人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案第22章 二次函數(shù)

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.1.1二次函數(shù)

教材分析

二次函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)與一次函數(shù)之后進(jìn)一步研究函數(shù)的重要章節(jié)，是描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的重要模型，在歷

年的中考題中占有較大比例,同時(shí),一次函數(shù)和以前學(xué)過的一元一次方程有著密切的聯(lián)系.一次函數(shù)的學(xué)習(xí)將為一

元二次方程的解法提供新的方法和途徑，并使學(xué)生更為深刻的理解"數(shù)形結(jié)合”的重要思想.而本節(jié)課的二次函數(shù)

的概念是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，是為后來學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象做鋪墊.教學(xué)時(shí)要注意與一次函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生

理解二次函數(shù)的概念及初步應(yīng)用二次函數(shù)列出實(shí)際問題中的解析式.

備課素材

力新課導(dǎo)入設(shè)正

【置疑導(dǎo)入】

(1)圓的半徑是r(cm)時(shí)，面積sicnd與半徑之間的關(guān)系是什么？

(2)用長(zhǎng)為20m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積y(nd與矩形一邊長(zhǎng)x(m)之間的關(guān)系是什么？

(3)設(shè)人民幣一年定期儲(chǔ)蓄的年利率是x,一年到期后，銀行將本金和利息自動(dòng)按一年定期儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)存.如果存款

額是100元，那么請(qǐng)問兩年后的本息和y(元)與x之間的關(guān)系是什么(不考慮利息稅)？

【說明與建議】說明：本處設(shè)計(jì)了三個(gè)問題，學(xué)生容易分析其中的變量以及變量之間的關(guān)系，也不難列出函

數(shù)解析式.通過類比一次函數(shù)的概念，歸納解析式的特點(diǎn)，引出二次函數(shù)的定義.建議：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，啟發(fā)

學(xué)生歸納出解析式的特點(diǎn)：(1)函數(shù)解析式的一邊為整式(表明這種函數(shù)與一次函數(shù)有共同的特征)；(2)自變量的最

高次數(shù)是2(這與一次函數(shù)不同).

【類比導(dǎo)入】

形如ax+b=0(aW0)的方程叫做一元一次方程，令y=ax+b,則y=ax+b(aW0)為一次函數(shù).

經(jīng)過上一章的學(xué)習(xí)，我們知道形如a(+bx+c=0(a工0)的方程叫做一元二次方程.如果我們令y=ax?+bx+c,

你會(huì)給y=ax'+bx+c(aXO)命名嗎？

【說明與建議】說明：從學(xué)生已經(jīng)熟悉的一元一次方程、一次函數(shù)出發(fā)，類比這種命名特點(diǎn)，歸納出二次函

數(shù)的概念.建議：引導(dǎo)學(xué)生尤其注意“一次”和“二次”，從而類比歸納.

◎命題熱點(diǎn)：

命題角度1二次函數(shù)的概念及識(shí)別

1.下列函數(shù)中一定是二次函數(shù)的是(D)

A.y=3x—1B.y=AC.y=ax'+bx+cD.y=3x'+x—1

2.下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是(D)

A.y=l-業(yè)2B.y=2x2+4C.y=1(x-l)(x+4)D.y=(x-2)2-x2

命題角度2利用二次函數(shù)的概念求待定字母的值或取值范圍

3.函數(shù)y=(m—3)x2+2x-1是二次函數(shù)，則

4.已知函數(shù)y=(m+2)x【/一2是二次函數(shù)，則m=2.

5.已知函數(shù)y=(m'+m)x'+mx+m+1.

(D當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？

解：(1)???函數(shù)y=(m2+m)x2+mx+m+l是一次函數(shù)，

.*.nf4-m=0,m#0.解得m=-1.

(2))二?函數(shù)y=(m2+m)x24-mx+m+l是二次函數(shù)，

?，?m'+m#。.解得m#—1且mWO.

命題角度3根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)解析式

6.(1)已知圓的面積ySiid與圓的半徑x(cm),寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年定期，設(shè)一年定期

的存款年利率為x,兩年后王先生共得本息和y萬元，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)一個(gè)圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與半徑r之間的關(guān)系式.

解：(l)y=x2(x>0).

(2)y=2(l+x)2(x>0).

2

(3)S=4nr(r>0).

包數(shù)學(xué)文化拓展閱謔

富蘭克林的遺囑

富蘭克林利用放風(fēng)箏而感受到電擊，從而發(fā)明了避雷針.這位美國(guó)著名的科學(xué)家死后留下了一份有趣的遺囑：

“……一千英磅贈(zèng)給波士頓的后民，如果他們接受了這一千英磅，那么這筆錢應(yīng)該托付給一些決選出來的公民，

他們得把這些錢按每年5%的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息.這筆錢過了1()0年增加到131C00英磅.我希望

那時(shí)候.用100000英磅來建立一所公共建筑物，剩下的31000英磅拿去繼續(xù)生息100年.在第二個(gè)100年末，這

筆錢增加到4061000英磅，其中1。61000英磅還是由波士頓的居民來支配，而其余的3000000英磅讓馬薩諸

塞州的公眾來管理.過此之后，我可不敢多做主張了！”

同學(xué)們，你可曾想過：區(qū)區(qū)的1C00英磅遺產(chǎn)，競(jìng)立下幾百萬英磅財(cái)產(chǎn)分配的遺囑，是“信口開河”，還是“言

而有據(jù)”呢？事實(shí)上，只要借助于復(fù)利公式，同學(xué)們完全可以通過計(jì)算而作出自己的判斷.

yn=m(l+a)n就是復(fù)利公式，其中田為木金，a為年利率，興為n年后本金與利息的總和.在第一個(gè)1()0年末富

蘭克林的一千英磅應(yīng)增加到y(tǒng)必=1000(14-5%),00^131501(英稔)，比遺囑中寫的還多出501英磅.在第二個(gè)100

,00

年末，遺產(chǎn)就更多了：ylOT=31501(1+5%)^4142421(英磅).可見富蘭克林的遺囑是有科學(xué)根據(jù)的.遺囑故事

啟示：在指數(shù)效應(yīng)下，微薄的財(cái)產(chǎn)，低廉的利率，可以變得令人瞠目結(jié)占.威名顯赫的拿破侖，由于陷進(jìn)了指數(shù)效

應(yīng)的旋渦而使法國(guó)政府十分難堪！

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題22.1.1二次函數(shù)授課人

1.學(xué)生能夠理解二次函數(shù)的概念，掌握根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式的方法，并了解如何根

據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍.

素養(yǎng)目標(biāo)

2.通過觀察、操作、交流歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)加深對(duì)二次函數(shù)概念的理解，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增

強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

教學(xué)重點(diǎn)對(duì)二次函數(shù)概念的理解.

教學(xué)難點(diǎn)由實(shí)際問題確定函數(shù)解析式和確定自變量的取值范圍.

授課類型新授課誤時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

幫助學(xué)生弄清自變量、

1.什么叫函數(shù)？我們之前學(xué)過了那些函數(shù)？函數(shù)、常量等概念，加

2.它們的形式是怎樣的？深對(duì)函數(shù)定義的理

回顧

3.一次函數(shù)(y=kx+b)的自變量是什么？常量是什么？為什么要有k解.強(qiáng)調(diào)kWO的條件，

W0的條件？k值對(duì)函數(shù)性質(zhì)有什么影響？以備與二次函數(shù)中的a

進(jìn)行比較.

【課堂引入】

問題：如圖，正方體的六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為X,

以學(xué)生熟悉、感興趣的

表面積為y,則y與x之間的函數(shù)解析式是什么？它是一次函數(shù)嗎？

活動(dòng)一：創(chuàng)問題作為課題引入，激

有什么特點(diǎn)？

設(shè)情境、導(dǎo)發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興

入新課趣，同時(shí)為引入新課奠

定基礎(chǔ).

學(xué)生思考后回答，教師點(diǎn)撥：這是我們今天需要學(xué)習(xí)和研究的“二

次函數(shù)”數(shù)學(xué)模型.

1.探究新知

(l)n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，場(chǎng)數(shù)m與球

隊(duì)數(shù)n之間有什么關(guān)系？每個(gè)隊(duì)要與幾個(gè)隊(duì)各比賽一場(chǎng)？

(2)某產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量是20t,計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年

都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將由計(jì)劃

所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？

教師提問：

(1)以上問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？列出問題中的函數(shù)

解析式.

由現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題入

(2)觀察上面的函數(shù)解析式，分析解析式有什么特點(diǎn).

手，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的

讓學(xué)生獨(dú)立思考完成解答，教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)與點(diǎn)撥，共同得到問題的

問題情境，通過問題的

結(jié)論.

解決為得出二次函數(shù)的

教師歸納總結(jié)：在上面的問題中，y=6x2,m=1n2-1n,y=20x'+40x

定義做好鋪墊，并讓學(xué)

活動(dòng)二：實(shí)+20都是用自變量的二次式表示的.

生感受到身邊的數(shù)學(xué)，

踐探究、交教師板書：

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好

流新知一般地，形如y=a六+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)的函數(shù)，叫做二

奇心和求知欲，學(xué)生通

次困數(shù).

過分析、交流探究二次

2.解析新知

函數(shù)的概念，加深對(duì)概

教師指導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)的定義，交流、討論二次函數(shù)的特征，并

念的理解，為解決問題

進(jìn)行總結(jié)：

打下基礎(chǔ).

①等式左邊是函數(shù)“右邊是關(guān)于自變量的整式；

②a,b,c都是常數(shù)，aWO；

③等式右邊自變量的最高次數(shù)為2,一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以為0,但是

必須保留二次項(xiàng)；

④自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

教師做好歸納：

二次函數(shù)的一股形式：y=ax"+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aWO),ax2

叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，bx叫做一次項(xiàng)，3叫做一次項(xiàng)系數(shù)，

c是常數(shù)項(xiàng).

【典型例題】

例1下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)，哪些不是？若是二次函數(shù)，指出

相應(yīng)的a,b,c.

(l)y=—3x+7.(2)y=x(x—5).(3)y=3x(2—x)+3x2.

例2若函數(shù)丫=(01—3)(一2是二次函數(shù)，則m的值為土

例3如圖，矩形綠地的長(zhǎng)、寬各增加xm,寫出擴(kuò)充后的綠地的面

積y與x的關(guān)系式.1.對(duì)例題的學(xué)習(xí)，其目

的是鞏固新知，通過老

師的板演，進(jìn)一步熟悉

基本概念并強(qiáng)調(diào)二次函

2

解：y=x+50x+600數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不等于

活動(dòng)三：開

師生活動(dòng)：學(xué)生自主進(jìn)行解答問題后，分組展開討論，待學(xué)生充分交0.

放訓(xùn)練、體

流后，教師組織學(xué)生展示自己的答案，共同得到正確的結(jié)論，并獲得2.對(duì)變式訓(xùn)練的學(xué)習(xí)，

現(xiàn)應(yīng)用

解題的經(jīng)驗(yàn).可以體現(xiàn)知識(shí)的延伸，

【變式訓(xùn)練】使學(xué)生在關(guān)注指數(shù)的同

1.若y=(a+3)x'i+3x是二次函數(shù)，則a=3.時(shí)也關(guān)注到系數(shù)，并培

2.矩形的周長(zhǎng)為16cm,它的一邊長(zhǎng)為xcm,面積為ycm；求：養(yǎng)學(xué)生用分類討論思想

(Dy與x之間的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍.解題的思維.

(2)當(dāng)x=3時(shí)矩形的面積.

解:(l)y=-x2+8x(0<x<8).

(2)當(dāng)x=3時(shí),y=-324-8X3=15(cm2).

教師重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生對(duì)已解問題與未解問題的對(duì)比分析能力；給予學(xué)

生一定的時(shí)間去思考、充分討論，爭(zhēng)取讓學(xué)生自己得到解答方法，并

對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生適當(dāng)引導(dǎo)、點(diǎn)撥.

【課堂檢測(cè)】

從簡(jiǎn)單的應(yīng)用開始，及

1.二次函數(shù)y=3x-1x2的二次項(xiàng)系數(shù)是二會(huì)一次項(xiàng)系數(shù)是3.

時(shí)鞏固新知，從多個(gè)角

活動(dòng)四：課2.觀察：@y=6x2；②y=-3x?+5；③丫=20(^+400*+200；0y度進(jìn)行考察，讓學(xué)生獲

堂檢測(cè)=X3-2x；?y=x2—~+31；⑥y=(x+l)2—X?.這六個(gè)式子中，二次得對(duì)二次函數(shù)深層次的

理解，達(dá)到學(xué)有所成的

函數(shù)有①②③.(只填序號(hào))

目的.

3.若函數(shù)y=(a—2)xa?-2+a是二次函數(shù).

(1)求a的值.

(2)求函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)x=-2時(shí)，y的值是多少？

a2—2=2,

解：(1)由題意，得Jc一八解得a=-2.

[a—2W0,

(2)當(dāng)a=—2時(shí)，函數(shù)關(guān)系式為y=(—2—2)x2—2=-4/一2.

(3)將x=-2代入函數(shù)關(guān)系式中，得y=-4X(—2)2-2=-18.

4.根據(jù)卜.面的條件列出函數(shù)解析式，并判斷列出的函數(shù)是否為二次

函數(shù).

(1)如果兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)比另一個(gè)大5,那么這兩個(gè)數(shù)的乘積p是較大

的數(shù)m的函數(shù).

(2)一個(gè)半徑為10cm的圓上，挖掉4個(gè)大小相同的正方形孔，剩余

的面積S(cm2)是方孔邊長(zhǎng)x(cm)的函數(shù).

(3)有一塊長(zhǎng)為60m、寬為40m的矩形綠地，計(jì)劃在它的四周相同的

寬度內(nèi)種植闊葉草，中間種郁金香，那么郁金香的種植面積S(cm?)是

草坪寬度a(m)的函數(shù).

解：⑴p=m(m-5)=m'一5nb是二次函數(shù).

(2)S=100JT-4x2,是二次函數(shù).

(3)S=(60-2a)(40-2a)=4a-200a+2400,是二次函數(shù).

學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解.

1.課堂小結(jié)：

(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？學(xué)生歸納本節(jié)課學(xué)習(xí)的

(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？請(qǐng)同學(xué)們說一說.主要內(nèi)容，讓學(xué)生自覺

課堂小結(jié)教師進(jìn)行總結(jié)：①二次函數(shù)的定義及各部分名稱：②根據(jù)實(shí)際問題列對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理，

二次函數(shù)解析式及求函數(shù)值.形成體系，養(yǎng)成良好的

2.布置作業(yè)：學(xué)習(xí)習(xí)慣.

教材第29頁練習(xí)第1題，教材第41頁習(xí)題22.1第1,2題.

22.1.1二次函數(shù)

二次函數(shù)定義：一般地，形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aNO)

板書設(shè)計(jì)提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.

的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù).其中，x是自變量，a,b,c分別是函

數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

教學(xué)反思反思，更進(jìn)一步提升.

經(jīng)典導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)

詳見電了?資源

22.1.2二次函數(shù)丫=2*2的圖象和性質(zhì)

教材分析

《二次函數(shù)y=ax?的圖象與性質(zhì)》是初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)的一節(jié)內(nèi)容.本課是在學(xué)生掌握了二次函數(shù)

的概念的條件下對(duì)二次函數(shù)y=a/的圖象與性質(zhì)進(jìn)一步的研究，通過作出二次函數(shù)的圖象來研究它的開口方向，對(duì)

稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)等性質(zhì).教學(xué)時(shí)注意強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)的圖象是一條平滑的曲線一一“拋物線”；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)

圖象和性質(zhì)作歸納時(shí)要分類討論,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的能力.

備課素材

⑥新課導(dǎo)入設(shè)IE

【情景導(dǎo)入】

如圖1,你知道打籃球投籃時(shí)籃球運(yùn)動(dòng)的路線是什么嗎？你知道姚明投籃為什么那么準(zhǔn)嗎？觀察投籃時(shí)籃球的

運(yùn)動(dòng)路線，思考分析籃球的運(yùn)動(dòng)路線有何規(guī)律，怎樣用數(shù)學(xué)規(guī)律來描述？

【說明與建議】說明：通過對(duì)拋物線實(shí)際問題的導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究新知的欲望，增加對(duì)拋物

線初步的了解和認(rèn)識(shí).建議：教師做模擬試驗(yàn)，直觀展示投籃路徑，更能激發(fā)學(xué)生對(duì)其路徑的數(shù)學(xué)探究的欲望，讓

學(xué)生養(yǎng)成觀察思考的好習(xí)慣.

【歸納導(dǎo)入】

(1)二次函數(shù)y=x2的自變量的取值范圍是什么？你能取完自變量x的所有值嗎？如果不能，你認(rèn)為在列出的表

格中自變量x取哪些值合適？

對(duì)于函數(shù)解析式y(tǒng)=x2,選擇x的適當(dāng)值，并計(jì)算相應(yīng)的y值，完成下表：

x…—3—2—10123

y=x2

(2)描點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的擺放特點(diǎn)，能用一條直線將它們連接起來嗎？如果不能，你準(zhǔn)備用一條什么樣的

線將它們連接起來呢？

y

io

9

8

7

6

5'

3

2

1

-4-3-2-10I234x

-I

圖2

在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并用平滑曲線連接各點(diǎn).

【說明與建議】說明：學(xué)生已經(jīng)有畫函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn)和水平，掌握了畫函數(shù)圖象的一般步驟.本節(jié)通過畫二

次函數(shù)y=x?的圖象，引入本節(jié)新課，進(jìn)而類比得出二次項(xiàng)系數(shù)不是1的情形及它們的性質(zhì).建議：先留給學(xué)生動(dòng)

手畫圖的時(shí)間，然后教師要引導(dǎo)學(xué)生分析二次函數(shù)y=x?的性質(zhì)，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

◎命題熱點(diǎn)：

命題角度1確定拋物線的頂點(diǎn)、開口方向、對(duì)稱軸、增減性、最值等

1.(1)函數(shù)y=-3x?的圖象開口同工，對(duì)稱軸是盤，頂點(diǎn)是10,0),頂點(diǎn)是拋物線的最直點(diǎn).

(2)函數(shù)y=4xz的圖象開口包上，對(duì)稱軸是建，頂點(diǎn)是處生—在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而避￡在

對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而埴人.

2.如圖，觀察函數(shù)y=(k-l)x2的圖象，則k的取值范圍是k>L

命題角度2二次函數(shù)丫=2乂2的圖象及其性質(zhì)與幾何綜合

3.已知二次函數(shù)y=2x；

⑴若點(diǎn)(一2,yj與(3,y”在此二次函數(shù)的圖象上，則山三、￡(填，'"=”或“<”)

(2)如圖，此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),長(zhǎng)方形ABC1)的頂點(diǎn)A,B在x軸上，C,I)恰好在二次函數(shù)的圖象

卜,B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.求圖中陰影部分的面積之和.

解：S陰影群分明稅之和=16.

命題角度3綜合考查二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=ax+b的圖象及性質(zhì)

4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=mx"與一次函數(shù)y=-mx-m的圖象可能是(C)

㈢數(shù)學(xué)文化拓展閱談

汽車前燈中的數(shù)學(xué)

大家都知道汽車前照燈發(fā)出的光可以照亮車體前方的路況，使駕駛者可以在漆黑的夜晚安全地行車，保證視野

清晰.如果你留心便會(huì)發(fā)現(xiàn)，汽車前燈后面的反射鏡呈拋物線的形狀.把拋物線沿它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周，就會(huì)形成

一個(gè)拋物面，這種拋物面形狀，正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀，這種形狀使車燈既能夠發(fā)出明亮的、照射

距離很遠(yuǎn)的平行光束，又能發(fā)出較暗的、照射距離較近的光線.

我們都知道常規(guī)的前照燈主要由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成.明亮的光束是由位于拋物面形狀反射鏡焦點(diǎn)

的光源射出的，燈泡位于拋物面的焦點(diǎn)上，燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束，再經(jīng)過配光鏡的散射、

偏轉(zhuǎn)作用，以達(dá)到照亮路面的效果，這樣的燈光我們常稱為遠(yuǎn)光燈；而較暗的光線是由于光線的行進(jìn)與拋物線的時(shí)

稱軸不平行，光線只能向上和向下照射，所以照射距離并不遠(yuǎn)，若把向上射出的光線遮住，車燈就只能發(fā)出向下的、

射的很近的光線了.

由上面所知，汽車大燈反射鏡射出的燈光是平行光束，我們可以知道汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線是拋

物線，由拋物線的性質(zhì)可知，經(jīng)過反射鏡的反射，能夠沿著與拋物線的對(duì)稱軸平行的方向發(fā)射出去平行光線，反之，

與拋物線的軸平行的光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)拋物面反射后，都聚集到拋物線的焦點(diǎn)上，這就是拋物線的光學(xué)性質(zhì)，它被廣泛應(yīng)

用于探照燈、汽車前燈、拋物面天線等方面.

教學(xué)設(shè)計(jì).

課題22.1.2二次函數(shù)丫=2r的圖象和性質(zhì)授課人

1.通過畫圖，了解二次函數(shù)y=ax2(a#0)的圖象是一條拋物線，理解其頂點(diǎn)為何是原點(diǎn)，對(duì)稱軸

為何是y軸，開口方向?yàn)楹蜗蛏?或向下)，掌握其頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向、最值和增減性與解

素養(yǎng)目標(biāo)析式的內(nèi)在關(guān)系，能運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問題.

2.通過對(duì)函數(shù)圖象的觀察，掌握二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax"aW())與函數(shù)圖象的聯(lián)系，并運(yùn)用“數(shù)形

結(jié)合”的方法解決拋物線有關(guān)問題.

教學(xué)重點(diǎn)畫出二次函數(shù)y=(的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象分析其性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)用描點(diǎn)法準(zhǔn)確畫出二次函數(shù)的圖象.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)'

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

1.回憶二次函數(shù)的定義

教師提出問題，學(xué)生進(jìn)行回答.讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)

定義：一-般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aNO)的函數(shù)，叫做函數(shù)的過程和方

二次函數(shù).法，引導(dǎo)學(xué)生在

回顧

2.我們?cè)撊绾窝芯恳粋€(gè)函數(shù)呢？從哪些方面入手呢？學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)

探究結(jié)論：學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，先研究正比例函數(shù)，同樣在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，研究問題的一般

也是從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)入手，先研究b,c都等于()的情況，即研究最簡(jiǎn)規(guī)律.

單的二次函數(shù)y=ax'的圖象和性質(zhì).

1.畫二次函數(shù)y

=ad的圖象是本

【課堂引入】節(jié)課的重點(diǎn)與難

問題：如何畫出二次函數(shù)y=x2的圖象呢？點(diǎn)，因此，需要

師生活動(dòng)：逐步引導(dǎo)，而列

師生共同討論，得到畫函數(shù)圖象的一般步驟：列麥、描點(diǎn)、連線.表是三個(gè)步驟中

1.列表:最為關(guān)鍵的環(huán)

問題：自變量該如何取值呢？節(jié)，要分析透徹，

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)

學(xué)生交流、討論，得到結(jié)論.鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自

情境、導(dǎo)入新

二次函數(shù)y=x2中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，而且當(dāng)自變量互為相反數(shù)己的看法.

課

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，因此，以原點(diǎn)為中心在原點(diǎn)的左右兩側(cè)均勻地選2.讓學(xué)生感悟到

取便于計(jì)算的x值即可.一條平滑的曲線

X???-3-2-10123???連接；體會(huì)到二

y=x2???9410149???次函數(shù)的圖象是

2.描點(diǎn)：請(qǐng)同學(xué)們把表格中的點(diǎn)在坐標(biāo)紙上描出來.形如拋物線形

3.連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，在連線過程中，觀察圖象的形狀.狀;在使用計(jì)算

機(jī)驗(yàn)證時(shí)，讓學(xué)

生確信二次函數(shù)

的圖象就是拋物

線，合理地展示

出初學(xué)者對(duì)畫拋

物線的認(rèn)識(shí)過

程.

1.二次函數(shù)y=x2的圖象總結(jié)

師生活動(dòng)：學(xué)生在坐標(biāo)紙上畫出圖象，教師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，并

1.在同一平面直

予以糾正、指導(dǎo).

角坐標(biāo)系中畫函

教師利用展臺(tái)展示學(xué)生的優(yōu)秀作品，并引導(dǎo)學(xué)生大膽說出圖象的特征.

數(shù)圖象，使得對(duì)

二次函數(shù)y=(的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃或擲鉛球時(shí)球在空

比更加強(qiáng)烈，小

中所經(jīng)過的路線，這條曲線叫做拋物線.拋物線開口方向向上或向下，是

組討論的學(xué)習(xí)方

軸對(duì)稱圖形，它與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).

式可以使個(gè)人想

2.觀察類比，探究異同

法得到糾正和補(bǔ)

在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=Jx2和y=2x”的圖象，并

充.

觀察圖象有哪些特征.2.利用幾何畫板

師生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出兩個(gè)二次函數(shù)的圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，

活動(dòng)二：實(shí)踐象，完成后觀察并分組討論圖象之間的異同點(diǎn)，總結(jié)出當(dāng)a>0時(shí)，二次函所畫拋物線準(zhǔn)

探究、交流新數(shù)丫=&(的圖象特征.確，對(duì)比明顯，

知探究二次函數(shù)y=—y=—和y=—2/的圖象，并思考這些拋物線有結(jié)論易得，使學(xué)

生感受深刻.

什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn).

3.在分析總結(jié)過

師生活動(dòng)：教師利用幾何畫板進(jìn)行畫圖演示，學(xué)生觀察三個(gè)函數(shù)圖象，并

程中，把所得結(jié)

比較異同，獨(dú)自總結(jié)規(guī)律.教師進(jìn)行個(gè)別提問，學(xué)生獨(dú)立作答，師生共同

論填進(jìn)表格，對(duì)

確定規(guī)律.

學(xué)生思路起到了

3.總結(jié)歸納，形成規(guī)律

引導(dǎo)作用，更直

總結(jié)二次函數(shù)y=ax2(a^O)的圖象的特征.

觀易懂.

學(xué)生獨(dú)立歸納二次函數(shù)丫=2/的圖象特征，并填表：

4.設(shè)置同步練

二次函數(shù)開口方對(duì)稱頂點(diǎn)函數(shù)的

最值習(xí)，可以鞏固新

y=ax2向軸坐標(biāo)增減性

知，促進(jìn)理解.

a>0

a<0

歸納：一般地，拋物線y=ax?的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，

拋物線的開口向上,頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，a越大，拋物線的開II越小；

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，a越大，拋物線的

開口越大.

練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=3x?的圖象，并填空.

二次函數(shù)y=3x?的圖象是一條開口向上的拋物線，對(duì)稱軸是y軸,頂點(diǎn)坐

標(biāo)是(0,0),當(dāng)x=2_時(shí)，y有最小值，為6

【典型例題】

例1下列拋物線中，開口向下的有(B)

①y=一近2；②丫=箱@y=i0x2；④y=—親；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例2若拋物線y=ax2(a#0),過點(diǎn)(1,2).

⑴則a的值是2

1.復(fù)習(xí)二次函數(shù)

(2)對(duì)稱軸是y軸,開口向上.

y=ax?的圖象及

⑶頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),頂點(diǎn)是拋物線上的最小值.拋物線在x軸的上方(除

其特點(diǎn).

頂點(diǎn)外).

2.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)

(4)若A(x”y),E(X2,y2)在這條拋物線上,且xi<X2<0,則y2y2.

形結(jié)合的思想解

活動(dòng)三：開放學(xué)生自主解答問題后，分組展開討論，待學(xué)生充分交流后，教師組織學(xué)生

決問題的能力.

訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)展示自己的答案，共同得到正確的結(jié)論.

3.可以體現(xiàn)知識(shí)

用【變式訓(xùn)練】

的延伸，使學(xué)生

1.二次函數(shù)y=-3x?的圖象一定經(jīng)過(B)

在關(guān)注a的正負(fù)

A.第一、二象限B.第三、四象限

的同時(shí)也關(guān)注到

C.第一、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

a的絕對(duì)值的大

2.拋物線y=2x2，尸吳y=一1的共同特點(diǎn)是⑼

小.

A.關(guān)于y軸對(duì)稱，開口向上

B.關(guān)于y軸對(duì)稱，？隨x的增大而增大

C.關(guān)于y軸對(duì)稱，？隨*的增大而減小

D.關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)是原點(diǎn)

2

3.在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系x()y中，二次函數(shù)yi=aix\y2=a2x\y3=a3x

的圖象如圖所不，則a］，a2>a：；的大小關(guān)系為as>a2>ai(用“>"連接).

【課堂檢測(cè)】

1.下列是一些關(guān)于函數(shù)y=-2x2的圖象的說法：①圖象是一條拋物線；②

開口向下；③對(duì)稱軸是y軸；④頂點(diǎn)(0,0).其中正確的有(D)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)I).4個(gè)從簡(jiǎn)單的應(yīng)用開

2.下列四個(gè)選項(xiàng)中，函數(shù)y=ax+a與y=ax2(aWC)的圖象表示正確的是(B)始，及時(shí)鞏固新

W、,UL'知，讓學(xué)生獲得

干子大對(duì)二次函數(shù)y=

af(aWO)的圖象

ABCI)相性質(zhì)的深層次

3?已知拋物線y=ax2(a>0)經(jīng)過A(—2,yj,B(Ly,兩點(diǎn)，則下列關(guān)系式

的理解，T2是一

活動(dòng)四：課堂

一定正確的是(C)次函數(shù)與二次函

檢測(cè)

A.y)>0>y2B.y2>0>yi數(shù)相結(jié)合的數(shù)形

C.yi>y2>0D.y2>yi>0結(jié)合問題，讓學(xué)

4.已知拋物線y=ax?經(jīng)過點(diǎn)(1,3).生體會(huì)參數(shù)對(duì)圖

(1)求a的值.象的作用.從多

(2)當(dāng)x=3時(shí)，，求y的值.個(gè)角度進(jìn)行檢

(3)說出此二次函數(shù)的三條性質(zhì).測(cè)，達(dá)到學(xué)有所

解：(1廣??拋物線丫=@*2經(jīng)過點(diǎn)(1,3),???aXl=3.，a=3.成的目的.

⑵把x=3代入拋物線y=3x>得y=3X3>=27.

(3)拋物線的開口向上；坐標(biāo)原點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的

增大而增大：拋物淺有最低點(diǎn)，當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，是y=0等.

1.課堂小結(jié)：

小結(jié)環(huán)節(jié)的設(shè)置

請(qǐng)同學(xué)們回顧本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，思考以下問題