新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一部分基醇點自主練透第1講選擇填空題的特殊解法學(xué)案文新人教A版

PAGE10-第1講選擇、填空題的特別解法方法一特值(例)解除法方法詮釋運用前提運用技巧常見問題特例法是依據(jù)題設(shè)和各選項的詳細(xì)狀況和特點，選取滿意條件的特別的數(shù)值、特別的點、特別的例子、特別的圖形、特別的位置、特別的函數(shù)、特別的方程、特別的數(shù)列等，針對各選項進(jìn)行代入比照，結(jié)合解除法，從而得到正確的答案．滿意當(dāng)一般性結(jié)論成立時，對符合條件的特別化狀況也肯定成立．找到滿意條件的合適的特別化例子，或舉反例解除，有時甚至須要兩次或兩次以上的特別化例子才可以確定結(jié)論．求范圍、比較大小、求值或取值范圍、恒成立問題、隨意性問題等．而對于函數(shù)圖象的判別、不等式、空間線面位置關(guān)系等不宜干脆求解的問題，常通過解除法解決.真題示例技法應(yīng)用(2024·高考全國卷Ⅱ)若a>b，則()A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0 D．|a|>|b|取a＝－1，b＝－2，則a>b，可驗證A，B，D錯誤，只有C正確．答案：C(2024·高考全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)在[－π，π]的圖象大致為()取特別值，x＝π，結(jié)合函數(shù)的奇偶性進(jìn)行解除，答案選D.答案：D(2024·高考全國卷Ⅲ)記不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域為D.命題p：?(x，y)∈D，2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面給出了四個命題①p∨q②綈p∨q③p∧綈q④綈p∧綈q這四個命題中，全部真命題的編號是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④取x＝4，y＝5，滿意不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且滿意2x＋y≥9，不滿意2x＋y≤12，故p真，q假．所以①③真，②④假．答案：A真題示例技法應(yīng)用(2024·高考全國卷Ⅰ)右圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3不妨設(shè)三角形ABC為等腰直角三角形，過A作AO垂直BC于O，則區(qū)域Ⅰ，Ⅱ的面積相等．答案：A(2015·高考全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5 B．7C．9 D．11取常數(shù)列an＝1代入計算．答案：A1．計算eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))cos2α,2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝()A．－2 B．2C．－1 D．1解析：選D.取α＝eq\f(π,12)，則原式＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,12)))cos\f(π,6),2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,12))))＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),2),2×\f(3,4))＝1.2．如圖所示，兩個不共線向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為θ，M，N分別為OA與OB的中點，點C在直線MN上，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,8)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)解析：選B.特別值法：當(dāng)θ＝90°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1時，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得x＋y＝eq\f(1,2)，所以x2＋y2的最小值為原點O到直線x＋y＝eq\f(1,2)的距離的平方，易得x2＋y2≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8).3．已知E為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若過點E的直線分別交AB，AC于P，Q兩點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝nb，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝()A．3 B．4C．5 D.eq\f(1,3)解析：選A.由于題中直線PQ的條件是過點E，所以該直線是一條“動”直線，所以最終的結(jié)果必定是一個定值．故可利用特別直線確定所求值．法一：如圖1，PQ∥BC，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，此時m＝n＝eq\f(2,3)，故eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3，故選A.法二：如圖2，取直線BE作為直線PQ，明顯，此時eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，故m＝1，n＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋ax，x≤1，,a2x－7a＋14，x>1.))若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，則實數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)<2 B．3<a<5C．a(chǎn)<2或3<a<5 D．2≤a≤3或a≥5解析：選C.當(dāng)a＝0時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2，x≤1，,14，x>1，))f(－1)＝f(1)＝－1，故a＝0符合題意，解除B，D選項．當(dāng)a＝4時，若x≤1，則f(x)≤3，若x>1，則f(x)>2，明顯存在x1≤1，x2>1，滿意f(x1)＝f(x2)，故a＝4符合題意，解除A選項．故選C.方法二驗證法方法詮釋運用前提運用技巧常見問題驗證法是把選擇支代入題干中進(jìn)行檢驗，或反過來從題干中找合適的驗證條件，代入各選擇支中進(jìn)行檢驗，從而可否定錯誤選擇支而得到正確選擇支的一種方法.選項中存在唯一正確的選擇支.可以結(jié)合特例法、解除法等先否定一些明顯錯誤的選項，再選擇直覺認(rèn)為最有可能的選項進(jìn)行驗證，這樣可以快速獲得答案.題干信息不全，選項是數(shù)值或范圍，正面求解或計算煩瑣的問題等.真題示例技法應(yīng)用(2024·高考全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則()A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4當(dāng)sinx＝0，cosx＝1時，函數(shù)值為4，所以A，C錯；把x＋π代入函數(shù)驗證可得f(x＋π)＝f(x)，說明D錯，故選B.答案：B(2024·高考全國卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)函數(shù)y＝lnx的圖象過定點(1，0)，而(1，0)關(guān)于直線x＝1的對稱點還是(1，0)，將(1，0)代入各選項，驗證可知只有B滿意，故選B.答案：B(2024·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))若關(guān)于x的方程f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a(a∈R)恰有兩個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1}D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1}選取四個選項的差異值a＝1，a＝eq\f(5,4)代入驗證．答案：D1．過點A(3，－2)且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓方程為()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1解析：選A.將點A(3，－2)代入選擇支得A正確．2．函數(shù)f(x)＝xex＋lgx－10的零點所在的區(qū)間為()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：選B.f(x)＝xex＋lgx－10在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)<0，f(2)>0，所以函數(shù)f(x)＝xex＋lgx－10的零點所在的區(qū)間為(1，2)，故選B.3．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(其中ω>0)的圖象的一條對稱軸方程為x＝eq\f(π,12)，則ω的最小值為()A．2 B．4C．10 D．16解析：選B.若ω＝2，當(dāng)x＝eq\f(π,12)時，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，不符合題意；若ω＝4，當(dāng)x＝eq\f(π,12)時，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(π,12)＋\f(π,6)))＝1，符合題意．所以ω的最小值為4.4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，2) B．[－1，0]C．[1，2] D．[1，＋∞)解析：選C.若a＝2時，f(x)＝2|x－2|在(－∞，1]上單調(diào)遞減，f(x)≥f(1)．當(dāng)x>1時，f(x)＝x＋1>2，所以f(1)是f(x)的最小值，解除A、B.若a＝3時，f(x)＝2|x－3|在(－∞，1]上單調(diào)遞減，f(x)≥f(1)＝4.當(dāng)x>1時，f(x)＝x＋1>2.不滿意f(1)是f(x)的最小值，解除D.方法三估算法[學(xué)生用書P]方法詮釋運用前提運用技巧常見問題由于選擇題供應(yīng)了唯一正確的答案，解答又不需供應(yīng)過程，因此可以通過揣測、合情推理、估算而獲得答案．這樣往往可以削減運算量，加強思維的層次．估算省去了許多推導(dǎo)過程和困難的計算，節(jié)約了時間，從而顯得快捷.針對一些困難的、不易精確求值的與計算有關(guān)的問題．常與特值法結(jié)合起來運用.對于數(shù)值計算常采納放縮估算、整體估算、近似估算、特值估算等，對于幾何體問題，常進(jìn)行分割、拼湊、位置估算.求幾何體的表面積、體積，三角函數(shù)的求值，求雙曲線、橢圓的離心率，求參數(shù)的范圍等.真題示例技法應(yīng)用(2024·高考全國卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則()A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a因為a＝log20.2<0，b＝20.2>1，0<c＝0.20.3<1，所以b>c>a.故選B.答案：B(2024·高考全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,5)sin(x＋eq\f(π,3))＋cos(x－eq\f(π,6))的最大值為()A.eq\f(6,5)B．1C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,5)當(dāng)x＝eq\f(π,6)時，f(x)＝eq\f(6,5)大于1，故選A.答案：A(2024·高考全國卷Ⅱ)若a＞1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞)B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2))D．(1，2)用a表示離心率e的表達(dá)式，依據(jù)a>1，估算e的取值范圍．答案：C(2024·高考全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)等邊三角形ABC的面積為9eq\r(3)，明顯球心不是此三角形的中心，所以三棱錐體積最大時，三棱錐的高h(yuǎn)∈(4，8)，所以eq\f(1,3)×9eq\r(3)×4<V三棱錐D-ABC<eq\f(1,3)×9eq\r(3)×8，即12eq\r(3)<V三棱錐D-ABC<24eq\r(3)，故選B.答案：B1．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(7),3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析：選D.因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4,3).因為e＝eq\f(c,a)>eq\f(b,a)，所以e>eq\f(4,3).故選D.2．若0<α<β<eq\f(π,4)，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，則()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)b<1 D．a(chǎn)b>2解析：選A.若α→0，則sinα＋cosα＝a→1；若β→eq\f(π,4)，則sinβ＋cosβ＝b→eq\r(2).結(jié)合選項分析選A.3．某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖所示)，它由四個腰長為1，頂角為α的等腰三角形和一個正方形組成，則該八邊形的面積為()A．2sinα－2cosα＋2B．sinα－eq\r(3)cosα＋3C．3sinα－eq\r(3)cosα＋1D．2sinα－cosα＋1解析：選A.當(dāng)頂角α→π時，八邊形幾乎是邊長為2的正方形，面積接近于4，四個選項中，只有A符合，故選A.4．P為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為()A．a(chǎn) B．bC.eq\r(a2＋b2) D．a(chǎn)＋b－eq\r(a2＋b2)解析：選A.如圖，點P沿雙曲線向右頂點無限接近時，△PF1F2的內(nèi)切圓越來越小，直至“點圓”，此“點圓”應(yīng)為右頂點，則內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為a，故選A.方法四構(gòu)造法[學(xué)生用書P]方法詮釋運用前提運用技巧常見問題構(gòu)造法是一種創(chuàng)建性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的發(fā)散、類比、轉(zhuǎn)化思想．利用已知條件和結(jié)論的特別性構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、方程或幾何圖形等，從而簡化推理與計算過程，使較困難或不易求解的數(shù)學(xué)問題得到簡捷解答．構(gòu)造法來源于對基礎(chǔ)學(xué)問和基本方法的積累，須要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，主動聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)類似的問題中找到構(gòu)造的靈感.構(gòu)造的函數(shù)、方程、圖形等要合理，不能超越原題的條件限制.對于不等式、方程、函數(shù)問題常構(gòu)造新函數(shù)，對于不規(guī)則的幾何體常構(gòu)造成規(guī)則的幾何體處理.比較大小、函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題、不規(guī)則的幾何體問題等.真題示例技法應(yīng)用(2024·高考全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)在長方體ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1一側(cè)再補添一個完全一樣的長方體ABC2D2-A1B1B2A2，求△AB2D1中∠D1AB2的余弦值即可．答案：C(2024·高考全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③假如α∥β，m?α，那么m∥β.④假如m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫全部正確命題的編號)構(gòu)造正方體，將正方體中的有關(guān)棱與面看作問題中的有關(guān)直線與平面，逐一推斷．答案：②③④續(xù)表真題示例技法應(yīng)用(2015·高考全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)依據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)，對g(x)求導(dǎo)再解．答案：A(2015·高考全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.由an＋1＝Sn＋1－Sn，將原等式變形，再構(gòu)造等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))求解．答案：－eq\f(1,n)1．已知數(shù)列{an}的前n項和為