高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)之疾病問題（解析版）

專題25疾病問題

例1.某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有eN*）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方

式：①逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)“次：②混合檢驗(yàn)，將其中網(wǎng)ZeN*且左..2）份血液樣本分別取樣混合在一起

檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這左份的血液全為陰性，因而這左份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)

果為陽性，為了明確這左份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這左份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這上份血液的檢驗(yàn)次數(shù)

總共為上+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份

樣本是陽性結(jié)果的概率為0（0<p<1）.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把

陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中左OteN*且左..2）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為芻，采用混

合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為務(wù).

（i）若E&=E6,試求p關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式p=f（k）:

（〃?）若p=1-試討論采用何種檢驗(yàn)方式更好？

參考數(shù)據(jù)：歷2B0.69,如3仁LIO,ln5~1.61,e仁2.72,e2?7.39,e3?20.09.

【解析】解：（1）記恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來為A事件,

421

則尸（A）=上=一.

810

（2）（z）E（^）=k,務(wù)的取值為1，k+1,

計(jì)算尸④=1）=（1-^，尸④=左+1）=1-（1一p）3

所以E（《）=（i_0y+（左+1）（1―（1一°舟=無+1_61_。）3

由￡&）=￡：&），得卜=k+l-k（l-p）k,所以p=1-（，）］（左eN*月"..2）.

1左左小

E（^）=k+l-ke~^,所以A+1-履々<%,即歷左一：>0.

設(shè)/(元)=Inx——，f'(x)=———=———,x>0>

4x44元

當(dāng)xe(0,4)時(shí)，f(x)>0,7(無)在(0,4)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(4,+oo)時(shí)，f'(x)<0,7(x)在(4,—)上單調(diào)遞減.

99

且/(8)=歷8-2=枷2-2>0,/(9)=ln9--=21n3一一<0,

44

所以上的最大值為8；

所以左e[2,8]時(shí)，混合檢驗(yàn)方式好，左e[9,+(?)時(shí)，逐份檢驗(yàn)方式好；

例2.2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，某省由于人員流動(dòng)性較大，成為湖北省外疫情最嚴(yán)重的省份之

一，截至2月29日，該省已累計(jì)確診1349例患者(無境外輸入病例).

(1)為了解新冠肺炎的相關(guān)特征，研究人員從該省隨機(jī)抽取100名確診患者，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得如

表的頻數(shù)分布表：

年齡[10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70](70,80](80,90](90,

100]

人數(shù)26121822221242

由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，該省新冠肺炎患者的年齡服從正態(tài)分布N(〃，15.22),其中〃近似為這io。

名患者年齡的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).請(qǐng)估計(jì)該省新冠肺炎患者年齡在

70歲以上修70)的患者比例；

(2)截至2月29日，該省新冠肺炎的密切接觸者(均已接受檢測(cè))中確診患者約占10%,以這些密切接

觸者確診的頻率代替1名密切接觸者確診發(fā)生的概率，每名密切接觸者是否確診相互獨(dú)立.現(xiàn)有密切接觸

者20人，為檢測(cè)出所有患者，設(shè)計(jì)了如下方案：將這20名密切接觸者隨機(jī)地按20且〃是20的約

數(shù))個(gè)人一組平均分組，并將同組的w個(gè)人每人抽取的一半血液混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)新冠病毒，則對(duì)該

組的“個(gè)人抽取的另一半血液逐一化驗(yàn)，記w個(gè)人中患者的人數(shù)為X“，以化驗(yàn)次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，

試確定使得20人的化驗(yàn)總次數(shù)最少的〃的值.

參考數(shù)據(jù)：若Z~N(〃,cr2),則p(〃一<T<Z<〃+b)=0.6826,P(〃-2。<Z<〃+2cr)=0.9544,

尸(〃一3cr<Z<〃+3cr)=0.9973,0.94~0.66,0.95~0.59,O.910~0.35.

/々刀+匚、々刀2x15+6x25+12x35+18x45+22x55+22x65+12x75+4x85+2x95

[解析]解：(1)N=-----------------------------------------------------------------------------------------------------=54.8o

100

所以P(54.8-15.2<X<54.8+15.2)=P(39.6<X<70)=0.6826.

P(Z>70)=

所以該省新冠肺炎患者年齡在70歲以上(270)的患者比例為15.87%.

(2)由題意，每名密切接觸者確診為新冠腦炎的概率均為工，n的可能取值為2,4,5,10.且X~)

10"10

對(duì)于某組〃個(gè)人，化驗(yàn)次數(shù)y的可能取值為1,M+1.

p(Y=1)=(^-)n,尸(y=〃+1)=1一舄)”

所以)=1?4)"+(n+l)[l-(^r]=?+l-n(^r,

90Q1Q

則20人的化驗(yàn)總次數(shù)為/(〃)=—[H+l-n(—)n]=20[1+)n],

n10n10

經(jīng)計(jì)算/(2)=13.8,/(4)BH.8,f(5)?12.2,/(10)~15.

所以，當(dāng)”=4時(shí)符合題意，即按4人一組檢測(cè)，可是化驗(yàn)總次數(shù)最少.

例3.新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒，為篩查該病毒，有一種檢驗(yàn)方式是檢驗(yàn)血液樣本

相關(guān)指標(biāo)是否為陽性，對(duì)于。份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則雷檢驗(yàn)〃次.二是混合

檢驗(yàn)，將其中左份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這左份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)

一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這左份血液究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)僦鸱輽z驗(yàn)，此時(shí)

人份血液檢驗(yàn)的次數(shù)總共為左+1次.某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得4份血液樣本，考慮以下三種檢驗(yàn)方案：方案一，

逐個(gè)檢驗(yàn)；方案二，平均分成兩組檢驗(yàn)；方案三，四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，

每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陰性的概率為尸=偵.

3

(I)求把2份血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率；

(II)若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.方案一、二、三中哪個(gè)最“優(yōu)”？請(qǐng)說明理由.

【解析】解：(I)該混合樣本陰性的概率是(言猿=|,

根據(jù)對(duì)立事件原理，陽性的概率為1-§=1.

99

(II)方案一：逐個(gè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為4,

方案二：由(I)知，每組2個(gè)樣本檢驗(yàn)時(shí)，若陰性則檢測(cè)次數(shù)為1,概率為

9

若陽性，則檢測(cè)次數(shù)為3,概率為

9

設(shè)方案二的檢驗(yàn)次數(shù)記為則J的可能取值為2,4,6,

其分布列為：

246

p64161

818181

廠,八o64)16「122

..E(J)=2xF4xF6x—=—，

8181819

方案三：混在一起檢驗(yàn)，設(shè)方案三的檢驗(yàn)次數(shù)記為〃，〃的可能取值為1,5,

其分布列為：

15

P6417

8181

?，64=17149

E(?i)—lx-----F5x—=----,

818181

QE(m<E?<4,故選擇方案三最“優(yōu)”.

例4.2019年12月以來，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國(guó)范圍內(nèi)開始傳播，專家組

認(rèn)為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過

與患者的密切接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后

即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為p(0<p<1)，某位患者在隔離之前,

每天有a位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為X(0WXWa),假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者.

(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)為X的概率P(X)與a、P的關(guān)系式和X的數(shù)學(xué)期望；

(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)

間，設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第〃天

新增患者的數(shù)學(xué)期望記為紇(〃W2).

⑴求數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列｛與｝為等比數(shù)列；

(ii)若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率p，=in(l+p)_|p，當(dāng)“取最大值時(shí)，

計(jì)算此時(shí)p，所對(duì)應(yīng)的以，值和此時(shí)P對(duì)應(yīng)的石6值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明戴口罩的必要性.(取a=10)

(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：In521.6,In3=1.1,1112~0.7,^20.3,2B0.7)

33

【解析】（1）由題意，被感染人數(shù)服從二項(xiàng)分布：X~B（a,p）,

則尸（X）=Cf/?x（l-p）a~X，（。4X4a），

X的數(shù)學(xué)期望EX=ap.

（2）（/）第〃天被感染人數(shù)為（1+即）"T,

第n-1天被感染人數(shù)為（1+即）”2,

由題目中均值的定義可知，

En=（1+"尸-（1+?。?2=ap（l+印）"-2

E

則——=1+即，且憶=ap-

E,2

n-l

:.{￡〃}是以印為首項(xiàng)，1+叩為公比的等比數(shù)列.

3）令/（。）=ln（l+0）_gp，

-2p+l

則八

3(p+1)

f(p)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(；,1)上單調(diào)遞減.

/(p)=/(I)=In---=In3-In2--?1.1-0.7-0.3=0.1-

J7maxJ233

n-2

則當(dāng)a=10，En=10p(l+10p)-

E：=10x0.1(1+10x0.1)4=16-

線=10x0.5(1+10x0.5)4=6480?

QE6>E/

二.戴口罩很有必要.

例5.某市疾控中心流感監(jiān)測(cè)結(jié)果顯示，自2019年1月起，該市流感活動(dòng)一度出現(xiàn)上升趨勢(shì)，尤其是2月以來,

呈現(xiàn)快速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，截止目前流感病毒活動(dòng)度仍處于較高水平，為了預(yù)防感冒快速擴(kuò)散,某校醫(yī)務(wù)室采取積極

方式，對(duì)感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù).假設(shè)某班級(jí)已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染，需要通過化驗(yàn)血液來

確定感染的同學(xué)，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性即為感染，呈陰性即未被感染.下面是兩種化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化

驗(yàn)，直到能確定感染同學(xué)為止；

方案乙：先任取3個(gè)同學(xué)，將它們的血液混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陽性則表明感染同學(xué)為這3位中的1位，后再

逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性則在另外3位同學(xué)中逐個(gè)檢測(cè)；

（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（2）〃表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù),J表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同,請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)角度

考慮那種化驗(yàn)方案最佳.

【解析】（1）設(shè)=1,2,3,4,5）分別表示依方案甲需化驗(yàn)為第/次,

B.（j=2,3）表示依方案乙需化驗(yàn)為第/次，

尸(&)=%&)=尸N)=P(A4)=g，P(”=；

c2C3

產(chǎn)區(qū)）=J_1_J]_

C3clc3cl

J6J33

產(chǎn)區(qū)）=1-尸（約）=g

A表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù).

P(A)=P(AA+AA)=P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=1X1+1X|=1.

(2)〃的可能取值為1,2,3,4,5石的可能取值為2,3.

P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=1,P(A5)=|,

「11c1c1/1U110/%、

ETI=1x—F2x—F3x—F4x—F5x—=—(i八),

666633

P(4=2)=P(約)號(hào)

「("3)=尸㈤號(hào),

19Q

.?.砧=2x^+3><耳=§(次)

.?.故方案乙更佳.

例6.某單位計(jì)劃組織200名職工進(jìn)行一種疾病的篩查，先到本單位醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢，血檢呈陽性者再到醫(yī)院

進(jìn)一步檢測(cè).已知隨機(jī)一人血檢呈陽性的概率為1%,且每個(gè)人血檢是否呈陽性相互獨(dú)立.

(/)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機(jī)分成20組，每組10人，先將

每組的血樣混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陰性，則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽性，則本組

中至少有一人呈陽性，再逐個(gè)化驗(yàn).設(shè)進(jìn)行化驗(yàn)的總次數(shù)為X,試求X的數(shù)學(xué)期望；

(n)若該疾病的患病率為0.5%，且患該疾病者血檢呈陽性的概率為99%，該單位有一職工血檢呈陽性，求該

職工確實(shí)患該疾病的概率.(參考數(shù)據(jù)：0.9910=0.904,0.9911=0.895,0.9912=0.886.)

【解析】解：(/)設(shè)每組化驗(yàn)的次數(shù)為。，則取值為1,11.

P(^=1)=O.9910=0.904,P((^=11)=1-O.9910=0.096,

???(的分布列為:

111

尸⑶0.9040.096

E^=lx0.904+11x0.096=1.96.

進(jìn)行化驗(yàn)的總次數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望EX=20野=39.2.

(〃)設(shè)事件A表示“血檢呈陽性表示事件"該疾病”.

由題意可得：尸（A）(B)=0.005,P(A|B)=0.99,

由條件概率尸（AIB）==P(3)P(A⑻=0.005x0.99.

P(B|A)=

單位有一職工血檢呈陽性，則該職工確實(shí)患該疾病的概率為0.495.

例7.在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此要抽N個(gè)人的血,可以用兩種方法進(jìn)行.（1）將每個(gè)人的血

分別去驗(yàn),這就需N次.（2）按k個(gè)人一組進(jìn)行分組才巴從k個(gè)人抽出來的血混在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果這混合血液

呈陰性反應(yīng),就說明k個(gè)人的血液都呈陰性反應(yīng)，這樣，這k個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次.若呈陽性，則再對(duì)這k個(gè)人

的血液分別進(jìn)行化驗(yàn).這樣，這k個(gè)人的血總共要化驗(yàn)左+1次.假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽性的概率為p,且這些人的

試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的.

（I）設(shè)以k個(gè)人為一組時(shí)，記這k個(gè)人總的化驗(yàn)次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（口）設(shè)以k個(gè)人為一組，從每個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)的角度說明，若p=0.1,選擇適當(dāng)?shù)模ò吹诙N方法可以

減少假僉的次數(shù),并說明k取什么值時(shí)最適宜.（取防09=-0.105）

【解析】解：（I加個(gè)人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為（l-p）3呈陽性結(jié)果的概率為1-（1-P）'.

X1人+1

P(1-p/1-(1-p)k

:.EX+l,

（n）由題意/（力=1-0.91+1小于1且取得最小值時(shí)，就能得到最好的分組方法.

Q/'（3）=-0.035<0,/'（4）=0.006>0

且/（3）＞八4）,;"=4最適宜.

例8.已知一種動(dòng)物患有某種疾病的概率為0.1,需要通過化驗(yàn)血液來確定是否患該種疾病，化驗(yàn)結(jié)果呈陽性

則患病，呈陰性則沒有患病，多只該種動(dòng)物檢測(cè)時(shí)，可逐個(gè)化驗(yàn)，也可將若干只動(dòng)物的血樣混在一起化驗(yàn)，僅當(dāng)至

少有一只動(dòng)物的血呈陽性時(shí)混合血樣呈陽性，若混合血樣呈陽性，則該組血樣需要再逐個(gè)化驗(yàn).

（I）求2只該種動(dòng)物的混合血樣呈陽性的概率；

（口）現(xiàn)有4只該種動(dòng)物的血樣需要化驗(yàn)，有以下三種方案

方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；

方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；

方案三：混合在一起化驗(yàn).

請(qǐng)問：哪一種方案更適合（即化驗(yàn)次數(shù)的期望值更?。?

【解析】解：（I）設(shè)4為2只該種動(dòng)物中血液呈陽性的只數(shù)則4?臺(tái)（2,?！梗?，

這2只動(dòng)物中只要有一只血樣呈陽性，它們的混合血樣呈陽性，

所求概率為p（合1）=1-P傳=0）=1一（1一QI）?=0.19.

2只該種動(dòng)物的混合血樣呈陽性的概率為0.19.

（口）方案一：4只動(dòng)物都得化驗(yàn)，所需化驗(yàn)次數(shù)為4次；

方案二：設(shè)所需化驗(yàn)次數(shù)為X,則X的所有可能取值為2,4,6,

尸（X=2）=0.81x0.81=0.6561,

尸（X=4）=2x0.81x0.19=0.3076,

P（X=6）=0.19x0.19=0.0361,

EX=2x0.6561+4x0,3078+6x0.0361=2.76；

方案三：設(shè)所需化驗(yàn)次數(shù)為匕則y的所有可能取值為1,5,

由于4只動(dòng)物的混合血樣呈陰性的概率為0.94=06561,

P[Y=1)=0.6561,

P{Y=5)=1-0.6561,

:.EY=1x0.6561+5x0.3439=2.3756.

Q2.3756<2.76<4,

；.4只動(dòng)物混合在一起化驗(yàn)更合適.

例9.某種病毒性疾病，患該疾病的血液呈陽性,不患的呈陰性.依據(jù)已發(fā)病例數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),一般人群中該病的陽

性者的比例為0.1.某市體檢中心一般采取了如下兩種的檢驗(yàn)方法：第一種是逐個(gè)抽血檢驗(yàn).第二種為了減少

工作量是把4位職工分為一組，將4人的血缸液混合檢驗(yàn)，如果混合血液呈陰性,4人平均每人化驗(yàn)0.25次；如

果混合血液呈陽性，則對(duì)4人再逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn),4人共做了5次化驗(yàn)，相當(dāng)平均每人化驗(yàn)1.25次，假設(shè)不同人之間

患該疾病是相互獨(dú)立的.現(xiàn)某單位為1000名職工進(jìn)行抽血體檢，檢驗(yàn)這種病毒性疾病.

(I)若采取第一種化驗(yàn)方法，求甲乙丙丁4人中，恰有2人血液呈陰性的概率；

(II)若醫(yī)院采取第二種化驗(yàn)方法，比以往每人化驗(yàn)1次可減少多少工作量？

【解析】解：(I)因?yàn)椴煌酥g患病是相互獨(dú)立的，

所以采取第一種化驗(yàn)方法，求甲乙丙丁4人中，恰有2人血液呈陰性的概率為C：0.Fx0.92=0.0486；

(II)醫(yī)院采取第二種化驗(yàn)方法，

設(shè)平均每人的化驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量J*所有可能