2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版八年級(jí)同步經(jīng)典題精練之矩形

第23頁(yè)（共23頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版八年級(jí)同步經(jīng)典題精練之矩形一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?長(zhǎng)春期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若OA＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2024秋?順德區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上．若△EBC是等邊三角形，則∠AEB的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2024秋?中原區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AD＝8，OA＝5，則AB的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．114．（2024秋?高州市期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P在斜邊AB上（不與A、B重合），過P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，連接EF．隨著P點(diǎn)在邊AB上位置的改變，則EF長(zhǎng)度的最小值．（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．35．（2024秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交邊AD于點(diǎn)E，若AE＝2.5，則DG的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3二．填空題（共5小題）6．（2024秋?儀征市期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是矩形．7．（2024秋?江陰市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交邊AD于點(diǎn)E，若AE＝2.5，則DG的長(zhǎng)為．8．（2024秋?句容市期末）矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE⊥ED，F(xiàn)為AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足EF＝AE，連結(jié)DF交BC于點(diǎn)G，若AB＝2，BE＝1，則GC的長(zhǎng)為．9．（2024秋?紫金縣期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝20°，則∠AOB＝°．10．（2024秋?揚(yáng)州期末）如圖，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，以AB邊的長(zhǎng)為半徑作弧，交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊CD于點(diǎn)F，若CF＝1，DE＝3，則AD的長(zhǎng)為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?連州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若BC＝12，CE＝8，求EF的長(zhǎng)．12．（2024秋?西安期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q是邊AD上任意一點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．求△QPC的面積y（cm2）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（s）之間的關(guān)系式．13．（2024秋?府谷縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥AC，交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，EF＝AF．求∠OFA的度數(shù)．14．（2024秋?秦都區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是?ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE交CD于點(diǎn)F．連接BF交AC于點(diǎn)G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE．（1）求證：?ABCD是矩形；（2）若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，求∠ABE的度數(shù)．15．（2024秋?茂南區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版八年級(jí)同步經(jīng)典題精練之矩形參考答案與試題解析題號(hào)12345答案BCACD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?長(zhǎng)春期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若OA＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得OA＝OC＝OB＝OD＝2，由此可得BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OA＝OC＝OB＝OD＝2，∴BD＝OB+OD＝4，即BD的長(zhǎng)為4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，理解矩形的對(duì)角線相等且互相平分是解決問題的關(guān)鍵．2．（2024秋?順德區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上．若△EBC是等邊三角形，則∠AEB的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵△EBC是等邊三角形，∴∠CBE＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．3．（2024秋?中原區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AD＝8，OA＝5，則AB的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．11【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)得出AC＝2OA＝BD＝10，∠BAD＝90°，由勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝2OA＝10＝BD，∠BAD＝90°，∵AD＝8，∴AB=BD故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理求出AD是解決問題的關(guān)鍵．4．（2024秋?高州市期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P在斜邊AB上（不與A、B重合），過P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，連接EF．隨著P點(diǎn)在邊AB上位置的改變，則EF長(zhǎng)度的最小值．（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．3【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】連接PC，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，先求出AB＝5，證明四邊形PECF是矩形，則EF＝PC，當(dāng)PC的值最小時(shí)，EF的值為最小，再根據(jù)“垂線段最短”得當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)H重合時(shí)，PC的值為最小，最小值為線段CH的長(zhǎng)，則EF的最小值是線段CH的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式求出線段CH的長(zhǎng)即可得出答案．【解答】解：連接PC，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB=AC∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴當(dāng)PC的值最小時(shí)，EF的值為最小，∵點(diǎn)P在斜邊AB上（不與A、B重合），∴根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)H重合時(shí)，PC的值為最小，最小值為線段CH的長(zhǎng)，∴EF的最小值是線段CH的長(zhǎng)，∵S△ABC=12AB?CH=12∴CH=AC?∴EF長(zhǎng)度的最小值為2.4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，理解垂線段最短是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交邊AD于點(diǎn)E，若AE＝2.5，則DG的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】設(shè)直線OG交BC于點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)得OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，而AE＝2.5，則DE＝1.5，可證明△AOE≌△COF，得AE＝CF＝2.5，則S四邊形CDEF＝4，由S△CFG＝4+12×1.5DG=12×2.5（2+【解答】解：設(shè)直線OG交BC于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，AE＝2.5，對(duì)角線AC、BC交于點(diǎn)O，∴OA＝OC，AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，DE＝AD﹣AE＝4﹣2.5＝1.5，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF＝2.5，∴S四邊形CDEF=12×（1.5+2.5）×2∵S△CFG＝4+12×1.5DG=12∴DG＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，證明△AOE≌△COF是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?儀征市期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件AB＝CD（答案不唯一），使四邊形ABCD是矩形．【考點(diǎn)】矩形的判定．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】AB＝CD（答案不唯一）．【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：添加一個(gè)條件為：AB＝CD，使四邊形ABCD是矩形．理由如下：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AB＝CD（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．7．（2024秋?江陰市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交邊AD于點(diǎn)E，若AE＝2.5，則DG的長(zhǎng)為3．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】3．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，OA＝OC，AD∥BC，進(jìn)而得DE＝1.5，證明△AOE和△COF全等得AE＝CF＝2.5，設(shè)DG＝a，則CG＝2+a，證明△GDE和△GCF相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出a＝3，進(jìn)而可得DG的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)直線OG交BC于點(diǎn)F，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝2.5，∴DE＝AD﹣AE＝1.5，∵矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，∠EAO∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF＝2.5，設(shè)DG＝a，則CG＝CD+DG＝2+a，∵AD∥BC，∴△GDE∽△GCF，∴DECF∴1.52.5解得：a＝3，∴DG＝a＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解矩形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．8．（2024秋?句容市期末）矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE⊥ED，F(xiàn)為AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足EF＝AE，連結(jié)DF交BC于點(diǎn)G，若AB＝2，BE＝1，則GC的長(zhǎng)為32【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】32【分析】利用一線三直角得到△ABE∽△ECD，繼而算出EC＝4．再利用邊角邊證明出△AED≌△FED（SAS），得到DG＝EG，最后利用勾股定理求出CG長(zhǎng)即可．【解答】解：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴ABEC∴2EC∴EC＝4．∵AE＝EF，∠AED＝∠DEF＝90°，DE＝DE，∴△AED≌△FED（SAS），∴∠ADE＝∠FDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠DEC＝∠FDE，∴DG＝EG，∵在Rt△CDG中，DG2＝DC2+GC2，∴（4﹣GC）2＝4+GC2，∴GC=3故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．9．（2024秋?紫金縣期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝20°，則∠AOB＝40°．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】40．【分析】先根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分證明OB＝OC，從而根據(jù)已知角求出∠OBC的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOB即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AO＝OC＝OB＝OD，∵∠ACB＝20°，∴∠OBC＝∠ACB＝20°，∵∠OBC+∠ACB+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∵∠BOC+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣140°＝40°，故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的定義．10．（2024秋?揚(yáng)州期末）如圖，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，以AB邊的長(zhǎng)為半徑作弧，交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊CD于點(diǎn)F，若CF＝1，DE＝3，則AD的長(zhǎng)為6+1【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：如圖，連接AF，由題意可得：AE＝AF＝AB，在Rt△ADF中，AF2＝DF2+AD2，∴AB2＝（AB﹣1）2+（AB﹣3）2，∴AB=6+4或AB＝4∴AE=6+∴AD＝AE﹣DE=6+故答案為：6+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?連州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若BC＝12，CE＝8，求EF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）4.8．【分析】（1）證明∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，再由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得AE＝CD＝6，∠AEC＝90°，再由勾股定理求出AC＝10，然后由三角形面積求出EF的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四邊形ADCE是矩形；（2）解：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，BC＝12，∴BD＝CD=12BC＝由（1）可知：四邊形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝6，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC=AE∵EF⊥AC，∴S△AEC=12AC?EF=12∴EF=AE?即EF的長(zhǎng)為4.8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?西安期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q是邊AD上任意一點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．求△QPC的面積y（cm2）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（s）之間的關(guān)系式．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；三角形的面積．【專題】三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力．【答案】y=-152【分析】根據(jù)y=12AB?PC，用含x的代數(shù)式表示出△QPC的底邊【解答】解：由題意，BP＝3xcm，∴PC＝BC﹣BP＝（7﹣3x）cm，∴y=12AB?PC=12×5×（7﹣3x）＝（-15故△QPC的面積y（cm2）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（s）之間的關(guān)系式為：y=-152【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，動(dòng)點(diǎn)問題、求自變量與因變量的關(guān)系式，掌握用含x的代數(shù)式表示出△QPC的底邊PC的長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵．13．（2024秋?府谷縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥AC，交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，EF＝AF．求∠OFA的度數(shù)．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】∠OFA的度數(shù)是60°．【分析】連接AE，由矩形的性質(zhì)得CD∥AB，OC＝OA，則∠OCE＝∠OAF，而∠COE＝∠AOF，即可根據(jù)“ASA”證明△OCE≌△OAF，得OE＝OF，因?yàn)镋F經(jīng)過點(diǎn)O，且EF⊥AC，所以AC垂直平分EF，則AE＝AF，而EF＝AF，可證明△AEF是等邊三角形，則∠OFA的度數(shù)是60°．【解答】解：連接AE，∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴CD∥AB，OC＝OA，∴∠OCE＝∠OAF，在△OCE和△OAF中，∠OCE∴△OCE≌△OAF（ASA），∴OE＝OF，∵EF經(jīng)過點(diǎn)O，且EF⊥AC，∴AC垂直平分EF，∴AE＝AF，∵EF＝AF，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠OFA的度數(shù)是60°．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?秦都區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E是?ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE交CD于點(diǎn)F．連接BF交AC于點(diǎn)G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE．（1）求證：?ABCD是矩形；（2）若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，求∠ABE的度數(shù)．【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）30°．【分析】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，則BE＝BC，由等邊對(duì)等角得到∠ECB＝∠CEB，則可證明∠FEB＝∠BCD＝90°，進(jìn)而可證明平行四邊形ABCD是矩形；（2）由矩形的性質(zhì)得到BE=CE=12AC，∠ABC=90°，則可證明△【解答】（1）證明：點(diǎn)E是?ABCD對(duì)角線AC上的點(diǎn)，BE＝AD，∴AD＝BC＝BE，∴∠ECB＝∠CEB，∵∠FEC＝∠FCE，∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE，∴∠BEF＝∠BCF，∵EF⊥BE交CD于點(diǎn)F，∴∠FEB＝∠BCD＝90°，∴?ABCD是矩形；（2）解：∵?ABCD是矩形，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴BE=∴BE＝CE＝BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠CBE＝60°，∴∠ABE＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)等等，熟知矩形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?茂南區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）613【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ADB＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DBE＝90°，然后根據(jù)AE⊥AD，可得∠DAE＝90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD=CD=12BC=2，再根據(jù)勾股定理得AB，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得BE＝AD＝3【解答】（1）證明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，∵BE∥AD，AE⊥AD，∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，∴四邊形ADBE是矩形；（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，∴BD=在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB=∵四邊形ADBE是矩形，∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．∵12∴EF=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．

考點(diǎn)卡片1．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．2．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．5．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來解決．6．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．7．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把