集合和常用邏輯用語（講義）學(xué)生版-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)提升

專題01集合和常用邏輯用語

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03知識(shí)梳理?方法技巧...........................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................5

05核心精講題型突破............................................................7

題型一：集合的基本概念7

題型二：集合間的基本關(guān)系8

題型三：集合的運(yùn)算9

題型四：充分條件與必要條件10

題型五：全稱量詞與存在量詞11

重難點(diǎn)突破：以集合為載體的創(chuàng)新題13

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，考試形式多以一道選擇題為主，分

值5分.近年來試題加強(qiáng)了對(duì)集合計(jì)算和化簡(jiǎn)能力的考查，并向無限集方向發(fā)展，考查學(xué)生的抽象思維能

力，在解決這些問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)軸法和特殊值法解題，應(yīng)加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)化和化簡(jiǎn)的訓(xùn)練.

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13題，4分

本要素

預(yù)測(cè)2025年高考，多

以小題形式出現(xiàn)，也有可

2024年北京卷第1題，5分

能會(huì)將其滲透在解答題的

年甲卷（文）第題，分

202425表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立.具

熟練掌握集合的

2024年天津卷第1題，5分體估計(jì)為：

集合的運(yùn)算并'交、補(bǔ)集運(yùn)算

2023年I卷第1題，5分（1）以選擇題或填空

方法

2022年I卷第1題，5分題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的

綜合推理能力.

2021年I卷第1題，5分

（）熱點(diǎn)是集合間的

2024年北京卷第5題，5分2

基本運(yùn)算、數(shù)軸法的應(yīng)用

2024年甲卷（理）第9題，5分

理解充分必要，掌和體現(xiàn)集合的語言工具作

2024年天津卷第2題，5分

充分條件與必要條件握邏輯判斷，熟練

用.

2023年天津卷第2題，5分

應(yīng)用題解

2022年天津卷第2題，5分

2021年甲卷第7題，5分

㈤3

1、集合中的邏輯關(guān)系(備注：全集為/)

(1)交集的運(yùn)算性質(zhì).

ACtB=BC\A,XnBAC\BQB,AC\I=A,AdA=A,XCl0=0.

(2)并集的運(yùn)算性質(zhì).

4UB=BU4XexUS,BU4UB,AU1=1,AV)A=A,XU0=X.

(3)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì).

C/(CM)=X,C/0=/,C//=0,(CM)nX=0,Au(CM)Z.

補(bǔ)充性質(zhì)：AClB=A^AUB=BoAUBoQBUC/4oAClC/B=0.

(4)結(jié)合律與分配律.

結(jié)合律：4U(BUC)=Q4UB)UC,4n(BClC)=G4ClB)ClC.

分配律：xn(BuC)=(Xn5)u(,4nC),xu(BnC)=(XuB)n(4uC).

(5)反演律(德摩根定律).

GQ4ns)=(CM)U(GB),C/(4uB)=(CM)n(JB).

即“交的補(bǔ)=補(bǔ)的并”，“并的補(bǔ)=補(bǔ)的交

2、由n(nGN*)個(gè)元素組成的集合4的子集個(gè)數(shù)

4的子集有2n個(gè)，非空子集有加―1個(gè)，真子集有小―1個(gè)，非空真子集有2n—2個(gè).

3、容斥原理

Card^AUB)=Card(力)+Card(B)—Card(A05).

4、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)4={x|p(x)},B={x|q(x)].

(1)若4UB,則p是q的充分條件(p=q),q是p的必要條件；若4家B,貝！Ip是q的充分不必要條件，q

是p的必要不充分條件，即p今q且q分p；

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小=大”.

(2)若BU4貝Up是q的必要條件，q是p的充分條件;

(3)若H=B,貝3與q互為充要條件.

葡4

1.（2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知命題0：Vxe/?,|x+l|>l；命題q：Bx>0,x3=x,貝U

（）

A.〃和q都是真命題B.-ip和g都是真命題

C.p和->q都是真命題D.-ip和->q都是真命題

2.（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）定義一個(gè)集合。，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取

存在不全為0的實(shí)數(shù)41,也,%，使得%加1+%2記+%鬲=6.己知（1,0,0）e。，則（0,0,1）的充分條件

是（）

A.（0,0,0）enB.（-1,0,0）en

c.（0,1,0）enD.（o,o,-1）en

3.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)a,刃是向量，則“0+分4一孫=0"是咆=一另或五二鐘的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量值=（x+1,久）,3=（久,2）,貝！J（）

A.“x=—3”是唱1薩的必要條件B.“X=-3”是傳〃薩的必要條件

C."％=0”是“21戶的充分條件D."X=—1+四”是％〃加的充分條件

5.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知集合4={1,2,3,4,5,9},B={x|VxeA},則以(力CB)=

)

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

6.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知a,bCR,則"=吩，是岬=3"，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知等差數(shù)列5}的公差為三，集合S={cosan|neN*},若

S={a,b},則ab=()

A.11B.——C.0D.|

8.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）若久尸0,則“x+y=0"是?+：=-2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)設(shè)全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MUCu

N=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

10.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)甲：sin2(z+sin2/?=1,乙：sincr+cosy?=0,貝!|(

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

11.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)全集U=Z，集合

M={x\x=3/c+l,fc6Z},N={x\x=3fc+2,keZ),Cu(MUN)=()

A.{x\x—3k,kEZ}B.{x\x=3fc—l,keZ}

C.{x\x=3k—2,kEZ]D.0

12.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)集合U=R,集合M={R%<1},N=(x\-1<x<2},貝U

{x\x>2]=()

A.Cu(MuN)B.NUduM

C.Cu(MnN)D.MuCuN

13.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知集合”={—2,—yv={%|%2-%-6>0},則MnN=

()

A.{—2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

14.(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)集合/={0,—研，8={1#—2,2a—2},若則。=().

2

A.2B.1C.-D.-1

15.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)記又為數(shù)列{斯}的前幾項(xiàng)和，設(shè)甲：{斯}為等差數(shù)列；乙：{勺}為等差

數(shù)列，貝I()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

16.(2022年新高考全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)已知集合4={-1,1,2,4},B=則力nB=()

A.{-1,2}B.[1,2}C.[1,4}D.{-1,4}

17.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合“滿足={1,3},則()

A.2EMB.3EMC.4?MD.5gM

㈤5

核心——幣型字確

題型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）若皿€{1,3,4,爪2},則〃?可能取值的集合為（

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4}

【典例1-2][新考法]（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）下列集合中有無數(shù)個(gè)元素的是（）

A.[X&N\^&N]B.[X&Z\^EN]C.[x&N\^ez]D.[X€Q\^EN]

巧

集合是由一些確定的、不同的東西組成的全體，元素是集合的組成對(duì)象。集合具有確定性、互異性和

無序性。常用列舉法、描述法、語言描述法和韋恩圖法表示集合。解題技巧包括利用數(shù)軸、檢驗(yàn)元素互異

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，對(duì)于解決集合問題具有重要意義。

【變式1-1]（2024?高三?江西贛州?期中）已知a、b&R,若={a?,。+b,0},貝心202。+爐。21的值為

（）

A.-1B.0C.1D.-1或0

【變式1-2]（2024?四川樂山*三模）已知集合4=（-1,0,1},B={1,2},C=（x\x=a+b,a&A,b6B},則集合C

的元素個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式1-3]（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4=仇€^僧22葉，則集合4的元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.無窮多個(gè)

[命題預(yù)測(cè)

1.|新考法]集合時(shí)={/0）/0）/'。）,...},則以下可以是f0）的表達(dá)式的是（）

A.sin%B.exC.InxD.x2+2x+3

2.已知集合{%|（%—。2）（%—1）=0}的元素之和為1,則實(shí)數(shù)4所有取值的集合為（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1）

3.已知集合4={1,2,3},8={3,5},則C={%|久=2a+瓦aCE8}中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知集合/={0,1,Q2},B={i,o,2a+3},若A=8,則。=（）

A.-1或3B.0C.3D.-3

題型二：集合間的基本關(guān)系

【典例2-1】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={幻1<%<2},8={幻1<久<研，若BU4則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是（）

A.（2,+8）B.（1,2]C.（-oo,2]D.[2,+8）

【典例2-2】（2024,寧夏,模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合M={%|x=4n+l,n6Z},N={x|x=3n+l,n6Z},

P={x\x=12n+l,nGZJ,則（）

A.M^PB.N整P

C.MCNQPD.MnN=0

巧

（1）判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再?gòu)谋磉_(dá)式中尋找兩集合的

關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系，這體現(xiàn)了合情推理的思維方法.

（2）已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿

足的關(guān)系，解決這類問題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析.

【變式2-1]（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={%|久2—6%+8W0},B=（y[y>a],若A=貝！|a

的取值范圍是（）.

A.（—oo,2）B.（—oo,4）C.（—oo,2]D.（—oo,4]

【變式2-2]（2024?四川成者B-模擬預(yù)測(cè)）若集合2={久€N|l<xW5},則集合/的真子集有（）個(gè).

A.7B.15C.31D.63

【變式2-3]（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={0,1,2},B={1,2,3）,

若集合。={26^^*怙=47,比64且？68},貝UC的子集的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.16C.32D.64

【變式2-4][新考法]（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4B、C為全集U的子集，4nB=CuCH0,則

（AuB）nC=（）.

A.XU（BnC）B.（Cu4）n《uB）

c.[Cu（anB）]n（力uB）D.[Cu（xuB）]u（xnB）

命題預(yù)測(cè)

1.已知集合a=mtez},B=bgez},c=bgez},則（）

A.AnB^CB.B^）C=AC.C^AnBD.BnC^AnB

2.(多選題)c{l,2,3},(a,&)G{(x,y)ly=x+1},則29的值可以為()

A.2B.64C.256D.1024

3.(多選題)已知集合4=口,2},B={0,1,2,3,4},集合C滿足礙UB,則()

A.1GC,2eCB.集合C可以為{1,2}

C.集合C的個(gè)數(shù)為7D.集合C的個(gè)數(shù)為8

4.(多選題)若集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M,N可能是()

M

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={x|x2<1},N={x\x>—1}

C.M={x\y-lgx},N={y\y=e"+5}

D.M={（%,y）|%2=y2},N==x}

題型三：集合的運(yùn)算

【典例3?1】已知集合/={%|—1<%<0}4={%|log2（%2—%）<1},則AnB=（）

A.{%|—1<x<0}B.{x|—1<x<0}

C.{x|—1<x<0}D.{x|—1<x<0}

【典例3-2】（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知全集U=ZuB={%CN|04%W10}/n（CuB）={L357},則

8=（）

A.口,3,5,7}B.{24,6,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

巧

凡是遇到集合的運(yùn)算(并、交、補(bǔ))問題，應(yīng)注意對(duì)集合元素屬性的理解，數(shù)軸和韋恩圖是集合交、

并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合運(yùn)算問題的常用思想.

【變式3-1](2024?高三?黑龍江佳木斯?期中)已知集合4={刈1<%<3},8={%|白>o},則4UB=

()

A.{%|2<%<3}B.{%|2<%<3}C.{x\x>1}D.{x\x>2}

【變式3-2](2024?高三?福建三明?期中)某班有45名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組.已知僅參加一個(gè)

興趣小組的同學(xué)有20人，同時(shí)參加語文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有9人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語興趣小組的同學(xué)

有15人，同時(shí)參加語文和英語興趣小組的同學(xué)有11人，則同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有人.

【變式3-3](2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè))設(shè)0={36,7,8,9},若4nB={8},(Cu4)n8={6},(CyX)n(Cy

B)=[5,9},則集合4=.

I命題預(yù)測(cè):]

1.(多選題)設(shè)U為全集，集合48,。滿足條件4UB=HUC,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BQAB.CQA

C.An(CuB)=4n(CuC)D.(Cy/1)nB=(C?X)nC

2.(多選題)己知集合4B均為R的子集，若力CB=0,貝U()

A.AcCRBB.CR4aB

C.AVJB=RD.(CRA)U(CRB)=R

3.已知集合A={久|4/—久一5〉0},B={x|x>zn},若m=0,貝!=；若AuB=R,則m

的取值范圍為.

4.(2024?高三?重慶沙坪壩?開學(xué)考試)設(shè)集合M={x|—1Wx<2},集合N={x|*—kW0},若MCCR

N=0,貝冰的取值范圍為.

題型四：充分條件與必要條件

【典例4-1](2024?高三?福建寧德?期中)對(duì)任意實(shí)數(shù)刀6(2,+8),“"刀+勺是“小4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例4-2]若“%>a”是匕2—2%—3V0”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,—1)B.(-8,—1]C.(—1,+oo)D.[—1,+00)

阿o巧

抓住關(guān)鍵詞:大必小充.即小范圍推大范圍時(shí)，大范圍是必要條件，小范圍是充分條件.

【變式4-1］（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知y=「（x）是y=/（尤）的導(dǎo)函數(shù)，貝!=0”是"劭是函數(shù)y=f（x）

的一個(gè)極值點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式4-2］（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a,b6R,則使a>b成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.a?>b3B.lg（a-&）>0

C.a2>b2D.|a|>b

【變式4-3］（多選題）（2024?山東臨沂?二模）已知a,beR,則使“a+6>1”成立的一個(gè)必要不充分條件

是（）

A.a2+b2>lB.\a\+|b|>1C.2a+26>1D.^+^->10

【變式4-4］已知集合A={%￡yV*|l<x<3},B={x\ax2—（2+a）x+2=0},若"xeB"是"xGA”的充分不必

要條件，則實(shí)數(shù)a的所有取值組成的集合是.

命題預(yù)測(cè)

1.若不等式僅一3|Wa成立的一個(gè)充分不必要條件是-1則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

2.“工<1”是42>i，，的（）

X

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（多選題）若XCR,則“2X2—3久—2<0”成立的充分不必要條件可以為（）

A.%e［—1,2）B.xe（0,1）

C.xG（0,2）D.xe（-1,1）

4.已知集合4={x|%2+7%+12W0},集合B=—2m<x<2m}其中xe4是無eB的充分不必要條件,

則m的取值范圍是.

題型五：全稱量詞與存在量詞

【典例5-1］（2024?湖北?一模）命題勺a>0戶2+1<2”的否定為（）

A.3a>0,a2+1>2B.3a<0,a2+1>2

C.Va>0,a2+1>2D.Va<0,a2+1>2

【典例5-2][新考法](2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(均不是偶函數(shù)，則()

A.Vx6/?,/(-%)+/(%)0B.Vx6/?,/(-%)-/(%)o

C.3%0￡-%o)+/(x0)*0D.3x0eR,f{-%0)-/(x0)*0

巧

(1)含有一個(gè)量詞的命題的否定：先否定量詞伊廠任意”變“存在”、“存在”變“任意”).再否定結(jié)論；

(2)清楚命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題否定的前提；

(3)注意命題的否定與否命題的區(qū)別；

(4)當(dāng)「p的真假不易判斷時(shí)，可轉(zhuǎn)化為去判斷P的真假.

【變式5-1】已知命題，口％￡[0,3],a=—久2+2%：命題q:V%W+。％一840.若。為假命題,q為真

命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[—3,1]B.(—00,2]

C.[―7,—3)U(l,2]D.(-oo,-3)U(1,2]

2

【變式5-2]命題叼％e[lf2]fx+lnx-a<0”為假命題，則a的取值范圍為()

A.(—8,1)B.(—oo,0)C.(—oojn2+2)D.(—oojn2+4)

【變式5-3](2024?高三?江蘇連云港?開學(xué)考試)若命題叼％°eR,(m—1)就+(m-l)x0+1<0”是假命題,

則實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

【變式5-4](2024?高三?河北承德?開學(xué)考試)已知命題p:V%WR,鏟,N1；命題q與久>l,ln%=—三一1)2,則

()

A.p和q都是真命題B.-?p和q都是真命題

C.p和-iq都是真命題D.-?p和-?q都是真命題

命題預(yù)測(cè)J

1.已知命題叼％e(1,+8),2%—血+1=0”是假命題，則m的取值范圍是.

2.若命題：叼％WR,a/+%+i〈o,，為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

3.若命題+2%+0”為真命題，則〃的取值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,1)C.(—8,0]D.(—8,0)

4.命題“V%€[—1,3],/一3%+2<0”的否定為()

A.3xE[-1,3]，-3x+2>0B.3%e[-1,3],x2-3%+2>0

C.v%e[-1,3],x2-3x+2>0D.3xg[-1,3],x2-3x+2>0

重難點(diǎn)突破：以集合為載體的創(chuàng)新題

【典例6-1】（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非空數(shù)集4B,定義4xB={（%y）|xe4yeB},將axB稱為“4與B

的笛卡爾積”.記非空數(shù)集M的元素個(gè)數(shù)為|M|,若48是兩個(gè)非空數(shù)集，則及奇幽的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【典例6-2］（2024?高三上海模擬）已知{即}是等差數(shù)列,g=sin（M）,存在正整數(shù)t&W8）,使得例十七=

bn,nEN,九之1.若集合5={%|%=勾刀€乂刀之1}中只含有4個(gè)元素，貝h的可能取值有（）個(gè)

A.2B.3C.4D.5

巧

1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識(shí)，一般情況下，它所涉及到的知識(shí)和方

法并不難，難在轉(zhuǎn)化.

2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，

要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時(shí)為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解.

【變式6-1］（2024?高三?四川?開學(xué)考試）定義：如果集合U存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合的交集為空集時(shí),

稱為不交）的非空真子集必出,…A（kGN*）,且&U&U…U4=U,那么稱子集族{Ai/2,…A}構(gòu)成集合U

的一個(gè)k劃分.已知集合/={久6N|/—6x+5<0},則集合/的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.14D.16

【變式6-2］（2024?高三?北京海淀?開學(xué)考試）設(shè)集合M={（*i,久2,如比4）1/6{0,1}/=1,2,3,4}.對(duì)于集合

M的子集4,若任取4中兩個(gè)不同元素仇,丫2/3,、4）,（21*2*3/4）,有力+及+