2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（蘇科版）專題51 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（蘇科版）含解析

2023?2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（蘇科版）專題5.1二次

函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）?重難點(diǎn)題型（舉一反三）（蘇科版）專題5.1

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）?重難點(diǎn)題型

【蘇科版】

衣

”片蘆，?三

【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的概念】

一般地，形如的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中X、y是變量，a、b、c

是常量，是二次項(xiàng)系數(shù)，—是一次項(xiàng)系數(shù)，—是常數(shù)項(xiàng).y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a#O）

也叫做二次困數(shù)的一般形式.

【知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)的取值范圍】

一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是，對實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題

有意義.

【題型1判斷二次函數(shù)的個(gè)數(shù)】

【例1】（2020秋?太康縣期末）下列函數(shù)：①y=3-島2；②產(chǎn)今③），=x（3-5x）；@y=（心）（1

-2r）,是二次函數(shù)的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-1]（2020?渦陽縣一模）已知函數(shù)：?y=2x-1：@y=-2?-I；③），=3.P-2?；@y=2?-x-

1；⑤其中二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【變式1-2]（2020秋?揚(yáng)州期末》下列函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)的有（)

①y=x⑵?1）；②y=③y=亨/一1；@y=a^+2x（a為任意實(shí)數(shù)）；?y=（x-1）2-x2；

@y=Vx24-x+1.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式1-3］（2020秋?廣漢市期中）觀察：①），=6/；②y=-3*+5；③），=200f+400,什200：④y=.d-2r；

⑤y=/—+3點(diǎn)@y=（x+l）2-?.這六個(gè)式子中，二次函數(shù)有________.（只填序號(hào)）

Ji4

【總結(jié)】

【題型2利用二次函數(shù)的概念求字母的值】

［ft2］（2020秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)y=（a+l）/a2+i|是關(guān)于x的二次函數(shù)，則。的值為.

【變式2-1］（2020秋?肅州區(qū)期末）如果函數(shù)），=（A-3）/2-合+2十七什］是二次函數(shù)，則A的值是.

【變式2-2］（2020秋?江油市校級(jí)月考）函數(shù)y=（/n2-3///+2）jp,+inx+i-in,則當(dāng)機(jī)=時(shí)，它為正

比例函數(shù)；當(dāng)〃?=時(shí)，它為一次函數(shù)；當(dāng)〃?時(shí)，它為二次函數(shù).

【變式2-3］（2020秋?新昌縣校級(jí)月考）已知函數(shù)尸（謁+加a2_2加+2.

（1）當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，求〃?的值；；

（2）當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時(shí)，求機(jī)的值..

【總結(jié)】

【題型3二次函數(shù)的一般形式】

【例3】（202（）秋?防城區(qū)期中）設(shè)出b,c分別是二次函數(shù)），=-/+3的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)

項(xiàng)，則（）

A.a=-I,/?=3,c=0B.a=-1,b=0,c=3

C.a--1,b=3,c=3D.a=1,〃=0,c=3

【變式3-1］（2020秋?遂溪縣校級(jí)期中）關(guān)于函數(shù)），=（50（）-100（40+x）,下列說法不正確的是（）

A.y是％的二次函數(shù)B.二次項(xiàng)系數(shù)是70

C.一次項(xiàng)是100D.常數(shù)項(xiàng)是20000

【變式3-2］（2020春?肇東市期末）已知二次函數(shù)），=15x+3）,則二次項(xiàng)系數(shù)a=，一次項(xiàng)系數(shù)〃

=,常數(shù)項(xiàng)c=.

【變式3-3]（2020秋?新昌縣期末）若二次函數(shù)），=（2.V-1）2+1的二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為〃，常

數(shù)項(xiàng)為c,則g-4ac0（填寫“>”或"V”或“=”）

【總結(jié)】

【知識(shí)點(diǎn)3根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)表達(dá)式的步驟】

（1）:找出實(shí)際問題中的已知量和變量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；

（2）：找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；

（3）：設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達(dá)式寫成用白變量表示

的函數(shù)的形式.

【題型4根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)（銷售類）】

【例4】（2020秋?研口區(qū)期中）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300

件.市場調(diào)查反映；如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件.則每星期售出商品的利潤y（單

位：元）與每件漲價(jià)x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=3（）（）-10xB.y=3（X）（60-40-x）

C.y=（300+10、）（60-40-x）D.y=（300-10、）（60-40+.v）

【變式4.1】（2020秋?朝陽期中）某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷?種銷售成本為40元的水產(chǎn)品.據(jù)市場分析，若按每

千克50元銷售，一個(gè)月能售500千克；銷售單價(jià)每漲2元，月銷售量就減少10千克.設(shè)每千克漲x

元，月銷售利潤為y元，則y與工的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.y=（50+.V-40）（500-IDx）B.y=（x+40）（10.V-500）

C.y=（x-40）[500-5（x-50）]D.y=（50+.V-40）（500-5x）

【變式4-2]（2020春?西湖區(qū)校汲月考）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如果售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣

出21（）件；如果售價(jià)超過50元但不超過80元，每件商品的售價(jià)每上漲I元，則每個(gè)月少賣1件，如果

售價(jià)超過80元后，若再漲價(jià)，則每漲1元每月少賣3件.設(shè)每件商品的售價(jià)x元（”為整數(shù)），每個(gè)月

的銷售量為），元.

（1）求），與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）設(shè)每月的銷售利潤為W,請直接寫出W與工的函數(shù)關(guān)系式.

\\\\\\\\\\\

墻

門

M7:-----1---X--------M

A.>*=-%2+26x(2Wx<52)

B.>>=-1X2+50X(2WX<52)

C.y=-X2+52A-(2^X<52)

D.產(chǎn)-#+27x-52(2WxV52)

【變式5-2](2()20秋?思明區(qū)校級(jí)期中)如圖，某小區(qū)進(jìn)行綠化改造，矩形花園的一邊由墻AB和一節(jié)籬

笆8川構(gòu)成，另三邊由籬笆AOEV圍成，籬笆總長40米，墻48長16米,若BF=x米，花園面積是S

平方米，則S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：___________.

「

D1---------------------]E

【變式5-3]（2020秋?東營期中）如圖，某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈,打算一面利用歸墻，其余各

面川木材圍成柵欄，該計(jì)劃用木材圍成總長24〃?的柵欄，設(shè)面積為s（〃『），垂直于墻的一邊長為X（?。?/p>

米.則s關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式：______（并寫出自變量的取值范圍）

/////〈///“//〈/

【總結(jié)】

【題型6根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)（幾何類）】

[例6]（2（）2（）?西湖區(qū)校級(jí)模擬）在RtAABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=Cy若a+h=5,則

RtAABC的面積S關(guān)于邊長c的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.B.C.D.S=：25+C2

4

【變式6-1］（202（）秋?翼城縣期末）如圖，在RtZXABO中，且人8=。8=3,設(shè)直線工=/截此三

角形所得的陰影部分的面積為S,則S與/之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

B.(0V/W3)

C.S=?(0V/W3)D.5=7-1(0V/W3)

【變式6-2］（2021?江夏區(qū)模擬）如圖，在△4/3。中，AB=AC,BC=6,石為AC邊上的點(diǎn)且AE=2EG

點(diǎn)D在BC邊上且滿足BD=DE,設(shè)BD=y,SMBC=X,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）

B-尸薪

4n

C,v=8lOA+2D->?=8lOr+2

【變式6-3］（2020秋?孝感期末）如圖，正方形43co的邊長是4,E是A8上一點(diǎn)，F(xiàn)是AQ延長線上的

一點(diǎn)，BE=DF.四邊形AEGF是矩形，矩形AEGF的面積y與8E的長x的函數(shù)關(guān)系是

【總結(jié)】

專題5.1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(一)一重難點(diǎn)題型

【蘇科版】

》孫必I先力

。加千一及三

【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的概念】

一般地，形如y=a%2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a#0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x、y是變量，a、b、c

是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).y=a%2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，aKO)也叫做二

次函數(shù)的一般形式.

【知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)的取值范圍】

一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題

有意義.

【題型1判斷二次函數(shù)的個(gè)數(shù)】

【例1】(2020秋?太康縣期末)下列函數(shù)：?y=3-V3x2；②產(chǎn)備@y=x(3-5x)；@y=(l+2x)(1

-2x),是二次函數(shù)的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】利用二次函數(shù)定義進(jìn)行分析即可.

【解答】解：?y=3-V3x2；③y=x(3-5.i)；?y=(l+2x)(1-2x),是二次函數(shù)，共3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是

否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)

系數(shù)不為。這個(gè)關(guān)鍵條件.

【變式1-1](2020?渦陽縣一模)已知函數(shù)：?y=2x-1；@y=-2A2-1；③)，=3--2r\④),=2^-

1；⑤+以+c,其中二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義：一般地，形如y=o?+云+c（〃、力、c是常數(shù)，〃W0）的函數(shù)，叫做二次函

數(shù)進(jìn)行分析即可.

【解答]解：②?是二次函數(shù)，共2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握丁=/+灰+。（〃、仄。是常數(shù)，aWO）是二次函

數(shù)，注意〃KO這一條件.

【變式1-2]（2020秋?揚(yáng)州期末）下列函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)的有（）

22

①y=x⑵-1）；@y=^；③y=苧/一1；④產(chǎn)蘇+2%（〃為任意實(shí)數(shù)）；@y=（x-1）-x；

@y=Vx2+x+1.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如＞，=⑥2+法+cQ、力、。是常數(shù)，。工0）的函數(shù)，叫做二次

函數(shù)進(jìn)行分析可得答案.

【解答】解：是關(guān)于X的二次函數(shù)的有①③，

故選:A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，

若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0

這個(gè)關(guān)鍵條件.

【變式1-3]（2020秋?廣漢市期中）觀察：①y=6/；②y=-3/+5；③），=200，+400.計(jì)200；④y=9-2x；

⑤、=/一。+3]?y=（x+l）2-?.這六個(gè)式子中，二次函數(shù)有________.（只填序號(hào)）

人乙

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得答案.

【解答】解：這六個(gè)式子中，一次困數(shù)有：①y=6/；②y=-3『+5；@y=2CX）x2+400.r+200；

故答案為：①②?.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

【題型2利用二次函數(shù)的概念求字母的值】

[ft2]（2020秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)y=（a+l）/a2+i|是關(guān)于x的二次函數(shù)，則。的值為.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得|/+“=2且a+lHO,求解即可.

【解答】解：???函數(shù)y=（a+l）/a2+il是關(guān)于x的二次函數(shù),

，|M+］|=2且C

解得。=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考杳的是二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的定義：一般地，形如,，=/+歷；+0（隊(duì)b、。是常數(shù),

,7^0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

【變式2-1］（2020秋?肅州區(qū)期末）如果函數(shù)尸（八3）*』+2+&+［是二次函數(shù)，則4的值是.

【分析】利用二次函數(shù)定義可得爐-34+2=2,且女?3工0,再解ILH的值即可.

【解答】解：由題意得：F?3A+2=2,且k-3W0,

解得:k=0,

故答案為：0.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如,=aF+/zx+c"、/八c是常數(shù)，。三0）的函數(shù),

叫做二次函數(shù).

【變式2-2］（2020秋?江油市校級(jí)月考）函數(shù)y=Cm2-3/?+2）X2+//LV+1-m,則當(dāng)/〃=時(shí)，它為正

比例函數(shù)；當(dāng)〃?=時(shí)，它為一次函數(shù)；當(dāng)機(jī)時(shí)，它為二次函數(shù).

【分析】首先解方程，進(jìn)而利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義得出答案.

【解答】解：?3〃?+2=0,

則（/??-1）（/n-2）=0,

解得：〃?1=1,"72=2,

故〃岸1且機(jī)W2時(shí)，它為二次函數(shù)：當(dāng)加=1或2時(shí)，它為一次函數(shù)，當(dāng)加=1時(shí)，它為正比例函數(shù)；

故答案為：1;1或2；〃?W1且

【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義，正確解方程是解題關(guān)鍵.

【變式2-3］（2020秋?新昌縣校級(jí)月考）已知函數(shù)尸（〃P+M%匠一2m+2.

（1）當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，求機(jī)的值；；

（2）當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時(shí)，求〃?的值..

【分析】（1）這個(gè)式子是二次函數(shù)的條件是：毋?2〃?+2=2并且病+小工0；

（2）這個(gè)式子是一次函數(shù)的條件是：川-26+2=1并且〃P+〃?W0.

【解答】解：⑴依題意，得nr-2〃計(jì)2=2,

解得m=2或〃?=0；

又因rrr+m^O,

解得mWO或-1；

因此加=2.

（2）依題意，得謂-222=1

解得m=l;

又因加2+〃?WO,

解得m#0或/〃#-I；

因此m=1.

【點(diǎn)評】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義與一般形式.

【題型3二次函數(shù)的一般形式】

【例3】（2020秋?防城區(qū)期中）設(shè)小b,c?分別是二次函數(shù)y=-7+3的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)

項(xiàng)，貝|J（）

A.a=-1,0=3,c=0B.a=-\,〃=0,c=3

C.a=-i,b=3,c=3D.a=1,〃=0,c=3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如），="2+辰+c（人力、。是常數(shù)，aWO）的函數(shù)，叫做二次

函數(shù).其中r），是變量，〃、4、c是常量，。是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù),。是常數(shù)項(xiàng)作答.

【解答】解：二次函數(shù)y=?f+3的二次項(xiàng)系數(shù)是〃=?1,一次項(xiàng)系數(shù)是〃=0,常數(shù)項(xiàng)是c=3；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是注意在找二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)，不要

漏掉符號(hào).

【變式3-1］（2020秋?遂溪縣校級(jí)期中）關(guān)于函數(shù)），=（500-10A）（40+X）,下列說法不正確的是（）

A.y是x的二次函數(shù)B.二次項(xiàng)系數(shù)是-10

C.一次項(xiàng)是100D.常數(shù)項(xiàng)是20000

【分析】根據(jù)形如丁=。?+&+°是二次函數(shù)，可得答案.

【解答】解：y=-10?+100^+20000,

A、y是x的二次函數(shù)，故A正確；

B、二次項(xiàng)系數(shù)是-10,故8正確；

C、一次項(xiàng)是100A-,故C錯(cuò)誤；

D、常數(shù)項(xiàng)是20000,故。正確;

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考杳了二次函數(shù)的定義，化成二次函數(shù)的一般式是解題關(guān)鍵.

【變式3-2］（2020春?肇東市期末）已知二次函數(shù)），=1-5/3/，則二次項(xiàng)系數(shù)。=,一次項(xiàng)系數(shù)8

=,常數(shù)項(xiàng)c=.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得答案.

【解答】解：二次函數(shù)y=l-5x+3/，則二次項(xiàng)系數(shù)。=3,一次項(xiàng)系數(shù)〃=-5,常數(shù)項(xiàng)c=l,

故答案為：3,-5,1.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-3］（2020秋?新昌縣期末）若二次函數(shù)y=（lv-1）2+1的二次項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為從常

數(shù)項(xiàng)為c,則b2-4ac0（填寫“>”或“<”或“二”）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出a,b,c,的值，再代入戶-4〃,計(jì)算，判斷與0的大小即可.

【解答】解：*.>=（2A-1）2+1,

，a=4,b=-4,c=2,

.,.序-4〃。=16-4X4X2=-16<0,

故答案為<.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義以及各項(xiàng)系數(shù)，掌握a,b,。的確定是解題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)3根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)表達(dá)式的步驟】

（1）理解題意:找出實(shí)際問題中的己知量和變量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；

（2）分析關(guān)系:找到已知量和變量之間的關(guān)系，列出等量關(guān)系式；

（3）列函數(shù)表達(dá)式:設(shè)出表示變量的字母，把等量關(guān)系式用含字母的式子替換，將表達(dá)式寫成用自變量表

示的函數(shù)的形式.

【題型4根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)（銷售類）】

【例4】（2020秋?研口區(qū)期中）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300

件.市場調(diào)查反映；如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)I元，每星期要少賣出10件.則每星期售出商品的利潤），（單

位：元）與每件漲價(jià)大（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=300-10xB.y=3（X）（60-40-x）

C.>'=（300+lO.v）（60-40-x）D.y=（300-10x）（60-40+x）

【分析】由每件漲價(jià)x元，可得出俏售每件的利潤為（60?40+K）元，每星期的銷售量為（300-IQv）,

再利用每星期售出商品的利潤=銷售每件的利潤X每星期的俏售量，即可得出結(jié)論.

【解答】解：???每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件，每件洸價(jià)x元，

???銷售每件的利潤為(60-40-x)元，每星期的銷售量為(300-10.r),

每星期售出商品的利潤丁=C300-10A)(60-40+x).

故選：

【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與工之間的函數(shù)

關(guān)系式.

【變式4-1](2020秋?朝陽期中)某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品.據(jù)市場分析，若按每

千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克；銷售單價(jià)每漲2元，月銷售量就減少1()千克.設(shè)每千克漲x

元，月銷售利潤為)，元，則)，與x的函數(shù)關(guān)系式為()

A.y=(50+X-40)(500-10x)B.y=(.r+40)(10x-500)

C.>'=(x-40)1500-5(x-50)]D.y=(50+.r-40)(500-5x)

【分析】直接利用銷量X每千克利澗=總利澗，得出函數(shù)關(guān)系式即可.

【解答】解：設(shè)每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與入?的函數(shù)關(guān)系式為：

y=(50+X-40)(500-5x).

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，正確表示出銷量是解題關(guān)鍵.

【變式4-2](202()春?西湖區(qū)校級(jí)月考)某商品的進(jìn)價(jià)為每件4()元，如果售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣

出210件；如果售價(jià)超過50元但不超過80元，每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣1件，如果

售價(jià)超過80元后，若再漲價(jià)，則每漲1元每月少賣3件.設(shè)每件商品的售價(jià)x元(%為整數(shù))，每個(gè)月

的銷售量為)，元.

(1)求)，與x的函數(shù)關(guān)系式并更接寫出自變量x的取值范圍；

(2)設(shè)每月的銷售利潤為W,請直接寫出卬與x的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】(1)當(dāng)售價(jià)超過50元但不超過80元，每件商品的售價(jià)每上漲I元，則每個(gè)月少賣1件，)，=

260-x,500W80,當(dāng)如果售價(jià)超過80元后，若再漲價(jià)，則每漲1元每月少賣3件，y=420-3x,80

VxWl40,

(2)由利潤=(售價(jià)-成本)X銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，

【解答】解：(1)當(dāng)50WxWB0時(shí),y=2\0-(x-50),艮]y=260-x,

當(dāng)80VxW140時(shí)，>'=210-(80-50)-3(x-80),即y=420?3%.

Jy=260-x(50<x<80)

'(y=4ZU-3x(80<x<140)：

（2）由題意可得,

W=-A300X-10400（50Wx<80）,

W=-3?+540.v-16800（80<.v<140）.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2020?諸城市一模）某廠生產(chǎn)某種零件，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂貨，提供了如下信息：

①每個(gè)零件的成本價(jià)為40元；

②若訂購量不超過100個(gè)，出廠價(jià)為60元；若訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂1個(gè)，訂購的全部零件的出

廠單價(jià)就降低0.02元；

③實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）當(dāng)一次訂購量為個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為51元.

（2）設(shè)一次訂購量為x個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為F元，寫出F與x的函數(shù)表達(dá)式.

（3）當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個(gè)，利潤又是多少元？

（工廠售出一個(gè)零件的利潤=實(shí)際出廠價(jià)-成本）.

【分析】（I）由題意設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為x個(gè)，則x=

100+華浮=550進(jìn)而得出答案；

（2）前100件單價(jià)為P,當(dāng)進(jìn)貨件數(shù)大于等于550件時(shí)，P=51,則當(dāng)1（）0V.EV55（）時(shí)，0=60-0.02（x

-100）=62-4得到。為分段函數(shù)，寫出解析式即可；

（3）設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為L元，表示出L與x的函數(shù)關(guān)系式，然后令x

=500,1000即可得到對應(yīng)的利潤.

【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí).，一次訂購量為x個(gè)，則x=100+耳需=550,

根據(jù)實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元，

因此，當(dāng)一次訂購量為大于等于550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元.

故答案為:2550；

（2）當(dāng)OVxWlOO時(shí)，P=60

當(dāng)100?550時(shí),0=60-002（x-100）=62-余

OV

當(dāng)x》550時(shí)，P=51

60(0<x<100)

62-^(100<x<550)；

(51(550<x)

（3）設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為L元，

（20x（0<100）

則L-（P-40）x={Yz

I22%-^（100<x<500）

當(dāng)x=500時(shí)，L=22X500-=6000（元）；當(dāng)x=1000時(shí)，L=（51-40）X1000=11000（元），

因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購100（）個(gè)，利潤是11000

元.

【點(diǎn)評】本小題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分段函數(shù)的應(yīng)用，注意利用自變量取值范圍得出函數(shù)解

析式是解題關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)（面積類）】

［例5］（2020?平陽縣一模）某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），并

在如圖所示位置留2機(jī)寬的門，已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻（不包括門）的總長度為50%設(shè)飼養(yǎng)

室長為X”?，占地面積為"〃2,則關(guān)于工的函數(shù)表達(dá)式是（）

A.y=-X2+5O.VB.）=一袋+24%

1A19

C.y=—&尸+25xD.y=—之r+26工

【分析】根據(jù)題意表示出矩形的寬，再利用矩形面積求法得出答案.

【解答】解：設(shè)飼養(yǎng)室長為X”!，占地面積為

則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：y=x*~（50+2-x）=-1.V2+26A-.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確表示出矩形的寬是解題關(guān)鍵.

【變式5-1］（2020秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，某農(nóng)場擬建?間矩形奶牛飼養(yǎng)室，打算一邊利用房屋現(xiàn)

有的墻（墻足夠長），其余三邊除大門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50〃?，門寬為2,〃.若飼養(yǎng)室長為

工小，占地面積為則關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為()

\\\\\\\\\\\

墻

7門1-----------------------

M:----------X-----------M

A.y=-#+26x(2Wx<52)

B.y=—ix2+50x(2W/V52)

C.y=?』+52J(2《xV52)

D.y=-1x2+27x-52(2?52)

【分析】直接根據(jù)題意表示出垂直與墻飼養(yǎng)室的一邊長，再利用矩形面枳求法得出答案.

【解答】解：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y=i(50+2-x)x

=-iv2+26.v(2WxV52).

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系，正確表示出另一邊長是解題關(guān)鍵.

【變式5-2](2020秋?思明區(qū)校級(jí)期中)如圖，某小區(qū)進(jìn)行綠化改造，矩形花園的一邊由墻/W和一節(jié)籬

笆3F構(gòu)成，另三邊由籬笆4OE廠圍成，籬笆總長40米，墻A8長16米，若4F=x米，花園面積是S

平方米，則S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：.

【分析】根據(jù)題意分別表示出長方形的長與寬進(jìn)而得出答案.

40—%—16—3

【解答】解：由題意可得：5=(16+x)-------------------

=(16+x)(12-x)

=-『-4x+192.

故答案為：5=-A2-4X+192.

【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題抽象出二次函數(shù)關(guān)系式，正確表示出矩形的長與寬是解題關(guān)鍵.

【變式5-3](2020秋?東營期中)如圖，某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各

面用木材圍成柵欄，該計(jì)劃用木材圍成總長24〃?的柵欄，設(shè)面積為s（〃』），垂直于墻的一波長為

米.則s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：（并寫出自變量的取值范圍）

【分析】先根據(jù)柵欄的總長度24表示出三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24-4x）,再根據(jù)長方形

為面積公式表示即可得到s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；找到關(guān)于/的兩個(gè)不等式：24-4￡>0,心>0,解之即

可求出x的取值范圍.

【解答】解：根據(jù)題意可知，三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24-44），

則：s=（24-4.r）x=-4A2+24X

由圖可知：24?4x>0,x>0,

所以x的取值范圍是0VxV6,

故答案為：s=-4X2+24X（0<X<6）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了結(jié)合實(shí)際問題列二次函數(shù)解析式.本題中主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有：二次函數(shù)的表

示方法，自變量取值范圍的解法，找到關(guān)于x的不等式.

【題型6根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)（幾何類）】

[例6]（2020?西湖區(qū)校級(jí)模擬）在RtA4BC中，NC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,若a+b=5,則

RtAABC的面積S關(guān)于邊長c的函數(shù)關(guān)系式為（.）

AJ25-c225-c2C.S=^^

A.5=-4—B.S==^-D.5=半

【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式得出S與c的關(guān)系.

【解答】解：VZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,

:./+后=d,

???□△ABC的面積S,

S=^ab,

*.*?+/?=5>

/.Ca+b）2=25,

：.a-+b-+2ab=25,

?32+45=25,

25-c2

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，正確掌握直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式6-1］（2020秋?翼城縣期末）如圖，在RtZVlB。中，ABVOB,W.AB=OB=3,設(shè)直線x=f截此三

角形所得的陰影部分的面積為S,則S與,之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.S=t(0VW3)B.5=暴(0VW3)

C.S=r(0V/W3)D.S=1r-1(0</^3)

【分析】Rt^AOB中，AB_LO8,且48=08=3,所以很容易求得NAO8=NA=45°；再由平行線的性

質(zhì)得出NOCO=NA,即N4OD=NOCQ=45°,進(jìn)而證明。。=。。=/；最后根據(jù)三角形的面積公式，

解答出S與l之間的函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：如圖所示，

?.?RiZXAOB中，ABLOB,且人8=08=3,

???NAO3=N4=45°,

：,CD//ABf

：.Z0CD=ZA,

???NAOO=NOCO=45°,

：,OD=CD=t,

?*.S^OCD=IXODXCD

=1r(0V/W3),即S=1(0V/W3).

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的有關(guān)面積的等量關(guān)

系，難度不大.

【變式6-2］（2021?江夏區(qū)模擬）如圖，在△A8C中，AB=AC,BC=6,E為AC邊上的點(diǎn)且AE=2EC,

點(diǎn)。在BC邊上且滿足設(shè)SMBC=X,則『與式的函數(shù)關(guān)系式為（）

4。5

B-y=810r+2

U尸焉82D?產(chǎn)薪f+2

【分析】過A作人過？作EP_LBC,則A，〃EP,由此得出關(guān)于x和3，的方程，即可得出關(guān)系式.

【解答】解：過A作A〃J_4C,過￡作￡。3_5。，則A〃〃七戶,

:.HC=3,PC=\,BP=5,PE=

■:BD=DE=y,

???在RtZ\EOP中，＞-2=(5-y)2+PE2,

???x=6AH+2=34H,

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分

析，難度適中.

【變式6-3](2020秋?孝感期末)如圖，正方形ABCD的邊長是4,E是48上一點(diǎn)，尸是AD延長線上的

一點(diǎn)，BE=DF.四邊形AEG尸是矩形，矩形AEG/的面積y與8E的長x的函數(shù)關(guān)系是.

【分析】設(shè)3E的長度為x(0&V4),則AE=4-x,4尸=4+弟根據(jù)矩形的面積即可得出)，關(guān)于x的

函數(shù)關(guān)系式，此題得解.

【解答】解：設(shè)8E的長度為x(0WxV4),則AE=4?x,4/=4+x,

.\y=AE*AF=(4-x)(4+x)=16-，.

故答案為：y=16-/(0<x<4).

【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)矩形的面積找出)，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解

題的關(guān)鍵.

專題5.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）一重難點(diǎn)題型

【蘇科版】

》孫必I先力

”片蘆，?三

【知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的配方法】

y=ax2+bx+c(aH0)

=Q(/++§①提取二次項(xiàng)系數(shù)：

="卜+"+恁)2-篇②配方：加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方;

=小+獷+甘③整理：前三項(xiàng)化為平方形式，后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng);

=(+獷+鏟④化簡：去掉中括號(hào).

二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=以2+尿+c（a工0）配方成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x++等泮，由此得到二次函數(shù)對

稱軸為頂點(diǎn)坐標(biāo)為心‘與聲

【題型1二次函數(shù)的配方法】

【例I】用配方法將下列函數(shù)化成），=〃（X+/?）2+k的形式，并指出拋物線的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

（1）y=-iv2+6x-17；

（2）y=（2-x）（l+2x）.

【解題思路】（1）利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把

一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

（2）化為一般式后，利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，

把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.

【解答過程】解：(1)y=-1v2+6x-17=(/-⑵+36：+18-17=(x-6)2+1,

,:a=一；<0,

，開口向下，

對稱軸為直線x=6,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1)；

902

-^285

(2))，=(2-x)(\+2x)=-2X2+3X+2=84

Va=-2<0,

，開口向下，

o325

對稱軸為直線戶弓，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(：，—).

,48

【變式1-1】用配方法確定下列函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，

(1)y=2?-12x+3

(2)y=-5/+80x-319

(3)y=2(T)(X-2)

(4)y=3(2x+l)(2-A)

【變式1-2］用配方法把下列函數(shù)化成)，=a(x?〃)2的形式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向及對

稱軸.

(1)y=4/-4x+l；

(2)y=J/+2x+2；

132L

⑶y=—□-V+^x/Bx-1.

【變式1-3］利用配方法，把下列函數(shù)寫成)，=〃(x-〃)2+4的形式，并寫出它們圖象的開口方向、對稱軸

和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(1)y=~/+6x+l

(2)y=2AT-3x+4

(3)y=-

(4)y=jr+px+q.

【知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】

利用配方法將二次函數(shù)），"/+取+c化為頂點(diǎn)式j(luò)，”（x-4+-確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，

然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)（0,c）、以及（0,c）

關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（2人c）、與k軸的交點(diǎn)（內(nèi)，0）,（與，0）（若與x軸沒有?交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸

對稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與X軸的交點(diǎn)，與J?軸的交點(diǎn).

【題型2二次函數(shù)的五點(diǎn)繪圖法】

【例2】（2020秋?番禺區(qū)校級(jí)期中）已知二次函數(shù).\，=/-以-3,在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的

【解題思路】求出與大軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用配方法把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式找出頂點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)

的對稱軸直線，即可作出大致圖象；

【解答過程】解：當(dāng)尸0時(shí)，w?2"3=0,

解得X1=-1,X2=3,

???與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（7,0）,（3,0）,

又?；），=7-2x-3=（x-1）2-4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-4）,對稱軸是直線x=l,

圖象如圖所示:

【變式2-1]（2020秋?虹口區(qū)期末）已知二次函數(shù)的解析式為尸分2?2x.

（1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為），=，，（A+W）2+k的形式；

（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系X。）'內(nèi)描點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象.

???

X…__________-----------—------------

y…???

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【變式2?2】（2020秋?岑溪市期中）已知二次函數(shù)），=?f+4x.

（1）下表是y與人的部分對應(yīng)值，請補(bǔ)充完整；

X???01234

???

y0———0

（2）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出該函數(shù)圖象;

（3）根據(jù)圖象，寫出當(dāng)），VOE寸，x的取值范圍.

【變式2-3］（2020秋?渾源縣期末）已知二次函數(shù)），=『-4%+3.

（1）將二次函數(shù)表達(dá)式），=/-4x+3化成），=。（廣力）2+人?的形式，并直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）完成下列表格并在如圖所示的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出該函數(shù)的大致圖象;

01234

【知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】

①二次項(xiàng)系數(shù)總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，同的大小決定

開口的大小.

②一次項(xiàng)系數(shù)8：在。確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置，對稱軸x=-2在y軸左邊則ab>0,

2a

在y軸的右側(cè)則。6