2025屆浙江省麗水地區(qū)四校高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

2025屆浙江省麗水地區(qū)四校高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則3．已知，若方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．5．已知,則()A． B． C． D．6．如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計(jì)，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1087．中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或8．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于9．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．010．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．在中，角的對(duì)邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．12．已知集合，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則為________.14．在三棱錐P-ABC中，，，，三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.15．3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)．甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是__________．16．正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心，另外三個(gè)頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過(guò)，則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤(rùn)/十萬(wàn)元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤(rùn)y（十萬(wàn)元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤(rùn)與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬(wàn)只，試估計(jì)：該月利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，．（1）求．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）已知命題：，；命題：函數(shù)無(wú)零點(diǎn).（1）若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明曲線的形狀；(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點(diǎn)，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對(duì)于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．2．C【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于，當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí)，不滿足，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，但，錯(cuò)誤；對(duì)于，由，知：，又，，正確；對(duì)于，設(shè)，則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

求出的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過(guò)，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當(dāng)即圖象相切時(shí)，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．4．D【解析】

本題首先可以通過(guò)題意畫出圖像并過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，然后通過(guò)圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度即點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像，過(guò)點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn)，因?yàn)?，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，，即，，因?yàn)閳A的半徑為，是圓的半徑，所以，因?yàn)椋?，，，所以，三角形是直角三角形，因?yàn)?，所以，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得，解得，，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得，化簡(jiǎn)得，，，，故選D。【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的邏輯思維能力，是難題。5．B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6．B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，則小直角三角形的邊長(zhǎng)為，

則小正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.7．A【解析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點(diǎn)在x、y軸上兩種情況討論：

①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)有：②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯(cuò)誤答案．8．C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應(yīng)選答案C．9．C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當(dāng)時(shí)，得，即，則滿足，則，即，則，設(shè)，則，當(dāng)，解得，當(dāng)，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.11．C【解析】

由，可得，化簡(jiǎn)利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12．C【解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意得出，由此可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，直線的斜率為，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時(shí)要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑.三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為，，，的高，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，∴，內(nèi)切球表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.15．【解析】

利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算,再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,則兩人同時(shí)抽取兩張共有：種排法排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有：種排法.故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.16．【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解．【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為．∴正四面體的體積，圓柱的體積．則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）；（3）利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；（2）首先求出利潤(rùn)y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤(rùn).【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計(jì)10個(gè)，故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當(dāng)千只，（十萬(wàn)元）（萬(wàn)元），故9月份的利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎(chǔ)題.18．(1)(2)【解析】

(1)由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，又由，解得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由（1）得，利用乘公比錯(cuò)位相減，即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，，由，得，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得，，，兩式相減得，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.19．（1）（2）【解析】

（1）為假,則為真，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍；（2）由為假，為真，知一真一假；分類討論列不等式組可解.【詳解】（1）依題意，為真，則無(wú)解，即無(wú)解；令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，作出函數(shù)圖象如下所示，觀察可知，，即；（2）若為真，則，解得；由為假，為真，知一真一假；若真假，則實(shí)數(shù)滿足，則；若假真，則實(shí)數(shù)滿足，無(wú)解；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問(wèn)題.其思路：與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題．解決此類問(wèn)題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．20．(1)曲線表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析：（1）將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程；（2）由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得的值，再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).試題解析：（1）由可得，即，∴曲線表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線.（2）將代入，得，∴，∵，∴，∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得，由直線參數(shù)方程的幾何意義可知，.21．（1）見證明；（2）【解析】

（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面法向量，利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接、，是的中點(diǎn)，