山東省棗莊市市中區(qū)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期

市中區(qū)階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試題

考試范圍：選擇性必修一：考試時(shí)間：120分鐘：

第1卷(選擇題)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.若A(L°'—1),BQ」2)在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量是()

A.(1,1,1)B.(1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得首先求出直線上的一個(gè)向量A3,即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線

的坐標(biāo)表示可得出答案.

【詳解】因?yàn)?B在直線/上，所以=

與AB共線的向量(1,1,3)可以是直線/的一個(gè)方向向量，其他選項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)證與A3均不共線.

故選：B

2.過兩直線3x+y—l=0與x+2y-7=0的交點(diǎn)，并且與第一條直線垂直的直線方程是()

A.x-3y+7=0B,x-3y+13=0

C.2x-y+7=0D.3x-y-5=0

【答案】B

【解析】

【分析】求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，求出所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.

［詳解］由｛尤+2_7_0，解得T-4，得直線31+/_］=0與x+2y—7=0的交點(diǎn)為點(diǎn)(-1,4).

因?yàn)樗笾本€與直線3x+y-1=。垂直，故所求直線的斜率k=-,

3

因此，所求直線的方程為y—4=g(x+l),即x—3y+13=0.

故選：B.

3.橢圓工+二=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

42

A.(72,0),(-V2,0)B.(0,72),(0,-72)

C(76,0),(-76,0)D.(0,76),(0,-76)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，直接求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)作答.

22

【詳解】橢圓土+上-=1的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為a,b,有/=4,〃=2,則橢圓半焦距

42

c=^a2-b2=V2,

22

顯然，橢圓焦點(diǎn)在無軸上，所以橢圓二+乙=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(-行,0).

42

故選：A

4.在空間直角坐標(biāo)系。孫Z中，已知4—1,0,0),3(1,2,—2),C(0,0,—2),0(2,2,T),則以下錯(cuò)誤的是()

A.ACAB=6B.AC,A3夾角的余弦值為巫

6

C.A,B,C,。共面D.點(diǎn)。到直線AB的距離是必

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及夾角計(jì)算公式即可求解A,B,根據(jù)共面向量基本定理可判斷C,

根據(jù)點(diǎn)線距離的向量法即可判斷D.

【詳解】因?yàn)锳3=(2,2,—2),AC=(1,0,—2),所以衣.崩=6,A正確;

AC,AB夾角的余弦值為cos(AC,AB\=>廠=叵，所以B錯(cuò)誤；

\/\AC\\AB\2V3xV55

因?yàn)锳Z>=(3,2,—4),所以AD=AB+AC，所以A，B,C,。共面，所以C正確；

nA.AB1

因?yàn)?9A=(-1,0,0),所以-------=——產(chǎn)，所以點(diǎn)。到直線山？的距離是

\AB\V3

,『一￡]=旌等D正確.

故選:B.

5.已知圓的方程為V+y2—2x=0,M（x,y）為圓上任意一點(diǎn)，則2二2的取值范圍是（）

A.[-B.[-1,1]

C.°o,—A/3J[A^,+8）D.（^0,—1][1,-Ko）

【答案】C

【解析】

【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，I工表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)4（1,2）的連線的斜率，求出過點(diǎn)4（1,2）與圓相

X-1

切的切線的斜率，即可求出金y—一2的取值范圍.

X—1

【詳解】圓的方程為好+9―2%=0,即（％—l）2+y2=l,圓心為C（1,O）,半徑廠=1,

則2二2表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)4（1,2）的連線的斜率，

x~\

過點(diǎn)4（1,2）作圓的切線方程，

顯然，切線斜率存在，設(shè)切線方程為y—2=Wx—1）,即Ax—y+2—左=0.

則標(biāo)著=1,解得左=±6，

Vfc2+1

所以三2的取值范圍為卜通―6]一[G,+8）.

X1

故選：C.

6.已知x,yeR,向量二=（%/」），1=c=（2,T,2）,且〃,。，b//c，則％+V的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直、共線的坐標(biāo)表示求出羽丁可得答案.

【詳解】因?yàn)橄蛄?=(x,l,l),^=(l,y,l),c=(2,T,2),

由a_Lc，則2x—4+2=。，解得x=l>

1y1

由bllc,則7=-r——，解得y——2,

2-42

則無+y=-L

故選：A.

7.圓f+y2=4關(guān)于直線x—y+2=0對(duì)稱的圓的方程為()

A.(x-2)2+(y-2)2=4B.(x+2)2+(y-2)2=4

C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(%-2y+(y+2)2=4

【答案】B

【解析】

—+2=0

22

【分析】設(shè)對(duì)稱圓的圓心（a,切，解方程組,即得圓心，然后代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.

【詳解】圓。的圓心為。（0,0）,設(shè)對(duì)稱圓的圓心為（。,力,

ab>%

22a--2

依題意得:，解得7c，

bib=2

一二一1L

又圓0的半徑與對(duì)稱圓的半徑相等都為2,

所以對(duì)稱圓的方程為（x+2/+（丁一2）2=4.

故選：B.

8.已知雙曲線。：1—方=1（?！?］〉0）的一個(gè)頂點(diǎn)為（2,0）,左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,直線/經(jīng)過

——3

F2,且與C交于A,B兩點(diǎn).若=7氏4,AF^AF^O,則C的離心率為（）

A屈n屈「石275

A.-----D.-----C.Dn.-----

3223

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)|鋁|=尤，則因到=3%,利用雙曲線的定義表示|A耳，寓用，由勾股定理可得關(guān)系進(jìn)而

可得離心率.

【詳解】由題意知胡，人工，3\AF2\=\F2B\,且A,B都在雙曲線的右支上.

設(shè)［4閭=*，則|AFj|=2a+x,寓卻=3%,閨@=21+3%.

在Rt△耳A5中，(3x+2a)2=(4x『+(x+2a)2,得％=。，

則司=a,|AF；|=3a.

在RtA4￡居中，|耳閭2=|筋『+|他「，

即4c2=(34+〃，得e=￡=普.

所以雙曲線C的離心率為?.

2

故選：B

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.下列結(jié)論正確的是()

22

A.橢圓?+\=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±1,0)

22

B.雙曲線'—1_=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(±2，°)

C.拋物線V=—12%的準(zhǔn)線方程是x=3

D,直線3x_4y+l=0與圓(x+iy+(y_2)2=4相交

【答案】AC

【解析】

【分析】由圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線的定義即可判斷ABC,由圓心到直線的距離與半徑的

大小關(guān)系即可判斷D.

22

【詳解】在橢圓上+上=1中，因?yàn)?=4，廿=3,貝黑Jq2_匕2=],且焦點(diǎn)在X軸上，A正確.

43

雙曲線匯-三=1的頂點(diǎn)在y軸上，B錯(cuò)誤.

45

拋物線=—12x開口向左，p=6,準(zhǔn)線為X=^=3,C正確.

圓心(―1,2)到直線3x—4y+l=0的距離d=坦g1U=2=r,則直線與圓相切，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知直線a—y+3m+l=0,下列說法正確的是()

A.直線/過定點(diǎn)(—3,1)

B.點(diǎn)P(1,T)到直線/的最大距離為2遙

C.直線/一定經(jīng)過第四象限

D.當(dāng)機(jī)=—1時(shí)，直線/關(guān)于直線x+2y—3=。的對(duì)稱直線為x+7y—28=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出直線/恒過的定點(diǎn)可判斷A；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P。,-1)到直線/的距離最大，求出最大距離可

判斷B；直線/不一定經(jīng)過第四象限可判斷C；先求出直線/與直線x+2y-3=0的交點(diǎn)尸，再求出直線/

上一點(diǎn)Q(—2,0)關(guān)于直線x+2y—3=。的對(duì)稱點(diǎn)Q',由兩點(diǎn)式即可求出4,可判斷D.

x+3=0

【詳解】對(duì)于A,m(x+3)-y+l=0,令＜,可得：x=-3,y=l,

—y+l=0

所以直線/過定點(diǎn)4(—3,1),故A正確;

對(duì)于B,直線/過定點(diǎn)4(—3,1),當(dāng)人尸，/時(shí)，點(diǎn)P。,—1)到直線/的距離最大,

且最大距離為|AP|=J(1+3)2+(1+11=2小，故B正確；

對(duì)于C,直線/過定點(diǎn)4(-3,1),不一定經(jīng)過第四象限，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)〃2=-1時(shí)，直線/:x+y+2=。,

設(shè)直線/關(guān)于直線x+2y-3=。的對(duì)稱直線為12,

4一定經(jīng)過直線/和直線x+2y-3=0交點(diǎn)，設(shè)為p,

x+2y-3=0x=-7/、

由＜可得：＜y_5，所以「(—7,5),

x+y+2=0

在直線/上任取一點(diǎn)2(-2,0)關(guān)于直線x+2y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)Q'(a,b)一定在乙上,

工=2

所以《,,解得：a=0/=4,

必+22_3=0

[22

所以。'(。,4),P(—7,5)在直線乙上，

所以土0=4士］，化簡(jiǎn)可得：x+7y—28=0,故D正確.

4-50+7

故選：ACD.

11.在正方形ABC。-A耳￡2中，點(diǎn)產(chǎn)是線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.\F±B1D

B.當(dāng)點(diǎn)尸為BG中點(diǎn)時(shí)，4口與4。相交于一點(diǎn)E,且位=2

EF

C.存在點(diǎn)尸，使得A尸，平面

D.異面直線AR與。所成角的余弦值的最大值為漁

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A,直接證明4。，平面ABC］即可判斷A；對(duì)于B,設(shè)AR和4。相交于點(diǎn)E,則

A,EA.D

\DEFB］E,所以—=—，即可判斷B；對(duì)于C,建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面3DC的法向

nrDxr

量，利用共線向量，即可判斷C；對(duì)于D,由4￡=43+3￡=(-//1—1)和。。進(jìn)行求解，可判斷D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在正方體ABC。—中，易知

由2。！.平面得4￡，耳。,

而。。BR=A,故AG，平面。42,

所以AC，BtD,同理可得BQ±BQ,

又因?yàn)?。1門4￡=￡,所以用。，平面AB。,

又AFu平面A^G，，用。，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)產(chǎn)為8G中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)題意可得，尸為用c中點(diǎn),

設(shè)AF和耳。相交于點(diǎn)E,連接耳。和耳尸，如圖所示：

因?yàn)锳.DEFBXE,所以箸=黑=2,故B正確;

EFB[F

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)正方體ABCD-4與。12的邊長(zhǎng)為1，建立如圖所示直角坐標(biāo)系,

則￡>(0,0,0)1(1/,0)6(0,1,1),A(L0,1)0(0,L0),

設(shè)平面BDC1的法向量〃=（羽y,z）,

n-DB—0y+z=0

則則

",DC1=0%+y=0'

令x=l,則y=_l,z=_l,故/=(1,-1,—1),

設(shè)BF=tBC\,則迎=(T,0"),則4b=A3+3尸=—1),

由4^，平面BOG，則4///〃，

-tit-1

所以一=一=——，貝曠不存在，

1—11

即不存在尸使得4口，平面BDG，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng)，由AE=A3+BE=(T,1/—1),DC=(0,1,0),

4斤nkAFDC11

囚用。。|一+1+?―1)2也/―2/+23

此時(shí)，=」，即尸為BG中點(diǎn)，故D正確.

2

故選：ABD

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知點(diǎn)4(4,5,—6),6(—2,3,4),則的中點(diǎn)坐標(biāo)為,卜$=.

【答案】①.(1,4,—1)②.2月

【解析】

【分析】直接利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量模的坐標(biāo)表示可得心小的值.

【詳解】設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),

4-2

x=-=--1---

2

5+3,

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得＜y=------=4

2

—6+41

"2

即線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為(L4,-1),

BA=(6,2,-10)

所以網(wǎng)=^62+22+(-10)2=2y/35.

故答案為：(1,4,一1)；2府.

1,

13.拋物線丁=3好的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】［0,1

【解析】

【分析】

將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后可得結(jié)果.

【詳解】由丁=萬/得V=2y,

所以2p=2,p=l,

所以拋物線y=1x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故答案為：^0,—

14.已知點(diǎn)A（l,2,1）,5（3,3,2）,C（2+1,4,3）,若AB,AC的夾角為銳角，則2的取值范圍為

【答案】（―2,4）U（4,+8）

【解析】

【分析】根據(jù)AB,AC的夾角為銳角，可得A3.AC>0,且不能同向共線?解出即可得出.

【詳解】AB=（2,1,1）,AC=（2,2,2）,

AB,AC的夾角為銳角，.?.A3.AC=24+2+2>O，且不能同向共線.

解得2〉—2,2^4.則2的取值范圍為（―2,4）D（4,+8）.

故答案為：（—2,4）U（4,+8）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知點(diǎn)4（0,1,—1）,5（2,2,1）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量&=。4出=05,計(jì)算：

（1）求向量6同向的單位向量瓦；

（2）若（初+B）_L（32-q,求人的值；

【答案】（1）

【解析】

【分析】(1)根據(jù)單位向量定義求向量6同向的單位向量瓦；

(2)應(yīng)用向量的線性運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).

【小問1詳解】

因?yàn)??=08=(2,2,1),|^|=V4+4+l=3,

1/、(221、

所以，與b同向的單位向量為％=耳(2,2,1)=.

【小問2詳解】

因?yàn)榭?/>=左（0,1,—1）+（2,2/）=（2,左+2/一左），3a-Z>=3（0,1,-1）-（2,2,1）=（-2,1,-4）,

又（@+b）_L（3a-人），

所以（總+/?>（3々_））=0,即（2,k+2,1_左>（—2,1,^）=0nT+左+2-4（1—左）=0nk='.

16.如圖，在四棱錐PA8CQ中，底面A8CD是矩形，M是叢的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，平面

ABCD,且PD=CD=4,AD=2.

(1)求證：兒W//平面PC。；

(2)求AP與平面。72所成角的正弦值;

(3)求二面角”—Cfi—P的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵3

5

⑶血

10

【解析】

【分析】⑴取中點(diǎn)為E,分別連接ME,CE,利用中位線性質(zhì)得MN//CE,再根據(jù)線面平行的判

定即可.

(2)以。為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面CW

的法向量，用向量的方法求直線AP與平面CMB所成角的正弦值；

(3)求平面CBP的法向量，用向量的方法求二面角河-Cfi-尸的余弦值.

【小問1詳解】

取尸。中點(diǎn)為E,分別連接ME,CE,

又因?yàn)槭橇Φ闹悬c(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，所以ME//AD,ME=LAD,

2

CN//AD,CN=~AD,所以ME〃CN,ME=CN,所以四邊形MECN為平行四邊形,

2

所以上W//CE,又因?yàn)镃Eu平面PCD,肱v(z平面PCD,

所以MN//平面PCD.

【小問2詳解】

以。為原點(diǎn)，分別以ZHOCDP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

則。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),0,2),5(2,4,0),

AP=(-2,0,4),CB=(2,0,0),BM=(-1,-4,2),網(wǎng)=2氐

設(shè)平面CM3的法向量＞i=(x,y,z),則

n-CB=0：；令'i則)止后

即《°4y+2z=0'z=2,5=(0,1,2,1

n-BM=0

設(shè)直線"與平面CMB所成的角為仇則

sin3=|cos(AP,n)|=APn84

網(wǎng)網(wǎng)一2后"5.

4

所以AP與平面CMB所成角的正弦值為二.

【小問3詳解】

CB=(2,0,0),BP=(-2,-4,4).

設(shè)平面C8P的法向量沅=Q,y,z),則

m-CB=0(x=0

<，即{,

m-BP=Q[-2x-4y+4z=0

令y=l,則z=l=(。,1/),同=拒.

又平面CMB的法向量〃=（0,1,2）,同=6.

設(shè)二面角M-CB-P的大小為a,則a為銳角，

3M

10

所以二面角M-CB-P的余弦值為題.

10

22

17.已知橢圓氏三+1=l（a〉6〉0）的離心率e=當(dāng),左焦點(diǎn)F（-l,0）,

a2b2

（1）求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過左焦點(diǎn)尸的直線/與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)，若|人創(chuàng)=半，求直線/的一般式方程.

【答案】（1）—+/=1

2

（2）x±y+l=0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)6=^+,2求出即可；

a

（2）當(dāng)左不存在時(shí)，弦長(zhǎng)不符，當(dāng)左存在時(shí)，設(shè)直線方程為：丁=左（％+1）,與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)

定理和弦長(zhǎng)公式列列方程求出斜率，則直線方程可得.

【小問1詳解】

ci=-\/2，￡?_=2—1=1，

所以橢圓方程為工+丁=1；

2

【小問2詳解】

設(shè)人(國(guó),％),5(孫％)，

當(dāng)太不存在時(shí)，通徑|A創(chuàng)=Z=J5(舍)；

當(dāng)上存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y=k(x+l),與橢圓方程聯(lián)立消去y得:

(2k2+1產(chǎn)+4左2工+2左2-2=0,A=8(左2+1)>o,

4k2242—2

?■-X1+X2=-2FTT,%1%2=2FTT,

2夜儼+1）4V2.

|AB|=Jl+%2J（X]+尤2）"—4%尤2=Jl+B?2V2VF+1

2k2+12k2+1亍'

解得k=±l,

故直線方程為：x±y+l=0.

18.若圓G與圓C2相交于尸，。兩點(diǎn)，歸。=機(jī)(機(jī)>0),且C?為線段尸。的中點(diǎn)，則稱C?是G的相等

距共朝圓.已知點(diǎn)43,5),8(6,4)均在圓G上，圓心G在直線X—4y—3=0上.

(1)求圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若圓C2是圓G的8等距共軌圓，設(shè)圓心C?的軌跡為Q.

(i)求Q的方程.

(ii)已知點(diǎn)”(3,3),直線/與曲線Q交于異于點(diǎn)H的E,尸兩點(diǎn)，若直線"E與族的斜率之積為3,試

問直線/是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴(X-3)2+/=25

(2)(i)(X-3)2+/=9；(ii)直線/過定點(diǎn)(3,-6)

【解析】

【分析】⑴設(shè)G(4a+3,a),根據(jù)CH=|G卻解得a=0,即可得圓心和半徑，進(jìn)而可得圓的方程；

(2)(i)分析可知|。。21=3,可知圓心C2的軌跡為Q是以G(3,0)為圓心，半徑々=3的圓；(ii)分類討

論直線/的斜率是否存在，根據(jù)斜率公式以及韋達(dá)定理分析求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閳A心G在直線X—4y—3=0上，設(shè)G（4a+3,a）,

且點(diǎn)A（3,5）,8（6,4）均在圓G上，則

可得Jl6a2+（a-5）2=J（4a-3）~+（a-4y，解得a=0,

即圓心為G（3,0）,半徑度=|。同=5,

所以圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-3）2+/=25.

【小問2詳解】

（i）因?yàn)閨PQ|=8,由題意可得：|CCUJr—glPQl］=3,

可知圓心C?的軌跡為Q是以G（3,0）為圓心，半徑々=3的圓，

所以Q的方程為（x—3『+V=9；

（ii）若直線/的斜率存在，設(shè)直線/：y=kx+b,E（石/

y=kx+b

聯(lián)立方程＜（3）2+2—9,消去y可得（左？+1）犬+2（奶—3）%+及=0,

…c口2(3—⑹b1

貝!j△>0,且Xy+X--------,-.----

129左2+11242+]

X-3%-3kx、+b-3kx?+b-33

因?yàn)閊HE.kfjF

玉一3%2—3國(guó)一3%—3

整理可得（左之一3）西尤2+［左（6一3）+9］（玉+%2）+〃—6b—18=0,

則吆9+2［破3）+9］（3—叫……=0

可得。+3左+6）0+3左一3）=0,即/?=—3左一6或人=—3左+3,

當(dāng)〃=—3左一6,直線丁=左口一3）—6過定點(diǎn)（3,-6）；

當(dāng)〃=—3左+3,直線丁=左