2025年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷附答案

第頁2025年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷附答案（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________（廣東專用）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合，，則（）A． B．C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．2 D．83．已知向量，滿足，，且，則（

）A．5 B． C．10 D．4．在前項和為的等差數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．10 C．15 D．255．已知函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．6．在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．過雙曲線的右頂點(diǎn)A作一條漸近線的平行線，交另一條漸近線于點(diǎn)P，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），離心率為2，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．8．定義表示，，中的最小值．已知實數(shù)，，滿足，，則（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某學(xué)校從高一年級名學(xué)生中抽取部分學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）

A．B．估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分落在C．估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第三四分位數(shù)為D．估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)為10．在正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，則（

）A．存在點(diǎn)，使得面B．存在點(diǎn)，使得面C．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有面D．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有面11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設(shè)點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，請寫出其中一條切線的方程：．（只需寫一條即可）．13．為了推動城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，某師范大學(xué)6名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這6名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人，則分配方案的總數(shù)為．14．第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵英麗的雪花————“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線，重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線

設(shè)雪花曲線周長為，面積為，若的邊長為1，則=，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，平面平面，且．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．16．（15分）已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)銳角中，，且，求的取值范圍.17．（15分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，證明.18．（17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上僅存在個點(diǎn)，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的左側(cè)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.求的取值范圍.19．（17分）若無窮數(shù)列滿足：，對于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.(1)若具有性質(zhì)“”，且，，，求；(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；(3)設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，，求證：具有性質(zhì)“”.參考答案第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】,.故選：D.2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．2 D．8【答案】B【解析】，，因此．故選：B3．已知向量，滿足，，且，則（

）A．5 B． C．10 D．【答案】C【解析】由題意可知，且，則，，所以．故選：C4．在前項和為的等差數(shù)列中，，，則（

）A．3 B．10 C．15 D．25【答案】C【解析】設(shè)的通項公式為，其中是首項，是公差，則，，由題意，解得，又，代入得，得，得.故選：C5．已知函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖可知函數(shù)為奇函數(shù)，若，則有，若，則有，所以與都不是奇函數(shù)，故排除AD；而由，可排除B，若，經(jīng)檢驗C選項符合題意.故選：C.6．在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，可知三棱錐的外接球即為長方體的外接球，則，可得，則外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.7．過雙曲線的右頂點(diǎn)A作一條漸近線的平行線，交另一條漸近線于點(diǎn)P，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），離心率為2，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知雙曲線的右頂點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，則過A與平行的直線方程為，聯(lián)立，解得，即，則，又，，解得．雙曲線.故選：A．8．定義表示，，中的最小值．已知實數(shù)，，滿足，，則（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】B【解析】因為，所以在，，中，負(fù)數(shù)的個數(shù)為1或3，又，所以在，，中，1個為負(fù)數(shù)，2個為正數(shù)，不妨設(shè)，則．因為，所以，因為，所以，則，故的最大值是，無最小值．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某學(xué)校從高一年級名學(xué)生中抽取部分學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）

A．B．估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分落在C．估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第三四分位數(shù)為D．估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)為【答案】AC【解析】由頻率分布直方圖可知，故A正確；由A項結(jié)論可知平均數(shù)為，故B錯誤；設(shè)第三四分位數(shù)為，易知前三個區(qū)間占比，前四個區(qū)間占比為，即第三四分位數(shù)位于，有，故C正確；由圖得區(qū)間占比，故可估計約有，故D錯誤.故選：AC.10．在正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，則（

）A．存在點(diǎn)，使得面B．存在點(diǎn)，使得面C．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有面D．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有面【答案】ACD【解析】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，由，而面，面，可知面，即A正確.若面，注意到面，則，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1，，所以，與矛盾，即B錯誤.當(dāng)不是的中點(diǎn)時，由，且面，面，可知面，又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，即C正確.同上，有，又面，面，所以，又面，所以面，則面，即D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由為奇函數(shù)可得，即，，即，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；將代入，得，將代入，得，B選項正確；將代入得，得，A選項錯誤；，C選項正確；將代入，得，故，，D選項錯誤.故選：BC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設(shè)點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，請寫出其中一條切線的方程：．（只需寫一條即可）．【答案】（或）【解析】如圖，由題意知，圓，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，其切線方程為或．故答案為：（或）．13．為了推動城鄉(xiāng)義務(wù)教育一體化發(fā)展，某師范大學(xué)6名畢業(yè)生主動申請到某貧困山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作，若將這6名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的3所鄉(xiāng)村小學(xué)，每所學(xué)校至少分配1人，則分配方案的總數(shù)為．【答案】540【解析】第一步將6名畢業(yè)生分成3組，且每組至少1人，一共有3種分配方案，其中1、1、4分配方式有種；1、2、3，分配方式有種；2、2、2，分配方式有種，第二步將分好的3組畢業(yè)生分配到3所鄉(xiāng)村小學(xué)，其分法有種，利用分步計數(shù)原理可知，分配方案的總數(shù)為．故答案為：54014．第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵英麗的雪花————“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線，重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線

設(shè)雪花曲線周長為，面積為，若的邊長為1，則=，【答案】/【解析】由題意可知：，，；易知第個圖形的邊長為，邊數(shù)為，故，由累加法得故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，平面平面，且．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）四邊形是正方形，，又平面平面平面，又平面平面平面，平面平面，平面平面．（2）依題意知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個法向量為，則則可取，易知為平面的一個法向量，平面與平面夾角的余弦值為．16．（15分）已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)銳角中，，且，求的取值范圍.【解析】（1）由題意有，由，，有；由，得.故函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）有，即，又，所以，所以，即，由，所以，則，.因為是銳角三角形，所以即，所以，所以.則有.所以，即故的取值范圍為.17．（15分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，證明.【解析】（1）當(dāng)時，，的定義域為，則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）的定義域為，．若，則當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）由（1）知，當(dāng)時，在取得最大值，最大值為，所以等價于，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以當(dāng)時，，從而當(dāng)時，，即.18．（17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上僅存在個點(diǎn)，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的左側(cè)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)軸時，存在兩個點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)軸時，存在兩個點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)時，由題意可知，存在兩個點(diǎn)，使得為直角三角形，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，且，，則，可得，由題意可知，，則，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)時，到軸的距離最大，此時，的面積取最大值，即，則，故，因此，橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、，先證明出拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，解得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可知，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，所以，，則，即點(diǎn)，因為點(diǎn)在軸左側(cè)，則，即，因為點(diǎn)在橢圓上，則，設(shè)，其中，則，，所以，，因為，則，則，所以，，因此，的取值范圍是.19．（17分）若無窮數(shù)列滿足：，對于，都有（