湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

衡陽(yáng)縣二中2023-2024年上期高一期中考試

數(shù)學(xué)

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.不等式卜+同一卜一"<3恒成立的一個(gè)充分不必要條件可以為（）.

A.一5（加<3g-4<m<2

C1<m<3D—2<m<2

【答案】D

【解析】

【分析】利用絕對(duì)值三角不等式解得一4<切<2,再由充分條件、必要條件的定義即可求解.

［詳解］k+制w+4<3,解得—4V加<2,

故不等式卜+同一卜—“<3恒成立的一個(gè)充分不必要條件可以為-2（加<2.

故選：D

2.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（）

x2+2x

A./X)--x-,g(x)=x+2

B/(X)=X2—3X,g(/)=『—3/

C/(x)=(GA,g(x)=xD/(x)=7?,g(x)=x

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的定義判斷.

【詳解】A.x的定義域?yàn)間（x）=x+2的定義域?yàn)槌撸什皇峭缓瘮?shù);

B./（力=/一3%與g（/）=/—3/定義域都為凡且解析式相同，故是同一函數(shù);

C.〃x）=（?）2的定義域?yàn)間（x）=x的定義域?yàn)镽,故不是同一函數(shù);

D./（X）==|x|與g（x）=x解析式不同，故不是同一函數(shù)；

故選：B

3.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且八2龍-1)是偶函數(shù)，/(X+D是奇函數(shù)，則下列說法一定正確的有(

)

①/(x-8)="x)；②/Q+x)=—/(l—x)；③/(一3)=0；④/(2+x)=/(2-x)

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】由/(X+D是奇函數(shù)得到了(“)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1°)對(duì)稱，可判定②正確；由/(2x-D是偶函數(shù),

得到/(x)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱，可判定③正確；在/(T—x)=/(T+x)中，分別將x用x—7替換,

將x用x—5替換，再將x用x+4替換，可判定①正確.

【詳解】由題意，函數(shù)/(X+D是奇函數(shù)，可得/(“)的圖象關(guān)于點(diǎn)工°)對(duì)稱，

所以/(l+x)+/(l-x)=°,所以②正確；

令x=0,則/⑴=°,

又由〃2x-l)是偶函數(shù)，所以/(2x)的圖象關(guān)于“］對(duì)稱，

所以/0)的圖象關(guān)于x=T對(duì)稱，則有了(T—x)=/(T+x),令尤=2,

則/(-3)=/(1)=0,所以③正確.

在/(T—x)=/(T+x)中，將x用x-7替換,則/(x-8)=/(6-x),

在/(l+x)=—/(l-x)中,將X用X—5替換,則/(6-x)=_/(x_4),

所以/(X_8)=_/(X—4),再將x用x+4替換，則/(x—4)=_/(x),

所以/(x-8)=/(x),所以①正確；

對(duì)于④中，由/(2-%)=—/(x)J(2+x)=—/(r),無法推出其一定相等.

故選：B.

X2V2

----+——

4.已知正數(shù)x,y滿足x+y=l,且>+1x+i>m,則優(yōu)的最大值為()

16￡

A.3B.3C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

￡+￡(1-J)i21(l-x)24144?4

根據(jù)題意y+1x+l=y+1x+1=(J+1%+1)口5,由基本不等式的性質(zhì)求出y+1x+l=

144x2j2

-----------1--------------------1----------

3(y+1x+1)?+1)+什+1)]的最小值，即可得>+1x+1的最小值，據(jù)此分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，正數(shù)x,y滿足x+y=l,

上+工(I"?(J-I

則V+1x+l=y+1x+1

4444

--------------------------------------1----------

=什+1)+了+1U4+(x+l)+x+l―4=(y+lx+1)—5,

44144

----------1--------------------------1----------

又由y+ix+i=3(y+ix+1)[(x+i)+(j+i)],

14(X+1)14(v+l)16

=§[8+V+1?I]>3,

J_

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=2時(shí)等號(hào)成立，

1J2414>161

所以y+1x+l=(y+l^+l)05-3Z5=3,

27

」+工1

即y+ix+i的最小值為3,

i

所以加W3,則加的最大值為3；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.

5.下列對(duì)應(yīng)/：N-8是從集合A到集合3的函數(shù)的是()

2={小〉0}5={小20}/.

2

N={x|xNO}8={y|y>0}/y=x

C.Z={X|X是三角形},8={了|了是圓},f：每一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)它的內(nèi)切圓

D.N={X|x是圓},5={々夕是三角形},/：每一個(gè)圓對(duì)應(yīng)它的外切三角形

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)的定義，分別判斷即可.

【詳解】A.集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中有唯一的對(duì)應(yīng)，滿足條件，A正確；

B.集合A中的0,在集合B中沒有對(duì)應(yīng)，不滿足條件，B不正確；

C.集合A,B不是數(shù)集，不滿足條件，C不正確；

D.集合A,B不是數(shù)集，不滿足條件，D不正確；

故選：A

6.已知/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，則以下函數(shù)中圖象一定關(guān)于點(diǎn)（一1'°）成中心對(duì)稱的是（）

Ay=(x-l)/(x-1)BJ=(x+l)/(x+l)

cy=xf(x)+iD.y-xf(x)-i

【答案】B

【解析】

【分析】分析函數(shù)gQ）=移（X）的奇偶性，結(jié)合函數(shù)圖象變換可判斷ABCD選項(xiàng).

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g（"）=獷（X）,該函數(shù)的定義域?yàn)槌撸?/p>

所以，，（一'）=一/（一％）=一"（X）=—，（%）,函數(shù)gG）為奇函數(shù)，故函數(shù)目⑺的對(duì)稱中心為

原點(diǎn).

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)卜=（1）"1）的圖象可在函數(shù)g（“）的圖象上向右平移1個(gè)單位，

故函數(shù)kat）/（"T）圖象的對(duì)稱中心為a°）；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)>=（"+1）/（"+1）的圖象可在函數(shù)g（“）的圖象上向左平移1個(gè)單位，

故函數(shù)V=（x+l）/（x+l）圖象的對(duì)稱中心為（-1,0）；

對(duì)于c選項(xiàng)，函數(shù)歹="，。）+1的圖象可在函數(shù)且口）的圖象上向上平移1個(gè)單位，

故函數(shù)丁="3+1圖象的對(duì)稱中心為（°J）；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)〉=獷（共）-1的圖象可在函數(shù)g（x）的圖象上向下平移1個(gè)單位,

故函數(shù)少=蟲》）-1圖象的對(duì)稱中心為（QT）.

故選：B.

/（x）=,（2_/卜_1城＜1

7.已知函數(shù)W'T,x?l（。＞0且awl）,對(duì)任意占，/€尺，當(dāng)再H/時(shí)總有

/（%）-/（3））0

國(guó)一馬，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

AG收）B3）C［⑷DS

【答案】A

【解析】

【分析】由題意，函數(shù)/（“）在定義域R上是增函數(shù)，列出不等式組，解出即可.

【詳解】?.?對(duì)任意“1,JGR,當(dāng)玉7%時(shí)總有玉一馬,

...函數(shù)/（X）在定義域R上是增函數(shù)，

2-a2＞0

＜a＞l

1'2-YT,解得：1〈”行.

故選：A.

/（X）_J2021-辦

8.已知函數(shù)。-1在10」］上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)。的取值的范圍是（）

A（一90）0（1,2021］B.（一叫°）。（°，2021］

C（一叫0）u（1,+co）D.（一叱°）U（0,1）

【答案】A

【解析】

【分析】分別討論。＜°、a=°、。＜。＜1和。＞1情況下，J=J2021.辦單調(diào)性及a―1的正負(fù),綜合分

析，即可得答案.

【詳解】當(dāng)時(shí)，歹=:2021-ax在［0,1］上單調(diào)遞增,且。一1＜0,

所以/⑴在［01］上單調(diào)遞減，符合題意，

當(dāng)。=0時(shí)，/（x）=-j同無單調(diào)性，不符合題意，

當(dāng)0<°<1時(shí)，J=J2021-ax在［0,1］上單調(diào)遞減,且a-1<0,不符合題意，

當(dāng)。>1時(shí)，J=J2021-ax在［0,1］上單調(diào)遞減,a-l>0,符合題意，

2021-OxQ>0

還需［2021-IxaNO,解得1<.2021,

綜上實(shí)數(shù)。的取值的范圍是（一叫0）°（1，2021］

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

--------1--------

9.（多選）已知x,>為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式?團(tuán)的值所組成的集合為"，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）

A.0把AfB1eMc.-2eMo2e711

【答案】AB

【解析】

【分析】分x,y都大于零，x,y中一個(gè)大于零，另一個(gè)小于零和x,y都小于零求解判斷即可

上+上=1+1=2

H|v|

【詳解】當(dāng)x,y都大于零時(shí)，

當(dāng)x,y中一個(gè)大于零，另一個(gè)小于零時(shí)，四田；

±+上=.1.1=-2

當(dāng)x,y都小于零時(shí)，國(guó)W

根據(jù)元素與集合的關(guān)系，可知OwM,1任/,-2eM,2GM.

故選：AB.

10.下列說法正確的是（）

A.很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合

B.集合｛x［y=N?i｝與集合4,是同一個(gè)集合

C由‘2'4'2’這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素

D.集合《"J）孫"}是指第二或第四象限內(nèi)的點(diǎn)集

【答案】CD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)：集合中元素需要具備確定性，而很小的數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定；B選項(xiàng)：點(diǎn)集和數(shù)集無法相等;

C選項(xiàng)：集合中相同的元素算做1個(gè)；D選項(xiàng)：可以判斷出x和y異號(hào)；

【詳解】A選項(xiàng)：很小的實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定，故不能構(gòu)成集合；

B選項(xiàng)：其中第一個(gè)集合是數(shù)集，第二個(gè)集合是點(diǎn)集，故不是同一集合.

--=-=0.5

C選項(xiàng)：因?yàn)?2,故這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素.

D選項(xiàng)：因?yàn)閷O<0,故點(diǎn)（x,y）是第二或第四象限內(nèi)的點(diǎn).綜上，CD正確.

故選：CD

11.下列說法正確的序號(hào)是（）

1

Q—

A.偶函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镻a—1，刈，則3

B設(shè)4={x|—+3x—10=0},8={x|ax=1},若AuB=4,則實(shí)數(shù)0的值為萬或5

C.奇函數(shù)/（X）在Rd］上單調(diào)遞增，且最大值為8,最小值為-1,貝|2/（-4）+/（-2）=-15

D.若集合/={刈一°必+4》+2=0}中至多有一個(gè)元素，則a<_2

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得2a-1=一°,進(jìn)而可判斷選項(xiàng)A；

根據(jù)集合之間的關(guān)系可得8《A,對(duì)集合3的取值分類討論，即可判斷選項(xiàng)B；

根據(jù)奇函數(shù)的定義與單調(diào)性可得/（—2）=L/（-4）=-8；計(jì)算進(jìn)而可判斷選項(xiàng)c；

對(duì)a的取值分為。=0和a7°兩種情況討論，求出對(duì)應(yīng)的范圍，即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】A：因?yàn)楹瘮?shù)/（X）為偶函數(shù)，所以它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

2。一1——aa=—

有3,故A正確；

B："={-5,2},由=4得8《幺，

當(dāng)3=0時(shí)，°=0；當(dāng)8={-5}時(shí)，“5；當(dāng)8={2}時(shí)，“2.

I-1

所以。的取值為0,2,5,故B錯(cuò)誤；

C：由/(X)為奇函數(shù)，/⑵=—I"4)=8,得/(—2)=—/(2)=1,/(—4)=—/(4)=—8,

所以"(-4)+/(-2)=-16+1=-15(故c正確;

4={—}

D：由4中至多有一個(gè)元素，得當(dāng)。=0時(shí)，2,符合題意；

11

A=16+8Q<0—QV—

當(dāng)°7°時(shí)，2,所以。的取值為2或0=0,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

12,設(shè)函數(shù)/⑺=初〃上一2"'卜+2|}其中加〃{xJ,z}表示”,z中的最小者.下列說法正確的有(

)

A,函數(shù),I)為偶函數(shù)

B.當(dāng)xe[l,+。)時(shí),</(x-2)</(x)

C當(dāng)xeR時(shí),/(“MX"》)

D.當(dāng)xe[-4,4]時(shí)，|/(x-2)"(x)

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出〃x)的大致圖像,然后依據(jù)圖像逐個(gè)檢驗(yàn)即可.

【詳解】畫"X)的圖象如圖所示：

|x+2|,-1,

/(%)=<x2,-1<x<1,

對(duì)A選項(xiàng)，xA'所以/（-x）=/（x）恒成立，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)眾1時(shí)，/(x)=W一2|,/G一2）可以看做是fGO向右平移兩個(gè)單位，經(jīng)過平移知

/（x-2）</（x）恒成立，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)C選項(xiàng)，由圖知，當(dāng)xeR時(shí)，/（x）20,可令+=/（X）,由>=/（'）和y的圖

象知，當(dāng)后°時(shí)，了=，在歹="'）的上方，所以當(dāng)刃0時(shí)，傳內(nèi)）,即/（/3>）&（X）成

立，故選項(xiàng)C正確;

對(duì)D選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)圖像向右平移2個(gè)單位的圖像不完全在原來函數(shù)圖像上方知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:ABC

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13已知Z={x|—4x+3<0,xeR}5={x|2^x+a<0,x2-2（a+7）x+5<0,xeR}若Z=5

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

［答案］_4Va《_l

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)集合A,解指數(shù)不等式并借助包含關(guān)系求。的范圍，再分析求解一元二次不等式，結(jié)合包含

關(guān)系求a的范圍，然后綜合得解.

［詳解］2={x|x2_4x+3<0,xeR}={x|l<x<3},由2i+a<0,得2i<_q,

則且l_xWlog2（—a）,即x?l_log2（_a）,而/=于是l-logzJ。）《1,解得aW—］；

由不等式x?-2（a+7）x+5V0得A=［2（<?+7）］~-4x5=4a~+56。+176〉0

且有a+7-Va2+14a+44<x<a+7+Ra2+14/+44,而/q8,

a+7-Ja~+14a+44V1

<q+7+Ja~+14a+44>3

a2+14a+44>0

因此〔，解得。2—4,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是一4

111

------1-------——

14.若正實(shí)數(shù)。，6滿足。+1b+22,則ab+a+6的最小值為.

【答案】40+5

【解析】

【分析】

111b+4,4

-------1-------——d-------=1H—

由a+lb+22,得仍=6+4,bb代入必+a+b中化簡(jiǎn)，再利用基本不等式可求得

答案

111

------1--------——

【詳解】解：由。+1b+22,得aZ)=b+4,

因?yàn)?。?為正實(shí)數(shù)，

b+4

a二----=i+3

所以bb

ab+a+b=b+4+l+—+b=2b+—+5>2.2b--+5=4亞+5

所以bb\b,

當(dāng)且僅當(dāng)b,即b=,2時(shí)，取等號(hào)(此時(shí)a=l+2j2),

所以ab+a+b的最小值為4/+5,

故答案為：4返+5

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

15.已知命題P：V—2（a+l）x+a（a+2）V0；命題q:-2<x-1<5,若P是0的充分不必要條件，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為

【答案】曰，4〕

【解析】

【分析】解一元二次不等式求命題?的解集，解一元一次方程求命題夕的解集，再由?是“的充分不必要

條件列不等式組，求”的取值范圍.

【詳解】由題設(shè)，命題°為aVxVa+2,命題夕為一l<x<6,

a>-\

<

若「是夕的充分不必要條件，必有［"+2V6,解得

故答案為：［T，勺

x2,x<1,

心卜（X-2）,肉,

若關(guān)于尤的方程/（X）="（X-1）有且僅有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則

16.已知函數(shù)〔2

。的取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，將方程有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)>=/（"）的圖象與直

線>="（"一1）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求出結(jié)果.

x2,x<1,

/（X>

【詳解】因?yàn)?2,

作出其圖象如下：

因?yàn)殛P(guān)于x的方程/（"）="（X—1）有且僅有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根,

所以函數(shù)尸/⑺的圖象與直線”"（1）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

由圖象可知，當(dāng)。時(shí)，顯然不滿足題意；

當(dāng)心。時(shí),因?yàn)?（3））。）+（）；"5月"3）1,

橫坐標(biāo)為5對(duì)應(yīng)的空心點(diǎn)的坐標(biāo)為I*

由圖象可得，當(dāng)直線”""々）過點(diǎn)I'刃時(shí)，直線>="xT）與函數(shù)>=/a）的圖象有五個(gè)不同的

1-01

a=8_」

交點(diǎn)，此時(shí)5-132.

當(dāng)直線片“1）過點(diǎn)I勾時(shí)，直線蚱"GT）與函數(shù)>=""）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)

因此，為使直線>="（"—1）與函數(shù)V=/（x）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

11

—<a<—

只需3216.

故答案為：（3216；

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

Z=-6x+8<o]B=^x\x2—4ax+3a2<ol

17.已知集合JJ,tlJ.

（1）若a=L求以Be"；

（2）若a〉0,設(shè)0：xe4q：xe8,已知P是4的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍;

［答案］(］)(BeZ={x134x<4}

(2)

【解析】

【分析】(1)先化簡(jiǎn)集合A5,再利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解；

a<2

(2)易得'=崗"<"<”},根據(jù)且p是q的充分不必要條件，由⑶“，且等號(hào)不同時(shí)成立求解.

【小問1詳解】

解：當(dāng)"1時(shí)，"EV—4x+3<0}={xg<3},則小{x1x〈l或電},

/二刎%2-6x+8<o}=國(guó)2<%<4}

所以18cz={x|3<x<4}；

【小問2詳解】

。〉0時(shí)B=g,-4ax+3a2<0卜國(guó)a<x<3。}

設(shè)"：xe4q：xe8,且P是1的充分不必要條件，

a<2

<

所以13"24,且等號(hào)不同時(shí)成立，

-<a<2

解得3

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是3.

18.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+4j=l.

(1)求孫的最大值；

41

—I—Na2+c5。

(2)若不等式x歹恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1

【答案】⑴64；⑵卜9,4].

【解析】

【分析】（1）根據(jù)4直接求解出中的最大值，注意取等條件;

4141]

--1-->a+5a

（2）利用T”的代換結(jié)合基本不等式求解出%>的最小值，再根據(jù)I%y）求解出加的取

值范圍.

,,_i-=x+y>2^xy^<—

【詳解】（1）4Xr+4lJ-1,所以4，解得64

x=v=-

當(dāng)且僅當(dāng)‘8取等號(hào)，...孫的最大值為64.

4141（4x+4j）=20+^+—>20+2

⑵x?！?—

（xy）xJ

x=-y=—

當(dāng)且僅當(dāng)6,12取等號(hào)，

..a2+5a<36,解得一9WaW4.

即。的取值范圍是1—9,4].

19.設(shè)函數(shù)/（x）*+”.

（1）當(dāng)6=2時(shí)，若對(duì)于xe[1,2],有/（x"0恒成立，求。的取值范圍；

（2）已知。>%若°對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，并且存在不€反，使得?：+4/+"=°成立，求

a1+b2

a-b的最小值.

a>——i—

【答案】（1）2⑵4/2

【解析】

、241

aN-t=-P■，八=-2/2

【分析】（1）據(jù)題意知，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為XX恒成立，設(shè)X,則J—

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最大致，即可求解.

（2）由題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得a6=4,進(jìn)而利用基本不等式，即可求解.

【詳解】（1）據(jù)題意知，對(duì)于xcR'21,有ax2+4x+2N0恒成立，

-4x-224?>[24j

a>——=—「mW

即XxX恒成立，因此<XX；max,

設(shè)"（則”小〔，所以g（t）=一如2-4t=-2（t+iy+2,

???函數(shù)g。）在區(qū)間〔5'」上是單調(diào)遞減的，

（2）由‘（'）"°對(duì)于一切實(shí)數(shù)*恒成立，可得2>0，且“4°,

由存在x。eR,使得aXo2+4xo+b=O成立可得ANO,

二.A=16-4ab=0,/.ab-4

a2+b2（a-b）"+2ab（a-b）2+8>2^（a-b）2x84行

a-ba-ba-b—a-b,當(dāng)且僅當(dāng)a—b=2正時(shí)等號(hào)成立，

.?.丘44也

a-b

【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒成立問題的求解，以及基本不等式求解最值問題，其中解答中掌握利用分離參數(shù)

法是求解恒成立問題的重要方法，再合理利用二次函數(shù)的性質(zhì)，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著

重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

20.已知定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的函數(shù)2+2-

（1）判斷函數(shù)"X）在R上的單調(diào)性，并用定義證明.

（2）若不等式/（2'—3/）〉/（2-/）成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】（1）函數(shù)"X）在R上單調(diào)遞減，證明見解析；（2）R

【解析】

、11

J（X）=--------

【分析】（1）1+2、2,進(jìn)而判斷函數(shù)為減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;

（2）由（1）得2/-3/<2-「，再解不等式即可得答案.

“、1-2，2—（271）11

22x+12（1+2V）1+2V2

【詳解】解：（1）+

因?yàn)楹瘮?shù)2'+i為R上的增函數(shù)，

所以可判斷函數(shù),a）在尺上為單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下:

設(shè)看,々6火X]<%?

1+2*2—0+22）

1口_______L_

/&）-?。?/41+2*2）1+2』1+2打（1+2處）（1+22）

則

2句2*1

（1+2%）（1+2五）

因?yàn)?e&且再<%,所以孕4〉0,（1+2*）（1+2』）>0

所以/（%）一/（”2）>。，即/（苞）>/（》2）,

所以函數(shù)"X）在R上為單調(diào)遞減函數(shù).

（2）由（1）知函數(shù)“X）在滅上為單調(diào)遞減函數(shù),

所以/（27-3廠）〉/（2—廣）等價(jià)于27-3/<2-/，即/-/+1〉0

產(chǎn)-r+1=p--l+->0

由于I2J4恒成立，

所以實(shí)數(shù)/的取值范圍為R

21.為減少人員聚集，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式上班.分析顯示，當(dāng)S中有

x%（0<x<100）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均上班路上時(shí)間為：

30,0<x<30

"x）=11800

v72x+———90,30<x<100

〔x,（單位：分鐘）而公交群體中的人均上班路上時(shí)間不受x的影響，

恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回家下列問題：

（1）當(dāng)x取何值時(shí)，自駕群體的人均上班路上時(shí)間等于公交群體的人均上班路上時(shí)間？

（2）已知上班族S的人均上班時(shí)間計(jì)算公式為：g（x）=/（x）x%+50（100-x）%,討論g（?）的單調(diào)

性，并說明實(shí)際意義.（注：人均上班路上時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).）

【答案】（1）》=20或x=45；（2）當(dāng)xc（°，35）時(shí)g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)苫,（35,100）時(shí)8（%）單調(diào)遞增,

實(shí)際意義答案見解析

【解析】

【分析】

30,0<x<30

/(x)=<

2X+1^2￡-90,30<X<100

(1)根據(jù)自駕群體的人均上班路上時(shí)間為:x，分0<30,

30<x<100兩種情況討論求解.

(2)根據(jù)上班族S的人均上班時(shí)間計(jì)算公式為：g(x)=/(x>x%+50000-x)%,分0<