃eN*),

當(dāng)〃=1時(shí)，q=$=2,

當(dāng)s、o口注「cQ1+3〃(〃-1)2+3(〃-1)

時(shí)，an=Sn-Sn_,=--------------------=〃+1,

〃1=1也滿足上式，所以％=〃+1,

在數(shù)列｛2｝中,偽=&-1=4也=4+1=8,

則公比4=，=：=2,4=仇@-2=4x27=2",

所求通項(xiàng)公式為為=〃+1,2=2".

,『〃+2〃+2

(2)由⑴得*=帚+").2m="，("+1)2"+1

n+2_1________]

叩/z.(n+l)-2,I+1-7F一(H+1)-2,,+1

1________]

T=(------------7)+(-----5--------r)++

"1-22-222-223-23“?2”-(〃+1).2"+[

-T=----------------

"2(n+l)-2"+1

*11

因?yàn)椤癳N'GTh〉。,故北＜5

19.如圖，在斜三棱柱ABC-4月6中，底面一/BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面BCC由為菱形，已知

(1)當(dāng)〃=布時(shí)，求三棱柱ABC-A用G的體積；

(2)設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱B片上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。=3時(shí)，求直線PG與平面ACCM所成角的正弦值的取值范圍.

【答案]⑴3

-A/393V13-

⑵IT卞

【分析】(1)取8C的中點(diǎn)為O,根據(jù)等邊三角形可知BCLAO,BC±BQ,再計(jì)算出各個(gè)長(zhǎng)度可知BQ±A0,

根據(jù)線面垂直判定定理可證4。，平面ABC,即4。為三棱柱的高，根據(jù)體積公式求出即可；

(2)根據(jù)。=3及余弦定理解出/AO烏，以。為原點(diǎn)建立合適空間直角坐標(biāo)系，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面

ACCH的一個(gè)法向量，設(shè)3尸=434(OW4W1),求出GP,根據(jù)直線面所成角的正弦值等于線與法向量夾

角的余弦值的絕對(duì)值建立等式，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求得范圍.

【詳解】（1）解：如圖，取3c的中點(diǎn)為。，

因?yàn)锽CG瓦為菱形，