例題講解：米勒問題之教學(xué)設(shè)計

例題講解：米勒問題之教學(xué)設(shè)計?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解米勒問題的基本概念和數(shù)學(xué)模型。熟練掌握米勒問題的求解方法，包括建立函數(shù)關(guān)系、求最值等。能夠運用米勒問題解決實際生活中的相關(guān)問題，提高數(shù)學(xué)建模能力。2.過程與方法目標(biāo)通過對例題的分析和講解，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和類比的能力。經(jīng)歷米勒問題的探究過程，體會函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的邏輯思維能力。引導(dǎo)學(xué)生自主探究和合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和團隊協(xié)作精神。3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。通過解決實際問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識。

二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點米勒問題的數(shù)學(xué)模型的建立。利用函數(shù)求米勒問題的最大值。2.教學(xué)難點如何引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為米勒問題的數(shù)學(xué)模型。在求解過程中，對函數(shù)的定義域和值域的準(zhǔn)確把握，以及對最值的求解方法的靈活運用。

三、教學(xué)方法1.講授法：通過清晰、準(zhǔn)確的講解，向?qū)W生傳授米勒問題的基本概念、原理和解題方法。2.討論法：組織學(xué)生進行小組討論，鼓勵學(xué)生積極交流自己的想法和見解，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力和思維碰撞。3.探究法：引導(dǎo)學(xué)生自主探究米勒問題的求解過程，讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。4.練習(xí)法：安排適量的練習(xí)題，讓學(xué)生通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識，提高解題能力。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.展示一幅風(fēng)景圖片，圖片中有一座山峰，在山峰的一側(cè)有一個觀測點，觀測者想要測量山峰的高度。2.提出問題：觀測者站在何處，觀測山峰的視角最大？3.引導(dǎo)學(xué)生思考：這個問題與我們之前學(xué)過的哪些數(shù)學(xué)知識有關(guān)？能否建立數(shù)學(xué)模型來解決這個問題？

（二）知識講解（15分鐘）1.米勒問題的介紹講述米勒問題的背景：米勒問題是德國數(shù)學(xué)家米勒在1471年向諾德爾教授提出的有趣問題，其內(nèi)容為：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？即在什么部位，視角最大？給出米勒問題的一般表述：已知點A、B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點P是邊OM上的動點，則當(dāng)點P在何處時，∠APB最大？2.建立數(shù)學(xué)模型設(shè)∠AOB=α，∠APB=β，OA=a，OB=b，OP=x。根據(jù)三角函數(shù)的正切公式：\(\tan\angleAPO=\frac{OA}{OP}=\frac{a}{x}\)，\(\tan\angleBPO=\frac{OB}{OP}=\frac{x}\)。再利用兩角差的正切公式\(\tan\beta=\tan(\angleAPO\angleBPO)=\frac{\tan\angleAPO\tan\angleBPO}{1+\tan\angleAPO\tan\angleBPO}\)，可得：\(\tan\beta=\frac{\frac{a}{x}\frac{x}}{1+\frac{a}{x}\cdot\frac{x}}=\frac{ab}{x+\frac{ab}{x}}\)3.求最值令\(y=x+\frac{ab}{x}\)（\(x\gt0\)），這是一個對勾函數(shù)。根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)\(x=\sqrt{ab}\)時，\(y\)取得最小值\(2\sqrt{ab}\)。因為\(y=x+\frac{ab}{x}\)在\(x=\sqrt{ab}\)時取得最小值，而\(\tan\beta=\frac{ab}{y}\)，所以當(dāng)\(y\)最小時，\(\tan\beta\)取得最大值。即當(dāng)\(x=\sqrt{ab}\)時，\(\angleAPB\)最大。

（三）例題講解（20分鐘）1.例1如圖，在公路\(MN\)旁有一垂直于公路的燈桿\(AB\)，高為\(5m\)，一輛汽車在公路上行駛，當(dāng)它行駛到點\(P\)處時，燈光照射到汽車上的點\(C\)處，已知\(PC=10m\)，求此時汽車離燈桿底部\(B\)多遠時，燈光與汽車的夾角\(\angleAPB\)最大？分析：已知\(AB=5m\)，\(PC=10m\)，設(shè)\(PB=xm\)。則\(\tan\angleAPB=\frac{\tan\angleCPB\tan\angleCPA}{1+\tan\angleCPB\tan\angleCPA}\)。\(\tan\angleCPB=\frac{5}{x}\)，\(\tan\angleCPA=\frac{5}{x+10}\)。所以\(\tan\angleAPB=\frac{\frac{5}{x}\frac{5}{x+10}}{1+\frac{5}{x}\cdot\frac{5}{x+10}}=\frac{50}{x(x+10)+25}\)。令\(y=x(x+10)+25=x^2+10x+25=(x+5)^2\)。當(dāng)\(x=5\)時，\(y\)取得最小值，此時\(\tan\angleAPB\)取得最大值。解答過程：設(shè)\(PB=xm\)。\(\tan\angleAPB=\frac{\frac{5}{x}\frac{5}{x+10}}{1+\frac{5}{x}\cdot\frac{5}{x+10}}=\frac{50}{x(x+10)+25}\)令\(y=x(x+10)+25=x^2+10x+25=(x+5)^2\)當(dāng)\(x=5\)時，\(y\)最小，\(\tan\angleAPB\)最大。答：當(dāng)汽車離燈桿底部\(B\)為\(5m\)時，燈光與汽車的夾角\(\angleAPB\)最大。2.例2如圖，足球比賽場地寬\(AB=70m\)，球門寬\(PQ=7.2m\)，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場邊線\(AB\)向前推進，試問：該邊鋒在距離\(A\)點多遠時起腳射門，對乙方球門\(PQ\)的張角\(\angleQPB\)最大？分析：設(shè)\(PA=xm\)，則\(PB=(70x)m\)。根據(jù)正切公式可得\(\tan\angleQPB=\frac{\tan\angleQPA\tan\angleBPA}{1+\tan\angleQPA\tan\angleBPA}\)。設(shè)\(\angleQPA=\alpha\)，\(\angleBPA=\beta\)，則\(\tan\alpha=\frac{7.2}{x}\)，\(\tan\beta=\frac{7.2}{70x}\)。所以\(\tan\angleQPB=\frac{\frac{7.2}{x}\frac{7.2}{70x}}{1+\frac{7.2}{x}\cdot\frac{7.2}{70x}}=\frac{7.2\times70}{x(70x)+7.2^2}\)。令\(y=x(70x)+7.2^2=x^2+70x+7.2^2\)。對于二次函數(shù)\(y=x^2+70x+7.2^2\)，其對稱軸為\(x=\frac{70}{2}=35\)。當(dāng)\(x=35\)時，\(y\)取得最大值，此時\(\tan\angleQPB\)取得最大值。解答過程：設(shè)\(PA=xm\)，則\(PB=(70x)m\)。\(\tan\angleQPB=\frac{\frac{7.2}{x}\frac{7.2}{70x}}{1+\frac{7.2}{x}\cdot\frac{7.2}{70x}}=\frac{7.2\times70}{x(70x)+7.2^2}\)令\(y=x(70x)+7.2^2=x^2+70x+7.2^2\)對稱軸\(x=\frac{70}{2}=35\)當(dāng)\(x=35\)時，\(y\)最大，\(\tan\angleQPB\)最大。答：該邊鋒在距離\(A\)點\(35m\)時起腳射門，對乙方球門\(PQ\)的張角\(\angleQPB\)最大。

（四）課堂練習(xí)（15分鐘）1.如圖，在河的一側(cè)有兩個村莊\(A\)、\(B\)，河寬為\(d\)，要在河上建一座橋\(MN\)，使從\(A\)經(jīng)過橋到\(B\)的路程最短，問橋應(yīng)建在何處？（假定河的兩岸平行，橋要與河岸垂直）2.如圖，一條河兩岸平行，河寬\(d=500m\)，一艘船從\(A\)處出發(fā)航行到河的正對岸\(B\)處，船的航行速度\(v_1=10km/h\)，水流速度\(v_2=2km/h\)，問船應(yīng)朝什么方向行駛，才能使航行時間最短？最短時間是多少？

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧米勒問題的數(shù)學(xué)模型的建立過程。2.總結(jié)求解米勒問題的關(guān)鍵步驟和方法，強調(diào)利用函數(shù)求最值的重要性。3.讓學(xué)生分享在本節(jié)課中的收獲和體會，以及遇到的問題和解決方法。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：教材課后習(xí)題相關(guān)題目。2.拓展作業(yè)：思考米勒問題在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，并嘗試舉例說明。

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對米勒問題有了較為深入的理解和掌握，能夠建立數(shù)學(xué)模型并運用函數(shù)方法求解。在教