2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)特訓(xùn)：雙切線問題（學(xué)生版+解析）

第76講雙切線問題

知識(shí)梳理

雙切線問題，就是過一點(diǎn)做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用

同構(gòu)法.

解題思路：

①根據(jù)曲線外一點(diǎn)P（x0,%）設(shè)出切線方程y-%=左（尤-%）.

②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式A=0.

③整理出關(guān)于雙切線斜率左、%的同構(gòu)方程.

④寫出關(guān)于尢、心的韋達(dá)定理，并解題.

必考題型全歸納

題型一：定值問題

例1.（2024.河南.高三競賽）已知拋物線C：爐=2?與直線/：>="-1沒有公共點(diǎn)，尸為

直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過尸作拋物線C的兩條切線，A、B為切點(diǎn).

（1）證明：直線A2恒過定點(diǎn)。；

（2）若點(diǎn)P與Q的連線與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，證明：|加||。叫=戶訓(xùn)。叫.

例2.（2024?高二單元測(cè)試）已知拋物線C：丁=2/（0>0）的焦點(diǎn)F與橢圓：+：=1的

右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA,MB分別與拋物線C相切于

點(diǎn)A,B.

(1)求拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為《，k2,證明：勺?網(wǎng)為定值.

例3.(2024?貴州貴陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知坐標(biāo)原點(diǎn)為0,拋物線為G:x2=2py5>0)

22

與雙曲線工-上=1在第一象限的交點(diǎn)為尸，尸為雙曲線的上焦點(diǎn)，且△OPF的面積為

33

3.

(1)求拋物線G的方程；

(2)已知點(diǎn)過點(diǎn)M作拋物線G的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,切線MB

分別交x軸于C,D,求aMAB與AWCD的面積之比.

變式1.(2024?安徽合肥?高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知拋物線E:x?=2py(P為常

數(shù)，P>。).點(diǎn)〃(七,幾)是拋物線E上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn).

⑴若直線/：了=，%-％與E只有一個(gè)公共點(diǎn)，求〃；

⑵設(shè)P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過P作E的兩條切線，切點(diǎn)為且直線R4,PB與x軸分

別交于C,。兩點(diǎn).

①證明：PAA.PB

PC-AB

②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

PB-CD

變式2.（2024.河南信陽?信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€￡：/=2/（2>0）上一點(diǎn)。（1,°）

到焦點(diǎn)的距離為3.

⑴求a,P的值；

⑵設(shè)P為直線尸-1上除卜1,-6），卜1,6）兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過P作圓

C2：（x-2F+y2=3的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A,B和C,D,試判斷A,B,

C,。四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

題型二：斜率問題

例4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1+A=l（a>6>0）的離心率為姮國尸2是

ab4

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),尸是橢圓上任意一點(diǎn)，且△尸為F2的周長是8+2

(1)求橢圓C的方程；

4

(2)設(shè)圓T:(尤-2)2+y2=§,過橢圓的上頂點(diǎn)M作圓T的兩條切線交橢圓于E產(chǎn)兩點(diǎn)，求直線

的斜率.

例5.(2024?全國?高三專題練習(xí))設(shè)點(diǎn)P為拋物線「丁=》外一點(diǎn)，過點(diǎn)p作拋物線「的兩

(I)若點(diǎn)P為(TO),求直線的方程；

(II)若點(diǎn)P為圓(x+2>+y2=i上的點(diǎn)，記兩切線％,PB的斜率分別為勺，k2,求

I；I的取值范圍.

K]k2

例6.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓C：W+《=l(a>b>0)的離心率為姮，耳,

ab4

工是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓上任意一點(diǎn)，且△尸月外的周長是8+2而.

⑴求橢圓C的方程；

(2)是否存在斜率為1的直線L與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，使得以AB為直徑圓過原點(diǎn)，若

存在寫出直線方程；

4

⑶設(shè)圓T：(尤+9/=',過橢圓的上頂點(diǎn)作圓T的兩條切線交橢圓于E、尸兩點(diǎn)，當(dāng)圓

心在x軸上移動(dòng)且丘(1,3)時(shí)，求斯的斜率的取值范圍.

變式3.(2024?河南洛陽?高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知圓

M:(x-a)2+(y-￡>)2=9,圓心Af在拋物線C：尤?=2py(p>0)上，圓M過原點(diǎn)0且與C的

準(zhǔn)線相切.

(1)求拋物線C的方程；

⑵點(diǎn)。(0,-1),點(diǎn)、P(與Q不重合)在直線/：y=T上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A3.求證：ZAQO=ZBQO.

變式4.(2024.陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知P(4,%)(%>0)是拋物線C:y2=2px(p>0)上

一點(diǎn)，過P作圓。：。-4)2+丫2=產(chǎn)(0<廠<4)的兩條切線(切點(diǎn)為A3),交拋物線C分別

點(diǎn)M,N,且當(dāng)廠=1時(shí)，1pAi=5/療.

(1)求拋物線C的方程；

(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說明理由.

變式5.(2。24?湖南岳陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知耳、心分別為橢圓的左、右焦

點(diǎn)，M為：T上的一點(diǎn).

⑴若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,〃>0),求△耳班的面積;

3

⑵若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1),且直線y=&-五keR)與「交于不同的兩點(diǎn)A、B,求證：

MB為定值，并求出該定值；

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(sj),過坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓M:(x-s)2+(y-f)2=/(其中廠為定

值，0<廠<1且卜卜廠)的兩條切線，分別交「于點(diǎn)P,Q,直線OP,。。的斜率分別記為

卜,融?如果快為定值，求|。斗|。。|的取值范圍,以及|。斗|°@取得最大值時(shí)圓M的方程.

題型三：交點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題

例7.(2024?陜西寶雞?校考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)

焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為2的正方形(記為。).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)尸在直線x=Y上，過點(diǎn)P作以原點(diǎn)為圓心短半軸長為半徑圓。的兩條切線，切點(diǎn)

為M,N,求證：直線MN恒過定點(diǎn).

例8.(2024?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)

為F,尸(4,4)是C上的一點(diǎn).

⑴若直線PF交C于另外一點(diǎn)A,求|AP|；

(2)若圓E：(x-2)2+y2=/(o<r<2),過P作圓E的兩條切線，分別交C于M,N兩

點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).

例9.(2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知?jiǎng)訄A加恒過定點(diǎn)尸(0$

圓心M到直線y=-;的距離為=同+：.

⑴求M點(diǎn)的軌跡C的方程；

⑵過直線y=x-i上的動(dòng)點(diǎn)。作C的兩條切線44,切點(diǎn)分別為A3，證明：直線A3恒過

定點(diǎn).

變式6.(2024?寧夏石嘴山?石嘴山市第三中學(xué)?？既?已知拋物線C：f=2py(p>0),

過拋物線的焦點(diǎn)廠且斜率為1的直線/與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A,B,\AB\=^-.

(1)求拋物線C的方程；

(2)點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為尸，Q,在平

面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N,使得直線與直線尸。垂直？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

22

變式7.(2024.河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:二+==1(。>6>0)的焦距為2,圓

ab

d+,2=4與橢圓C恰有兩個(gè)公共點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

22

(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)(%,%)為橢圓二+與=1上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為

ab

誓+嵋=1.若橢圓C的短軸長小于4,過點(diǎn)T(8")作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為

ab

A3,求證：直線AB過定點(diǎn).

變式8.（2024?重慶九龍坡?高三重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖所示，已知尸（0,1）在

橢圓「:土+當(dāng)=1（0<6<2）上，圓。：（尤-1）2+,2=/（廠>0）,圓C在橢圓「內(nèi)部.

4b

⑴求『的取值范圍；

⑵過尸（0,1）作圓C的兩條切線分別交橢圓「于A,8點(diǎn)（A,2不同于尸），直線A3是否過定

點(diǎn)？若AB過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

變式9.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)。為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原

點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn).

TT

⑴過點(diǎn)尸且傾斜角為7的直線/與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，求一AOfi的面積；

⑵若點(diǎn)T為直線x=-2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,求

證：直線過定點(diǎn).

變式10.（2024.重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知f=2外他>0）的焦點(diǎn)為

F,且經(jīng)過b的直線被圓（XT）?+[>+￡[=9截得的線段長度的最小值為4.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，若過點(diǎn)（2,0）作直線/與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)p,Q,過點(diǎn)p,Q

作拋物線的切線分別與直線OQ,。尸相交于點(diǎn)M,N,請(qǐng)問直線MN是否經(jīng)過定點(diǎn)？若

是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.

變式11.(2024?遼寧沈陽?沈陽二中?？寄M預(yù)測(cè))如下圖所示，已知橢圓

C：/+.=l(a>6>0)的上頂點(diǎn)為A,離心率為內(nèi)，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)1,

⑴求橢圓C的方程；

⑵若過點(diǎn)A作圓加：。+1)2+;/=產(chǎn)(圓加在橢圓C內(nèi))的兩條切線分別與橢圓C相交于

氏。兩點(diǎn)(&￡)異于點(diǎn)A),當(dāng)「變化時(shí)，試問直線3。是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定

點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.

題型四：交點(diǎn)弦定值問題

例10.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)P(0,c)(c>0)到直

線］:尤7-2=0的距離為￡1.

2

(1)求拋物線C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)戶(%,%)為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線E4,PB,其中A,B

為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線A3過定點(diǎn)Q;

(3)過(2)中的點(diǎn)。的直線加交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,B分別作拋物線C的切

線乙，4,求4，4交點(diǎn)”滿足的軌跡方程.

例11.(2024.全國?高三專題練習(xí))如圖，設(shè)拋物線方程為爐=2外。>0),M為直線

y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A,B.

(1)求直線與》軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若E為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在E點(diǎn)處的切線與三角形的邊MA,MB

分別交于點(diǎn)C,D,記2=宗迪，問彳是否為定值？若是求出該定值；若不是請(qǐng)說明理

、AMCD

由.

例12.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線(3:了2=2°宜0>0),尸為焦點(diǎn)，若圓

E:(x-1)2+3=16與拋物線C交于兩點(diǎn),S.\AB\=4y/3

(1)求拋物線C的方程；

⑵若點(diǎn)尸為圓E上任意一點(diǎn)，且過點(diǎn)產(chǎn)可以作拋物線C的兩條切線尸河,PN,切點(diǎn)分別為

M,N.求證：|同卜|麗恒為定值.

變式12.(2024.山東青島.統(tǒng)考二模)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線

C：.-,=l(a＞0,b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,離心率等于半，點(diǎn)尸是雙曲線c

在第一象限上的點(diǎn)，直線尸耳與》軸的交點(diǎn)為Q,尸。耳的周長等于6a,

附「卡歐=24.

(1)求C的方程；

(2)過圓O:f+y2=l上一點(diǎn)W(W不在坐標(biāo)軸上)作C的兩條切線，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為A,B.

證明：直線A3與橢圓￡＞：!+/=1相切于點(diǎn)T,S.\WT\-\AB\=\W^-\WB\.

題型五：交點(diǎn)弦最值問題

22

例13.(2024.江西撫州.臨川一中校考模擬預(yù)測(cè))橢圓E：工+2=1(。＞匕＞0)的離心率為

ab

且，焦距為2月.

2

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)G(m,〃)是橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)。作圓G：(X-機(jī)廠=1的兩條斜率

存在的切線分別與橢圓E交丁點(diǎn)A,B,求|。聞+|。8］的最大值.

例14.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線C的方程為尤2=4y,尸為其焦點(diǎn)，過不在

拋物線上的一點(diǎn)P作此拋物線的切線尸A尸8,為切點(diǎn).且上41PB.

y

(I)求證：直線AB過定點(diǎn);

(II)直線尸尸與曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為R,求4?.A5的最小值.

例15.(2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在》軸的

正半軸上，圓一+(y-l)2=l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若直線l：mx+y-4=0與拋物線C相交于AB兩點(diǎn)，過A,2兩點(diǎn)分別作拋物線C的切

線，兩條切線相交于點(diǎn)尸，求—4道面積的最小值.

變式13.(2024?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓

22

C：工+匕=1,P(x。，%)是橢圓外一點(diǎn)，過尸作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為直

164

線MN與直線OP交于點(diǎn)Q,A,B是直線OP與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn).

(1)求直線OP與直線MN的斜率之積；

(2)求AMN面積的最大值.

變式14.（2024?新疆喀什?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：尤2=2勿（°＞0）的焦點(diǎn)為孔且

F與圓M：Y+（＞+3）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為3.

⑴求p；

⑵若點(diǎn)尸在圓M上，PA,PB是拋物線C的兩條切線，A,8是切點(diǎn)，求三角形也8面積

的最值.

題型六：交點(diǎn)弦范圍問題

例16.（2024.全國?高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為R點(diǎn)尸是半橢圓

2

/+?=1（尤＜0）上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,且直線

PA,尸8分別交y軸于點(diǎn)M、N.

（1）證明：FMVPA-,

（2）求|引0卜|可|的取值范圍.

22

例17.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：工+與=1（。＞匕＞0）的左焦點(diǎn)4（-百,0）,

ab

點(diǎn)。在橢圓C上.

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過圓0：尤2+產(chǎn)=5上一動(dòng)點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別記為AB,直線

PA,PB分別與圓。相交于異于點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn).

（0當(dāng)直線尸的斜率都存在時(shí)，記直線PAPB的斜率分別為配網(wǎng).求證：柩2=7；

5）求撥的取值范圍.

例18.（2024?山東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知圓0:/+/=4,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)K在圓。上運(yùn)

動(dòng)，L為過點(diǎn)K的圓的切線，以L為準(zhǔn)線的拋物線恒過點(diǎn)月卜代,。）,耳（也,。），拋物線的

焦點(diǎn)為S,記焦點(diǎn)S的軌跡為S.

⑴求S的方程；

（2）過動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線44均與曲線S相切，切點(diǎn)分別為且4的斜率之積為-1，求

四邊形PAOB面積的取值范圍.

22

變式15.（2024?云南曲靖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：rr+Av=l（a>b>0）的離心率為

ab

中，以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為4君.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

行+一

⑵我們稱圓心在橢圓C上運(yùn)動(dòng)且半徑為3的圓是橢圓C的，，環(huán)繞圓，，.過原點(diǎn)。作橢圓

C的“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A,2兩點(diǎn)，若直線的斜率存在，并記為

左，％2,求%人的取值范圍

第76講雙切線問題

知識(shí)梳理

雙切線問題，就是過一點(diǎn)做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用

同構(gòu)法.

解題思路：

①根據(jù)曲線外一點(diǎn)P(x0,%)設(shè)出切線方程y-%=人(尤-%).

②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式A=0.

③整理出關(guān)于雙切線斜率勺、%的同構(gòu)方程.

④寫出關(guān)于尢、心的韋達(dá)定理，并解題.

必考題型全歸納

題型一：定值問題

例L(2024?河南?高三競賽)已知拋物線C：V=2y與直線/：>=區(qū)-1沒有公共點(diǎn)，P為

直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A、B為切點(diǎn).

(1)證明：直線恒過定點(diǎn)。；

(2)若點(diǎn)P與。的連線與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，證明：

【解析】⑴設(shè)點(diǎn)A&J).則

由y=g尤2，得V=x.所以=者.

于是，拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為

y-X=xl(x-xl)=>y^xlx-y1.

設(shè)點(diǎn)P(x0,kx0-l).則kx0-l=叫)再一%.

設(shè)點(diǎn)3(%,%).同理，kxo-l=xox2-y2.

從而，lAB-.kxo-\=xox-y,即

xo(x-A:)-(j-l)=O.

因此，直線AB恒過定點(diǎn)。(k,1).

(2)設(shè)./p°：y=y(x-A)+l

與拋物線y=方程聯(lián)立，消去y得

24-4萬上/一2卜。-2,0.

x0-kx0-k

設(shè)點(diǎn)M(玉,則

2kxe-4

%+%4=-%-，

XQ-K

*2①

(2k-2\x0-2k

X3X4=---------；-----

Xo-K

IH!!.\PM\\QM\

要證1PMlQN|=|PN||QM，即證向=向，則只需證明

2尤3%-(左+元o)(%3+x4)+2依)=0,②

由方程組①知2毛%-(左+%)(W+Z)+2辰o

=2(2^-2).0-4^2^-4+

07

x0-k'x0-k°

2(2%22)4k—(k+4)+2kx。—k)

x0-k

=0.

故式②成立.從而，結(jié)論成立.

22

例2.(2024?高二單元測(cè)試)己知拋物線C：_/=2/(0>0)的焦點(diǎn)廠與橢圓,+]=1的

右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA,MB分別與拋物線C相切于

點(diǎn)AB.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為《，k2,證明：勺?網(wǎng)為定值.

【解析】(1)因?yàn)椤?=4萬=3,所以/=/一。2=4一3=1,

22

所以c=l,可得橢圓?+事=1的右焦點(diǎn)為(1,0),

可得拋物線C的焦點(diǎn)為產(chǎn)(1,0),；.P=2,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=4x,準(zhǔn)線方程為了=-1；

(2)由于點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，故可設(shè)M(-U),

因?yàn)橹本€AM,MB的分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,2點(diǎn)可知直線AM,MB的斜率存在，

且不為0,

設(shè)過點(diǎn)的直線方程為y=k(x+l)+t,

y2=4-x,

聯(lián)立.7,八,消去x得：ky2-4y+4k+4t=0,

y=kyx+X)+t'

其判別式△=16-16左(％+。，令△=(),得F+正一i=o,

由韋達(dá)定理知K+&=V，左#2=T，故4"為定值一L

例3.(2024?貴州貴陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知坐標(biāo)原點(diǎn)為。，拋物線為G:x2=2py5>0)

22

與雙曲線工-上=1在第一象限的交點(diǎn)為P,尸為雙曲線的上焦點(diǎn)，且△OPF的面積為

33

3.

⑴求拋物線G的方程；

⑵已知點(diǎn)過點(diǎn)M作拋物線G的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,切線MB

分別交x軸于C,D,求△M4B與AWCD的面積之比.

22

【解析】（1）雙曲線q■-3=1的上焦點(diǎn)為40,而）,設(shè)尸（丹力），（與＞0,力＞0）,

由已知得：S^OPF=^-\OF\-xp=^xy/6xxp=3,則與二近，

代入雙曲線方程可得巾（"）解得力=3或?yàn)?-3（舍去），所以尸（迷⑶,

33

又因?yàn)镻在拋物線上，所以6=2px3,解得。=1,故拋物線G的方程為f=2y.

2

（2）設(shè)點(diǎn)A（x2J,8（孫為），對(duì)y方求導(dǎo)得產(chǎn)X,

則切線肱1的方程為y-%=玉（龍-3），

由尤:=2%整理得y=%X-%,

令y=。，貝陵=5，即C六,0,同理可求得。f°?

將M（-2,-1）代入直線M4可得：2玉+%-1=。,

同理可求得直線MB的方程：2x2+y2-l=0,

所以A,8的直線方程2x+y—l=0.

y=1-2x

聯(lián)立X2消去y得/+4*一2=0,

ry

則韋達(dá)定理：X1+x2=-4,XJX2=-2,

則弦長|AB=，1+左［占-X2|=A/5-47+4X2=2底,

點(diǎn)M到直線AB的距離d」2x（一）2［（一1）一1|4

所以5.6=；|明/=6的，

又Ss/c*"中=當(dāng)，

故a=i2.

、XMCD

變式1.(2024.安徽合肥.高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知拋物線E:V=2py(P為常

數(shù)，P＞。).點(diǎn)〃(七,幾)是拋物線E上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn).

⑴若直線/：y=，x-%與E只有一個(gè)公共點(diǎn)，求。；

(2)設(shè)尸為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過尸作E的兩條切線，切點(diǎn)為且直線R4,尸3與x軸分

別交于C,。兩點(diǎn).

①證明：PA.LPB

PC-AB

②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

PB-CD

【解析】(1)將直線與拋物線E：Y=2py聯(lián)立，

消去》可得2-弋苫+%=0,由題意可知該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以A=1■-4x.xy°=0,又點(diǎn)〃(4,%)在拋物線上，即x；=2p%；

可得乎-2=。，解得P=2

4P

(2)①易知拋物線=2py的準(zhǔn)線方程為y=-§；

不妨設(shè)尸切點(diǎn)人⑷,%),以%,%),如下圖所示：

，X

將f=2py求導(dǎo)可得y=—,

則切線上4的斜率3=方，切線24的方程為y-y=。（二玉）,

又x；=2p%,R4的方程可化為玉尤-2py-無；=0；

同理可得尸B的方程可化為無2左-2外-尤;=0；

又兩切線交于點(diǎn)P,所以卜2f2=：

[x2xp+p-x2=0

因此可得玉，々是方程/一元尸“-〃2=。的兩根，因此玉+九2=%,石元2二一2？；

所以如小才,竽r

因此R4±PB

②設(shè)直線PA和PB的傾斜角為斗,仇,直線AB的傾斜角為4,

1

所以％=tanq=上五="x{+x2_xp.

x2-王x2-x12p2p

又tan/PCD=tan=kPA=—?tanO2=kPB=—

~P，P

xpx2

tanZPBA=tan（…）=「an%"=2r1=M-%）；

XX2

1+tantan02\P22p+x2xp

2Pp

所以tan/PCD-tanZPBA=

p2P2+x2xp

2

2夕2（玉+%）+xrx2xp-xpp

2

將石+/=Xp,XxX2=~p代入可得

22c222

2p（x1+x2）+x{x2xp-xpp2XpP-Xpp-Xpp_0

tan/PCD-tanZPBA=

p（2夕2+%4）p（2p2+%%）

則可得tanN尸CD=tanNPB4,即NPCD=ZPB4；

又PA_LPB,所以RtPCDRtPBA,

IPCPB則局㈱:1為定值.

可得叵'一萬

變式2.（2024?河南信陽?信陽高中校考三模）已知拋物線6：/=22%（夕>0）上一點(diǎn)。（1,a）

到焦點(diǎn)的距離為3.

⑴求。，P的值；

⑵設(shè)P為直線x=-l上除卜1,-6）,卜1,0）兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過P作圓

。2：（》-2）2+，=3的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A,B和C,D,試判斷A,B,

C,。四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準(zhǔn)線尤=-光的距離為3,

1+■=3,/.p=4；

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,.?.歷/=3，???q=±20;

（2）設(shè)尸（—1,%）,過點(diǎn)P的直線方程設(shè)為/：y-%=%（x+l）,

2

[y=8x,?

由<./1、得，與7—8y+8y0+8左=0,

廠為=心+1）

若直線AB,CD的斜率分別為左，％2,設(shè)A,B,C,。的縱坐標(biāo)分別為％,>2,為

丁4,

8（%+仁）_8（%+左2）

：，y3yL；

kxk2

???。2至卜的星巨離1=網(wǎng)+/=君,.?.6%2+6y/+y：-3=0,

1+k

.?.k+k=-y,k，2=—―-

x206

64［匕&+（勺+&））o+y；］_64（%他-y；+￥）_

kxk2kxk2

，A,B,C,。四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64.

題型二：斜率問題

例4.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓C:二+《=1(°>6>0)的離心率為巫再,仍是

ab4

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),尸是橢圓上任意一點(diǎn)，且△PBB的周長是8+2

(1)求橢圓C的方程;

4

(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2="過橢圓的上頂點(diǎn)”作圓T的兩條切線交橢圓于E產(chǎn)兩點(diǎn)，求直線石廠

的斜率.

【解析】試題分析：

(1)由橢圓的離心率為反可得a=4b,c=415b,然后根據(jù)的周長可得

4

b=l,a=4,從而可得橢圓的方程.(2)由題意知過點(diǎn)M與圓T相切的直線存在斜

率，設(shè)其方程為產(chǎn)丘+1,由直線與圓相切可得32N+364+5=0,從而得到

95

K+&=__^2=~,然后分別求出兩切線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)號(hào)和尤F，最后根

o51

據(jù)斜率公式求解即可.

試題解析：

(1)由題意得6=￡=巫=也F,

a4a

.\a=4b,

.\c=y/15b.

,..△PFiB的周長是8+2715,

工2a+2c=2（4+啊6=8+2A，

.\b=l,

.\a=4.

橢圓c的方程為t+jM.

Io

⑵由（1）得橢圓的上頂點(diǎn)為M（0,l）,

又由題意知過點(diǎn)M與圓T相切的直線存在斜率，設(shè)其方程為/：尸丘+1,

二?直線y二丘+1與圓丁相切，

|2k+1|2

,?Vi7F-3,

整理得32廬+36女+5=0,

95

?：勺+左2二一飛印?=-

y=kxx+\

由1f消去y整理得（1+16公）］2+32所x=0,

——+V=1

116,

一32匕

XE=.，2.

1+1A6占

_32k

同理可得打=,

1+1OK2

9

?k—%—力_%1%石-_k、+k?____8_3

EF4，

??xE-xFxE-xF1—1611.16X』

32

故直線硬的斜率為:3.

4

例5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)。為拋物線「：尺二兀外一點(diǎn)，過點(diǎn)p作拋物線「的兩

（I）若點(diǎn)尸為（-L。），求直線的方程;

(II)若點(diǎn)P為圓5+2)2+)?=1上的點(diǎn)，記兩切線R4,尸8的斜率分別為％,右，求

的取值范圍.

k、k2

【解析】(I)設(shè)直線PA方程為工=叫'-1,直線PB方程為x=〃“T，

\x=m,y-\.

由2，可得V-嗎y+l=O,

U=尤

因?yàn)镻A與拋物線相切，所以4=0,取%=2,則為=1,4=1,

即A(1,1).同理可得B(1,-1).所以AB：x=l.

(H)設(shè)尸(x。,%),則直線PA方程為了=勺％-勺%+%,直線PB方程為

y=k2x-k2x0+y0.

由匕2也+%可得幻—+%=。.

因?yàn)橹本€PA與拋物線相切，所以△=>的(—5。+%)=4%片—4%匕+1=0.

同理可得4%o片-4%左2+1=。，所以尢,左2時(shí)方程4%女2-4%左+1=。的兩根.

所以左+左2=中，ktk2=—.則|匕-左2|=1國-"L:

x。4xo"飛闖

又因?yàn)?％+2)2+克=1,則-3<尤0<-1,

所以?一：|=|與六=4J上一%=4-(尤0+2)2-1

鼠1鼠2||人港2

=4Ja+5e.

r2v2/7T

例6.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓。:3+方=l(a>b>0)的離心率為手，耳,

A是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓上任意一點(diǎn)，且△尸片乙的周長是8+2厲.

⑴求橢圓C的方程；

(2)是否存在斜率為1的直線L與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，使得以為直徑圓過原點(diǎn)，若

存在寫出直線方程；

4

⑶設(shè)圓T：(x-r)-?+y2=5,過橢圓的上頂點(diǎn)作圓T的兩條切線交橢圓于E、尸兩點(diǎn)，當(dāng)圓

心在X軸上移動(dòng)且re（1,3）時(shí)，求所的斜率的取值范圍.

【解析】（1）令橢圓半焦距為c,因6=皿，即￡=亞，又4=。2+。2,則有。=劭,

4a4

c=y/15b，

因△尸耳鳥的周長是8+2后，即2a+2c=8+2后，解得b=l,a=4,

所以橢圓C的方程為：+尸=1.

fy=x+m

（2）設(shè)直線￡方程是,=尤+根，4%,%），B（x2,y2）,由《？”2必消去》得:

[%+16y=16

17x2+32mx+16（m2—1）=0,

A=322m2—64xl7（m2-1）>0,即蘇<17,貝、再+%=—,益馬=16（：7—―，

弦形的中點(diǎn)（-巖，今

"3而+—="行耳還，

以A3為直徑的圓的方程是（尤+詈）2+（y-針=32c信）,因此圓過原點(diǎn)，

則有生匚+￡=32（17；/）,解得加=±±叵，顯然滿足公>0,

所以存在符合條件的直線L,其方程為y=x±巖.

（3）由（1）知，橢圓的上頂點(diǎn)為M（Ql）在圓T外，顯然過點(diǎn)〃的圓T的切線斜率存在,

\kt+l\2

設(shè)過點(diǎn)M與圓T相切的直線方程為，=履+1,于是得后上=§,即

（9產(chǎn)一4）左2+18%+5=0,

1Qf5

設(shè)切線3ME的斜率分別為此，有上-一.，她=目'

\y=lcx+\032%

由消去卜得,"16吠9+322。，于是得點(diǎn)后的橫坐標(biāo)4=-用京,

同理得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)號(hào)=-1+/，直線EF的斜率:

32^2132kl18r

（左+1）—（左2%F+1）1+16Z：1+16代k、+k29/―46t_6

XX28-3廠28

E~F_32kl+32k?1-16左他]_]6?----Dl

1+16Z；1+16后9產(chǎn)一4

顯然函數(shù)苗工在，e(l,3)上單調(diào)遞增，則有不落二"，

tt

所以所斜率的取值范圍為號(hào)』8).

變式3.(2024?河南洛陽?高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知圓

M:(x-a)2+(y-b)2=9,圓心A/在拋物線C：d=2py(p>0)上，圓M過原點(diǎn)。且與C的

準(zhǔn)線相切.

(1)求拋物線C的方程；

⑵點(diǎn)。(0,T),點(diǎn)P(與Q不重合)在直線/：y=T上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A，2.求證：ZAQO=ZBQO.

【解析】(1),?圓M與拋物線準(zhǔn)線相切,

=又圓過(0與和原點(diǎn),

解得。=4.

；?拋物線C的方程為爐=8力

(2)設(shè)4(占,%),85,名)，P(〃z,T),C方程為>=：尤2,

8

/.拋物線在點(diǎn)A處的切線的斜率￡網(wǎng),

切線的方程為y-%=^x1(x-xl),

即%(x-xi)，

化簡得：y-~~xi+—,

o4

又因過點(diǎn)尸(私T),故可得-1=-:無；+4光即，

o4

即x；-2xxm-8=0,

同^^可*—2x?m—8=0,

???和々為方程V—2e-8=0的兩根,

%+/=2m,x1x2=-8,

X+1+為+1_片+8+考+8

?,^AQ+^BQ

xxx28玉8X2

（石+%2）+（%+/）_2m-2m

8石工28

變式4.(2024?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知尸(4,%)(%>0)是拋物線C：V=2加(p>0)上

一點(diǎn)，過。作圓。：(％-4)2+產(chǎn)=產(chǎn)(0</<4)的兩條切線(切點(diǎn)為AI),交拋物線C分別

點(diǎn)監(jiān)N,且當(dāng)廠=1時(shí)，|/訓(xùn)=&?.

(1)求拋物線C的方程；

(2)判斷直線MN的斜率是否為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說明理由.

【解析】(1)如圖，

易知|尸?！?|尸山，|八葉,

即y=（炳2+a=16.

；%>0二%=4,即尸（4,4）.

代入y2=2px得0=2,

，拋物線C：3=4x.

(2)法1:易知尸(4,4),直線PM,PN的傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，

設(shè)直線PM:y-4=Z(尤一4),直線/W:y-4=-%O-4),

[y2=4xy2

則:7/八ny—4=A(——4),

[y-4=k(x-4)4

BPky2-4y-16k+16=0.

+444484

依題意yM=—,yM=--4,BRM(--—+4,-■-4).

Kkkkk

484

用一人代替女得N(,+丁+4,一：-4),

kkk

44

4)-(---4)

???直線MN的斜率為(-------j—=

土2-(3+4)2

綜上知，直MN線的斜率為定值

法2：易知尸(4,4),直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率相反，

22

設(shè)%),N(子,%)，則由女尸“+%PN=。得：

%—4%—4八/、

匚+匚=°"產(chǎn)％)，化簡得,+%=-8.

44

,.4_4_1

直線的斜率為式一%+%--8-2.

T-T

綜上知，直線的斜率為定值-；.

變式5.(2024.湖南岳陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知《、工分別為橢圓「《+^=1的左、右焦

4_

點(diǎn)，M為「上的一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,"?)(〃?>0),求△月風(fēng)的面積；

⑵若點(diǎn)"的坐標(biāo)為(0,1),且直線>=丘-半keR)與「交于不同的兩點(diǎn)A、B,求證：

MB為定值，并求出該定值；

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(sj),過坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓M:(x-s)2+(yT)2=r2(其中7為定

值，0＜廠＜1且卜花廠）的兩條切線，分別交r于點(diǎn)P,Q,直線。P,。。的斜率分別記為

%,L如果他為定值，求|。斗仇|的取值范圍,以及|。山。0取得最大值時(shí)圓町的方程.

【解析】（1）由已知條件得I+療=1,因?yàn)闄C(jī)＞0,則m=弓，又耳（-石,0）,丹（山,0）,

m=xx=

因此△月M6的面積為Sq=gIFtF21'~^^~~~■