2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中的線段及線段和差倍分最值問題（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題：二次函數(shù)中的線段及線段和差倍分最值問題

1.如圖，拋物線尸-■|x2+bx+c與無軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-

1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點(diǎn)尸是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線3c于點(diǎn)

過點(diǎn)尸作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由.

(3)點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NMCB=45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的

坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+bx-5(a#0)交x軸于A,C兩點(diǎn)，交y

軸于點(diǎn)3,50A=02=0C.

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)已知拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M,使得的周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)連接BC,點(diǎn)P是線段8c上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,求當(dāng)

四邊形OBQP為平行四邊形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.已知拋物線y=-/+6尤+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為線段0C上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線

S,

PA,分別交拋物線于點(diǎn)E,D,設(shè)△B4D面積為Si,APBE面積為S2,求一L的值.

(3)如圖2,點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱軸與無軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)K的直線(不與對(duì)稱軸重合)與

拋物線交于點(diǎn)M,N,過拋物線頂點(diǎn)G作直線l//x軸，點(diǎn)。是直線I上一動(dòng)點(diǎn).求QM+QN

的最小值.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+6x+c(°#0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A(4,

0).經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)8(1,3),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在直線A2上方時(shí)，過點(diǎn)P作尸

軸于點(diǎn)E,與直線48交于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī).

①相為何值時(shí)線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P，使得△2尸。與△AOC相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-2(x-1)2+4的圖象與x

9

軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），頂點(diǎn)為C.

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過8、C、M（r,4）三點(diǎn)，其中該函數(shù)圖象與x軸交

于另一點(diǎn)。，點(diǎn)。在線段0B上（與點(diǎn)0、B不重合）.

①若。點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,貝!]/=

②求f的取值范圍;

③求OD?DB的最大值.

6.已知平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=->1■，+6x+c與無軸交于A,8兩點(diǎn)，

與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且8（4,0）,BC=4七

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB,PC,過點(diǎn)P作尸軸于

點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)K.記△P8C,△BOK的面積分別為Si,&,求Si-S2的最大值；

（3）如圖2,連接AC,點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作斯_LAC交x軸于點(diǎn)尸.拋物

線上是否存在點(diǎn)。，使/QFE=2/OCA?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說明理

由.

7.如圖1,拋物線y=a（x-h）2+4交》軸于。，A（4,0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為8（2,273）,

點(diǎn)C為。2的中點(diǎn).

（1）求拋物線y=a（x-h）2+左的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)C作C”，OA,垂足為“，交拋物線于點(diǎn)E.求線段CE的長.

（3）點(diǎn)。為線段上一動(dòng)點(diǎn)（。點(diǎn)除外），在0C右側(cè)作平行四邊形OCBD.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

8.如圖，拋物線y=/-x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）當(dāng)0<xW2時(shí)，求y=/-尤+c的函數(shù)值的取值范圍；

（3）將拋物線的頂點(diǎn)向下平移旦個(gè)單位長度得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),

求PA+^PM的最小值.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+6x-3與x軸交于A（-1,0）,B兩點(diǎn)，交

y軸于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸是直線苫=搟.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線BC下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸?！ㄓ容S交拋物線于

點(diǎn)、D,作PEL8C于點(diǎn)E,求的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

2

(3)將拋物線沿射線BC方向平移找個(gè)單位，在尸。+匹尸石取得最大值的條件下，點(diǎn)

2

E為點(diǎn)尸平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AF交y軸于點(diǎn)點(diǎn)N為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若

/NMF-/ABC=45°,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

備用圖

10.如圖，拋物線y=-/+6x+c經(jīng)過A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)8,

點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH,DH,求”的最小值;

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,P,Q為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與無軸交于點(diǎn)A(6,0),與y軸交于點(diǎn)8(0,-6),

拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,B,且對(duì)稱軸是直線x=l.

(1)求直線/的解析式；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點(diǎn)尸是直線/下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PCLx軸，垂足為C,交直線1

于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作尸垂足為求PM的最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo).

12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=o?+bx+c與無軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

備用圖

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在直線AC上方的拋物線上時(shí)，連接交AC于點(diǎn)。，如圖1,當(dāng)理的值

DB

最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及里的最大值；

DB

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)連結(jié)尸C,將△PCM沿直線PC翻折，當(dāng)

點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

參考答案

1.如圖，拋物線y=-尤+c與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)為（-

3

1,0),點(diǎn)8坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點(diǎn)尸是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線于點(diǎn)

過點(diǎn)尸作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由.

(3)點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NMCB=45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的

坐標(biāo).

【解答】解：(1)：拋物線y=-^x2+bx+c與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

3

2

A坐標(biāo)為(-1,點(diǎn)8坐標(biāo)為(3，0),y=—(x-3)=-1-X+^-X4-2-

ooo

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y二—+^x+2=2':?CO2)，

oo

設(shè)直線2。為了=乙+2,二3左+2=0,解得k=-|，???直線BC為y=-1x+2,

設(shè)P(x,-^|-x2+yx+2)>D(x,-^-x+2')>

ooo

:?2PD+PE=2(―|-x2-Hyx+2-H|-x-2)+x=-^-x2+5x,當(dāng)x=7~=-o-^,

33332X(3)可

o

有最大值正，此時(shí)p(」2,黑).

16832

(3)如圖，以C8為對(duì)角線作正方形CTBK,

；?NBCK=/BCT=45°,:?CK,CT與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為M,

如圖，過T作x軸的平行線交y軸于。，過8作BGLTQ于G,貝！JO3=GQ=3,

：.ZCTB=90°=ZCQT=ZQGB,

：.ZQCT+ZCTQ=90°=/CTQ+/BTG,

：.ZQCT=NBTG,9：CT=BT,

:?叢CQT空叢TGB(A4S),：.QT=GB,CQ=TG,

設(shè)TQ=GB=m,貝！］CQ=TG=3-m,

.'.Q0—3-m-2—1-m,TCm,m-1),

22

由TC=TB可得加2+(機(jī)-3)2=(m_3)+(m-1),

解得1?T仔，設(shè)CT為>=加+2，

19

x=

y=+2x=0_p.~2~

解得"=-5,.?.直線CT為y=-5x+2,x,解得或《

y=291

y=-5x+2

1991、丁,」)，C(0,

lir2),B(3,0),正方形CTBK.

M(T'HT2'

224c17

y=^rx々x+2Y=----

K（—,—）?同理可得直線CK為y」10T

x+2)1,解得?117或

225

y=7-x+2

DF

x=0

y=2'

17U7x

，Mu(r10'50)'

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（」工，再）或（」包,

4o50J12

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+6x-5QW0）交x軸于A,C兩點(diǎn)，交y

軸于點(diǎn)B,5OA=OB=OC.

（1）求此拋物線的表達(dá)式;

（2）已知拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M,使得的周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）連接2C,點(diǎn)P是線段8c上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)。，求當(dāng)

四邊形OBQP為平行四邊形時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，。=-5=中,

則O8=5=OA=OC,

則點(diǎn)A、C、8的坐標(biāo)分別為：(1,0)、(-5,0)、(0,-5),

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-1)(尤+5)=a(/+4尤-5)—ar+bx-5,

則。=1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=f+4x-5；

(2)點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸得對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,則8C交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)此時(shí)△

的周長最小，理由：

AABMJU=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC為最小,

由點(diǎn)2、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y=-x-5,

由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線尤=-2,

當(dāng)x=-2時(shí)，y=-x-5=-3,

則點(diǎn)M(-2,-3)；

(3)設(shè)點(diǎn)P(x,-%-5),則點(diǎn)Q(尤，x2+4x-5),

貝UPQ=(-x-5)-(X2+4X-5)=-x2-5x,

'."PQ//OB,

故當(dāng)PQ=OB時(shí)，滿足題設(shè)條件,

即PQ=-x2-5x=OB=5,

解得：x=：5土泥,

2___

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(心正，圭遮)或(-5《,-5電).

2222

3.已知拋物線y=-/+6x+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為線段OC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線

S,

PA,尸8分別交拋物線于點(diǎn)E,D,設(shè)面積為Si,APBE面積為S2,求一L的值.

s2

(3)如圖2,點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱軸與無軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)K的直線(不與對(duì)稱軸重合)與

拋物線交于點(diǎn)M,N,過拋物線頂點(diǎn)G作直線l//x軸，點(diǎn)。是直線I上一動(dòng)點(diǎn).求QM+QN

的最小值.

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=-7+bx+c得:

-l-b+c=0解得(b=2,...拋物線的解析式為>=-/+2X+3；

-

k9+3b+c=0Ic=3

(2)設(shè)尸(0,p),直線A尸解析式為y=Mx+bi,

-k1+1>1=0fki=p

把A(-1,0),P(0,p)代入得：.,解得：\

,b[=p.b]=p

z

V=DX?，解得卜=-1或產(chǎn)u

直線AP解析式為〉=0尤+0,聯(lián)立得r"

y=-x'+2x+31y-°[y=-p'+4P

：.E(3-p,-/+4p),同理可得。(Ejl,-魚生),

93

)=2(-^~+-y--p)=1-(3p-p2)

S=S-S

,,IAABDAABP=2-AB*(yD-yp

2

22=^AABE-^AABP革AB'(yE-yp)=2(--p+4p-p)=2(3p-p2)，

(3)作點(diǎn)N關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,過M點(diǎn)作于凡如圖：

"''y--X2+2X+3=-(x-1)2+4

N1"\、

:'、、'、

，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

y=-7+2x+3i［「：、、、、

：.K(1,0),

,_:二.\Q

設(shè)直線MN解析式為y=fcv+d,二

把K(1,0)代入得：k+d=0,

??d---k,

?,?直線MN解析式為y=fci-k,

設(shè)Af(加，-m2+2m+3),N(n,-n2+2n+3),

2

聯(lián)立‘y=-x=+2x+3,可得/+1-2)x-k-3=0,

y=kx-k

m+n—2-k,mn--k-3,

,：N,N關(guān)于直線/：y=4對(duì)稱，

'.N(n,”2-2“+5),

QM+QN=QM+QNNMN,

■:尸(w,-m2+2m+3),

.".N'F=\m2+n2-2(m+n)+2\,FM—\m-n\,

在RtZkMFN中，

MN'2=MF2+NF2

=Cm-ri')2+[m2+n2-2Qm+n)+2]2

=(m+w)2-4mn+[(m+n)~-2mn-2(.m+n}+2]2

=(2-左)2-4(-k-3)+[(2-E)2-2(-左-3)-2(2-左)+2]2

=/+17后+80,

當(dāng)人=0時(shí)，跖\而最小80,此時(shí)MN=4而，

：.QM+QN，4病,

QM+QN的最小值為4、6.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+6x+c(aWO)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A(4,

0).經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)2(1,3),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在直線上方時(shí)，過點(diǎn)P作PELx

軸于點(diǎn)E,與直線AB交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①相為何值時(shí)線段尸。的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P，使得△■BPD與△AOC相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【解答】解：(1)?.,拋二次函數(shù)經(jīng)過。(0,0),A(4,0),B(1,3),

'0=c

，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得，0=16a+4b+c＞解得：。=-1，b=4,c=0,

3=a+b+c

...二次函數(shù)的解析式為：y=-/+4x；?.?直線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線AB解析式為：y

=丘+小.?.將A、8兩點(diǎn)代入得4k切，

I3=k+n

解得：k=-\,幾=4,???直線A3解析式為：y=-x+4,

???點(diǎn)。是直線與y軸交點(diǎn)，，令兀=0,則y=4,???C(0,4).

(2)①,?,點(diǎn)尸在直線A8上方，

???0WZ4,

由題知P(m,-m2+4m),D(m,-m+4),

：?PD=yp-yD=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4=-(m-—)2+-,

24

???-l<0

當(dāng)機(jī)=5時(shí)，PD=2是最大值.

24

②存在，理由如下：

ZPDB=NADE,ZADE=ZACO,

：.ZBDP=ZACO,

「△AOC是直角三角形,

要使△BP。與△AOC相似，只有保證△加￡＞是直角三角形就可以.

(I)當(dāng)△BPDs/vioc時(shí)，

VZAOC=90°,

：.ZBPD^90°,

此時(shí)8尸〃x軸，B、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

：.P(3,3)；

(II)法一：當(dāng)△PBDsAAOC時(shí)，

01E4\\工

：.ZPBD=ZAOC=90°,

0C=O4=4,

???ZBDP=ZADE=ZOAC=45°,

???叢BDE為等腰直角三角形，

:?PD=&BD,

由①知PD=-m2+5m-4,

VB(1,3),D(m,-m+4),

BD=V(m-l)2+(-m+4-3)2二加(加一1)

'：PD=y/2BD,

-nr+5m-4=2(m-1),

解得zm=2,”22=1(舍)，

：.P(2,4).

法二：當(dāng)△P8DS2\AOC時(shí)，

：.ZPBD=ZAOC=9Q°,

過B作G//〃y軸，作PG_LG8,作。H_LG;/,

則易證△PGBS^BH。，

.PGBG

??-------二,

BHDH

VPG=m-1,BG=-ir^+Am-3,BH=m-

2

?m-l_m+4m-3

??,

m-1m-l

解得利=2,冽2=1(舍)，

：.P(2,4).

法三：當(dāng)△尸5Z)S2\AOC時(shí)，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

：.AB±PB,

VkAC=-L

??RBP~~1,

?,?直線BP的解析式為：y=x+2,

2

聯(lián)立方程組得y=-x+4x,

,y=x+2

解得：(x=l或卜

\y=3Iy=4

:.p(2,4)

綜上，存在點(diǎn)尸使△BPD與△AOC相似，此時(shí)尸的坐標(biāo)為（3,3）或（2,4）.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=（x-1）2+4的圖象與x

軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C.

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過8、C、M（34）三點(diǎn)，其中該函數(shù)圖象與x軸交

于另一點(diǎn)點(diǎn)。在線段上（與點(diǎn)。、8不重合）.

①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,則f=6；

②求f的取值范圍；

③求OD,DB的最大值.

【解答】解：⑴???二次函數(shù)y=J(x-1)2+4的圖象的頂點(diǎn)為C,

AC(1,4)；

令y=-9(x-1)2+4=0,解得尤=-2或x=4,

9

AA(-2,0),B(4,0)；

(2)①由題知，該函數(shù)過點(diǎn)8(4,0),C(1,4),D(3,0),

函數(shù)的解析式為：y'=a（x-4）（x-3）,

函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=Z,

2

VC(1,4),M(t,4),

:.點(diǎn)C,〃關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

?.?-l-+-t_-7,

22

故答案為：6；

②設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=ax1+bx+c,

將MG,4),C(1,4)兩點(diǎn)代入，得at+bt+c=4,

a+b+c=4

.'.a(？-1)+b(r-1)=0,

Wl,

?

??-b--_-t-+-1,

2a2

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(主包，0),

2

,：B,。兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)8(4,0),

:?D(L3,0),

??,點(diǎn)。在線段03上，且與端點(diǎn)不重合，

t-3>0

，，即3ct<7,

,t-3<4

：t=4時(shí)，過點(diǎn)3,C,M三點(diǎn)的二次函數(shù)不存在，

：.3<t<l且M4；

③：OD=r-3,DB=Q-t,

：.OD-DB=(/-3)?(7-t).

：.OD'DB^-r+10f-21=-。-5)2+4,

：3<f<7且阜4,

；1=5時(shí)，有最大值，最大值為4.

6.已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-!x2+6x+c與無軸交于A,8兩點(diǎn)，

2

與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且3(4,0),BC=4如.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接尸8,PC,過點(diǎn)P作尸軸于

點(diǎn)。，交8C于點(diǎn)K.記△PBC,/XBOK的面積分別為Si,S2,求$2的最大值；

(3)如圖2,連接AC,點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EELAC交x軸于點(diǎn)F.拋物

線上是否存在點(diǎn)。，使/QFE=2/OC4?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說明理

由.

圖1圖2

【解答】解：(1)VB(4,0),

，05=4,

VZBOC=90°,BC=4&，

0C=VBC2-0B2=4,

：.C(0,4),

把B(4,0),C(0,4),代入函數(shù)解析式得:

‘c=4

*12，

—X4+4b+c=0

解得：卜=4,

lb=l

._12”

?,y=-x+x+4；

(2)9：B(4,0),C(0,4),

???設(shè)直線5c的解析式為：y=kx+4(ZWO),把3(4,0)代入，得：k=-1,

?'?y=-x+4,

__2y

設(shè)P(m，^m+m+4)則K(m,-m+4),D(m,0),

1919

,,PK=-—m+m+4+m-4=^_m^+2n,DK=-m+4,DB=4-m,

91119

S-^PK-OB=-m+4ir-SJDK，DB=(-m+4)(4-m)J(4-m)，

12。

Si-S2=-m^+4m-I-(4-m)

1乙N

呼+8m-8

.?.當(dāng)m普時(shí)，Si-S2的最大值為呈；

33

(3)令y=—^X2+X+4=0，解得：尤1=-2,X2=4,

.,.A(-2,0),

VC(0,4),點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

：.E(-1,2),

???FE±AC,AE=CE=V(-1+2)2+22=V5，

C.AF^CF,

：.NAFE=NCFE,

設(shè)OF=a,則CF=AF=a+2,

在RtZ\C。尸中，由勾股定理，得：a2+42=(a+2)2

.\a=3,

：.F(3,0),CF=5,

VFE±AC,ZAOC=90°,

AZAFE=ZOCA=90°-ZCAFf

①取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Ei,連接FEi交拋物線于點(diǎn)。1,則：NQ1FE=2NEFA=2

ZOCA,-2),

設(shè)PE1的解析式為：y^kix+b,

k

3k,+b=0i4

貝U：4，解得：＞

-k|+b=-2b=4

13

'_13，3“+l「3泥

V^2X^2x=~2~x=~2~

聯(lián)立＜,解得：（舍去）或，

12.3V5-5-5-3立

y=—x+x+4Iy=^^

czl-3V5-5-3V5

Qi(—^―，-i

②取E關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)￡2,連接硬2交CF于點(diǎn)G,連接在12交拋物線于點(diǎn)。2,貝U：

ZQiFE=2ZCFE=2ZOCA,EGLCF,

■:CE=^,CB=5,

EF=VCF2-CE2=W^，

7

SACEF=1<F-EG=|€E-EF-

，5EG=2遙X旗，

：?EG=2,

FG=VEF2-EG2=4,

過點(diǎn)G作GW,無軸，則：GH=FG-sinZCF0=4X言羋，F(xiàn)H=FG-cosZCF0=4X-1-手，

2

???OH=OF-FHW，

b

，GC|，S

DO

■:E(-1,2),

XEJ(-I)3yE」2」6

2-5‘2飛

3k2+b1=0

三土），設(shè)直線E2尸的解析式為：y^k2x+bi,貝!J：，1122,

5k2+bl=—

k2T

解得：

,33

bl~

y=-y]x2+x+4x

f_府+13f13-V^

x=2x=2

解得：「(舍去)或,

-11V69-77-77+11V69

Iy=4-Iy^4—

?c/13^69-77+11V69、

?Q(^^，一4一)；__

理二八z1-375-5-3遙、前八z13^69-77+11倔、

冰上.Qi(—2—，-4)Q2(~~2'4廣

7.如圖1,拋物線y=a(x-/?)2+左交x軸于O,A(4,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為8(2,2\^3),

點(diǎn)C為。2的中點(diǎn).

(1)求拋物線y=a(x-/?)2+左的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)C作CHLOA,垂足為H,交拋物線于點(diǎn)E.求線段CE的長.

(3)點(diǎn)。為線段。4上一動(dòng)點(diǎn)(。點(diǎn)除外)，在OC右側(cè)作平行四邊形OCED.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【解答】解：(1)由題意得：y—a(x-2)~+2'\[3>

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0=。義(4-2)2+2\(3，

解得：a=-返，

2_

拋物線y—a(x-h)2+k的表達(dá)式為y--^^-x2+2y[3x；

2

(2)由(1)矢口，y=-返(x-2)2+2A/3.

2

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)C(1,加)，

當(dāng)x=l時(shí)，y=-返(X-2)2+2-/3=^^-,

-22

則CE=^H--、巧=逅；

22

（3）①由（2）知，C（1,日），

當(dāng)y=\/^時(shí)，y=-（%-2）2+2A/3=-,/3-

2

貝|］》=2+、/（不合題意的值已舍去），

即點(diǎn)F（2+&，V3）;

②方法一：

設(shè)點(diǎn)。（加，0）,則點(diǎn)/（％+1,V3X

過點(diǎn)B作直線/_Ly軸，作點(diǎn)/關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)〃（m+1,3百），連接。F,

則2￡>+8尸=3。+8尸'^DF',當(dāng)。、8、F'共線時(shí)，BD+BF^DF'為最小,

由定點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)得，直線DF'的表達(dá)式為：y=3j"§（尤-/〃），

將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入上式得：2a=3如（2-777）,

解得：相=4,

3

則點(diǎn)F1（工，3盯），點(diǎn)。（A,0）,

33

則BO+8尸最小值為：DF'=41+（3?）2=2救;

方法二：作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（1,-心）,

E

則ACBF咨△OED(SAS),

則BF=DE,

則BO+8F=BZ)+￡)E23E,當(dāng)。、B、E共線時(shí)，BD+BF=BE為最小,

則BE=?1+（3?產(chǎn)=2匹；

8.如圖，拋物線y=/-x+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0<xW2時(shí)，求y=/-尤+c的函數(shù)值的取值范圍;

(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移旦個(gè)單位長度得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),

【解答】解：(1)把A(-1,0)代入y=/-x+c得：0=l+l+c,

解得c=-2,

二拋物線的解析式為y=W-尤-2；

(2)Vy=x2-x-2=(x-—)2--,

24

???拋物線y=/-x-2開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(工，-旦)，對(duì)稱軸為直線x=1；

242

V|O-1|<|2-1|,

22

...在0<xW2時(shí)，當(dāng)x=2,y取最大值2?-2-2=0；當(dāng)x制時(shí)，y取最小值尚

/.當(dāng)0<xW2時(shí)，函數(shù)值的取值范圍是-■|《yW0；

(3)連接過A作于”，交拋物線對(duì)稱軸直線于P,設(shè)直線■交

22

X軸于N,如圖：

在y=~-%-2中，令y=0得0=12-X-2,

解得力=-1或x=2,

：.B(2,0),

:*BN=2-」=旦，

22

..?將拋物線的頂點(diǎn)(工，-9)向下平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)

244

：.M(-1,-3),MN=3,

2

3__

sin/BMN=現(xiàn)==逅，

BM3M55

2

.P?H_V5

"P7M

JF

：.P'H=^^P'M,

5

，PA+在P'M=PA+PH=AH,

5_

由垂線段最短可知，當(dāng)尸與尸重合時(shí)，E4+近一最小，最小值為A8的長度,

?/2s&ABM=AB?MN=BM。AH,

.^_AB-MN_3X3_675

??1\11r----------f--------f

BM小5

2

/.PA+^PM的最小值為國運(yùn).

55

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+6x-3與無軸交于A(-1,0),B兩點(diǎn)，交

y軸于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸是直線彳=

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線BC下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD//x軸交拋物線于

點(diǎn)。，作PEL8C于點(diǎn)E,求尸。+近的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

2

(3)將拋物線沿射線BC方向平移遍個(gè)單位，在尸。+痣取得最大值的條件下，點(diǎn)

2

尸為點(diǎn)尸平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)點(diǎn)N為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若

ZNMF-ZABC=45°,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

w1

備用圖

【解答】解：：拋物線y=a/+6x-3與x軸交于A(-1,0),8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

拋物線的對(duì)稱軸是直線尤=$,

2

a-b-3=0

?*,<_b_5_，

2a-2

解得?2,

.,?拋物線的表達(dá)式為y=-1?-1x-3；

(2)如圖，延長PE交x軸于G,過尸作刊/〃y軸于8,

在y=—%2--x-3中，令y=0得0=—%2-—x-3,

2222

解得：入1=-1,X2=6,

：.B(6,0),

當(dāng)％=0時(shí)，尸-3,

：.C(0,-3),

BC=V32+62=3V5)

軸,

：.ZPHE=ZBCO,

sin/P/ffi=1&=2區(qū),

PH5

:.PE=3豆PH,

5

由8(6,0),C(0,-3)得直線BC為y=^x-3,

設(shè)P(x,y^-x-3),則H(x,春x-3)，

19

?'-PH=-yx+3x>

???拋物線y蔣X2￡X-3的對(duì)稱軸為直線X=1，

：.PD=2(x-9)=2x-5,

2

-2

F'D+^~PE=2x-5+*x_2^5_(蔣+3x)=-^x+5x-5,

：-l<0,

2

:.當(dāng)x=-------J—=5時(shí)，PD+^XPE取得最大值，最大值為生，此時(shí)尸（5,-3）；

2X（卷）22

（3）?拋物線沿射線BC方向平移遙個(gè)單位，即把拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下

平移1個(gè)單位,

新的拋物線為y=2(.t+2)2-9(x+2)-3-1=工？-7,尸的坐標(biāo)為(3,-4),

2222

如圖，當(dāng)N在y軸的左側(cè)時(shí),過N作NK_Ly軸于K,

得直線AF解析式為＞=-尤-1,

當(dāng)％=0時(shí)，y=-1,

：.M(0,-1),

ZAMO=ZOAM=45°=NFMK,

9：ZNMF-ZABC=45°,

AZNMKU50-ZABC=45°,

???/NMK=ZABC,

nrQi

：.tanZNMK=tanZABC=—=—=—,

OB62

設(shè)N（n,^n-7）,

.NK=-n=1

=

?*MK1121+7^

-1Tn?+7

解得：或且返（舍去），

22

???N（月邑5）；

如圖，當(dāng)N在y軸的右側(cè)時(shí)，過加作〉軸的垂線MT,過N'作NT_LMT于T,

同理可得NNMT=NA8C,

設(shè)N'(x,-^-x2-^-x-7),則T(無，-1)，

1217+1

vxFX-7+11

同理可得：￡-------------=±,

X2

-■-x=l+V13或X=1-V13(舍去)，

(1W13.喝7)，

綜上所述，N的坐標(biāo)為(5-后,4-V73)或(1+J女，在二1).

22

10.如圖，拋物線y=-/+6x+c經(jīng)過A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)8,

點(diǎn)〃是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)。.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)”是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH,DH,求MH+。”的最小值；

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)0,使得以。，M,P,Q為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)?.?拋物線>=-/+bx+c經(jīng)過A(-1,0),C(0,3)兩點(diǎn),

.f-l-b+c=0

"