2025版高考數(shù)學二輪復習壓軸大題拉分練4

PAGEPAGE1壓軸大題拉分練(04)(滿分：24分時間：30分鐘)1．(12分)已知M是直線l：x＝－1上的動點，點F的坐標是(1,0)，過M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點N．(1)求點N的軌跡C的方程；(2)設曲線C上的動點A關于x軸的對稱點為A′，點P的坐標為(2,0)，直線AP與曲線C的另一個交點為B(B與A′不重合)，是否存在一個定點T，使得T，A′，B三點共線？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)依題意，|NM|＝|NF|，即曲線C為拋物線，其焦點為F(1,0)，準線方程為l：x＝－1，所以曲線C的方程為y2＝4x．(2)設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)，a))，則A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)，－a))，直線AP的斜率為kAP＝eq\f(a,\f(a2,4)－2)＝eq\f(4a,a2－8)，直線AB的方程為y＝eq\f(4a,a2－8)(x－2)．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\f(4a,a2－8)x－2))得ay2－(a2－8)y－8a＝0．設B(x0，y0)，則ay0＝－8，y0＝－eq\f(8,a)，x0＝eq\f(16,a2)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)，－\f(8,a)))，又A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)，－a))，所以A′B的方程為y＋a＝－eq\f(4a,8＋a2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,4)))．令y＝0，得x＝－2．即直線A′B與x軸交于定點T(－2,0)．因此存在定點T(－2,0)，使得T，A′，B三點共線．2．(12分)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝ex－ax.(e≈2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)無零點，求a的最大值．解：(1)∵f(x)＝ex－ax，∴f′(x)＝ex－a，當a≤0時，在f′(x)＞0上R恒成立，f(x)增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無減區(qū)間；當a＞0時，令f′(x)＝0得x＝lna，f(x)的增區(qū)間為(lna，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，lna)．(2)函數(shù)F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)＝ax－2lnx－a，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴F′(x)＝a－eq\f(2,x)＝eq\f(ax－2,x)，①當a≤0時，F(xiàn)′(x)＜0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，函數(shù)F(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，則F(x)＞Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(a,2)－2lneq\f(1,2)－a＝ln4－eq\f(a,2)＞0，∴a≤0時，函數(shù)F(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上無零點；②當a＞0時，令F′(x)＝0得，x＝eq\f(2,a)，令F′(x)＞0，得x＞eq\f(2,a)，令F′(x)＜0，得0＜x＜eq\f(2,a)，因此，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))，單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))．(ⅰ)當eq\f(2,a)≥eq\f(1,2)，即0＜a≤4時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴F(x)＞Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(a,2)－2lneq\f(1,2)－a＝ln4－eq\f(a,2)．要使函數(shù)F(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)無零點，則ln4－eq\f(a,2)≥0，得a≤4ln2；(ⅱ)當eq\f(2,a)＜eq\f(1,2)，即a＞4時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))，單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，\f(1,2)))，∴F(x)min＝Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝2－2lneq\f(2,a)－a＝2－ln4＋2lna－a，設g(a)＝2－ln4＋2lna－a，∴g′(a)＝eq\f(2,a)－1＝eq\f(2－a,a)＜0，∴g(a)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，∴g(a)＜g(4)＝2－ln4＋2ln4－4＝ln4－2＝2(ln2－lne)＜0，而當x→＋∞時，F(xiàn)(x)→＋∞，∴函數(shù)F(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\