數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)點(diǎn)撥-二項(xiàng)分布和超幾何分布辨析

...wd......wd......wd...二項(xiàng)分布與超幾何分布辨析二項(xiàng)分布與超幾何分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)解決．在實(shí)際應(yīng)用中，理解并區(qū)分兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的．下面舉例進(jìn)展比照辨析．例袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．求：〔1〕有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｘ的分布列；〔2〕不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｙ的分布列．解：〔1〕有放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Ｘ可能的取值為０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則．；；；．因此，的分布列為01232．不放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Ｙ可能的取值為０，1，2，且有：；；．因此，的分布列為012辨析：通過(guò)此例可以看出：有放回抽樣時(shí)，每次抽取時(shí)的總體沒(méi)有改變，因而每次抽到某物的概率都是一樣的，可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)分布模型．而不放回抽樣時(shí)，取出一個(gè)則總體中就少一個(gè)，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型．因此，二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣．超幾何分布和二項(xiàng)分布都是離散型分布，超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別：超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；超幾何分布是不放回抽取，而二項(xiàng)分布是放回抽取〔獨(dú)立重復(fù)〕當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布........二項(xiàng)分布與超幾何分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)解決。在實(shí)際應(yīng)用中，理解并區(qū)分兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的。下面舉例進(jìn)展比照辨析。1.有放回抽樣:每次抽取時(shí)的總體沒(méi)有改變，因而每次抽到某物的概率都是一樣的，可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)分布模型。2.不放回抽樣:取出一個(gè)則總體中就少一個(gè)，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型。因此，二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣。所以，在解有關(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問(wèn)題時(shí)，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的(特別注意：二項(xiàng)分布是在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的3個(gè)條件成立時(shí)應(yīng)用的)。超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別：〔1〕超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；〔2〕超幾何分布是“不放回〞抽取，而二項(xiàng)分布是“有放回〞抽取〔獨(dú)立重復(fù)〕。練習(xí)題：1.袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球。求：〔1〕有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｘ的分布列；〔2〕不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｙ的分布列。2.(2008年四川延考)一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量情況分為三類：A類、B類、C類．檢驗(yàn)員定時(shí)從該生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)展一次抽檢，假設(shè)發(fā)現(xiàn)其中含有C類產(chǎn)品或2件都是B類產(chǎn)品，就需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整．該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的每件產(chǎn)品為A類品，B類品和C類品的概率分別為0.9,0.05和0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量情況互不影響．(1)求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；(2)假設(shè)檢驗(yàn)員一天抽檢3次，以ξ表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求ξ的分布列．3.今天你低碳了嗎近來(lái)，國(guó)內(nèi)網(wǎng)站流行一種名為“碳排放計(jì)算器〞的軟件，人們可以擾此計(jì)算出自己每天的碳排放量。例如：家居用電的碳排放量〔千克〕=耗電度數(shù)×.785，汽車的碳排放量〔千克〕=油耗公升數(shù)×0.785等。某班同學(xué)利用寒假在兩個(gè)小區(qū)逐戶進(jìn)展了一次生活習(xí)慣進(jìn)否符合低碳觀念的調(diào)查。假設(shè)生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族〞，否則稱為“非低碳族〞。這二族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例P數(shù)據(jù)如下：B小區(qū)低碳族B小區(qū)低碳族非低碳族比例PA小區(qū)低碳族非低碳族比例P〔I〕如果甲、乙來(lái)自A小區(qū)，丙、丁來(lái)自B小區(qū)，求這4人中恰有2人是低碳族的概率；〔II〕A小區(qū)經(jīng)過(guò)大力宣傳，每周非低碳族中有20%的人參加到低碳族的行列。如果2周后隨機(jī)地從A小區(qū)中任選25個(gè)人，記表示25個(gè)人中低碳族人數(shù)，求4.在“自選模塊〞考試中，某試場(chǎng)的每位同學(xué)都選了一道數(shù)學(xué)題，第一小組選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的有1人，選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的有2人，選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析得分情況.〔Ⅰ〕求選出的4人均為選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的概率；〔Ⅱ〕設(shè)為選出的4個(gè)人中選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．5.甲、乙兩人參加2010年廣州亞運(yùn)會(huì)青年志愿者的選拔．打算采用現(xiàn)場(chǎng)答題的方式來(lái)進(jìn)展，在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)展測(cè)試，至少答對(duì)2題才能入選．(1)求甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布；(2)求甲、乙兩人至少有一人入選的概率．正態(tài)分布和線性回歸高考要求1.了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)2.了解線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)歸納1．正態(tài)分布密度函數(shù)：，〔σ＞0，-∞＜x＜∞〕其中π是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)分布的均值；σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為2．正態(tài)分布〕是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的分布例1、下面給出三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表示式，請(qǐng)找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ．〔1〕，〔-∞＜x＜+∞〔2〕，〔-∞＜x＜+∞解：(1)0,1(2)1,23．正態(tài)曲線的性質(zhì)：正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定，如果隨機(jī)變量～N(μ，σ2)，根據(jù)定義有：μ=E，σ=D。正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：〔1〕曲線在x軸的上方，與x軸不相交?！?〕曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱?！?〕曲線在x=μ時(shí)位于最高點(diǎn)?！?〕當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無(wú)限靠近?！?〕當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖〞，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高〞，表示總體的分布越集中。五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，因此應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用比照教學(xué)4．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)μ=0、σ=l時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，〔-∞＜x＜+∞〕其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N〔0，1〕在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問(wèn)題5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問(wèn)題:對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N〔0，1〕，是總體取值小于的概率，即，其中，圖中陰影局部的面積表示為概率只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，Φ〔0〕=0.5例2設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，x∈R?！?〕求μ，σ；〔2〕求的值。分析：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的構(gòu)造特征，對(duì)照函數(shù)求出μ和σ。利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N〔0，1〕概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來(lái)解決。解：〔1〕由于，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知μ=1，，故X～N〔1，2〕?！?〕。點(diǎn)評(píng)：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，將未知的，不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的、熟悉的、已解決了的問(wèn)題，是我們常用的手段與思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。通過(guò)本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。9．相關(guān)關(guān)系:當(dāng)自變量一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)如下：一樣點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．10．回歸分析一元線性回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)展統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性對(duì)于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面：〔1〕回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)展統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。〔2〕散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)系的兩個(gè)變量根基上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)展相關(guān)回歸分析?！?〕求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義。11．散點(diǎn)圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖形象地反映了各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度粗略地看，散點(diǎn)分布具有一定的規(guī)律12.回歸直線設(shè)所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)．，,相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)展的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做回歸分析13.相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜提出的，對(duì)于變量y與x的一組觀測(cè)值，把=叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)，用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)程度.14.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：≤1，且越接近1，相關(guān)程度越大；且越接近0，相關(guān)程度越小.一般的，當(dāng)0.75時(shí)，就可以判斷其具有很強(qiáng)的相關(guān)性，這時(shí)求線性回歸方程才有意義。例3假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y〔萬(wàn)元〕，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0假設(shè)由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：〔1〕線性回歸方程；〔2〕估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少分析：此題為了降低難度，告訴了y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。解：〔1〕列表如下：i12345234562.23.85.56.57.04.411.422.032.542.049162536，，，于是，?！嗑€性回歸方程為：?！?〕當(dāng)x=10時(shí)，〔萬(wàn)元〕即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元。點(diǎn)評(píng)：此題假設(shè)沒(méi)有告訴我們y與x間是呈線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)展相關(guān)性檢驗(yàn)。如果本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時(shí)，即使求出回歸方程也是沒(méi)有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測(cè)也是不可信的。二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[最新考綱]1．了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念．2．理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布．3．能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)梳理1．條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)假設(shè)B，C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互獨(dú)立性設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．假設(shè)事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)；事件A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)都相互獨(dú)立．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在一樣條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，假設(shè)用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈R的圖象(正態(tài)曲線)關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處到達(dá)峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(2)正態(tài)總體三個(gè)根本概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6.②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4.③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.【例1】(1)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)〞，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)〞，則P(B|A)等于()．A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)(2)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影局部)內(nèi)〞，則P(B|A)＝________.規(guī)律方法(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的根本領(lǐng)件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).【訓(xùn)練1】1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率是()．A.eq\f(11,27)B.eq\f(11,24)C.eq\f(8,27)D.eq\f(9,24)考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例2】(2013·陜西卷改編)在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X≥2〞的事件概率．規(guī)律方法(1)解答此題關(guān)鍵是把所求事件包含的各種情況找出來(lái)，從而把所求事件表示為幾個(gè)事件的和事件．(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．【訓(xùn)練2】甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)互不影響地在同一位置投球，命中率分別為eq\f(1,2)與p，且乙投球2次均未命中的概率為eq\f(1,16).(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．規(guī)律方法(1)求解此題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對(duì)稱，且區(qū)間[0,4]也關(guān)于x＝2對(duì)稱．(2)關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.【訓(xùn)練3】假設(shè)在本例中，條件改為“隨機(jī)變量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，〞求P(X>4)的值．考點(diǎn)四獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例4】某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶〞或“謝謝購(gòu)置〞字樣，購(gòu)置一瓶假設(shè)其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶〞字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,6).甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)置了一瓶該