高考數(shù)學 考前回歸教材成功贏得高考

考前沖刺四考前回歸教材，成功贏得高考

解決“會而不對，對而不全”問題是決定高考成敗的關(guān)鍵，高考數(shù)學考試中出現(xiàn)

錯誤的原因很多，其中錯解類型主要有：知識性錯誤、審題或忽視隱含條件錯誤、

運算錯誤、數(shù)學思想方法運用錯誤、邏輯性錯誤、忽視等價性變形錯誤等.下面我

們分幾個主要專題對易錯的知識點和典型問題進行剖析，為你提個醒，力爭做到

“會而對，對而全”.

咽扣溯源I查知補漏扣要點防失誤

回扣一集合、復數(shù)與常用邏輯用語

1.描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義一抓住集合的代表元素汝口：{x|y

=lgx}函數(shù)的定義域；{yly=lgx}函數(shù)的值域；{(x,y)|y=lgx)函數(shù)

圖象上的點集.

[回扣問題1]已知集合”=卜器+方=1[,N=[y/A1，則MAN=()

A.0B.{(4,0),(3,0)}

C.[—3,3]D.[-4,4]

解析由曲線方程，知“=卜|京W"=[—4,4],

又N=h：+]=“=R,.,.MnN=[—4,4].

答案D

2.遇至UAC3=0時，需注意到''極端"情況：A=0或3=0；同樣在應(yīng)用條件AU3

=3=403=4=4^3時，不要忽略A=0的情況.

[回扣問題2]已知集合A={?。肌?或x＞7},3={x|m+1WxW2m-1},若3CA,

則實數(shù)m的取值范圍是..

7TZ-H12//Z—1

解析當5=0時，有根+1＞2機一1,則機＜2.當BW0時，有＜'或

[2m—K—3

YYI12i/i-]

,’解得加＞6.綜上可知，實數(shù)加的取值范圍是(一8,2)U(6,+8).

m+l＞/9

答案(一8,2)U(6,+°°)

3.注重數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用，列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借助

數(shù)軸來運算，求解時要特別注意端點值的取舍.

［回扣問題3］設(shè)集合A={x|-1WXV2},B={x\x<a］,若AABW。，則。的取值

范圍是()

A.(—1,2］B.(2,+8)

C.［-l,+8)D.(-l,+8)

解析因為AABW。，所以集合A,3有公共元素，利用數(shù)軸可知a>—1.

答案D

4.復數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是。=0且后O(z=a+歷(a,OCR)).還要注意巧妙運

用參數(shù)問題和合理消參的技巧.

［回扣問題4］設(shè)i為虛數(shù)單位，z=2+尚，則|z|=()

A.lB.V1OC幣D.乎

3i__2+i(2+i)(l+i)l+3i

解析+0二口=(1—i)(1+i)=2

答案D

5.復平面內(nèi)，復數(shù)z=a+歷(a,AGR)對應(yīng)的點為Z(a,b),不是Z(a,歷)；當且僅

當。為坐標原點時，向量反與點Z對應(yīng)的復數(shù)相同.

［回扣問題5］在復平面內(nèi)，復數(shù)2=隼4的共輾復數(shù):對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

k/3—i|22(1—i)--

解析Z=JN7—^=7^=—7—7----=1-i,所以Z=l+i,故Z在復平面內(nèi)

1+11+1(1+1)(1—1)

對應(yīng)的點為(1,1),在第一象限.

答案A

6.對于充分、必要條件問題，首先要弄清誰是條件，誰是結(jié)論.“A的充分不必要

條件是B”說明“B是條件”且3推出A,但A不能推出B,而“A是3的充分

不必要條件”表明“A是條件”，A能推出3,但3不能推出A

log。》,x>0,

［回扣問題6］函數(shù)火》)=…有且只有一個零點的一個充分不必要

、2十Q,

條件是()

A.tz<0B.0<a<g

C.^<a<1D.aWO或。>1

解析因為函數(shù)4x)的圖象恒過點(1,0),所以函數(shù)人x)有且只有一個零點今函數(shù)

y=—2*+a(xW0)沒有零點=函數(shù)y=2*(xW0)的圖象與直線y=a無交點.數(shù)形結(jié)合

可得a<0或。>1,即函數(shù)1x)有且只有一個零點的充要條件是aWO或。>1.分析

選項知，“a<0”是函數(shù)有且只有一個零點的充分不必要條件.

答案A

7.存在性或恒成立問題求參數(shù)范圍時，常與補集思想聯(lián)合應(yīng)用，即體現(xiàn)了正難則

反思想.

［回扣問題7］若二次函數(shù)五x)=4f—2(/7—2)x—2/—p+1在區(qū)間［―1,1］內(nèi)至少

存在一個值c,使得人c)>0,則實數(shù)p的取值范圍為,

解析如果在［―1,1］內(nèi)沒有值滿足火°)>0,

1或pNl,③

3npW_3或pN].

pW-3或pN/

取補集，得p的取值范圍是(一3,|；

答案(-3,D

回扣二函數(shù)與導數(shù)

1.求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式

(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；分式中分母不為0；對數(shù)式中

的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏.

［回扣問題1］函數(shù)火x)=lg(l—x)+而不I的定義域是.

1-x>0,

解析由題意，得<

3%+120,

1

答案1

2.分段函數(shù)求解時，要盡量避免討論；若不能避免分類討論，分類時一定要理清

層次，做到不重不漏.

［回扣問題2］設(shè)函數(shù)則滿足不等式6)>?r)的x的

、4十5,%>■(),

取值范圍是()

A.(—2,3)B.(—8,—2)U(yj~6,+°°)

C.(—8,—y[6)U(A/6,+°°)D.(—8,1-^6)U(3,+°°)

解析易知當x>0時，函數(shù)/(x)=-4一*+5是單調(diào)遞增函數(shù)，且?x)>4；當xWO

_fx>0,fx^O,/_

時，段)=4.由於2—6)〉於)，得12「、或12「、八解得%>3或％V—加，

x—6>x\x—6>0,

所以工的取值范圍是(一8,—xj6)U(3,+°°).

答案D

3.定義域必須關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，為此確定函數(shù)的奇偶

性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.

1a(1—)

［回扣問題3］函數(shù)八x)=(=的奇偶性是.

解析由1-，>0且|無一2|-2W0,知汽x)的定義域為(一1,0)U(0,1),關(guān)于原點

對稱，則火工)=旦二一

1g(11/)

X

函數(shù)八%)為奇函數(shù).

答案奇函數(shù)

4.記住周期函數(shù)的幾個結(jié)論：

由周期函數(shù)的定義“函數(shù)/U)滿足五x)=/(a+x)(a>0),則五x)是周期為。的周期函

數(shù)”得：

(1)函數(shù)人為滿足五。+無)=—火功，則人x)是周期T=2a的周期函數(shù)；

(2)若人》+0=意［他力0)成立，則T=2a；

(3)若/x+a)=—/(［)(aWO)成立,則T=2a；

(4)若人x+a)=/(x—a)(aWO)成立，則T=2a.

［回扣問題4］已知定義在R上的函數(shù)人x),若?r)是奇函數(shù)，?r+l)為偶函數(shù)，

當OWxWl時，則五2021)=()

A.-lB.lC.OD.20192

解析因為1x+1)是偶函數(shù)，所以式x+l)=A—x+1),則五一x)=Hx+2).又Hx)

是奇函數(shù)，所以人一關(guān))=-?，所以犬%+2)=-?，所以4)=->+2)=?,

所以函數(shù)加0是以4為周期的周期函數(shù)，又當OWxWl時，1x)=f,所以人2021)

=^4X505+l)=^l)=l.

答案B

5.理清函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

⑴段)是偶函數(shù)=火一x)=加)=加葉)；

(2)成x)是奇函數(shù)=4一x)=-?；

(3)定義域含0的奇函數(shù)滿足火0)=0.

ff

—一丁，0<xW4,

［回扣問題5］已知函數(shù)〃(x)(xW0)為偶函數(shù)，且當x>0時，/z(x)=j4

4~2x,x>4,

若h(t)>h(2),則實數(shù)t的取值范圍為

(2

一x了，0<x<4,

解析因為當x>0時，h(x)=<

、4一2%，x>4.

所以函數(shù)丸。)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因為函數(shù)力(x)(xW0)為偶函數(shù)，且為/)>人(2),

所以帥)>幽2),所以0<m<2,

存0,存0,

所以<即

—2<t<2,

解得一2</<0或0</<2.

綜上，所求實數(shù)f的取值范圍為(一2,0)U(0,2).

答案(一2,0)U(0,2)

6.圖象變換的幾個注意點.

(1)弄清平移變換的方向與單位長度.

(2)區(qū)別翻折變換：火乃一忸x)|與火工)一川x|).

(3)兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線或關(guān)于某點的對稱.

［回扣問題6］若函數(shù)火x)=，(a>0且aWl)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y=log?(k|

—1)的圖象可以是()

解析由于?v)=，(a>0,aWl)在R上為減函數(shù)，則0<a<l.又國一1>0,得x>l

或X<—1.當x>l時，y=loga(x—l)是減函數(shù)，易知D正確.

答案D

7.準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì).避免研究函數(shù)y=，(a>0,aWl)的單調(diào)性

忽視對字母a的取值討論或忽視</>0,對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aWl)忽視真數(shù)與

底數(shù)的限制條件等錯誤的出現(xiàn).

［回扣問題7］若函數(shù)Hx)="—l(a>0且的定義域和值域都是［0,2］,則實

數(shù)a的值為..

解析當0<a<l時，?=^-1在［0,2］上單調(diào)遞減，

故/(X)max=#0)=/一1=Q

這與已知條件函數(shù)1X)的值域是［0,2］相矛盾.

當a>l時，?=在［0,2］上單調(diào)遞增，

又函數(shù)人為的定義域和值域都是［0,2］.

|7（o）=o,

所以《/（2）=a2-l=2,解得。=讓，所以實數(shù)a的值為

答案小

8.割裂圖象與性質(zhì)解題時致誤，解有關(guān)抽象函數(shù)的問題時要抓住兩點：一是會判

斷抽象函數(shù)的性質(zhì)，常需判斷其奇偶性、周期性與圖象的對稱性，為畫函數(shù)的圖

象做準備；二是在畫函數(shù)圖象時，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時應(yīng)

注意基本初等函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.

［回扣問題8］已知函數(shù)人x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x?R,而c+2）

=?,當0W尤W1時，Hx）=f,若直線丁=尤+。與函數(shù)人勸的圖象在［0,2］內(nèi)恰

有兩個不同的公共點，則實數(shù)。的值是（）

AO

B..O

111

C或-

-4--24-

解析因為對任意的x?R,>+2）=?,

所以函數(shù)1x）是以2為周期的周期函數(shù)，

畫出函數(shù)八》）在［0,2］上的圖象與直線y=x+a,如圖.

由圖知，直線y=x+a與函數(shù)外）的圖象在區(qū)間［0,2］內(nèi)恰有兩個不同的公共點時,

直線y=x+a經(jīng)過點（1,1）或與於）=d的圖象相切于點A,

由l=l+a,解得a=0；

由得》2一%一。=0,所以/=l+4a=0,解得a=—g.

綜上所述，實數(shù)。的值是0或一/

答案D

9.易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不

等式解集的端點值進行準確互化.

［回扣問題9］若函數(shù)火x)=ox—In%—1有零點，則實數(shù)〃的取值范圍是.

人八Glnx+1

解析令兀。=6zx—Inx—1=0,則a=(x>0),

x

、xlnx+1g—Inx

g(x)=~g'(x)=?,

設(shè)4；—，A則

由g，(x)=0,得x=l.

當x?(0,1)時，g\x)>Q,g(x)單調(diào)遞增，

當x?(l,+8)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

???g(X)max：g(D=1，則aWl.

答案(一8,1］

10.混淆y=/(x)的圖象在某點(xo，刃)處的切線與y=?v)過某點(Xo，州)的切線，導

致求解失誤.

［回扣問題10］函數(shù)Hx)=：—25的圖象在x=l處的切線方程為.

X1

解析由兀0=1一2出，得了(?=/-1一亍..\/(1)=-1,/(1)=0,故兀乃在％=1

e巾

處的切線方程為y=~l.

答案y=-l

n.混淆“極值”與“最值”.函數(shù)的極值是通過比較極值點附近的函數(shù)值得到

的，它不一定是最值，而函數(shù)的最值是通過比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得到的，

可能在極值點處取得，也可能在區(qū)間端點處取得.

［回扣問題11］已知定義在R上的函數(shù)人為，其導函數(shù)/(X)的大致圖象如圖所示,

則下列敘述正確的是()

①ZS)>黃0>黃。；②函數(shù)人為在x=c處取得極小值，在x=e處取得極大值；

③函數(shù)人S在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值；④函數(shù)人勸的最小值為

即）.

A.③B.①②C.③④D.①④

解析根據(jù)圖象知，當》?。時，/(乃》0.所以函數(shù)加0在(一8,可上單調(diào)遞增.又。

<b<c,所以Ha)V_/3)<_/(c)，故①不正確.因為/(c)=O,/(e)=O,且x〈c時，/(x)

>0；eV龍Ve時，〃x)<0；x>e時，〃x)>0.所以函數(shù)Ax)在x=c處取得極大值,

在x=e處取得極小值，故②錯誤，③正確.當dWxWe時，/(x)W0,所以函數(shù)人x)

在［d,e］上單調(diào)遞減，從而五⑨>/(e),所以④不正確.綜上所述，敘述正確的是③.

答案A

12.混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”.

⑴若函數(shù)兀0在區(qū)間D上單調(diào)遞減,則/(x)W0在區(qū)間。上恒成立(且不恒等于0),

若函數(shù)/U)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則/(x)>0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0)；

(2)利用導數(shù)：求函數(shù)人炒的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式/(x)<0,求函數(shù)人x)

的單調(diào)遞增區(qū)間的方法是解不等式/(x)>0.解題時一定要弄清題意，勿因“=”

出錯.

［回扣問題12］已知函數(shù)_/(x)=alnx+/f+(a+l)x+1.

(1)當a=—1時，求函數(shù)人x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)人x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

解⑴當。=一1時，y(x)=—lnx+Td+l(x>0)，

則/(x)=—《+%=(尤+1)(X—1)/(x)>0,

由《

Xx>0,

解得X>1.所以函數(shù)火X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)因為/(x)=aln%+2尤2+伍+l)x+1,

一，a.x2+(a+1)x-\-a(x+1)(x+a)

所以/(x)=1+x+a+1=---------------=---------------，

又函數(shù)兀0=。111%+$2+("+1)》+1在(0，+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)>0對任意的x?(0,+8)恒成立，

則無+。三0對任意xG(0,+8)恒成立，所以。三0.

故實數(shù)a的取值范圍是［0,+°°).

13.對于可導函數(shù)y=f(x),誤以為/(刈)=0是函數(shù)y=f(x)在x=xo處有極值的充分

條件.

［回扣問題13］已知函數(shù)兀0=X3+辦2+笈+。2在》=1處有極值10,則汽2)等于

()

A.U或18B.11

C.18D.17或18

解析,函數(shù)Hx)=/+ax2+0x+a2在1處有極值I。，又/(x)=3x2+2ax+0,

???火1)=10,且了(1)=0,

1+〃+6+。2=10,a——3〃=4,

即3+2a+b=0,解行或“

b=3力=-11.

a——3,

而當c時，函數(shù)在X=1處無極值，故舍去.

［b=3

.,.^x)=?+4?-llx+16,.?猶2)=18.

答案C

回扣三三角函數(shù)與平面向量

1.三角函數(shù)值是一個比值，是實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P(x,y)在終邊上的位置

無關(guān)，只由角的終邊位置決定.

［回扣問題1］已知角a的終邊為射線y=2x(x》0),則cos2a+cosa

解析Vet的終邊為射線y=2x(x>0),

不妨在射線上取點尸(1,2),則cosa=寶，

cos2a+cosa=2cos2ct-1+cosa=2X

答案

2.求三角函數(shù)值易忽視角的范圍.對于角的范圍限定可從以下兩個方面考慮：①題

目給定的角的范圍；②利用給定的各個三角函數(shù)值來限定，如由三角函數(shù)值的正

負可挖掘角的范圍，也可借助特殊角的三角函數(shù)值和函數(shù)的單調(diào)性來確定角的范

圍，注意應(yīng)盡量使角的范圍精準，避免產(chǎn)生增根.

［回扣問題2］設(shè)a為銳角，若cos［a+"=T則sin(2a+總的值為()

77也一8

AR-----------------

225618

也-啦

r_17^/2>78T7+8

J50或

解析因為a為銳角，所以0<a<3，則連<a+/<絲.

2oo3

jr,兀\12、歷4、歷

設(shè)￡=a+不由cos"+w|=~§,得sin￡=1.sin2￡=2sin￡cos￡=—g,cos2s

=2cos2^—1=—所以sin（2a+^=sin（2a+W—§=sin（2S—§=sin2夕cos今一

.兀7啦一8

cos2Gsm4=-.

答案B

3.求函數(shù)火x）=Asin（c?x+夕）的單調(diào)區(qū)間時，要注意A與o的符號，當①<0時，需

把o的符號化為正值后再求解.

［回扣問題3］函數(shù)尸sin停一2x）的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（兀、71717171

解析—sinl2x—,令2kli2kTI+萬,kGZ,得左兀一yyWxWhi+

\/乙?_/乙i乙

得i,kRZ.

兀5

答案左兀一五，左兀+記兀（左GZ）

4.求三角函數(shù)周期錯用對稱中心與對稱軸.因而求三角函數(shù)周期需掌握下面結(jié)論：

①若對稱中心到相鄰對稱軸之間的距離為d,則周期T=4d；②若相鄰兩條對稱

軸之間的距離為4,則周期T=24；③若相鄰兩對稱中心之間的距離為必，則周

期7=2辦；④若相鄰的兩個最高點（或最低點）之間的距離為&，則T=%.

［回扣問題4］已知函數(shù)於）=Asin（①x+”A>0,a）>Q,101T的圖象的一個對

稱中心到相鄰對稱軸的距離為全且圖象上有一個最低點M隋，一3）.則於尸

解析由函數(shù)五X）的圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為7去T可知函數(shù)人為

的最小正周期為T=4X^=7r,所以o=e=2.又函數(shù)?r）圖象上有一個最低點

（7兀、717冗37171

吠五，一31|0|V］,所以A=3,2X記+夕=2+2祈（左￡Z）,即9=2E+小?Z）.

由101</，得9=］,故兀0=3sin（2x+，

答案3sin（2x+§

5.三角函數(shù)圖象變換中，注意由y=sincox的圖象變換得到尸sin（①x+夕）的圖象

時，平移量為,而不是夕，另外要弄清楚平移的方向.

［回扣問題5］設(shè)0>0,函數(shù)y=2cos"+f)的圖象向右平移￡個單位長度后與函

數(shù)y=2sin(5+g)的圖象重合，則①的最小值是()

1357

A，2B，2C，2D，2

解析將函數(shù)y=2cos"+?的圖象向右平移方個單位長度，得產(chǎn)

(兀、兀，兀兀、(兀兀、

2cos叫L.J+g=2cos"zx+g—產(chǎn)J的圖象，由已知得產(chǎn)2cosm:+5一5叼的圖

(3兀?兀)(3出

象與y=2sin(公r十習=2sinlcox-^+2I=2cos(①x一記J的圖象重合，

7T7T3715

則①x+5一~^co—2kii+cox一記(Z￡Z),解得①=1—10k,kRZ.又a)>a,所以①的

最小值為|.

答案c

6.已知三角形兩邊及一邊對角，利用正弦定理解三角形時，注意解的個數(shù)討論,

可能有一解、兩解或無解.并謹記在△ABC中，A>B<=>sinA>sinB.

［回扣問題6］在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若asinBcosC

+csinBcosA=2^>且a>。，則3=()

4兀e兀八《2兀5兀

A6B3CT

解析由asinBcosC+csinBcos及正弦定理，可得sinAsinBcosC+sinC

sinBcosA=^sinB,即sinB(sinAcosC+sinCeosA)=^sinB,則sinBsin(A+C)=

^sinB,因為sin5W0,所以sin(A+C)=￡,即sin因為a>8,所以B>5,

可知3為銳角，故B=.

答案A

7.混淆向量共線與垂直的坐標表示.向量共線與向量垂直的坐標表示是兩個極易混

淆的運算，其運算口訣可表達為“平行交叉減，垂直順序加”，即對于非零向量

a=(xi，yi)9b=(x2,竺)，?！ㄞk=%1為一%2丁1=。,而a-L辦=%1%2+丁1、2=0.

［回扣問題7］(1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a—辦與力共線，則%的

值為.

(2)已知向量a=(4,3),b=(—2,1),如果向量a+勸與萬垂直，那么|2a—他的

值為.

解析(1)因為a=(2,1),b=(x,—1),

所以a—Z>=(2—x,2),

又a—b與b共線,所以2x=-2+x,解得x=-2.

(2)由題意知a+2》=(4,3)+7(—2,1)=(4—2A,3+丸),因為向量a+回與b垂

直，所以(a+丸力0=0,即(4—2九3+A).(-2,1)=0=>(4—2丸>(-2)+(3+%>1=0,

解得4=1,所以2a一傷=(8,6)-(-2,1)=(10,5),于是|2a—協(xié)=，1否早=

5小.

答案⑴一2⑵5小

8.活用平面向量運算的幾何意義，靈活選擇坐標運算與幾何運算.

[回扣問題8]已知△ABC是邊長為2的正三角形，點P為平面內(nèi)一點，且|次|

=小，則元?(戌+兩)的取值范圍是()

-3一

A.[0,12]B,0,2

C.[0,6]D.[0,3]

解析如圖，以點3為坐標原點，所在直線為x軸，過點3與5c垂直的直線

為y軸，建立平面直角坐標系，則3(0,0),A(l,小)，C(2,0),設(shè)尸(x,y),因

為|勘|=小，所以尸點軌跡為(x—2)2+寸=3,

x=2+小cos。，一l

令J則勿=(一1一45cosayp—ypsm0),

j=^/r3sina

麗=(一2—小cosa一小sin9),

PC=（-V^cos0,一小sinff）,

則而（戌+而）=6（^cos0—1sine）+6=6+6cos（e+^j,

由一6W6cos（e+?W6,得0W6+6cos（8+看W12.

答案A

9.忽視向量夾角范圍致誤.涉及有關(guān)向量的夾角問題

要注意兩向量夾角的范圍是［0,兀］,不是（0,兀），其中。=0表示兩向量同向共線,

。=兀表示兩向量反向共線.這類問題有下列兩個常見結(jié)論：①向量a,8的夾角為

銳角oa/＞0且向量a,〃不共線；②向量a,力的夾角為鈍角Qa0Vo且向量a,

8不共線.

［回扣問題9］已知向量a,8滿足⑷=|回=1,且回+〃|=/|a—比|（左＞0）,那么

向量a與向量8的夾角的最大值為.

解析由|kz+〃尸小|a—煙，得回十回2=（小心―協(xié)）2,貝1］左2+2必0+1=3（1—

2ka-b+li）,即a?方因為左＞0,所以

當且僅當k=l時等號成立.所以cos〈a,b}=編吳，則〈a,b}e0,北即

m\b\2LJ」

向量a與8的夾角的最大值為全

答案!

10.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.

［回扣問題10］若。是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足I屈一反1=1麗+沆一

20A|,則AABC的形狀為.

解析麗一反|=|麗+花一2為|,

：.\CB\=\AB+AC\,SP|AB-AC|=|A5+AC|.

故以AB,AC為鄰邊的平行四邊形為矩形.

因此△ABC是以A為直角頂點的直角三角形.

答案直角三角形

回扣四數(shù)列與不等式

1.已知數(shù)列的前n項和求%，易忽視n=l的情形，直接用S”一S〃T表示.事實

上，當咒=1時，<2i=Si；當"三2時，an=Sn—Sn-i.

［回扣問題1］數(shù)列｛詼｝滿足3H--------H^a?=2n+1,則數(shù)列｛詼｝的通

項公式為.

-

解析由51+/。2+表/3+—\-^an=2n+l,當〃三2時，嬴+/奧+*的^H

裝!斯-1=2（〃-1）+1,兩式相減，得品i=2,即斯=2什1（心2）.又“=1時，|?i

6,n=l,

=3,則勾=6不符合上式.所以斯

2n+l,心2.

16,n=l,

答案斯=［*,心2.

2.忽視兩個“中項”的區(qū)別.等差數(shù)列a,A,6的等差中項A=等與a,6之間沒

有符號的制約，但等比數(shù)列a,G,?的等比中項G=：t\扇（Q,6同號且Q,Z?不

為0）.

［回扣問題2］若a,b,c三個數(shù)成等比數(shù)列，且〃+/?+C=用（加>0）,則?的取

值范圍是（）

「八機［」機

A.0,yB.~m,

C（0,yjD.［—m,0）U（0,y

解析設(shè)公比為q,則啟+q+［=m，即仁g—.當q>0時，（當q

此+1

=1時，取“="）；當q<0時，一機WZ?<0（當q=—1時，取“=”）.所以6的

取值范圍是［—m,0）U10,y.

答案D

3.運用等比數(shù)列的前〃項和公式時，易忘記分類討論.一定要分q=l和qWl兩種

情況進行討論.

［回扣問題3］已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，且7s2=4S4,則等比數(shù)列

｛斯｝的公比q的值為（）

A.lB.l或3

C半D呼

解析因為7s2=4$4,所以3s2=3(。1+。2)=4($4—S2)=4(的+。4),所以3(。1+。2)

=4(句+的)小.因為句+助7。，所以q2=l.因為｛卬｝為正項等比數(shù)列，所以q>0,

所以4=竽.

答案C

4.利用等差數(shù)列定義求解問題時，易忽視a〃一a〃—i=d(常數(shù))中，〃>2,〃?N*的限

制，類似地，在等比數(shù)列中，伊=式常數(shù)且qWO),忽視〃>2,“?N*的條件限

制.

［回扣問題4］已知數(shù)列｛斯｝中，<71=?2=1>詼+1=斯+*"三2),則數(shù)列｛斯｝的前

9項和等于.

解析=。九+$(〃22),

二數(shù)列｛斯｝從第2項起是公差為;的等差數(shù)列，

$9=。1+。2+。3+…+。9

,,8(8-1)1

=1+802+---2-----X-=23.

答案23

5.利用錯位相減法求和，切忌漏掉第一項和最后一項；裂項相消求和，相消后剩

余的前、后項數(shù)要相等，切莫漏項或添項.

［回扣問題5］已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”句=2,點他“+1，*)在直線y=x—2

上5?N*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

2"T11

(2)令(一、(———T—,設(shè)數(shù)列｛4』的前〃項和為G，求證：產(chǎn)國〈不

⑴解因為點(詼+1，&)在直線y=x—2上，

所以即+i=2+S"(〃?N*).①

當2時，a〃=2+S〃T.②

①一②，可得an+i—an=Sn~Sn-\=an(ji^T),

即斯+i=2斯(〃三2).

當〃=1時，〃2=2+SI=2+QI，所以〃2=4,則白2=2〃1也滿足上式.

綜上，斯+1=2斯(〃￡N).

所以數(shù)列｛6｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以斯=2〃(〃金N*).

2〃一］

(2)證明由⑴得a”=2"(〃GN*),因為母=(一、(一二IV，

IQnI)1。九十1

所以_gw—"2"+1_]。，

2111

所以-2"+1_]＜匕所以

6.對于通項公式中含有(一1)"的一類數(shù)列，在求S,時，切莫忘記討論”為奇數(shù)、

偶數(shù)；遇到已知詼+1—斯―i=d或上一=q(〃三2),求｛斯｝的通項公式時，要注意對

斯一1

n的討論.

［回扣問題6］若知=2〃-1,為=(-1)”7斯,則數(shù)列｛瓦』的前〃項和Tn=.

解析b“=(-1)"T?=(—1)"T(2九—1).

==

當〃為偶數(shù)時，Tna\—/+的—血+…+斯-1—斯=(-2)X2—n.

當〃為奇數(shù)時，Tn=Tn-i+btl=—(n—\')+an=n.

\—n,〃為偶數(shù)，

故乙=1乂七加

［n,〃為奇數(shù).

〃為偶數(shù),

答案

為奇數(shù)

7.運用不等式性質(zhì)要注意適用的條件，不可擴大范圍，如4附;

［回扣問題7］已知下列四個結(jié)論：①a>boac>be；?a>b=>~<^；③。>b>0,

?7n

c>d>0^>~；?a>b>0,￡■<()="<".其中正確的有()

A.l個B.2個C.3個D.4個

解析對于①，當c=O時，ac=bc,所以①不正確；對于②，當a>0>6時，：>

所以②不正確；對于③，由于c>d>0,則5>>>0，又所以弓〉!〉

0,③正確；對于④，因為募函數(shù)y=x’(c<0)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又。>人>0,

所以④正確.故正確的個數(shù)為2.

答案B

8.解形如a^+bx+oO的一元二次不等式時，易忽視系數(shù)a的討論導致漏解或錯

解，要注意分a>0,a<0,。=0進行討論.

［回扣問題8］設(shè)命題甲：。/+2依+1>0的解集是實數(shù)集R；命題乙：

則命題甲是命題乙成立的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析由命題甲：ax'-\-2ax-\-1>0的解集是實數(shù)集R可知，當a=0時，原式=1>0

恒成立，

〃>0,

當aWO時,需滿足/=

（2。）°—4a<0,

解得0<a<l,所以O(shè)Wa<l,

所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命題甲是命題乙成立的必要不充分

條件.

答案C

9.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導致錯解,

1

如求函數(shù)4x)=、d+2T的最值，就不能利用基本不等式求解最值.

+2

［回扣問題9］已知正實數(shù)a,b滿足ab-b+1=0,則的最小值是.

解析由a。一b-\-1=0,得。=一;一,又a>0,6>0,得而>1.所以、+4。=,”1+

bab-1

45=/v+43—1）+5.易知4r+4（。-1）三4,所以1+48三9.當且僅當丁二=4（。

b~1b~1ab~1

131

-1),即L=1,6=)時取等號,故，46的最小值是9.

答案9

回扣五立體幾何

L易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與

所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式

中的系數(shù)/

JT

［回扣問題1］已知在梯形ABCD中，ZABC=^,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,

則將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為()

A.(5+V2>B.(4+V2>

C.(5+2^2)71D.(3+V2)TI

jr

解析因為在梯形ABC。中，ZABC=2,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,所以將

梯形A5CD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是一個底面半徑為1,高為2

的圓柱挖去一個底面半徑為1,高為1的圓錐后剩余的部分，如圖所示.所以該幾

何體的表面積S=7iX12+2TIX1X2+TIX1X-\/l2+l2=(5+V2)7i.

2'，D

答案A

2.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性

質(zhì)定理中的條件，導致判斷出錯.如由a邛,aC0=l,m±l,易誤得出m±/3的

結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中mea的限制條件.

［回扣問題2］已知直線機，〃與平面a,夕，/滿足a_LA，aCB=m,〃_La,nuy,

則下列判斷一定正確的是()

K.m//y,aJ-yB.〃〃夕，a_Ly

C/〃匕aA.yD.mJL小a_Ly

解析因為。_L￡,aC8=m,n.La,ncy,所以成立，但機，〃可能相交,

故A不正確；也有可能〃u￡,故B不正確；對于C,也有力與y相交的可能，

故C也不正確；對于D,因為aCp=/n,n.La,所以機_L〃.

答案D

3.處理球的切、接問題找不到著手點致誤.

有關(guān)球外接于多面體的問題，求解的關(guān)鍵是抓住“接”的特點，尋找球的半徑，

經(jīng)常會利用“優(yōu)美的直角三角形”尋找?guī)缀误w外接球的半徑所滿足的方程（組）.遇

到三條棱兩兩垂直時，常通過構(gòu)造長方體，直接利用長方體的體對角線長為其外

接球的直徑，可加快求解速度.

［回扣問題3］已知球。是三棱錐P—A3C的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP

=2y［2,。是P3的中點，且CD=幣,則球。的表面積為（）

A28兀?14兀

A.亍B.—

2隊叵1兀16兀

C.27D.亍

解析如圖所示，由必=AC=2,CP=2y［2,得AP,AC.連接AD由。是心的

中點及B4=A3=P3=2,可求得.又CD=小，可知ADLAC,又ADAAP

=A,所以AC,平面必A以△必5為底面，AC為側(cè)棱將三棱錐尸一ABC補成一

個直三棱柱，則球0是該三棱柱的外接球，球心。到底面△必3的距離d=^AC

=1.由正弦定理得△出3的外接圓半徑『標售。=羋，所以球0的半徑R=

、/十r2=等.所以球0的表面積S=47l*=拳.

C

B

答案A

4.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形，弄清楚

變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的

元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.

［回扣問題4］如圖⑴所示，四邊形A3CD是邊長為色的正方形，八鉆石和△3CR

均為正三角形，將其以△ABC為底面折成如圖(2)所示的三棱錐尸一ABC,則平面

PAC與平面ABC的位置關(guān)系是.

圖⑴圖⑵

解析設(shè)AC的中點為。，連接3。，P。(圖略).由題意知，PA=PB=PC=?易

#PO±AC,PO=1,A0=30=C0=l.在△P03中，PO=1,OB=1,PB=^2,

所以P()2+OB2=PB2,則P0L03.因為ACnO3=。，ACu平面ABC,03u平面

ABC,所以P。，平面ABC.又POu平面B4C,所以平面必CL平面ABC.

答案平面以平面ABC

5.混淆空間角的取值范圍致誤，兩條異面直線所成角a?(0,9，直線與平面所成

的角ee［o,721.

［回扣問題5］如圖，三棱錐A—BCD的棱長全相等，點E為棱AD的中點，則直

線CE與BD所成角的余弦值為()

A興B,半

o2

C.隼D.|

o2

解析如圖，取A3中點G,連接EG,CG.

為AD的中點，J.EG//BD.

.,.NGEC或其補角為CE與3。所成的角.

設(shè)A3=l,

則EG='D=；,CE=CG=^-.

Eff+ECa-GC1

答案A

6.利用空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系.如求解二面角時，

忽視法向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯.

［回扣問題6］如圖所示，四棱錐P—A3CD的底面為矩形，必是該四棱錐的高,

P3與平面心。所成的角為45。，R是尸3的中點，E是3c上的動點.

A*.--—

cE

(1)證明:PE1AF；

(2)若BC=2AB,PE與AB所成角的余弦值為與早，求二面角D-PE-B的余弦

值.

解由題意可知，AD,AB,AP兩兩垂直，且N3以=45。，所以AP=A3.

X分-----牌

以A為坐標原點，AD,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

標系，如圖.

設(shè)3E=a(a>0).

⑴證明^AP=AB=b,則A(0,0,0),3(0,b,0),E(a,b,0),P(0,0,b),

所以曲=(a,b,—b),套=(0,I，

由度?酢=aXO+匕X?+(—0)X?=0,可知港，店，所以PELAE

(2)解設(shè)AP=A3=2,則3c=4,則。(4,0,0),B(0,2,0),E(a,2,0),F(0,

1,1),P(0,0,2),

所以協(xié)=(0,2,0),PE=(a,2,-2),AF=(0,1,1).

由空嚀1=平，*^=靖,解得a=3,所以E(3,2,0).

\AB\\PE\I，十81/

設(shè)平面PDE的法向量為〃=(x,y,z),

易知的=(4,0,-2),應(yīng))=(1,-2,0),

n-PD=0,4x_2z=0,

由_得，令y=l，得x=2,z=4,所以"=(2,1)4)為平面

nED=0,x~2y=0,

PDE的一個法向量.

由題意得，AFLPB.

又由(1)知AfUPE,PBCPE=P,

所以AfU平面P3C,

即AR為平面PBC的一個法向量.

設(shè)二面角D—PE—3的平面角為仇由圖可知。為鈍角,

\n-AF\_1+4_5^42

所以

cos0=—42

|?||AF|?乂木

故二面角D-PE-B的余弦值為一喈.

回扣六平面解析幾何

L易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等

設(shè)方程時，忽視截距為零的情況.

［回扣問題1］已知直線過點P(l,5),且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的

方程為.

解析當截距為零時，則直線方程為y=5x,當截距不是零時，設(shè)直線方程為x

+y=a,將P(l,5)坐標代入方程，得。=6..,.所求方程為5x—y=0或x+y—6=

0.

答案5x—y=0或x+y—6=0

2.討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導致漏解，如兩條直

線