2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練圓中切線證明專題訓(xùn)練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練圓中切線證明專題訓(xùn)練1．如圖，已知是的直徑，為的內(nèi)接三角形，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．2．如圖，在中，直徑與弦交于點(diǎn)P，，過(guò)點(diǎn)C作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．3．如圖，已知是的直徑，A在上，點(diǎn)D是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)E，過(guò)E作直線(1)求證：是的切線；(2)若，，①求的長(zhǎng)；②直接寫出的長(zhǎng)度：______．4．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過(guò)的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．5．如圖，已知為的直徑，，弦，直線，相交于點(diǎn)．(1)求證：直線是的切線；(2)當(dāng)，時(shí)，求的半徑．6．如圖，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，在以O(shè)為圓心，為直徑的半圓上取一點(diǎn)D，使，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，則的半徑長(zhǎng)為_(kāi)______．7．如圖，在中，，為的直徑．與相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．8．如圖，已知是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，弦平分，且于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)若，弧的長(zhǎng)為_(kāi)________．9．在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，垂足為．(1)如圖①，求證：直線是的切線；(2)如圖②，作于，交于，若，，求的長(zhǎng)．10．如圖，在中，，以為直徑作，分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑．11．如圖，為的直徑，是的一條弦，作的平分線與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，，求圓心到的距離．12．如圖，是的弦，過(guò)圓心作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)的的切線交于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，，求線段的長(zhǎng)及陰影部分的面積．13．如圖，在中，，于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作半圓，交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，求圖中陰影部分的面積；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．14．如圖，是的一條弦，為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交，，于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)若是半圓，①求證：；②若，，求的長(zhǎng)（用含、的代數(shù)式表示）．15．如圖，為的直徑，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接，，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的長(zhǎng)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺訓(xùn)練圓中切線證明專題訓(xùn)練》參考答案1．(1)詳見(jiàn)解析(2)2【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的判定定理進(jìn)行證明，利用圓的性質(zhì)得出等邊三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解；（1）連接，根據(jù)和證明即可；（2）根據(jù)得出，得出是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，∴是的半徑，是的切線；．（2）解：在中，，，是等邊三角形，，是直徑，，在中，．2．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，先判斷出垂直平分，再根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)平行線的判定可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，先利用勾股定理可得的長(zhǎng)，再設(shè)的半徑為，則，，利用勾股定理可得的值，從而可得的長(zhǎng)，利用勾股定理可得的長(zhǎng)，然后證出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，又∵，∴垂直平分，∵是的直徑，∴，即，∵，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：如圖，連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由（1）已得：垂直平分，∴，，∵，，∴，∴，設(shè)的半徑為，則，∴，在中，，即，解得，∴，∵是的直徑，∴，即，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、弧與弦的關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定和圓周角定理是解題關(guān)鍵．3．(1)見(jiàn)解析(2)①的長(zhǎng)為4；②【分析】連接，交于點(diǎn)H，則，由是的直徑，點(diǎn)D是的內(nèi)心，得，，則，所以，則，而，所以，即可證明是的切線；①連接，則，由，得，則，因?yàn)?，所以，由，得，求得，則，由，，得；②作于點(diǎn)I，由，推導(dǎo)出，求得，則，所以，，求得，由，求得，由，求得，則，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)H，則，，是的直徑，點(diǎn)D是的內(nèi)心，，．．．．，．是的半徑，且，是的切線．（2）解：①連接，則，，．．，．，，．，，于點(diǎn)H，，，，的長(zhǎng)為②作于點(diǎn)I，則，，．．，．．．．，．，．．故答案為：【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查切線的判定，正切值的計(jì)算，掌握直徑所對(duì)圓周角為直角，等邊對(duì)等角，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，正切值的計(jì)算方法是關(guān)鍵．（1）連接，由直徑所對(duì)圓周角為直角得到，由直角三角形斜邊中線得到，由等邊對(duì)等角得，根據(jù)垂直的定義得，根據(jù)等邊對(duì)等角得，則，，結(jié)合切線的判定即可求解；（2）根據(jù)題意得，在中，，可得，根據(jù)角的計(jì)算得到，則，在中，，則，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，∴．5．(1)詳見(jiàn)解析(2)的半徑長(zhǎng)為【分析】（1）連接，則，所以，由，得，，則，可證明，得，即可證明直線是的切線；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，而，所以，則，由，求得，則的半徑長(zhǎng)為．【詳解】（1）證明：連接，則，，，，，，在和中，，，，，是的半徑，且，直線是的切線．（2）解：由（1）得，，，，，，，，，的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵6．(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）連接，則，證明，可得，從而可得答案；（2）連接，證明，可得，進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）證明：連接，則，，，，，在和中，，，，∵是的半徑，且，∴是的切線．（2）解：連接，是的直徑，，，又，，，即：，解得：．即圓的半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練掌握切線的判定．（1）根據(jù)已知條件證得即可得到結(jié)論；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，則，構(gòu)建矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，四邊形是矩形，，，，，，，，，，是的直徑，．8．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，等邊對(duì)等角得到，角平分線得到，推出，進(jìn)而得到，即可得證；（2）證明，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵，∴．∵弦平分，∴，∴．∴，∵，∴．∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，如圖，

由（1）知：，∴，∴，∴，∴．∴．在中，∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定以及弧長(zhǎng)的計(jì)算．同時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，以及弧長(zhǎng)公式，是解題的關(guān)鍵．9．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接,由,得到，則,得到，而,則,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接是的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到，而,則，在中，利用勾股定理可計(jì)算出,再利用等積法得到,可計(jì)算出,然后根據(jù)垂徑定理即可得解．【詳解】（1）證明：連接,如圖，,，,，，∴，，，直線是的切線；（2）解：連接，是的直徑，，,，,，在中，，于，由三角形面積公式，得，,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論，垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．10．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用等腰三角形性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，證明，利用平行線性質(zhì)和切線的判定定理證明，即可解題；（2）設(shè)，利用等腰三角形性質(zhì)，圓周角定理得到，進(jìn)而得到，再證明，利用相似三角形性質(zhì)建立等式求解，即可解題．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，，為半徑，是的切線；（2）解：設(shè)，，，，，，，，，，，，，連接，為直徑，，即，，，，，，，，，解得或（不合題意，舍去），的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，切線的判定定理，圓周角定理，相似三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．11．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．（1）根據(jù)切線的判定方法，連接，證出即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的長(zhǎng)即為圓心到弦的距離，先由勾股定理得，進(jìn)而得，再證明得，即可得的長(zhǎng)，即圓心到的距離．【詳解】（1）證明：如圖，連接，的平分線與交于點(diǎn)，，，，，，，，又是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的長(zhǎng)即為圓心到弦的距離，且，在中，，，是的平分線，又，，，，，．即圓心到的距離為．12．(1)證明見(jiàn)解析(2)，陰影部分的面積為【分析】本題考查圓的綜合運(yùn)用，涉及垂徑定理，切線的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓中陰影面積的計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，，利用得出垂直平分，得出，證明，結(jié)合切線的性質(zhì)得出即可證明；（2）設(shè)的半徑為，則，，在中，利用列式求出，利用，求出，則，即可求出和，則可求出，求出，利用即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，，為的切線，，．，，即垂直平分，．在和中，，，，．又是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，則，，由（1）可知．，，解得：，，，，，，，．，，．13．(1)詳見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）作于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得平分，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）先確定，，再計(jì)算出，然后根據(jù)扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積進(jìn)行計(jì)算∶（3）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)最小，通過(guò)證明得到最小值為，然后計(jì)算出和得到此時(shí)的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：作于H，如圖，，于點(diǎn)O，平分，，，，是的切線；（2）解：∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，而，，，，∴圖中陰影部分的面積；（3）解：作F點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于P，如圖，，，此時(shí)最小，，，而，，，，即最小值為3，在中，，在中，，，即當(dāng)取最小值時(shí)，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)∶經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”，也考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形和最短路徑問(wèn)題．14．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】本題考查圓周角，切線的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）連接，進(jìn)而證明，根據(jù)圓的切線判定，從而求解；（2）①連接，，判定，進(jìn)而證明，即可求解；②連接,證明，根據(jù)勾股定理即可求解；【詳解】（1）解：連接，，，

，，，，，，是的切線；（2）解：①連接，，是半圓，，在上，，，，，，，，，②連接，，，，，，，，；15．(1)見(jiàn)解析；(2)