數(shù)學 第四冊（五年制高職） 課件 2.3-17.3.4 直線與平面所成的角

17.3.4直線與平面所成的角五年制高等職業(yè)教育公共基礎課程教材《數(shù)學（第三冊）》問題探究

我國是一個有著悠久造橋歷史的國家，也是一個擁有世界頂級造橋技術的國家.現(xiàn)在外出旅游到處可見各式各樣美輪美奐的斜拉橋，每座斜拉橋都有很多根斜拉索，這些斜拉索相對于橋面的傾斜程度明顯不同，那么，如何表示這些不同的傾斜程度呢？

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形，如果一條直線與一個平面相交且不垂直，那么就稱這條直線為這個平面的斜線.

問題探究

如圖17-42，在長方體

中，直線BA1,BD1，是平面ABCD的兩條斜線，如何表示它們相對于平面的傾斜程度？通過變換角度觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，斜線BA1在平面ABCD內(nèi)的正投影為直線BA,用BA和BA1的夾角來表示斜線BA1相對于平面ABCD的傾斜程度是合理的（這個角是斜線BA1與平面ABCD內(nèi)所有過點B的直線的夾角中最小的角）.同樣的，斜線BD1在平面ABCD內(nèi)的正投影為直線BD,用BD和BD1的夾角來表示斜線相對于平面ABCD的傾斜程度是合理的，如圖17-43.圖17-42圖17-43問題探究

斜線與平面的交點稱為斜足.過斜線上一點（除斜足外）向平面引垂線，過垂足與斜足的直線稱為斜線在這個平面內(nèi)的射影（正投影）.如圖17-44，直線

為平面

的斜線，點A為斜足，直線PO為平面

的垂線，點O為垂足，直線OA就是斜線PA在平面

內(nèi)的射影.線段PO的長稱為點到平面的距離.圖17-44抽象概括一般地，平面的一條斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與這個平面所成的角.特別地，若一條直線與一個平面垂直，則稱它們所成的角是直角；若一條直線與一個平面平行或在這個平面內(nèi)，則稱它們所成的角是0°.因此，直線與平面所成的角的取值范圍是.抽象概括

容易證明，如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線上的任意一點到這個平面的距離為定值，這個定值稱為這條直線到這個平面的距離.

例題講析例5如圖17-45,在棱長為1的正方體中，求：（1）直線與底面所成角的大?。唬?）直線到平面ADD1A1的距離.圖17-45合作交流從平面外一點向平面引若干斜線段（指以該點和斜足為短線的線段），如果斜線段的長相等，那么它們在平面內(nèi)的射影長相等嗎？思維拓展虎丘塔，又稱云巖寺塔，是馳名中外的宋代古塔，建于公元959—961年，比意大利著名的比薩斜塔早建200多年，被尊稱為“中國第一斜塔”.該塔為仿樓閣式磚木結構，共七層，高47.5.從明代起，虎丘塔開始向西北傾斜，現(xiàn)塔頂中心偏離底層中心2.34，求該塔與地面所成角的大?。ň_到0.1°）.課堂練習1.如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？2.已知斜線段的長是它在平面上射影長的倍，求斜線段所在直線與該平面所成的角.3.如圖，長方體中

，

，

，

，求：（1）直線

與平面