高一年級下冊解三角形期末試題（易錯40題20個考點(diǎn)專練）（解析版）

高一下冊數(shù)學(xué)期末真題解三角形精選

（易錯40題20個考點(diǎn)專練）

題型一：正弦定理及辨析

1.（2021春?安徽六安?高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谀┰凇癇C中，"cosAvcosB"是"sinA>sinB”的（

條件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)知：sinA>sinB>cosAccosB都有力>6,由等價法知條件"cosA<cos3"、

"sinA>sinB”之間的充分、必要關(guān)系.

Qh

【詳解】"RC中，由正弦定理‘二=二，

sinAsinB

當(dāng)sinA>sinB必有根據(jù)三角形中大邊對大角知：A>B\

TTTT

當(dāng)cosA<cos3時，在三角形中由0<A+3〈萬，有萬〉A(chǔ)>—>8>0或一>A>8>0成立，即/>笈；

22

二"cosA<cos3"是"sinA>sin3”的充要條件.

故選：C

2.（多選）（2022春廣東廣州?高一校聯(lián)考期末）在"1BC中，角A,8,C所對的邊分別為。，b,c,且匕=2,A=1

若AABC有唯一解，貝IJ。的值可以是（）

A.1B.V3C.72D.75

【答案】BD

【分析】根據(jù)正弦定理三角形有唯一解，得到a=6sinA或。2匕，即可求出參數(shù)”的取值范圍，從而得解；

【詳解】解：因?yàn)?=2,A=5，因?yàn)?1BC有唯一解，所以a=6sin4=g或a26=2,即ae｛百｝U[2,y）,

故選：BD

題型二：正弦定理解三角形

3.（2023春?河南周口,高一校考期末）在AABC中，角A,3,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c.若A=?,B=?a=2四,

則6=__________

【答案】273

【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.

2。在

.、*皿、舊生ab,asinB

【詳解】因?yàn)槭?荷‘所cri以u°=飛前—尸2=2收

V2

~T

故答案為：2也.

在中，已知=也，ZB=-^n

4.（2023秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）如圖,AABC48BD=A/3-1.

1

AE

B

⑴求A。的長;

⑵若AC=g+l,點(diǎn)E,C在直線AO同側(cè)，ZAED=2ZCf求+的取值范圍.

兀71.兀.兀y/6—y[2,

【詳解】（1）依題意,COS—7C=cos(—+—)=cos—cos——sin—sin—=

124646464

在△ABD中，由余弦定理4)2=^52+082—2Ag.Dgcos5,

222

得AD=(衣2+(73-1)-2亞若-l)cos—K=2+(A/3-1)-2形電-1)-6—垃=2，

124

所以=

.5./兀兀、.兀717C.7176+72

(2)sin—冗=sin(—+—)=sin—cos—+cos—sm—=-------

124646464

6+1A/2]

ACAB

在AABC中，由正弦定理得,即一^sinC9解得sinC=—,

sinBsinCsin——兀

12

77T7T

而Ce(0,—it),于是NC=—,有NAEO=2NC=—,

1263

AEED近一2r-

△AED中，由正弦定理得：sinNADE-sinNEAD一.兀一§一

sin——

3

27r27r

令ZAD￡=g,則/叢。=7一6,O<0<—f

因止匕AE+ED=A/6sinJA/6_=-jA/6(-^-sin^+-^-cos^)=2拒sin(8+￡)

mr\/■?27r|-.I兀八兀5兀/.1,/八兀、,1

因0<6<——，則一<。+—<—,有一vsin(e+—)Wl,

366626

即&<28sin（O+F）W2收，41<AE+ED<141，

所以AE+￡D的取值范圍為（忘,2點(diǎn)］.

題型三：正弦定理判斷三角形解的個數(shù)

5.（2022秋?河南省直轄縣級單位?高二統(tǒng)考期末）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=2,8=45。,

若三角形有兩解，則6的取值范圍是.

【答案】（忘,2）

【分析】由正弦定理可得sinA=竺學(xué)，由"LBC有兩解，可得sinA=4^<l,且2=。>6,從而即可求解.

bb

【詳解】由正弦定理可得工=上，即sinA=竺?0,又8=45。,。=2,

smAsinBb

2

9正

所以..TV2，

sinA=----=——

bb

因?yàn)椤癐BC有兩解，所以sinA=4^<l,且2=a>b,

b

所以后<b<2,

所以b的取值范圍為（點(diǎn),2）,

故答案為：（點(diǎn),2）.

6.（多選）（2023春?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是。、b、c,

下列結(jié)論正確的是（）

A.若asinA=AsinB,則AA5c為等腰三角形

B.若acosA=bcosB,則AABC為等腰三角形

C.若8=60。，b-=ac,則AABC為等邊三角形

D.若A=30",b=10,a=4,則8有兩解

【答案】AC

【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用正弦定理、二倍角公式可判斷B選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)；利

用正弦定理求出sin3的值，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，若asinA=bsinB,由正弦定理可得/=廿，則〃=

所以，AABC為等腰三角形，A對；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)閍cosA=bcos5,由正弦定理可得sinAcosA=sin5cos5,

因?yàn)锳、B中至少有一個是銳角，JJl!jsinAcosA=siii5cos5>0,

從而可知A、3均為銳角，由sinAcos24=51113853可得511124=$11125,

因?yàn)锳、,則24、2Be（0,n）,所以，2A=2B或2A+28=兀，

冗

所以，A=3或4+8=5,故AABC為等腰三角形或直角三角形，B錯；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?=60°,b2=ac,

2222

由余弦定理可得6?=（r+c-2accos60°=a+c-ac=ac,BP（a-c）=0,

所以，a=c,因此，AABC為等邊三角形，C對；

對于D選項(xiàng)，因?yàn)锳=30°,8=10，。=4,

ab10x―

由正弦定理得a；nA_"sinA_lUX2_5所以，金。不存在，D錯.

sinAsinBsinD=--=----——

a44

故選：AC.

題型四：正弦定理求外接圓半徑

7.（2021春?陜西延安?高一?？计谀┰?4BC中，sinA=；,且"RC的外接圓的半徑R=2,則邊BC=

【答案】|4

【分析】應(yīng)用正弦定理求解即可.

3

【詳解】在AABC中，sinA=1,

a

77—=4A4A

由正弦定理「=27?,可得1，所以BC=a=；,

sinA-3

4

故答案為：

8.（2022春?上海普陀?高一?？计谀〢ABC中，角A、8、C所對的邊分別為。、b、c,己知b=4A反A=30。,3=120。.

⑴求邊。、c的長度；

（2）求AABC的面積及其外接圓半徑.

【詳解】（1）因?yàn)锳=30。,8=120。，所以在中，C=180?！?—3=30。，

由正弦定理得：~7~=.C>也即一--==---,

sinAsinBsinCsin30°sin120°sin30°

所以〃=c=4；

（2）由三角形的面積公式可得：AABC的面積S=；“csinB=4占，

由正弦定理可得：外接圓半徑R=g'==4.

2sinA

題型五：正弦定理邊角互化的應(yīng)用

9.（2022秋?河南焦作?高二統(tǒng)考期末）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若"tanB=〃tanA,

則角A與角8的關(guān)系為（）

A.A=BB.A+B=90°

C.A=3且A+8=90°D.A=8或A+B=90。

【答案】D

【分析】利用正弦定理和余弦定理求得。，b,c之間的關(guān)系，進(jìn)而得到角A與角8的關(guān)系.

【詳解】由/tanB=/tanA,可得…0=少當(dāng)，

cosBcosA

貝I]ab_ba,則.cosA-Z?cosB=Q,

cosBcosA

b1+C1-a2a2+c2-b1

貝miUl--------------a=---------------b7,

2bclac

貝Ij+。2一々2）々2一（〃2+。2一〃）〃=0,

整理得（合—廿乂/一儲一萬）=0,

則或。2=儲+>2,則4=5或4+3=90。.

故選：D

10.（2023秋?云南昆明?高二統(tǒng)考期末）在“LBC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,&sin2C=csinB,^ABC

的外接圓半徑為冥1,

3

⑴求角C；

（2）若AABC的面積為46，求AABC的周長.

4

【詳解】(1)因?yàn)閏sin3=/?sin2C=2/?sinCcosC,

由正弦定理可得sinCsinB=2sinBsinCeosC,

又因?yàn)橛谩?0,兀)，貝(Jsin5wO,sinCwO,

1TT

可得l=2cosC,BPcosC=-,所以C=—.

23

(2)由正弦定理，=迪，可得c=生叵sinC=t8x也=2,

sinC3332

因?yàn)锳ABC的面積LBc=："sinC,即Lbx走=4若，可得必=16,

222

由余弦定理cosC="+廿一片=(。+小2/,

2ab2ab

即工=("+9-32-4,解得a+6=2而或a+6=-2耳(舍去)，

232

所以44BC的周長為a+b+c=2jf?+2.

題型六：三角形面積公式及其應(yīng)用

11.(2023秋?陜西西安?高二長安一中?？计谀?已知AABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,a=6,

且(6+6XsinA-sin3)=(c-6)sinC,則AABC面積的取值范圍為.

【答案】(。，9如］

TT1

【分析】根據(jù)正弦定理化簡已知表達(dá)式，再結(jié)合余弦定理即可求得A=g,表達(dá)面積S=5"sinA,再用基本不等式

即可求得.

［詳解】因?yàn)?6+〃)(sinA—sin3)=(c—b)sinC,

22

則由正弦定理得：(6+6)(a—6)=(c—?。，化簡得，6a-6b+ab-b=c-cb

因?yàn)閍=6,代入化簡得，cb=c2+b2-a2,則cosA="十：——=^-,

2bc2

所以A=g,AABCS=—besinA=^-bc;

324

5Lcb+36=c2+b2>2bc,解得歷工36,當(dāng)且僅當(dāng)6=。時，等號成立，

所以5=￥兒49石，故三角形面積的取值范圍是僅,9碼.

故答案為：(0,96］

12.(2021春?湖南岳陽?高一岳陽一中?？计谀?在AABC中，內(nèi)角A、2、C的對邊分別為a、b、c,且acos3+bsinA=c.

(1)求角A的大小；

⑵若a=0，"BC的面積為在二1,求b+c的值.

2

【詳解】(1)由已知及正弦定理得sinAcos5+sinBsinA=sinC,

,/sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

*/sinBsinA=cosAsinB,

,/sin3w0/.sinA=cosA

5

e/Ae(0,71)/.A=

(2)?「S^ABC=^bcsinA=^^-bc=be=2—A/2,

又,「a2=b2+c2—2Z?ccosA「.2=(/?+o)?-(2+0)bc,

所以(Z?+c)2=4,b+c=2.

題型七：余弦定理及辨析

13.(2023秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)在△ABC中，角A、B、。的對邊分別為〃、b、c.若A=6(T,c=21=1,則

Q=.

【答案】6

【分析】已知兩邊及夾角，由余弦定理直接求得結(jié)果.

【詳解】已知4=60。,。=21=1,

由余弦定理得6?=Z72+C2-Z?C=12+22-1X2=3,解得。=石.

故答案為：拒.

14.(多選)(2023秋?浙江杭州?高二?？计谀?在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,則下列關(guān)系

式中正確的是()

A.(Z?+c)(Z?-c)=2absmC-a2B.(b+c)(b-c)=labcosC-er

C.sin(A+B)sin(A-B)=sin2A-sin2BD.cos(A+B)cos(A-B)=cos2A-cos2B

【答案】BC

【分析】利用余弦定理可判斷出選項(xiàng)AB,再根據(jù)兩角和與差的正弦、余弦公式以及平方關(guān)系化簡可得C正確，D

錯誤.

【詳解】根據(jù)余弦定理=儲+廿-2"cosC可得Z?-°2-2abcosC-a2;

即0+c)(b-c)=2%osC-4，所以B正確，A錯誤；

根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得：

sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+sinBcosA)(sinAcosB-sinBcosA)

=sin2Acos2B-sin2Bcos2A=sin2A^l-sin23)-sin2B^l-sin2A)=sin2A-sin2B

即C正確；

對于D：cos(A+B)cos(A-B)=cos2Acos2B-sin2Asin2B

=COS2ACOS2B-(1-COS2A^1-COS2=cos2A+cos2B-1

=cos2A-sin2B)所以D錯誤.

故選：BC

題型八：余弦定理解三角形

15.(2022秋?河南焦作?高二統(tǒng)考期末)在“1BC中，其三邊分別為a,b,c且三角形的面積S=巴衛(wèi)上，則角

4

C=.

77

【答案】9/45。

4

6

【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理計(jì)算出tanC的值，即可求解出C的值.

1〃24序_2

【詳解】因?yàn)镾=—absinC=---------------，所以2absin。："+/一/二2a0cosC,

24

則tanC=1,

又。40,兀），所以C=

故答案為：—.

4

16.（2023春?重慶?高三重慶市長壽中學(xué)校?？计谀┰凇鰽8C中，角A、B、。的對邊分別為a、b、c,若

bcosC+ccosB=2bsinA,且sinA2sinB.

⑴求角8的值；

（2）若cosC+sinB=0,且AABC的面積為4石，求8。邊上的中線AM的長.

【詳解】（1）因?yàn)閆?cosC+ccos3=2Z?sinA

由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=2sinBsinA=sin（B+C）=sinA

所以sin3=g,B或?qū)W

2o6

又因?yàn)閟inANsinB,則人金修學(xué)],故3=]

oJo

故答案為：S=J

6

（2）由（1）知⑶吟又cosC+sin3=0,所以cosC=-1,C=y,則A=7i—5—。=三，所以b=〃.

2

X5AABC=—basinC=—asin—=4A/3,所以.=4,

223

在△ABM中，CM=—a=2,

2

27r

由余弦定理得=AC?+CM?-2AC?CMcosy=16+4+8=28,

所以AM=2j7.

故答案為：2"

題型九：余弦定理邊角互化及應(yīng)用

17.（2022秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）在AABC中，若（a+b+c）S+c-a）=3A,且sinA=2sin3cosC,則AABC

是（）.

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

7

【答案】B

【分析】將(a+b+c)0+c-a)=3歷化簡并結(jié)合余弦定理可得A的值，再對

sinA=2sin3cosc結(jié)合正余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.

【詳解】由(a+b+c)(6+c-a)=36c,(b+c)2-a2=3bc,

整理得62+02一/=歷，則cosA=3+f

2bc2

因?yàn)??0,兀)，所以A=%

2A.h2-r2

又由sinA=2sinBcosC,得a=2b-n---------

lab

化簡得Z?=c,所以AABC為等邊三角形，

故選：B

18.(2023秋?河北邢臺?高三統(tǒng)考期末)〃，b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊，已知ccos3=l.

(1)若［=2,證明：△ABC為等腰三角形；

(2)若sir?A+sin2C=sin2B+sinAsinC,求b的最小值.

〃2_(_2_*022_72

【詳解】(1)因?yàn)椤?2,ccos3=l,所以由余弦定理可得ex"+c-。=i,即+c一》=i,

2ac2x2xc

整理得"=。2,即6=c,所以△ABC為等腰三角形.

(2)因?yàn)閟in2A+sin2C=sin2B+sinAsinC，

所以由正弦定理可得"+。2=6+研,

所以由余弦定理可得cosB="一+―=

2ac2

又ccos3=l,所以c=2,

以b~—a?+c?—cic=a~+4—2a=(a—1)+3,

當(dāng)a=l時，b取最小值，且最小值為否.

題型十：余弦定理判斷三角形形狀

19.(2022春?上海普陀?高一?？计谀?AABC中，角A,2,C所對的邊分別為且滿足a=2Z7cosC,則此三角形

的形狀是.

【答案】等腰三角形

【分析】利用正弦定理邊角互化，由A=7t-(B+C)結(jié)合三角函數(shù)和差公式和角的范圍即可得B=C,即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?26cosC,所以由正弦定理可得sinA=2sin3cosC,

又在AABC中A=TI—(8+C),

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=2sinBcosC,

所以sinCcosB—sinBcosC=0即sin(C-B)=0,

由反Ce(0,7t),故3=<7,則此三角形的形狀是等腰三角形，

故答案為：等腰三角形

P0cAA

20.(2022春?云南麗江,高二統(tǒng)考期末)在“8C中，若一-=則AABC的形狀是_________.

cosBa

8

【答案】等腰三角形或直角三角形

【分析】由已知及余弦定理可得（。2-62）（。2-1-4）=0,即可判斷AABC的形狀.

b2+c2-a2

【詳解】［方法一］：由余弦定理，岑=22%上,化簡得（后一⑻爐一"一⑻二。，

cosBa+c-ba

2ac

222

a=b^c=a+bf

AABC為等腰三角形或直角三角形.

故答案為：等腰三角形或直角三角形.

［方法二］:由c°s*=2可知cos4>0,cosB>0,即

cosBa

由正弦定理結(jié)合題意可得y=*,

cosBsinA

.11

BPsinAcosA=sinBcosB,—sin2A=—sinIB,

22

據(jù)此有2A=25或2A+25=%,

TT

即A=B或A+B=?.

AABC為等腰三角形或直角三角形.

故答案為：等腰三角形或直角三角形.

題型十一：證明三角形中恒等式或不等式

21.（2020?浙江?高一期末）AABC的三邊分別為a,b,c,若AABC是銳角三角形，則（）

A.sinA<cosBB.tanAtanB>lC.cos（A+B）>0D.sin（A+B）>sinC

【答案】B

【解析】根據(jù)AABC是銳角三角形，令A(yù)=3=C=60°，然后逐項(xiàng)判斷排除即可.

【詳解】解:???△MC是銳角三角形，可令4=5=。=60。廝114=走>358=’小錯誤；

22

cos（A+B）=cosl20°=-^<0,C錯誤；

sin（A+B）=sin120。=sinC=孝,D錯誤；

tanAtanB=3>l,B正確.

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，以及三角形內(nèi)角的正余弦值之間的關(guān)系，可用排除法得出正確選項(xiàng).

22.（多選）（2021春?浙江?高二期末）在AABC中，下列說法正確的是（）

A.若44BC是銳角三角形，貝UsinA<cos3

B.若A>8,則sinA>sin3

C.不存在AABC滿足cosA+cos340

JI

D.若。>萬，則sinC>sin?A+sin?3

【答案】BCD

9

【分析】逐一判斷，對A,兩角和大于90。，利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式即可判斷正誤；對B使用正弦定理判斷即

可；對C,由4+8<180?；営?jì)算；對D,利用02>片+>2,化簡即可.

【詳解】對A,由AABC是銳角三角形，所以A+B>90。，貝1">90°-8,

所以sinA>sin(9(y-B)=cos3,即sinA>cos3,故A錯；

對B,由/>6,則a>b,故sinA>sin3,所以B正確；

對C,在“1BC中，由A+8<180。，則4<180。-3，故cosA>cos(180°-B)=-cos3,貝ijcosA+cos3>0,所以C

正確

TT

對D,由C〉,，所以/>々2+82,貝ljsin?。,sin?A+sin?5,

又sinC>sin2。,所以sinC>sin?A+sin?3,故D正確

故選：BCD

題型十二：求三角形中周長或邊長的取值范圍

23.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在銳角加。中，角A,3,C所對的邊分別為〃也c,且

2c之=(/+。2-02)(tanA+tanB).

⑴求角A的大小；

(2)若邊〃=0,邊3C的中點(diǎn)為。，求中線AD長的取值范圍.

【詳解】(1)由余弦定理得2c2=2accosB(tanA+tanB),

即c=acosB(tanA+tanB),

sinAsinB

由正弦定理得sinC=sinAcosB(tanA+tanB)=sinAcosB-----1-----

cosAcosB

.sin(A+B)sinAsinC

=sinAcosB----------=--------

cosAcosBcosA

,/sinC0,/.sinA=cosA,即tanA=l,

(2)由余弦定理得：2=/+°2一?c，則/+c2=2+J^6c.

|初2=J(而+/)2=；/2+62+血兒)=3(1+0歷)

b

由正弦定理得『-±-=-^—=2

sinBsinCsinA

所以b=2sinB,c=2sinC,

be=4sinBsinC=4sinBsinsinBeosB+sin2B)=&(-cos2B+sin2B)+忘

=2sin2B-^+四

10

7元冗

因?yàn)槭卿J角三角形，所以2,即:

八?？谪?/p>

0<-3----B<—42

[42

貝—；<牛，,<sin[2B—￡）Wl,;.6ccb0,2+^].

中線A。長的取值范圍是（W，紅出.

24.(2023春?山東濱州?高一統(tǒng)考期末)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sin2A—sin2C—sin2B=sinCsinB?

⑴求角A；

(2)若〃=百，求AABC周長的取值范圍.

【詳解】(1)因?yàn)閟in?A—sin??！猻in25=sinCsin5,

所以sin?C+sin2B—sin2A=—sinCsinB,

由正弦定理==-7^；,得/+。2一々2=一兒.

sinAsinBsinC

故COSAJ%：-"、」，因?yàn)锳e(0,?r),故4=營.

2bc23

b_c_a_yJ3_

(2)由正弦定理得：sin5sinCsinA.2兀，

sin——

3

所以，Z?+c=2sin5+2sinC=2^sinB+sin—Bjj

=2—sinB+^-cosB=2sinfB+—1.

122JI3j

又Bq。,]],則B+所以。+C￡(&2],又〃=百,

題型十三：幾何圖形中的計(jì)算

25.（2023秋?福建龍巖?高一統(tǒng)考期末）如圖，已知是半徑為2的圓的直徑，點(diǎn)C,。在圓上運(yùn)動且CD//AB,

則當(dāng)梯形ABC。的周長最大時，梯形ABCD的面積為.

【詳解】連接AC,設(shè)NBAC=6,e0,1,過點(diǎn)。作CE1AB交A5于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸交于點(diǎn)尸,

設(shè)圓的半徑為R,則尺=2,

11

則BC=2Rsva0,BE=BCcos（g-。）=27?sin26,

因?yàn)镃D//AB,所以存c=加，則AD=3C,即梯形ABCD為等腰梯形，

所以CD=EF=AB—2BE=2R—4Rsin24，

所以GBC。=AB+BC+C￡>+ZM=2R+4Rsin0+2R—4Rsin?6?

=8+8sin6?-8sin26>=-8^sin6>-1^+10,

所以當(dāng)sin9=1，即e=￡時，（Gm）1mx=10,

2O

所以3C=2,AB=4,ZABC=-,所以CE=BCsin^=若，C￡>=4-8xW=2,

33⑵

所以SABCD=5X（2+4）X形=3,.

故答案為：30

26.（2023秋?浙江?高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在"RC中，點(diǎn)。在邊8C上,

BDsin^CAD=ABsm^BAD

⑵若8=23D,sin/BAr>=：,求cosC.

【詳解】（1）在△ABD中，由正弦定理知：———=———,BPfiD-sinZBDA=ABsinZBAD

sinABDAsinABAD

又3Dsin/C4D=AB-sin—SAD,

可得sinZCAD=sinNBDA=sinZADC,

在AACD中，所以NC4D=NADC,所以AC=CD.

（2）不妨設(shè)80=1,則AC=CD=23D=2

在八406中，由余弦定理知；AD2=AC2+CD2-2ACCDCOSC=8-8COSC

在AABC中同理可知：AB2=13-12cosC

12

在△ABD中，cos/BAD=Vl-sin2^BAD二—二+"'一

42ADAB

岳lO(l-cosC)

gn有--=''

4J(8-8cosc)(13-12cosC)

解得cosC=J.

題型十四：求三角形面積的最值或范圍

27.我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法"三斜求積術(shù)”,

即的面積S=+,其中“涉,0分別為融。的內(nèi)角AB,C的對邊，若6=1,且

tanC=彩，則AABC的面積的最大值為()

l-V2cosB

A.—B.&C.BD.石

22

【答案】A

【分析】先根據(jù)tanC=也羋求出a，c關(guān)系,代入面積公式，利用二次函數(shù)的知識求解最值.

1-V2cosB

【詳解】因?yàn)閠anC=,所以sinC=0sinCcos5+0cosCsin3，

1—。2cos3

即sinC=V2sin(C+B)=0sinA；

由正弦定理可付c=，所以S=J]ac—I-------------I=—y—ct+6a—1

當(dāng)a=6時，S取到最大值走.

2

故選：A.

28.在AABC中，角AB,C的對邊分別為a,》,c,且滿足叵2雙=￡.

sinBb

⑵點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，BD=2,^BC=x,CD=y,求ABCD面積的最大值.

【詳解】(1)因?yàn)?cosc=工,

sinBb

13

所以由正弦定理得6cosc=包￡,則逐osC=sinC,故tanC=石，

sinBsinB

IT

X0<C<7t,所以c=§.

(2)在△BCD中，BC=x,CD=y,BD=2,

所以由余弦定理得=Bc2+Cr>2_2BC-CI>cosC,即4=尤2+/-斗

又4=尤2+y2-孫22孫-孫=孫，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時，等號成立，則孫V4,

所以SHBCD=g'工V,sinC=xy<,此時x=y=2,

故△BCD面積的最大值為

題型十五：正余弦性質(zhì)余與三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用

29.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+e4[0>O,-7TTI\的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)AM的解析式；

(2)在銳角疑。中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,若f(A)=6,b=2,且加。的面積為述,

2

求。.

【詳解】解：(1)據(jù)圖象可得3彳7=五57r-卜(§龍"\)=3彳4，故7=萬，

由7=237r=萬得：0=2.

(1)

+0[=2得：sin+0)=1.

5%2sin|2x—

由/12I12

,7171,715714乃

由一彳<。<彳知，y<—+^<—>

Z2303

5??！┝Α谪?/p>

?0--^+^7--?斛得9=一丁，

O23

f(x)=2sin^2x-y^；

(2)"(A)=2sin(2A-g]=5.-.sinf2A--V—>

14

71

TTTTTT

2A——二一，..A二一，

333

由題意得AABC的面積為工x2xcxsin&=￡^,解得。=3,

232

由余弦定理得〃2=/+。2一2歷854=22+32—2、2乂385/=7,解得：a=幣.

TT

30.如圖所示，扇形AOB,圓心角AQB的大小等于半徑為2,在半徑0A上有一動點(diǎn)C,過點(diǎn)C作平行于。2

的直線交弧于點(diǎn)P.

(1)若C是半徑。4的中點(diǎn)，求線段PC的大??；

(2)設(shè)/CO尸=6,求APOC面積的最大值及此時6＞的值.

由。產(chǎn)=OC2+PC2-2OC-PCcos—,

^PC2+PC-3=0,解得尸C=士巫

71

(2)?/CP//OB,ZCPO=ZPOB=一一e,

3

2CP

OPCP

在APOC中，由正弦定理得即21sin。，

sinZPCOsin^sin——

3

OCOP

4——--------4

/.CP=—sin6,又..2"OC=—i=sin

V3sinsm§，有

、31-4

12乃

記APOC的面積為義。)，貝iJS(0=/CPOCsinq-,

x^-=^^sin^-sin

2百

2

cos^-—sin^=2sin9cos6--^sin0

2

7V3

?CQ|百OQ布20.sa兀、6

=sin2,d-----cos2,-------=------sin(2"H——)-------

33363

8=9時，s(e)取得最大值為且.

63

15

題型十六：距離測量問題

31.（2022春?貴州?高一校聯(lián)考期末）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50。方向直線航行,

30分鐘后到達(dá)8處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20。，在B處觀察燈塔,

其方向是北偏東65,那么B、C兩點(diǎn)間的距離是（）

A.10底海里B.106海里C.20近海里D.206海里

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，畫出圖形，再利用正弦定理解三角形作答.

【詳解】依題意，如圖，在AABC中，

ZBAC=50°-20°=30°,ZABC=400+65°=105°,則NAC3=45°，AB=40x—=20,

20x__

由正弦定理得.笠g，即=因此=f=10日（海里），

sinZBACsinZACBsm30sm45

~T

所以B、C兩點(diǎn)間的距離是100海里.

故選：A

32.（2022春?云南文山?高一統(tǒng)考期末）如圖所示，要在兩山頂間建一索道，需測量兩山頂M、N間的距離.現(xiàn)

選擇與山腳&C在同一平面的點(diǎn)A為觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角ZMAC=60。,N點(diǎn)的仰角NNAB=30。以及

NMAN=45。,若AC=100米，48=50#米，則跖V