專題06三角形全等、相似及綜合應用模型（解析版）

專題06三角形全等、相似及綜合應用模型題型解讀｜模型構建｜通關試練三角形的相關知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎，所以是中考考試的必考知識點。在考察題型上，三角形基礎知識部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等。特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查重點，年年都會考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結的，且等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大。直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸。模型01與三角形有關的線段應用高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12BCDE模型02與三角形有關的角的應用（1）三角形的內(nèi)角：（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．模型03三角形全等的判定及應用（1）全等三角形的定義：全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。（2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，全等三角形對應角相等。（3）全等三角形的判定：（1）兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）兩角分別相等且其中一組等角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）（4）三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。模型04三角形相似的判定及綜合應用（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．模型05三角形折疊問題探究三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2-∠1模型06三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）該模型重點分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角），結合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結合經(jīng)典例題和專項訓練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學的綜合解題能力。（1）手拉手模型：將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導角，即等角加（減）公共角）。（2）半角模型：半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。模型特征：等線段，共端點，含半角思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補短）構造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關結論。模型01與三角形有關的線段應用考｜向｜預｜測與三角形有關的線段應用該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以基礎或中檔題為主。解這類問題的關鍵是了解三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)，結合三角形的性質(zhì)及相關判定定理與推論進行解題。答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意，判定所考察的知識點第二步：結合三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)進行解題；第三步：進行相關計算解決問題例1.（2022·安徽）如圖，和是的中線，則以下結論：①；②是的重心；③與面積相等；④過的直線平分線段；⑤；⑥，其中正確的結論有（

）

A．①②③⑤B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥【答案】B【詳解】解：∵和是的中線，∴，分別為，的中點，∴，，故①正確；∵和是的中線，∴點是的重心，故②正確；∵，∴，故③正確；∵點是的重心，∴過的直線平分線段，故④正確；根據(jù)已知條件無法判定，，故⑤，⑥錯誤．故選：B．例2．（2023?遼寧）如圖：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F．下列結論：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，則BC＝AB．正確結論的序號是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②【答案】A【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ACB＝90°，∵∠EBC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠ACB，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝CD，∴∠FCD＝∠DFC＝45°，故①正確；∵BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正確；∵＝＝，∴S△ABF：S△AFC＝AD：FD，故③正確；∵△BDF≌△ADC，∴BF＝AC∵BF＝2EC，∴AC＝2EC，∴E為AC的中點，∵BE⊥AC，∴BE為線段AC的垂直平分線，∴BA＝BC，故④正確，所以，正確結論的序號是：①③④，故選：A．模型02與三角形有關的角的應用考｜向｜預｜測與三角形有關的角的應用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。主要考查了三角形的內(nèi)角和是定理，三角形的外角定理及結合三角形角平分線的定義，三角形高的定義等看，靈活運用三角形的內(nèi)角和定理進行角度的計算是解答此題的關鍵。答｜題｜技｜巧第一步：直接根據(jù)兩已知角求第三個角；第二步：依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；第三步：在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角；第四步：若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．例1．（20023·浙江）如圖△ABC，已知BE為∠ABC的平分線．若∠ABC=62°，∠A比∠ABC大10°，求A．134° B．114° C．46° D．103°【答案】D【詳解】解：∵BE平分∠ABC，且∠∴∠ABE∵∠A比∠ABC大∴∠A∵∠BEC∴∠BEC故選：D．例2．（2023·吉林）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=46°，∠

A．22° B．27° C．53° D．63°【答案】B【詳解】∵∠ACE∴∠∵AD平分∠BAC∴∠DAB∴∠ADC∵EF⊥∴∠EFD∴∠E故選:B.模型03三角形全等的判定及應用考｜向｜預｜測三角形全等的判定及應用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關鍵是準確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊。答｜題｜技｜巧第一步：認真分析題目的已知和求證；第二步：分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；第三步：在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形；第四步：最后把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關系是關鍵．例1．（2023?上海）如圖，點是上任一點，，從下列各條件中補充一個條件，不一定能推出的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：、補充，先證出，后能推出，故此選項錯誤；、補充，先證出，后能推出，故此選項錯誤．、補充，不能推出，故此選項正確；、補充，先證出，后能推出，故此選項錯誤；故選：．例2．（2023?安徽）如圖，點、分別在、上，與相交于點，連接，如果，，那么圖中的全等三角形共有對．【答案】5【詳解】解：在和中，，，，，，，，在和中，，，在和中，，，同理可得，，綜上所述，圖中的全等三角形共有5對．故答案為：5．模型04三角形相似的判定及綜合應用考｜向｜預｜測三角形相似的判定及綜合應用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結合或者利用相似求長度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關鍵是熟練應用三角形的判定方法，兩組角對應相等，兩個三角形相似；兩組邊對應成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應成比例，兩個三角形相似。解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結合和方程思想的應用．答｜題｜技｜巧第一步：認真分析題目的已知和求證；第二步：分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；第三步：在應用三角形相似的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形；第四步：最后把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關系是關鍵．例1.（2023·山西）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．例2.（2023·安徽）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．【答案】【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．模型05三角形折疊問題探究考｜向｜預｜測與圓的性質(zhì)有關的證明與計算該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問題，難度系數(shù)較大。三角形的折疊問題注意折疊前后對應邊相等、對應角相等，在多解題型中，準確畫出折疊后的圖形是我們解題的關鍵。結合三角形相關的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關知識點進行解題。答｜題｜技｜巧第一步：運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；第二步：在圖形中找到一個直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；第三步：利用勾股定理列方程求出x；第四步：進行相關計算解決問題.例1．（2023?山東）對于題目：“如圖，點M，N分別是長方形ABCD的邊AB和BC上的點，沿MN折疊長方形ABCD，點B落在點B′處，若∠MNB′與∠CNB′兩個角之差的絕對值為45°，確定∠BNM的所有度數(shù)．”甲的結論是∠BNM＝45°，乙的結論是∠BNM＝60°．下列判斷正確的是（）A．甲的結論正確 B．乙的結論正確 C．甲、乙的結論合在一起才正確 D．甲、乙的結論合在一起也不正確【答案】D【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知：∠MNB′＝∠BNM，①當∠MNB′與∠CNB′兩個角之差為45°，即∠MNB′＝∠CNB′+45°時，∠CNB′＝∠MNB′﹣45°＝∠BNM﹣45°，∵∠MNB′+∠MNB+∠CNB′＝180°，∴∠BNM+∠BNM+∠BNM﹣45°＝180°，解得：∠BNM＝75°，②當∠CNB′與∠MNB′兩個角之差為45°，即∠MNB′＝∠CNB′﹣45°時，∠CNB′＝∠MNB′+45°＝∠BNM+45°，∵∠MNB′+∠MNB+∠CNB′＝180°，∴∠BNM+∠BNM+∠BNM+45°＝180°，解得：∠BNM＝45°綜上所述：∠BNM＝75°或45°．故選：D．例2．（2023?湖北）如圖，△ABC中，點D是BC上一點，將△ABD沿著AD翻折，得到△ADE，AE交BC于點F．若AE⊥BC，點D到AB的距離等于（）A．DF B．DB C．DC D．CF【答案】A【詳解】解：由折疊可知：∠BAD＝∠EAD，∵DF⊥AE，∴點D到AB的距離等于DF，故選：A．模型06三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）考｜向｜預｜測三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強，有一定難度，本專題重點分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角、對角互補模型），結合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結合經(jīng)典例題和專項訓練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學的綜合解題能力。答｜題｜技｜巧第一步：找準旋轉(zhuǎn)中心；第二步：確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在的兩個三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；第三步：學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題；第四步：數(shù)形結合進行分析、解答例1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【詳解】解：∵△ADC繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無法判斷BE＝CD，故①錯誤，故選：C．例2．（2023·湖南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點D，E分別為邊AB，BC上的中點，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當∠AEC＝90°時，請直接寫出EC的長．【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)【詳解】(1)EC與AD垂直且相等，理由如下：延長CE交AD于F，交AB于O，∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE，∴故答案為：EC＝AD，EC⊥AD；(2)設DE與AB的交點為H，∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分線，∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，∵BE＝，∴BH＝HE＝1，∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，∴CE＝AE＝；(3)如圖4，當點E在BC上方時，過點B作BG⊥DE于G，∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A、E、D三點共線，∴AG＝，∴AD＝AG+DG＝，∴CE＝AD＝+1；如圖，當點E在BC下方時，同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．綜上：CE＝+1或﹣1．1.（2022?廣東）如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，點M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長線于點N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，則∠N的度數(shù)為（）A．22° B．27° C．30° D．37°【答案】B【詳解】解：如圖所示，∠NAC是三角形ABC的一個外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA與∠COM互為對頂角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故選：B．2．（2023?貴州）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°【答案】A【詳解】解：如圖，由題意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故選：A．3．（2023?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【答案】D【詳解】解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設AC與DE交于點M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；∴AE平分∠BED，當∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，綜上所述：其中正確的有①③④．故選：D．4．（2023?四川）如圖，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段AN的長為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【詳解】解：設AN＝x，由翻折的性質(zhì)可知DN＝AN＝x，則BN＝9﹣x．∵D是BC的中點，∴BD＝＝3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，解得：x＝5．AN＝5．故選：B．5.（2023?重慶）如圖，在邊長為6的正方形內(nèi)作，交于點，交于點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長為．【答案】5【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為6，∴，∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴，∴點G、B、E三點共線，∵，∴，∵AE=AE，∴，∴，設，則有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得，即，解得：，∴；故答案為5．6.（2023·山東）如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．【答案】【詳解】解：如圖所示，延長到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．7．（2023·上海）等邊中，點在內(nèi)，點在外，且，，問是什么形狀的三角形？試說明你的結論．【答案】等邊三角形．【詳解】解：為等邊三角形．證明：為等邊三角形，．在與中，，．，．，，是等邊三角形．8.（2022·安徽）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．【答案】證明見解析．【詳解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．9．（2023?西安）如圖，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝68°，點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．（1）如圖1，當點P落在BC上時，求∠BEP的度數(shù)；（2）如圖2，當PF⊥AC時，求∠AEF的度數(shù)．【答案】（1）96°；（2）65°．【詳解】解：（1）∵△AEF沿EF折疊得到△PEF，∴△AEF≌△PEF，∴AE＝PE，∵點E為線段AB的中點，∴AE＝PE，∴BE＝EP，∴∠B＝∠EPB＝42°，∴∠BEP＝180°﹣∠B﹣∠EPB＝180°﹣42°﹣42°＝96°；（2）由（1）得△AEF≌△PEF，又∵PF⊥AC，∴∠AFP＝90°，∴∠AFE＝∠PFE＝AFP＝45°，∵∠B＝42°，∠C＝68°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，在△AEF中，∠AEF＝∠PEF＝180°﹣∠BAC﹣∠AFE＝65°．10．（2023?江蘇）已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點A在射線OQ上運動，點B在射線OM上運動，點A、B均不與點O重合．【探究】如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，則∠ABI＝25°．②在點A、B的運動過程中，∠AIB的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出∠AIB的度數(shù)；若變化，請說明理由．【拓展】如圖2，AI平分∠BAO交OB于點I，BC平分∠ABM，BC的反向延長線交AI的延長線于點D．在點A、B的運動過程中，∠ADB的大小是否會發(fā)生變化？若不變，直接寫出∠ADB的度數(shù)；若變化，直接寫出∠ADB的度數(shù)的變化范圍．【答案】（1）25°；（2）不變，∠AIB＝135°；不變，∠ADB＝45°【詳解】解：【探究】①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案為：25；②不變，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不變，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴點A、B在運動的過程中，∠ADB＝45°．1．如圖，AE是△ABC的中線，點D是BE上一點，若BD＝5，CD＝9，則CE的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】解：∵BD＝5，CD＝9，∴BC＝BD+CD＝14，∵AE是△ABC的中線，∴CE＝BE＝BC＝7，故選：C．2．如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，下列結論不一定成立的是（）A．BC＝2CE B． C．∠AFB＝90° D．AE＝CE【答案】D【詳解】解：∵AE是中線，∴BE＝CE，BC＝2CE．∴故選項A正確，不符合題意；∵AF是高，∴∠AFB＝90°，故選項C正確，不符合題意；∵AD是角平分線，∴∠BAD＝∠BAC．故選項B正確，不符合題意；根據(jù)題意不一定得出AE＝CE，故選項D不正確符合題意．故選：D．3．如圖，在△ABC中，AF是高，AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠C＝60°，則∠DAF的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】A【詳解】解：∵AF是高，∴∠AFC＝90°，∴∠C+∠CAF＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAF＝30°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∴∠DAF＝∠CAD﹣∠CAF＝40°﹣30°＝10°，故選：A．4．（2023?大同）如圖，P是△ABC內(nèi)一點，連接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，則∠BPC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【詳解】解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°，即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠2+2∠4＝80°，∴∠2+∠4＝40°，在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°，∴∠BPC＝140°，故選：D．5．（2023·江蘇）如圖，在中，，，點在的延長線上，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：過點作，垂足為，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：．6．（2023·廣東）如圖，在等邊三角形中，E為上一點，過點E的直線交于點F，交延長線于點D，作垂足為G，如，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：過E作，∵是等邊三角形，，，∴，，∵，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．7．如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于O，將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點C與O點恰好重合，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接，

∵是的平分線，∴，∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵為的平分線，∴點O是的外心，∴，∴，∵將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點C與O點恰好重合，∴，∴，在中，．故選：D．8．如圖，等邊的邊長為6，D是的中點，E是邊上的一點，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：過點作，交于點，于點，過點作于點，∵等邊的邊長為6，D是的中點，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∵等邊，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；故選A．9．（2023·四川）如圖，為線段上一動點（不與點，重合），在同側分別作正三角形和正三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接．以下四個結論：；；；連接，則．恒成立的結論有（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵和是等邊三角形，∴，，，∴，即，在與中，，∴，∴，故小題正確；∵（已證），∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故小題正確；∵，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故正確；在上截取，連接，分別過點作，，∵，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴∠，∵，，，∴平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故正確．故選：．10．添加輔助線是很多同學感覺比較困難的事情．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面積．同學們可以先思考一下…，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF＝DE，（如圖2）．同學們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△BDE的面積為．【答案】64．【詳解】解：如圖所示，連接AF，∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∵∠ABD＝∠C，∵∠E＝∠C，∵∠ABD＝∠E，在△ABF與△BED中，，∴△ABF≌△BED（SAS），∴S△ABF＝S△BDE，∵，∵BF＝×20＝8，∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，∴S△AFD＝×AD?DF＝×12×16＝96，∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．故答案為：64．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，點E為BC上一點，連接AE，∠BAE＝∠CAD，連接DE．下列結論中正確的是．（填序號）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，則AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．【答案】②③④．【詳解】解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設AC與DE交于點M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，當∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，∴①是不正確的；設∠BAE＝x，則∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正確的，故答案為：②③④．12．（2023?長沙模擬）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB＝AC，點E是BD上一點，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求證：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【詳解】證明：（1）∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB