2024秋高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用練習(xí)含解析新人教A版必修4

PAGE1-1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．某人的血壓滿意函數(shù)關(guān)系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)為血壓，t為時(shí)間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為()A．60 B．70 C．80 D．90解析：因?yàn)門＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80.答案：C2．如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深改變曲線近似滿意函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A．5 B．6 C．8 D．10解析：由題圖知，當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＝－1時(shí)，函數(shù)取得最小值2，即3×(－1)＋k＝2，所以k＝5.因此，函數(shù)的最大值是3×1＋5＝8.故水深的最大值為8.答案：C3．為了探討鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)秒針針尖的位置為P(x，y)，若初始位置為P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，當(dāng)秒針針尖從P0(注：此時(shí)t＝0)正常起先走時(shí)，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t－\f(π,3)))解析：由題意，可得函數(shù)的初相是eq\f(π,6)，解除B、D.函數(shù)的最小正周期是60，所以T＝eq\f(2π,|ω|)＝60，所以|ω|＝eq\f(π,30)，因?yàn)槊脶槹错槙r(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，所以ω＝－eq\f(π,30)，故選C.答案：C4．一種波的波形為函數(shù)y＝－sineq\f(π,2)x的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是()A．5 B．6 C．7 D．8解析：函數(shù)y＝－sineq\f(π,2)x的周期T＝4且x＝3時(shí)y＝1取得最大值，因此t≥7.答案：C5．如圖所示，單擺從某點(diǎn)起先來回?fù)u擺，離開平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么單擺來回?fù)u擺一次所需的時(shí)間為()A．2πs B．πs C．0.5s D．1s解析：?jiǎn)螖[來回?fù)u擺一次，即完成一個(gè)周期，所以T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,2π)＝1s，即單擺來回?fù)u擺一次所需的時(shí)間為1s.答案：D二、填空題6．設(shè)y＝f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)，其中0≤t≤24.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長(zhǎng)期視察，函數(shù)y＝f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)y＝k＋Asin(ωt＋φ)的圖象．則一個(gè)能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是________．解析：由表格知最大值為15，最小值為9，最小正周期為12，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋A＝15，,k－A＝9，))解得A＝3，k＝12，ω＝eq\f(π,6).又t＝0時(shí)，y＝12，所以φ＝0.答案：y＝12＋3sineq\f(π,6)t7．已知某種交變電流I(A)隨時(shí)間t(s)的改變規(guī)律可以擬合為函數(shù)I＝5eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，則這種交變電流在0.5s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)是________________．解析：周期T＝eq\f(1,50)s，所以頻率為每秒50次，所以0.5秒內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為25.答案：258．某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))(A＞0，x＝1，2，3，…，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫值為________℃.解析：依題意知，a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，所以y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))，當(dāng)x＝10時(shí)，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5.答案：20.5三、解答題9．試驗(yàn)室某一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的改變近似滿意函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，t∈[0，24)．(1)求試驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度；(2)求試驗(yàn)室這一天的最大溫差．解：(1)f(8)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8＋\f(π,3)))＝10－2sinπ＝10.故試驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度為10℃.(2)因?yàn)?≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.當(dāng)t＝2時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；當(dāng)t＝14時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.所以f(t)在[0，24)上的最大值為12，最小值為8.故試驗(yàn)室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.10．確定方程sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝lgx的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．解：作函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))及y＝lgx的圖象如圖所示，由圖可知，原方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為7.B級(jí)實(shí)力提升1．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為點(diǎn)(2，3)，與這個(gè)最高點(diǎn)相鄰的一個(gè)函數(shù)值為0的點(diǎn)是點(diǎn)(6，0)，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(π,4))) B．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))C．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))) D．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))解析：由題意知A＝3，eq\f(1,4)T＝6－2＝4，所以T＝16，故T＝eq\f(2π,ω)＝16，所以ω＝eq\f(π,8)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))，因?yàn)樽罡唿c(diǎn)為(2，3)，所以3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×2＋φ))＝3，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1，又0＜φ＜π.所以φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))).答案：C2．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品每件的售價(jià)按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)8千元，7月份價(jià)格最低，為4千元，則f(x)＝________．解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋B＝8，,－A＋B＝4，))解得A＝2，B＝6.周期T＝2×(7－3)＝8，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,4).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,4)＋φ))＋6.又當(dāng)x＝3時(shí)，y＝8，所以8＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＋6.所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝1，結(jié)合|φ|＜eq\f(π,2)可得φ＝－eq\f(π,4).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,4)－\f(π,4)))＋6.答案：2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,4)－\f(π,4)))＋63．如圖，游樂場(chǎng)中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈須要12分鐘，其中圓心O距離地面40.5米，半徑為40米．假如你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的改變而改變，從你登上摩天輪的時(shí)刻起先計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時(shí)，用了多長(zhǎng)時(shí)間？解：(1)由已知可設(shè)y＝40.5－40cosωt，t≥0，由周期為12分鐘可知，當(dāng)t＝6時(shí)，摩天輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝eq\f(π,6).所以y＝