2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：二次函數(shù)的綜合題（解析版）

2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯

專題13二次函數(shù)的綜合題

一、選擇題

1.（2024四川瀘州）已知二次函數(shù)丁=依2+（2?！?）x+a—1（尤是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、

四象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

93

A.—B.0<。<—

82

93

C.0<a<—D.1Wa<—

82

【答案】A

【解析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì).利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與無軸有2個(gè)交點(diǎn)，開口向

上，而且與y軸的交點(diǎn)不在負(fù)半軸上，然后解不等式組即可.

【詳解】??,二次函數(shù)丁=加+（2?！?）x+a—1圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

設(shè)拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為占，尤,，由題意可得

△二(2a-3『-4a(a-1)〉0

2〃—3八

再+%=------->0

a

"1、八

玉?12=----20

a

a〉。

9

解得

8

故選：A.

"+1

2.（2024四川自貢）一次函數(shù)y=%-2〃+4,二次函數(shù)y+（〃_］）%_3,反比例函數(shù)y=----

x

在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則〃的取值范圍是（）

C.-l<n<lD.1<n<2

【解析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意列

不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

-In+4>0

n+1>0

解得：—1<77<1,

的取值范圍是

故選：C.

二、填空題

1.（2024甘肅威武）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2

是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離無（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)

系丁=-0.02爐+0.3兀+1.6的圖象，點(diǎn)5（6,2.68）在圖象上.若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨

車截面看作長CD=4m,高。E=1.8m的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(nèi)（填“能”

或“不能”）.

圖1圖2

【答案】能

【解析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,根據(jù)題意求出當(dāng)x=2時(shí)，y的值，若此時(shí)y的值大于

1.8,則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：；CD=4m,5(6,2.68),

,,.6-4=2,

y=-0.02—+0.3x+1.6中，當(dāng)x=2時(shí)，y--0.02x22+0.3x2+1.6-2.12,

???2,12>1,8,

；?可判定貨車能完全停到車棚內(nèi),

故答案為：能.

7

2.（2024廣西）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)尸處）的高度OP是一m,出手后實(shí)心球沿

4

一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是5m,高度是4m.若實(shí)心球落地點(diǎn)為則

【解析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)拋物線為y=a(x—5『+4,把點(diǎn)［(),5),代入即

可求出解析式；當(dāng)y=。時(shí)，求得x的值，即為實(shí)心球被推出的水平距離.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤軸正半軸，射線。尸方向?yàn)閥軸正半軸，建立平面

直角坐標(biāo)系，

..?出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是5m,高度是4nl.

設(shè)拋物線解析式為：y=a(x—51+4,

把點(diǎn)代入得：25a+4=:,

9

解得：a=-----，

100

o9

???拋物線解析式為：y=——(x-5)+4；

100v7

o9

當(dāng)丁=0時(shí)，-----(%-5)+4=0,

100v)

535

解得，xx——(舍去)，x2=—，

33

_35

即此次實(shí)心球被推出的水平距離OM為—m.

3

35

故答案為：一

3

3.(2024四川德陽)如圖，拋物線y=0?+以+。的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為1-5九)，與不軸的一個(gè)交點(diǎn)

位于。和1之間，則以下結(jié)論：?abc>0；?5Z?+2c<0；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(—6,%),(5,%)，則

%>%；④若關(guān)于x的一元二次方程62+法+°=4無實(shí)數(shù)根，則〃<4.其中正確結(jié)論是

(請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)).

【解析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解

題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).①利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向即可判斷；②利用拋物

3

線的對(duì)稱軸求出。=—匕，根據(jù)圖象可得當(dāng)％=1時(shí)，y=a+b+c<0,即可判斷；③利用拋物線的

2

對(duì)稱軸，設(shè)(-6,%),(5,%)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為4，d],求出距離，根據(jù)圖象可得，距離

對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷.

【詳解】解：①V拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為-1,?

b___l

2a3

7〉。

即必>0,

2a3

由圖可知，拋物線開口方向向下，即〃<0,

.,./?<0,

當(dāng)％=0時(shí)，y=c>0,

abc>0,故①正確，符合題意；

②???直線X=-g是拋物線的對(duì)稱軸,

?._?A__—1，

2a3

b1八

??———〉0,

2a3

3

a=—b7

2

由圖象可得：當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c<G,

：.-b+c<Q,即55+2c<0,故②正確，符合題意;

2

③?..直線x=-§是拋物線的對(duì)稱軸，

設(shè)(-6,%),(5,y2)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為4,d2,

a.d2<d[,

根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大,

；?%<%，故③錯(cuò)誤，不符合題意；

..?關(guān)于X的一元二次方程+法+c=4無實(shí)數(shù)根,

n<4-,故④正確，符合題意.

故答案為：①②④

三、解答題

1.(2024甘肅臨夏)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-必+云+。與x軸交于4(-1,0),B(3,0)

(2)如圖1,點(diǎn)P是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作垂足為。，請(qǐng)問線段尸。

是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由.

(3)如圖2,點(diǎn)M是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作線段MV〃OC(點(diǎn)N在直線下方)，己知

MN=2,若線段MN與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

(2)存在，最大值是P\—I

8U4J

3-g3+Vn

⑶一--<x“<0或3<%M<---

【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)兩點(diǎn)式直接求出函數(shù)解析式即可；

(2)過點(diǎn)P作PEJ_x軸，交BC于點(diǎn)D,設(shè)P(m,一機(jī)2+2m+3),根據(jù)三角函數(shù)得到

PQ=PD-cosZOBC,得到當(dāng)PD最大時(shí)，P。的值最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；

(3)設(shè)M&T+3),得至求出點(diǎn)N恰好在拋物線上且MN=2時(shí)的/值，即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：；拋物線y=-犬+法+c與x軸交于4(—1,0),5(3,0)兩點(diǎn)，

y——(x+l)(x—3),

?*.y——d+2x+3；

【小問2詳解】

存在；

*.*y=—x2+2%+3,

，當(dāng)％=0時(shí)，y=3,

C(0,3)，

???5(3,0),

:.OC=3=OB,

???NOBC=45°,

設(shè)直線的解析式為：y=kx+3,把3(3,0)代入，得：k=-l,

y——x+3,

過點(diǎn)P作軸，交BC于點(diǎn)、D,設(shè)尸(機(jī),—n?+2m+3),貝八D(m,-m+3),

y

AO\EB^~x

,T(3Y9

PD=-m2+2m+3+m-3=-m~+3m=-m+一,

I2)4

?:PQ±BC,

：.ZPQD=90°=ZPEB,

?；ZPDQ=ZBDE,

:.NDPQ=NOBC=45°,

PQ=PD-cos45。=彳PD,

，當(dāng)P￡＞最大時(shí)，P。最大，

..pn_r3丫,9

I2)4

399r-

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，p。的最大值為三，此時(shí)尸。最大，為

248

【小問3詳解】

設(shè)+3),則：xN—t,

當(dāng)點(diǎn)N恰好在拋物線上時(shí)，貝U：N(t,-t2+2t+3),

：.MN=-t+3+t2-2t-3=t"-3t，

當(dāng)跖V=2時(shí)，貝U：/—3/=2，

.‘口3+7173-717

解得：t=——--或”——--，

22

..?線段與拋物線有交點(diǎn)，

...點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是3-,<X”<0或3<與<3+7.

2.（2024甘肅威武）如圖1,拋物線y=a（x—〃）？+左交x軸于O,4（4,0）兩點(diǎn),頂點(diǎn)為網(wǎng)2,2百）.點(diǎn)

C為。3的中點(diǎn).

（1）求拋物線y=a（x-/z）2+上的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)C作垂足為H,交拋物線于點(diǎn)E.求線段CE的長.

（3）點(diǎn)O為線段Q4上一動(dòng)點(diǎn)（。點(diǎn)除外），在OC右側(cè)作平行四邊形OCED.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②如圖3,連接班），BF，求應(yīng)）+5尸的最小值.

【答案】（1）>=—咚必+23

⑵B

2

（3）①42+后,G）②2s

【解析】【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為§（2,26）.設(shè)拋物線y=q（x—2>+2若，把4（4,0）代入解

析式，計(jì)算求解即可；

（2）根據(jù)頂點(diǎn)為3（2,2塔.點(diǎn)、C為OB的中點(diǎn),得到C0,6）,當(dāng)x=1時(shí)，y=—#+=孚，

得到浮］結(jié)合CH，Q4,垂足為H,得到。b=孚—G=￥的長.

（3）①根據(jù)題意，得。（1,君），結(jié)合四邊形OCED是平行四邊形，設(shè)尸（私行），結(jié)合點(diǎn)尸落在拋

物線上，得到岔=—無機(jī)2+26加，解得即可；

2

②過點(diǎn)2作BN，y軸于點(diǎn)N,作點(diǎn)D關(guān)于直線BN的對(duì)稱點(diǎn)G,過點(diǎn)G作G"_Ly軸于點(diǎn)H,連接

DG,CH,FG,利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計(jì)算解答即可.

【小問1詳解】

..?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3（2,2若）.

設(shè)拋物線y=a（x-2）2+2A/3,

把A（4,0）代入解析式，得a（4—2）2+2后=0,

解得a=—且，

2

y=-^-（x-2）2+26=-^-x2+2A/3X-

【小問2詳解】

?.?頂點(diǎn)為3（2,26）.點(diǎn)C為03的中點(diǎn)，

'：CHLOA,

：.CH〃,軸，

的橫坐標(biāo)為1,

設(shè),

當(dāng)％=1時(shí)，=-—+273

m22

CE=^-73=—.

22

【小問3詳解】

①根據(jù)題意，得C。,、療），

?/四邊形OCED是平行四邊形,

點(diǎn)C,點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同，

設(shè)川私6）,

:點(diǎn)尸落在拋物線上,

-\/3=，

解得m,=2+J5,wi,=2—J5（舍去）；

故/（2+后,G）.

②過點(diǎn)8作BN軸于點(diǎn)N,作點(diǎn)。關(guān)于直線RV的對(duì)稱點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH，y軸于點(diǎn)連

接DG,CH,FG,

則四邊形ODGH矩形，

OD=HG,OD\\HG,

?/四邊形OCED是平行四邊形，

OD=CF,OD11CF,

：.GH=CF,GH\\CF,

：.四邊形CFGH是平行四邊形，

FG=CH,

,/BG+BF>FG,

故當(dāng)3、G、尸三點(diǎn)共線時(shí)，BG+BF取得最小值,

；BG=BD,

5G+3尸的最小值，就是5D+5尸的最小值，且最小值就是CH,

延長FC交y軸于點(diǎn)M,

?/OD//CF,

/.ZHMC=ZHOD=90°,

VC（1,V3）,

CM=T,OM=6

?.?3（2,26）,

???ON=NH=26，

；?HM=ON+NH—OM=3瓜

HC=y/CM2+HM2=728=277-

故5。+5歹的最小值是2J7.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的

判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2024深圳)為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并

分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為無，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇

不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)5。的讀數(shù)為x,CD讀數(shù)為y,拋物線的頂點(diǎn)為C.

?②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(H)描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的(羽丁)描在圖2中；

(III)連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與龍的關(guān)系式；

(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-丸)2+左的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用

水平和豎直直尺測量其水平跨度為豎直跨度為CD,且=CD=n,為了求出該拋物線

的開口大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程:

方案一：將二次函數(shù)y=a(x-左平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式

y=ax2.

①此時(shí)點(diǎn)8'的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8'坐標(biāo)代入y=a/中，解得。=；(用含機(jī)，”的式子表示)

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為仇女)

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8坐標(biāo)代入,=a(x-/z)-+左中解得。=；(用含機(jī)，〃的式子表示)

(3)【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系中有A,B兩點(diǎn)，AB=4,且A5〃x軸，二次函

數(shù)G:必=2(x+〃y+左和C2：%=。(％+〃)2+6都經(jīng)過A，8兩點(diǎn)，且C1和。2的頂點(diǎn)P，。距線

段的距離之和為10,求a的值.

【答案】(1)圖見解析，y=-x2；

4

(1、4n(1、4ri

(2)方案一：①彳；②??；方案二：①〃+彳加，左+〃；②一T；

<2JmI2)m-

(3)。的值為；或.

22

【解析】【分析】(1)描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)圖形寫出點(diǎn)5,或點(diǎn)8的坐標(biāo)，再代入求解即可；

(3)先求得4(—丸―2,8+左)，5(—場+2,8+4)，G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為？(—〃，k),再求得C1頂點(diǎn)距線

段AB的距離為|(8+左)—川=8,得至ijC2的頂點(diǎn)距線段AB的距離為10-8=2,得到C2的頂點(diǎn)坐

標(biāo)為。(—始0+左)或。(—46+左)，再分類求解即可.

【小問1詳解】

解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示，

觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù)，

設(shè)拋物線的解析式為y^ax2+bx+c,

c=0

由題意得＜4〃+2b+c=l,

16〃+4b+c=4

.1

ci———

4

解得2。，

c=0

與x的關(guān)系式為y=-；

4

【小問2詳解】

解：方案一：①=CD=n,

：.D'B'=-m,

2

此時(shí)點(diǎn)5'的坐標(biāo)為；

故答案：［gm，”］；

②由題意得a=n,

4n

解得a=--,

m

4〃

故答案為：一7;

m

方案二：①：C點(diǎn)坐標(biāo)為（丸㈤，AB=m,CD=n,

DB=-m,

2

此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為\ji+-m,k+nj；

故答案為：+1■加，左+〃］；

②由題意得左+〃=—/z）+k，

4n

解得。=F，

m

4n

故答案為：--;

【小問3詳解】

解：根據(jù)題意G和。2的對(duì)稱軸為x=—丸，

則4（—丸―2,8+左），B（-h+2,S+k）,G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（-〃，k）,

AG頂點(diǎn)距線段AB的距離為|（8+左）-引=8,

G的頂點(diǎn)距線段AB的距離為10—8=2,

Q的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（-h,10+k）^Q（-h,6+k）,

當(dāng)C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（―入,10+左）時(shí)，y2=Q（X+/Z）2+10+左，

將A（—/z—2,8+人）代入得4。+10+左=8+左，解得a=-g；

當(dāng)C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（-h,6+k）時(shí)，y2=++6+左，

將4（—〃一2,8+左）代入得4a+6+左=8+左，解得。=（；

綜上，。的值為［或-

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解

題關(guān)鍵.

（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式;

(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為加元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該

種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值.

【答案】(1)y=-2X+80

(2)糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元

(3)2

【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是:

(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤x銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求解即可;

(3)設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤x銷售量-%x銷售量求出w關(guān)于無函數(shù)表達(dá)式，然

后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)y與X函數(shù)表達(dá)式為、=履+),

12左+5=56

把x=12,y=56；尤=20,y=40代入，得〈

20左+b=40'

k=-2

解得《

b=80

與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+80；

【小問2詳解】

解：設(shè)日銷售利潤為W元，

根據(jù)題意，得w=(x—10)-y

=(x-10)(-2x+80)

=-2X2+100X-800

=-2(X-25)2+450,

當(dāng)x=25時(shí)，W有最大值為450,

；?糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元;

【小問3詳解】

解：設(shè)日銷售利潤為w元，

根據(jù)題意，得w=-10-m)-丁

=(x-10-m)(-2x+80)

=-2x2+(100+2m)x-800-80m,

100+2m50+m

???當(dāng)％=_2x(_2)=2時(shí)'w有最大值為

_2^50+m^|+(100+2間^212^—800—80"，

,/糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，

..._2廣。;"J+(100+2m)-800-80m=392,

化簡得機(jī)2_60m+116=0

解得知=2,m2=58

b

當(dāng)機(jī)=58時(shí)，x=-----=54,

2a

則每盒的利潤為：54—10—58<0,舍去,

???根的值為2.

5.(2024武漢市)16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖.火

箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直

線運(yùn)行.某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程.如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直

于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線>和直線y=—gx+b.其

中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為9km時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí).

圖1圖2

(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km.

①直接寫出。，b的值；

②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低1.35km,求這兩個(gè)位置之間的距離.

（2）直接寫出。滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km.

【答案】（1）①。=一百，6=8.1；@8.4km

2

（2）-----<a<0

27

【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

（1）①將（9,3.6）代入即可求解；②將y=—1必+x變?yōu)閥=—葭）+?,即可確定頂點(diǎn)

坐標(biāo)，得出y=2.4km,進(jìn)而求得當(dāng)y=2.4km時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；

（2）若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為15km,求得a=-2，即可求解.

27

【小問1詳解】

解：①：火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km

拋物線y+%和直線丁=—gx+b均經(jīng)過點(diǎn)（9,3.6）

3.6=81a+9,3.6=——x9+b

2

解得a=—記"，6=8.1.

_11,

②由①知，y=-5%+8.1,丁=一+%

,最大值y=—km

4

當(dāng)y=9—L35=2.4km時(shí),

1

貝|]---X2?+%=2.4

解得西=12,%=3

又?.?％=9時(shí),y=3.6>2.4

??.當(dāng)y=2.4km時(shí),

則一工九+8.1=24

2

解得兄=11.4

11.4-3=8.4（km）

???這兩個(gè)位置之間的距離8.4km.

【小問2詳解】

解：當(dāng)水平距離超過15km時(shí)，

火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為（9,81。+9）,

將(9,81a+9),(15,0)代入丁=一；兀+乩得

81a+9=--x9+b,0=--xl5+Z?

22

,2

解得b=7.5,a=---

27

2

---<〃<€).

27

3兩點(diǎn)（A在B的右邊），交y軸于點(diǎn)C.

（2）如圖（1）,連接AC,BC,過第三象限的拋物線上的點(diǎn)尸作直線尸?！ˋC,交y軸于點(diǎn)Q.若

平分線段尸。，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,點(diǎn)O與原點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，過原點(diǎn)的直線E尸交拋物線于E,尸兩點(diǎn)（點(diǎn)E在

無軸下方），線段。E交拋物線于另一點(diǎn)G,連接FG.若NEG/=90°,求直線OE的解析式.

【答案】⑴A(l,0),6(—5,0),Cl0,-1

⑵P-2,號(hào)

(3)y=--%-5

2

【解析】

【分析】（I）分別令x,y=0,解方程，即可求解;

（2）分別求得直線AC,3C,根據(jù)尸。〃AC得出尸。的解析式，設(shè)p1,g/2+2f—進(jìn)而求得

。點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)平分線段尸。，則PQ的中點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線

解析式，即可求解.

（3）過點(diǎn)G作軸，過點(diǎn)瓦尸分別作燈的垂線，垂足分別為T,S,證明△E71C”MGS尸，

得出ET?邠=GS-7G,先求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，設(shè)直線所的解析式為％=左科，直線ED的解析式

為%=%2%一5，聯(lián)立拋物線解析式，設(shè)/=￡,九F=/,%=g，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

系，得出31=—5,eg=5fe+g=2k2-49進(jìn)而求得ET,FS,代入石，尸S=GS-7G,化簡后

得出e+g=-5,即2履—4=—5,進(jìn)而即可求解.

【小問1詳解】

15

解：由y=—x9+2x—，

22

當(dāng)％=0時(shí)，y=-1-,則c[o,—g]

當(dāng)y=0,-%2+2X--=0

22

解得：苞=—5,x2—1

；A在B的右邊

AA（1,O）,B（-5,0）,

【小問2詳解】

解：設(shè)直線AC的解析式為丁=近+人（左00）

將4（1,0），c[o,—g]代入得，

k+b=O

\5

b=——

I2

k=-

解得：]2

b=——

12

直線AC的解析式為y=|x-|

PQ//AC

設(shè)直線PQ的解析式為y=^x+b,

???p在第三象限的拋物線上

設(shè)p1/,萬/+2/—萬］,（―5</<

,5,12c5

??-t+h=-t+2t—

設(shè)尸。的中點(diǎn)為則M

由5(—5,0),C^0,-|j,設(shè)直線的解析式為y=《x—

將3(—5,0)代入得，

0=-5^--,

解得：k———

x2

...直線BC的解析式為y=

?e,平分線段尸。,

，M在直線上,

_____V__________—_______~_________

222—2

解得：％=-2/2=0（舍去）

159

當(dāng)『=一2時(shí)，一產(chǎn)9+2/一—=一一

22

【小問3詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)G作7〃x軸，過點(diǎn)E1分別作燈的垂線，垂足分別為T,S,

ZEGT=90°-ZFGS=ZGFS

：.AETU^AGSF

.ETTG

,,瓦一五

即ET?邠=GS-7U

..?點(diǎn)。與原點(diǎn)o關(guān)于點(diǎn)cI。,一對(duì)稱,

設(shè)直線EF的解析式為％=k{x,直線ED的解析式為%="5

y-hx

i」15

聯(lián)立直線EF與拋物線解析式＜15可得，k,x=—x2+2%—，

y=-x92+2x——22

22

即gx2+（2-a）x_g=0

y2=k2x-5

二+2二

聯(lián)立直線ED與拋物線解析式＜12c5可得,k2九一5二

y=-x2+2x——22

即gx2+（2—&）x+g=0

設(shè)砧=6,號(hào)=/,%=g，

ef=-5,eg=5,e+g=2k2-4,

???f=-g

+2e_\1；g2+2g_；]=；(e+g+4)(e_g),

乙乙\乙乙J乙

FS=；/2+2/_|_J；g2+2g_[]=；(/+g+4)(/_g)

乙乙\乙乙J乙

,：ETFS=GSTG

???(g_e)(/_g)=g(e+g+4)(e_g)><g(/+g+4)(/_g),

將/=-g代入得：e+g=-5

2&—4=—5,

??,

-2

直線DE解析式為y=——x—5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相似三角形的性

質(zhì)與判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.(2024湖北省)如圖1,二次函數(shù)y=—f+法+3交x軸于4(—1,0)和8,交,軸于C.

(2)M為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足NM45=NACO,求M點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(3)如圖2,將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與，軸交于點(diǎn)O,記OC=d,記L頂

點(diǎn)橫坐標(biāo)為〃.

①求d與九的函數(shù)解析式.

②記L與x軸圍成的圖象為。，。與44BC重合部分(不計(jì)邊界)記為W,若d隨九增加而增加，且

W內(nèi)恰有2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出九的取值范圍.

【答案】(1)b=2-,

(2)m=—或機(jī)=一；

33

—1（〃〉<］）

（3）①d=<2:，?八,；②”的取值范圍為后或——

I—n（一1<n<\）

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

⑵先求得5（3,0）,C（0,3）.作兒尤軸于點(diǎn)N,設(shè)M（m,—M+2〃?+3）,分當(dāng)M點(diǎn)在無軸

上方和M點(diǎn)在x軸下方時(shí)，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式求解即可；

（3）①利用平移的性質(zhì)得圖象L的解析式為y=—（尤—”了+4,得到圖象L與，軸交于點(diǎn)。的坐標(biāo)

（0,-“2+4）,據(jù)此列式計(jì)算即可求解；

②先求得—或n21,AABC中含（0,1）,（0,2）,（1,1）三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），再分三

種情況討論，分別列不等式組，求解即可.

【小問1詳解】

解：?.?二次函數(shù)y=-x2+bx+3交無軸于A（-l,0）,

0=—1—b+3,

解得匕=2；

【小問2詳解】

解：,:b=2,

y=一/+2x+3=—（x—1）~+4,

令y=0,則_（x_iy+4=0,

解得％=-1或x=3,

令y=0,貝ljy=3,

AA（-l,0）,3（3,0）,C（0,3），

作軸于點(diǎn)N,

設(shè)A/（肛—M+2m+3^,

當(dāng)M點(diǎn)在x軸上方時(shí)，如圖,

y

小、

■：ZMAB=ZACO,

Z\MAN^Z\ACO,

.PCAN印3_7〃+l

OAMN1—m2+2m+3

Q

解得機(jī)=1或-1（舍去）；

當(dāng)M點(diǎn)在x軸下方時(shí)，如圖，

AM47Vs△ACO,

.PCAN3=〃+l

"~OA~~MN'1-（-m2+2m+3）'

解得機(jī)=W或-i（舍去）；

3

...m=1—0t或機(jī)=8一；

33

【小問3詳解】

解：①?.?將二次函數(shù)沿水平方向平移，

縱坐標(biāo)不變是4,

圖象L的解析式為y=一（*一"）~+4=-x2+2nx—rr+4,

_D（0,-a?+4）,

CD=d=|—+4-=卜/+1|,

由題意知：C、。不重合，則八W±l,

*一1(〃〉1或〃<1)

d=

l-n2(-l<n<l)

n2>1或〃<1)

②由①得」=

1-n2(-1<n<1)

則函數(shù)圖象如圖,

???d隨〃增加而增加，

.??—1<〃<?；颉?gt;1,AABC中含（0,1）,（0,2）,（1,1）三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（不含邊界），

當(dāng)W內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)（0,1）,（0,2）時(shí)，

當(dāng)％=0時(shí)，yL>2,當(dāng)％=1時(shí)，<1,

-ZZ2+4>2

**-(l-n)2+4<f

,?-MV-\/2,〃N1+y/3或i〃K1-，x/s,

??-5/2<〃《1-y/3；

?.?一1v〃<0或〃>1,

??-1<〃<1-y/3；

當(dāng)W內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)(0,1),(1,1)Ht,

當(dāng)x=0時(shí)，1<九<2,當(dāng)％=1時(shí)，yL>1,

,1<-H2+4<2

-(l-n)2+4>f

，-6<n<-A/2或0<n<6，1-^3<n<1+y/3，

V2<n<V3；

：或〃>1,

二行。<5

當(dāng)W內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)(0,2),(1,1)時(shí)，

綜上，”的取值范圍為或—1＜附＜1—石.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)與線段的交點(diǎn)問題，也考查了

二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法是解題的

關(guān)鍵.

8.（2024吉林?。┬∶骼靡淮魏瘮?shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）

所示，輸入x的值為-2時(shí)，輸出y的值為1；輸入尤的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3

時(shí)，輸出y的值為6.

開始

(S1)(圖2)

(1)直接寫出k,a,6的值.

(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于尤的函數(shù)圖像，如圖(2).

I.當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍.

II.若關(guān)于尤的方程ax?+云+3一/=。(/為實(shí)數(shù))，在0<x<4時(shí)無解，求/'的取值范圍.

III.若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P,Q(P與。不重合).尸的橫坐標(biāo)為相，。的橫坐標(biāo)為-加+l.小明對(duì)

P,。之間(含尸，。兩點(diǎn))的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨機(jī)的變化而

變化，直接寫出相的取值范圍.

【答案】(1)k=l,a=l,b=-2

(2)I：X<0H￡X>1：II：/<2或/Nil；III：-iWniWO或

【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二

次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵.

(1)先確定輸入無值的范圍，確定好之后將x,y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或

方程組即可；

(2)I：可知一次函數(shù)解析式為：y=x+3,二次函數(shù)解析式為：y=V—2x+3,當(dāng)x>0時(shí)，

y=x?—2x+3,對(duì)稱為直線x=l,開口向上，故