湖南省2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次（1月）預(yù)熱考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

湖南省2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次（1月）預(yù)熱考

試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/=[eR2<e},8=*eR;>“，則/門8=()

A.{xGR|0<x<log2e}B.{xGR|0<x<1}

C.{xGR|1<x<log2e}D.{x￡R|x<log2e)

+oo4-00

2.已知數(shù)列{%}為無窮等比數(shù)列，若則2同的取值范圍為()

Z=1Z=1

A.{3}B.[3,+oo)C.(0,3]D.(0,+(?)

3.空間中’已知兩條直線射，其方向向量分別為癡’則"3而二『是"與〃所成角為3

的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

4.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬

P-4BCD中,若尸工,平面48CD,且P/=/B=l,異面直線尸。與/C所成角的余弦值為

4

十則ND=（）

63

A.-B.-C.2D.3

52

5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為兀的半圓，則該圓錐的高為（）

A.—B.—C.—D.1

2222

6.已知橢圓。:巨+片=1,左焦點(diǎn)為尸，在橢圓C上取三個不同點(diǎn)尸、0、尺，且

3627

2萬123

/尸尸。=/。網(wǎng)=/麻尸=q-,則向+西+網(wǎng)的最小值為（）

A4V3口4G「42百n4G

36393933

7.若g（x）=max^|2x-31,3-2x21,/zk）=max+3\3-2x2j/￡）=min*1》1）｝,其

試卷第1頁，共6頁

中max{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，min{龍）,z}表示x,y,z中的最小者，下列說法不正

確的是（）

A.函數(shù)/（x）為偶函數(shù)

B.當(dāng)xe［l,3］時,%/（x）<i

c.不等式/［小小1的解集為T-5-U二」

D.當(dāng)xe［T-2］。［2,3］時，有/卜⑴［V〃x）

11o

8.正整數(shù)。也ce{1,2,…,100},且上+士=>6>c,滿足這樣條件的（。也c）的組數(shù)為（）

acb

A.60B.90C.75D.86

二、多選題

9.下列正方體中，4B、C、M、N為其頂點(diǎn)、棱中點(diǎn)或面中心，則在其中滿足M///平面

的有：（）.

10.雙曲線C:--/=4的左右焦點(diǎn)分別為耳、巴，左右頂點(diǎn)分別為4B,若尸是右支上

一點(diǎn)（與3點(diǎn)不重合），如圖，過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線C的左支交于點(diǎn)。，與其兩條漸近線

分別交于S、T兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

A.尸到兩條漸近線的距離之和為2

B.當(dāng)直線/運(yùn)動時，始終有10sl=|ZP|

C.在APAB中,tmZPAB+tan/PBA+2tanZAPB=0

D.△尸與外內(nèi)切圓半徑取值范圍為（0,1）

11.信息燧常被用來作為一個系統(tǒng)的信息含量的量化指標(biāo)，從而可以進(jìn)一步用來作為系統(tǒng)方

程優(yōu)化的目標(biāo)或者參數(shù)選擇的判據(jù).在決策樹的生成過程中，就使用了蠟來作為樣本最優(yōu)屬

性劃分的判據(jù).信息論之父克勞德?香農(nóng)給出的信息嫡的三個性質(zhì)：①單調(diào)性，發(fā)生概率越高

的事件，其攜帶的信息量越低；②非負(fù)性，信息燧可以看作為一種廣度量，非負(fù)性是一種合

理的必然；③累加性，即多隨機(jī)事件同時發(fā)生存在的總不確定性的量度是可以表示為各事件

不確定性的量度的和.克勞德?香農(nóng)從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了滿足上述三個條件的隨機(jī)變量不確

定性度量函數(shù)具有唯一形式〃（丫）=-。5；4唾24，令C=l,設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1,

i=l

2,3,…，n,且尸（X=i）=4>0（i=l,2,3「、〃），以=1,則下列說法正確的有（）

1=1

A.〃=1時，H（X）=0

B."=2時，若則"（X）的值隨著耳的增大而增大

C.若召=E=J，&+[=2笈（左上2,左eN）,則〃（入）=2_與

D.若〃=2m，隨機(jī)變量y的所有可能取值為1,2,…，機(jī)，且

P（y=/）=P（X=/）+P（X=2〃,+l_/），U=l,2,...,m）,則坦X）'H（Y）

三、填空題

12.已知V48c三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若sin/,sinB,sinC成

等比數(shù)列，sin（B-/）,sinA,sinC成等差數(shù)列，貝|C=.

21______

13.已知a,b>0,—+—=1,則a+b+[a2+b2的最小值為______.

ab

試卷第3頁，共6頁

14.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他

將拿一把去辦公室，如果一天下班時他在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把

回家.如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為;，不下雨的

2

概率均為I,且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少

有一天淋雨的概率為.

四、解答題

15.行列式在數(shù)學(xué)中是一個函數(shù)，無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中(比

如說換元積分法中)，行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用.將形如“"的的

^^21^^22

符號稱二階行列式，并規(guī)定二階的行列式計(jì)算如下：""一/設(shè)函數(shù)

2sinxsin2x

〃x)=兀(xeR).

2cosx+-

⑴求;'(X)的對稱軸方程及在[o,可上的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在銳角V/3C中，已知求tan/34D.

16.一般地，任何一個復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)可以寫成r(cos6+isin。)，其中廠是復(fù)數(shù)的

模，e是以x軸非負(fù)半軸為始邊，射線oz為終邊的角,稱為復(fù)數(shù)的輻角.我們規(guī)定在owe<2兀

范圍內(nèi)的輻角稱為輻角主值，通常記作argz,如argl=0,argi=parg(l+V^i)=；.發(fā)現(xiàn)

zl-z2=r1(cos0X+isin9x)-r2(cos02+isinO2)=rtr2[cos(4+02)+isin^+02)],就是說兩個復(fù)數(shù)

相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角的和.考慮如下操作：從寫有實(shí)

數(shù)0,1,右的三張卡片中隨機(jī)抽取兩張，將卡片上的兩個數(shù)依次作為一個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛

部.設(shè)〃為正整數(shù)，重復(fù)〃次上述操作，可得到"個復(fù)數(shù)，將它們的乘積記為z“.

(1)寫出一次操作后所有可能的復(fù)數(shù)；

(2)當(dāng)〃=2,記㈤的取值為X,求X的分布列；

⑶求z：為實(shí)數(shù)的概率

試卷第4頁，共6頁

17.如圖，在三棱錐P-/3C中/C_L5C,平面P/C_L平面/3C,PA=PC=AC=2,BC=4,

E,廠分別是尸C,PB的中點(diǎn)，記平面NEV與平面4BC的交線為直線/.

P

（1）求證：直線所_L平面尸/C；

⑵若直線/上存在一點(diǎn)。（與5都在ZC的同側(cè)），且直線P。與直線即所成的角為3,求

平面PBQ與平面AEF所成的銳二面角的余弦值.

18.已知點(diǎn)/（%,乂），2（%,%），定義/,8的“倒影距離”為［4可=|網(wǎng)-％|+卜-必|，我們

把到兩定點(diǎn)耳（-2,0）,F2（2,0）的“倒影距離”之和為6的點(diǎn)M的軌跡C叫做“倒影橢圓”.

（1）求“倒影橢圓”C的方程；

（2）求“倒影橢圓”C的面積；

⑶設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若“倒影橢圓”。的外接橢圓為為外接橢圓E的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)（0,2）

的直線與橢圓E交于尸，。兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)。），且V。尸。的外接圓的圓心為“（異于點(diǎn)。）,

證明：直線O”與尸。的斜率之積為定值.

19.函數(shù)/的定義域?yàn)槿w正整數(shù)集合N+,則稱/:N+fR或/（"）,〃eN+為數(shù)列，簡記

為｛%｝，數(shù)列中的每一項(xiàng)即為。，（收三”）.我們舉個例子，古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子?

天下篇》引用過一句話：一尺之錘，日取其半，萬世不竭，其含義為：一根長一尺的木棒，

每天截下一半，這樣的過程可以無限進(jìn)行下去.第一天截下第二天截下《，第”天截

下:…不難看出，數(shù)列的通項(xiàng)g隨著〃的無限增大而無限接近于0,那么我們就說數(shù)

列的極限為0.我們定義：設(shè)｛%｝為數(shù)列，。為定數(shù)，若對給定的任意正數(shù)名總存在

正整數(shù)N,使得">N時有舊-,則稱數(shù)列｛6｝收玫于。，定數(shù)。稱為數(shù)列｛4｝的極限,

記為則。”=。.

⑴已知數(shù)列￡=工7+￡-25'3）,片=￡=1,證明：當(dāng)〃不斷增大時，呆的值會不斷趨向

試卷第5頁，共6頁

于黃金分割比如二t

2

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足且證明：lima?=1.

(3)材料：設(shè)a”是個實(shí)數(shù)列，對任意給定的￡>0,若存在NeN+，使得凡機(jī),”eN+,且見〃>N,

都有I。加則稱?！?柯西列”.問題解決：定義?！?￡入,證明：時,｛4｝不

k=\k

是“柯西列"，“〉1時，｛%｝是“柯西列”.

試卷第6頁，共6頁

《湖南省2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次（1月）預(yù)熱考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案BBACABCDACDBC

題號11

答案ABC

1.B

【分析】化簡集合42,利用集合交集的概念可得結(jié)果.

l

【詳解】集合/={xiR|2'<e)={xlR|x<log2e}.

由，>1得三^<0,等價于(x-l)x<0,故8={xeR|0<x<l},

XX

由log2e〉1得4nB={x￡R|0<X<1}.

故選：B.

2.B

+00+83(j)

【分析】根據(jù)=-3可得％=-3（l-q）,則Z同=,再利用不等式的性質(zhì)求解即

Z=1Z=1i-|q|

可.

【詳解】因?yàn)椋?｝為無窮等比數(shù)列，?，=一3,設(shè)數(shù)列的公比為4,

1=1

ya

則0<@<1,所以￡%=#=-3,可得%=_3（1-4

所以｛|。“|｝是以同為首項(xiàng)，以⑷為公比的等比數(shù)列，

且0<|?|<1,此時1-0>0,且l-|q|>0,

+OO同卜3。-4)|=3(1-q)

所以工同=

/=11-回1-慟1-國

因?yàn)棰薔q-|q區(qū)一《=>1-|q區(qū)1-q

所以為㈤=號"^羋=3，0<4<1時等號成立;

M1-間1-闖

+OO

即E同的取值范圍為［3,0）.

Z=1

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)空間兩直線所成角的以及直線方向向量的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的定

答案第1頁，共24頁

義判斷即可.

-jrTT

【詳解】由〈3/〉=;,可以推出機(jī)與〃所成角為:，

44

但加與”所成角為￡時，（詞=:或手，

所以｛2,分=m是機(jī)與〃所成角為9的充分不必要條件.

故選：A.

4.C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求.

【詳解】由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，/氏/。,/尸所在直線分別為xj,z軸，建系如圖,

所以/（0,0,0）,C（l,a,0）,P（0,0,l）,D（0,a,0）,

就=（1,。,0）,麗=

設(shè)異面直線尸。與NC所成角為凡

AC-PDa24

則cos0=

祠叵一百+a?xJa?+15

解得a=2,即AD=2.

故選：C

5.A

【分析】首先根據(jù)側(cè)面展開圖面積等于半圓面積，求得底面半徑與母線長，再利用勾股定理

算得圓錐高.

【詳解】

答案第2頁，共24頁

h

設(shè)圓錐的母線長為/,圓錐的底面半徑為r,

因?yàn)閳A錐底面圓的周長等于扇形的弧長，

圓錐的側(cè)面展開圖是一個面積為兀的半圓，

Til=271r廠

則,1,解得尸=二>/=0，

一/x2兀/=兀2

12

則該圓錐的高為h=J/?一/2=.

2

故選：A.

6.B

【分析】以尸為頂點(diǎn)，》軸的正方向?yàn)?。始邊的方向，尸尸為角。的終邊，推導(dǎo)出

9\FO\=-------------------\FR\=------------------

PF=^同理可得出?力“/八2叫，”/八4叫，然后利用三角

??2-cosO92-cosl6>+—I92-cosl6>+^-I

123

恒等變換化簡可得出司+萬@+商的最小值.

【詳解】在橢圓。中，。=6,6=3g，。=3,如下圖所示:

2

橢圓的左準(zhǔn)線為》=-t=-12,以尸為頂點(diǎn)，x軸的正方向?yàn)閑始邊的方向，尸？為角e的

終邊,

IT

當(dāng)0<6〈時，過點(diǎn)尸作7W，/,過點(diǎn)尸作Wk廠PN,垂足分別為點(diǎn)N、M,

2

2

易知四邊形EFMV為矩形，則|ACV|=|E可--c=12-3=9，

答案第3頁，共24頁

PFe=g,則|/W|=2戶刊,

由橢圓第二定義可得行一=

\PM\,,..

又因?yàn)镻N//X軸，則=所以，cose=b^,所以，|尸網(wǎng)=|PF|cos6,

9

因?yàn)閨7W|=|PM+pW|,即2|尸尸|=|尸尸|cos6+9,所以，|尸司=

2-cos0

9

同理可知，當(dāng)e為任意角時，等式|尸口二仍然成立,

2-cos6

99

\FQ\=|礎(chǔ)=

同理可得I?2-cos[e+；]'2-cos（6+手）’

4-2cos]e+g6-3cosf<9+F

因此，1232-cos6

?------r+■;------r+

網(wǎng)聞畫-—999

41八C（八2兀）cIn4兀

—cos。+2cos。+—|+3cos。+—

3933

cos0-VJsin0-—cos0+sin0

3922

7

4_J_,3

sin。——cos。

3~92

7

71

3923

127

(一)二一時,1234、萬

當(dāng)sin61向+殉+網(wǎng)取得最小值廠方

123的最小值為3-如

故網(wǎng)+網(wǎng)+網(wǎng)

39

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種:

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值;

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基

本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

7.C

|2x+3|,x<-1

【分析】根據(jù)已知得至!)/(%)=3-2/,—iwxwi,畫出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合判斷A；根

12x-3'x〉l

答案第4頁，共24頁

據(jù)xe[l,3]時/-4x+3V0,應(yīng)用湊配法得到|2x-3|<x判斷B；令/(x)=f,則求t

范圍，再結(jié)合解析式，應(yīng)用分類討論求解集，判斷C；根據(jù)奇偶性，尤?-3,-2]口[2,3]時

m=/(x)e[l,3],有/[/⑺卜/⑺等價于/(加)-/MVO,即可判斷D.

【詳解】若|2x-3|=3-2/,解得》=0或x=l,

/、f|2x—3|,xG(—°0,0)u(1,+oo)

結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)知g(x)={[J，

[3-2x,XG[0,1J

若|2x+3|=3-2f,解得x=0或x=-l,

|2x+3|,xe(-oo,-l)u(0,+<x>)

結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)知〃(x)

3-2x2,xe[-l,0]

|2x+,x<-1

所以/(x)=min{g(x),〃(x)}=<3—2x~,—14x41,

|2x-3|,x)l

畫出/'(x)的圖象如下,

結(jié)合圖象及/(-x)=/(x),知/(x)為偶函數(shù)，故A正確;

當(dāng)xe[l,3]時/一4x+3V0,BP3x2-12x+9<0,所以4--12x+9W-,

所以|2尤-3|<x,所以/(x)Vx成立，故B正確；

對于C,令=則/⑺W1,

當(dāng)/<-1時，|2^+3|<1,解得-2V/<-l,

當(dāng)-1WIV1時，3-2產(chǎn)41,解得*-1或框1,又-1V/V1,所以f=±l,

當(dāng)/>1時，忸一3歸1,解得1</42,

綜上，1州42,故IV.⑴歸2,

答案第5頁，共24頁

當(dāng)X<-1時，lV|2x+3]V2,解得-|wxV-2,

當(dāng)一14x41時，l<3-2x2<2,WM—<x<l^-l<?<-—,

22

當(dāng)x>l時，l<|2x-.3|<2,解得

2

-l?~\「萬"I「「S-

綜上，不等式的解集為尤e口u2,ju-j,-2,故C錯誤；

對于D,當(dāng)xe[2,3],令機(jī)=/(x)=2尤-3e[l,3],

結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，xe[T-2]32,3]時機(jī)=/(x)e[l,3],則/[/(尤)]</(x)等價于

f(m)-m<0,

結(jié)合B分析，當(dāng)xe[-3,-2]32,3]時，有/[/⑺]W/(尤)成立，故D正確.

故選：C

|2x+3|,x<-1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知得到了卜)=，3-"2,-iWxWl并畫出大致圖象為關(guān)鍵.

|2x-3|,x)l

8.D

【分析】由，+工=|■可得，，■成等差數(shù)列，設(shè)，，7?，通分后為"，"","2",

acbabcabCppp

其中(匕d)=l,則可結(jié)合(左”)=1分左為奇數(shù)與無為偶數(shù)進(jìn)行討論，再分類后逐個列舉出所

有符合要求的數(shù)即可得.

【詳解】因?yàn)樗怨ぃ?,工成等差數(shù)列，

acbabc

設(shè)Liy1,,1通分后為一k，一k+d,-k-+--I-d,其中⑸d)=l；

abCppp

則左|)，(左+d)|p,(k+2J)|p,(k,k+d)=(k,d)=l

化人+2")=…=化2)=]；篙彳，

(k+d,k+2d)=(k+d,d)=(k,J)=1,

所以當(dāng)左為奇數(shù)時，⑸左+2d)=l,k(k+d)(k+2d)\p；

當(dāng)上為偶數(shù)時，&左+2d)=2,\_k,k+d,k+2dl=k*+d)：+2d),以"+平+2’小

(1)當(dāng)左為奇數(shù)時，設(shè)p=mk(k+d)(k+2d),

答案第6頁，共24頁

則(a,0c)=m((k+d)(k+2d),k(k+2d),k(k+d)),

①若左=1,貝1](。,6,。)=m((1+4)(1+2〃),1+24,1+〃)，所以(l+d)(l+2d)V100,

所以"=1,2,3,4,5,6,

取"=1,(a,b,c)=〃z(6,3,2),加=1,2,16；

取d=2,(a,6,c)=："(15,5,3),m=l,2,…，6；

取d=3,(a,6,c)=m(28,7,4),m=l,2,3；

取1=4,(a,6,c)=〃z(45,9,5),m=l,2；

取d=5,(a,b,c)=m(66,U,6),m=l；

取1=6,(a,6,c)=m(91,13,7),加=1；

共16+6+3+2+1+1=29種；

②若k=3,貝I](a,4c)=m((3+d)(3+2d),3(3+2d),3(3+d)),所以(3+d)(3+2d)V100,

所以"=1,2,3,4,考慮至lj(匕d)=l,從而"=1,2,4,

取"=1,(a,4c)=加(20,15,12),加=1,2,3,4,5；

取1=2,(a,b,c)=m(35,21,15),m=l,2；

取1=4,(a,b,c)=m(77,33,21),m=l；

共5+2+l=8種；

③若a=5,貝!](a,瓦C)=w?((5+d)(5+2d),5(5+2d),5(5+d)),所以(5+d)(5+2d)4100,

所以d=1,2,3,

取"=1,(a,6,c)=〃z(42,35,30),m=l,2；

取1=2,(a,6,c)=m(63,45,35),m=l；

取d=3,(a,6,c)=??(88,55,40),加=1；

共2+l+l=4種；

④若k=7,貝I](a,4c)=m((7+d)(7+2d),7(7+2d),7(7+d)),所以(7+4)(7+2d)4100,

所以"=1,2,

答案第7頁，共24頁

取4=1,(〃也。)=加(72,63,56),m=1；

取d=2,(。也。)=加(99,77,63),加=1；共2種，

⑤若左29,貝！J(9+d)(9+2d)W/+d)(2+2d)W100,

所以d=1,所以①。)=加((左+1)(左+2),左(左+2),左(左+1)),所以(左+1)(左+2)(100,

所以左48,矛盾；

(2)當(dāng)左為偶數(shù)時，設(shè)加左(左+d)(左+2J),

則(a,6,c)=m((k+d)(g+d),5(左+2d),萬(左+d)),

①若左二2,則(凡b,c)=冽((2+d)(l+d),2(l+d),2+d),所以(2+d)(l+d)W100,

所以d=l,2,3,4,5,6,7,8,考慮到(左〃)=1,從而d=l,3,5,7,

取4=1,加(6,4,3),m=l,2,…，16；

取d=3,(a/,c)=m(20,8,5),m=\,2,…，5；

取d=5,(。/,。)=加(42,12,7),m=l,2；

取d=7,(。也。)=加(72,63,56),加=1,

共16+5+2+1=24種；

②若左=4,則(見“。)=冽((4+d)(2+d),4(2+d),2(4+d)),所以(4+d)(2+d)W100,

所以d=l,2,3,4,5,6,7,考慮到(左,])=1,從而d=l,3,5,7,

取d=l,(?,/J,c)=m(15,12,10),m=l,2,…，6；

取d=3,(?,Z?,c)=m(35,20,14),m=\,2；

取d=5,(〃,6,。)=加(63,28,18),m=l；

取d=7,(。也。)=制99,36,22),m=l；

共6+2+1+1=10種；

③若k=6,則(a也c)=m((6+4)(3+d),6(3+d),3(6+d)),

所以(6+d)(3+d)V100,

所以d=l,2,3,4,5,考慮到(左4)=1,從而d=l,5,

取d=l,(。,仇。)=加(28,24,21),m=\,2,3；

答案第8頁，共24頁

取d=5,(。,6,。)=冽(88,48,33),m=1；

共3+1=4種；

④若k=8,則(a,b,c)=加((8+(7)(4+d),8(4+④4(8+d)),

所以(8+d)(4+d)W100；

所以d=l,2,3,4,考慮到(左,")=1,從而d=l,3,

取4=1,(〃也。)=儂45,40,36),m=1,2；

取d=3,(。也。)=加(77,56,44),加=1；

共2+1=3種；

⑤若左210,貝iJ(10+60(5+d)V/+60(g+4)V100,所以"=1,

kkk

所以(a,6,c)=皿(笈+1)?(：+1),,(左+2),|■(4+1)),

k

所以伏+l)(5+l)W100,左=10,12,

取左=10,(a,6,c)=m(66,60,55),加=1；

取后=12,(。,6,。)=加(91,84,78),加=1；共2種，

綜上所述，(a,6,c)共有29+8+4+2+24+10+4+3+2=86組.

故選：D.

【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了點(diǎn)列、遞推數(shù)列及數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)新定義分類討論求解

即可，本題容易討論不全致錯.

9.ACD

【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理：直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則線面平行.即可判斷

選項(xiàng)正確.

【詳解】

AN

--------------

對于選項(xiàng)A,分別連接3M,CN,易證四邊形BCNM為平行四邊形，即證MN//BC,故A正

答案第9頁，共24頁

確;

對于選項(xiàng)B,因?yàn)镃N||8MCN=；8/，平移MN使得N平移至C點(diǎn)，此時M為原中點(diǎn),

對于選項(xiàng)C,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,可得:

Z（2,0,l）,3（0,l,2）,C（l,2,0）,M（2,0,2）,N（2,2,0）,

方=（-2,1,1）,就=（-1,2,-口麗=。,2,-2）

AB-2AC=（O,-3,3）=--MN,

即證平面/3C//7W,故C正確；

對于選項(xiàng)D,如圖所示，作出過8c的與正方體下底面平行的截面的另一條對角線ZW交BC

于。，

連接易證四邊形為平行四邊形，可知MN//平面/BC,D正確.

故選：ACD.

10.BC

【分析】選項(xiàng)A,設(shè)出點(diǎn)尸（今,孫）然后計(jì)算出漸近線，分別計(jì)算距離求解即可；選項(xiàng)B,

設(shè)直線切=依+%,然后分別聯(lián)立雙曲線和漸近線方程計(jì)算交點(diǎn)，計(jì)算即可；選項(xiàng)C,利用

點(diǎn)尸卜,乃,）坐標(biāo)表示出tan/PNBu-%,tan/PB/——1,然后利用三角形內(nèi)角的角

人p-I乙Ap乙

度關(guān)系得至UtanNN尸+由選項(xiàng)可知，只需

''1-tanZPAB-tanNPBA

答案第10頁，共24頁

得到分母的值就可以得到正確答案；選項(xiàng)D,利用等面積法求三角形內(nèi)切圓半徑的方法，然

后化簡求解即可.

22

【詳解】由題可知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:'-匕=1,

44

故兩個漸近線方程分別為y=X與y=-X,設(shè)點(diǎn)尸（馬,力）

由題可知馬＞0,力20,

所以點(diǎn)尸（馬,孫）到兩個漸近線的距離分別為4=正昔/，八="疊、，

由于X—,故42MM="=2

故4+4=:戶h+屈*若4+〃2=2,貝1」4，42是方程一一2》+2=0的兩個實(shí)數(shù)根,

7272

顯然該方程無解，不符合題意，故故選項(xiàng)A錯誤;

設(shè)點(diǎn)S（XsJs），7（芍,a）,0（x9,%）,。（馬,乃,）

顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線切=區(qū)+"7,

220Z-

聯(lián)立方程/：）=息+加C：y-^=1,得(1-r)/_2初優(yōu)一加2_4=0,所以%+尤0=三讀，

直線切=區(qū)+”分別與漸近線y=x與尸-x聯(lián)立得

1-k-1-k

mm2km

得芍+%-----1------------

l-k-1-kl-k2

所以有X7+x5=Xp+x°,gpxs-xQ=Xp-xT,

2

由題可知，|0S|=Jl+l1%-x°|,\TP\^^+k\xP-xT\,

所以|QS|=|ZP],故選項(xiàng)B正確；

不妨設(shè)P(與,y?),Xp>2,yp>0,

由題可知,4-2,0),5(2,0),

所以有tan/P48=tanAPBA-一一

xP+2Xp—2.

tanNPAB+tan/PBA

tanZ.APB=-tan(NPAB+NPBA)

1-tanNPAB?tanNPBA

tanNPABtanNPBAx-^-=-^~

Xp+2Xp—2Xp—4

由題可知，-yp=4-Xp,

答案第11頁，共24頁

故tanAPABtanZPBA=-1

Xp—4

2/,cctanNPAB+tanNPBAtanNPAB+tan/PBA

所以tanNAPB=------------------------------=--------------------------------,

1-tan/PAB?tanNPBA2

整理得tan/尸45+tan/PBA+2tanZ4P5=0,故選項(xiàng)C正確；

2s

由三角形內(nèi)切圓的半徑求法可知其內(nèi)切圓半徑廠=3:二等5

\PFl\+\PF2\+\FlF2

易知I與耳1=4也,S,島=。片鳥"處1=2^/2|jp|,

I尸用=,t+2拒『+才，忸聞2后『+立，

4陽調(diào)

J卜尸++"+'卜?—2^^)+yj,+4V2

因?yàn)殚T-第=4,

40|力I

得廠=

\p2,Xp+2+\p2,Xp-2+4\/~2xp+2

因?yàn)橛龋?gt;2,所以號+2>4,所以/re(0,2),故選項(xiàng)D錯誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或

V)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量

關(guān)系.涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情

況,強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、

弦長、斜率、三角形的面積等問題.

11.ABC

【分析】A直接利用公式求解；B先求出H(X)=log2〃,再判斷單調(diào)性即可求解；CD分別求

出“(X)和〃(y)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性放縮即可求解.

【詳解】對于A：若〃=1,則，=1,月=1,因此〃(x)=-(lxlog21)=0,A正確;

答案第12頁，共24頁

對于B：當(dāng)〃=2時/；0,；)x)=Ylog遇-(1-4)log/1-9，

令〃/)=Vlogz，-(1一少og2(IT),te,，,貝I]f\t)=-log2Z+log2(1-?)=10g2Q->0,

即函數(shù)[?)在,gj上單調(diào)遞增，所以"(x)的值隨著月的增大而增大,B正確；

1r^k-21

對于C：4=￡=后線+產(chǎn)26(人2,左eN),貝域=△，2"2=.=招了,左22，

D1D111n—k+\gnic11In—1

乙log28=2?-t+il°g22?-t+i=--2?-t+i,>而印。g盤=尹1。82聲=一下7，

十日/\n—\。八n—\n—\n—221

于正rr=k]10g2乙=

乙k=2乙乙乙乙乙

n-1nnn—1n—221

-------:-----------1--------1--------H--------H----------1----7H----

2〃T2n2n2〃T2〃-2222

人口123n-1nn.1o123n-1n

令S”=1——H——H-----1---------H-------,則一S=-7H—7H-~+…H------------1--------；,

"222232"12"22223242"2"+1

兩式相減得%=；+…6=

〃+2

~r~

xn-\ncn-\nn+21—

坦rr/丹=^-―才+S“=^_一齊+2-=2-^y,C正確;

對于D,若〃=2%,隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,…,川,

且尸(y=/)=p(x=/)+尸(X=2機(jī)+1-力,(4=1,2,...,機(jī)),

2加2加1

抽￡=lo五

“a)=-￡i=\4Zi=le§2與

二甲。82萬+印。82萬+…+E*J°g2~一+乙3。82”一

A-*2w-l^2m

，(丫)=仍+')1臉萬口+但+%」)1。&p+pI??+Hz\

百十0加r2±r2m4「m十

二外臉人+平%J+…+人地J+段,廄4

/、」1.1.1

由于￡>0"1,2,…,2加,即有方>萬二萬一，貝i]log2w>log2W7方—

盯盯十乃M+1T44十與皿+1-Z

因此夕Iog2:>^log2—，所以H(x)>"(y),D錯誤.

44+1-Z

答案第13頁，共24頁

故選:ABC.

71

12.

2

sin2B=sinAsinC?

【詳解】由題,

2sinZ=sinC+sin(8-Z)②

由正弦定理可得：b2=ac③

2sin4=sin(8+/)+sin(B-A)=2sinBcosA,

由正弦定理，Q=6cos4故cosZ=@,

b

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,

代入得：a2^b2+c2-2bc-=b2+c2-2ac^c2-b2,

b

所以/+/=c2,故C=E

2

故答案為：g.

2

13.10

2(a+26)

【分析】利用已知條件將Q+"V7生，化簡為,然后利用柯西

不等式求解最小值即可.

【詳施牟］由42+；1=1,得=〃+2"

ab

77T2ab2(a+2b)

所以4+Z?+A/Q+b=/=----------1

a+b-y/a2+b2a+b-yja2+b2

=2(〃+2b)>2(4+26)=

a+b-^ra~一+b)(——+—9~)~?+7^-A(ay+3yb)、一

當(dāng)且僅當(dāng)3a=46,即。=?,6=g吐等號成立，

故a+6+77壽的最小值為10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合條件特點(diǎn)，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足柯西不等式的形式，從而利用柯

西不等式(1+b2)(c2+t/2)>(ac+bd￥(a,b,c,deR),當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時,等號成立)求最小值,

技巧性較強(qiáng).

答案第14頁，共24頁

28

【分析】計(jì)算對立事件的概率，從下雨次數(shù)入手分類討論計(jì)算兩天都不淋雨的概率，即可得

到至少有一天淋雨的概率.

【詳解】“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋南”.

連續(xù)上班兩天，上班、下班的次數(shù)共4次.

(1)4次均不下雨，概率為：(2)=—.

⑴81

(2)有1次下雨但不被淋南，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：=3.

381

(3)有2次下雨但不被淋雨，共3種情況：

①同一天上下班均下雨，②兩天上班時下雨，下班時不下雨，

③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨,

概率為：2X[￡[X1)+gx212122116

—x—x—|——xmm—=

333333387

(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨,

32

概率為：2xIX

3

(5)4次均下雨：上=—.

⑶81

兩天都不淋雨的概率為：2