第二單元：因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合應(yīng)用“基礎(chǔ)版”-2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版VIP

2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第二單元：因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合應(yīng)用“基礎(chǔ)版”一、填空題。1．20的因數(shù)有()，其中最大的是()，既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的是()?！敬鸢浮?、2、4、5、10、20202【分析】列乘法算式找因數(shù)，按照從小到大的順序，一組一組地寫(xiě)出所有積是這個(gè)數(shù)的乘法算式，乘法算式中的兩個(gè)因數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)。除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！驹斀狻?0＝1×20＝2×10＝4×520的因數(shù)有1、2、4、5、10、20，其中最大的是20，既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的是2?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是會(huì)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)，理解質(zhì)數(shù)和偶數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)。2．能同時(shí)被3和5整除的最小三位數(shù)是()，既有因數(shù)2，又是3和5的倍數(shù)的最大三位數(shù)是()?！敬鸢浮?05990【分析】個(gè)位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)。個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。根據(jù)2、5、3的倍數(shù)的特征解答即可。【詳解】因?yàn)槟鼙?整除，所以這個(gè)最小三位數(shù)個(gè)位上是0或5；又因?yàn)檫@個(gè)三位數(shù)最小，所以百位上最小是1，十位上最小是0，1＋0＋5＝6，6是3的倍數(shù)，所以能同時(shí)被3和5整除的最小三位數(shù)是105。因?yàn)榧扔幸驍?shù)2，又是5的倍數(shù)，所以這個(gè)最大三位數(shù)個(gè)位上是0；又因?yàn)檫@個(gè)三位數(shù)最大，所以百位上是9，十位上也是9，9＋9＋0＝18，18是3的倍數(shù)，所以既有因數(shù)2，又是3和5的倍數(shù)的最大三位數(shù)是990?！军c(diǎn)睛】此題考查了2、5、3的倍數(shù)的特征。求同時(shí)是2、5、3的倍數(shù)的數(shù)，可以先確定同時(shí)是2、5的倍數(shù)的數(shù)，再考慮這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。3．用4、3、0這三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)中有()個(gè)是偶數(shù)，組成的三位數(shù)中最小的奇數(shù)是()。【答案】3403【分析】整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)的意義解答即可?！驹斀狻坑?、3、0這三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)有430、403、340、304。其中430、340、304是偶數(shù)，共3個(gè)；403是奇數(shù)。即用4、3、0這三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)中有3個(gè)偶數(shù)，組成的三位數(shù)中最小的奇數(shù)是403?！军c(diǎn)睛】整數(shù)中，個(gè)位上是0，2，4，6，8的數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位上是1，3，5，7，9的數(shù)是奇數(shù)。4．20的因數(shù)有()個(gè)，20的最小倍數(shù)是()，把20寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的形式是()＋()或()＋()?！敬鸢浮?20317713【分析】求一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，就用這個(gè)數(shù)從1開(kāi)始去整除，一直除到除數(shù)和商交換位置或除數(shù)和商相同為止，除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)，重復(fù)的因數(shù)只寫(xiě)一個(gè)；一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是這個(gè)數(shù)本身；一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)，先寫(xiě)出20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，再找出符合條件的質(zhì)數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?0÷1＝2020÷2＝1020÷4＝520的因數(shù)有：1，2，4，5，10，20，一共6個(gè)因數(shù)。20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19。所以，20的因數(shù)有6個(gè)，20的最小倍數(shù)是20，把20寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加的形式是3＋17或7＋13?！军c(diǎn)睛】掌握因數(shù)和倍數(shù)的求法以及質(zhì)數(shù)的意義是解答題目的關(guān)鍵。5．在□里填一個(gè)數(shù)字，使“9□”既是奇數(shù)又是5的倍數(shù)。這個(gè)數(shù)字是()。在□里填一個(gè)數(shù)字，使“5□2”既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)2，這個(gè)數(shù)字最小是()?！敬鸢浮?2【分析】根據(jù)5的倍數(shù)的特征，個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)，據(jù)此解答第一空。根據(jù)2、3的倍數(shù)的特征，個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)；一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是3的倍數(shù)。同時(shí)是2和3的倍數(shù)的數(shù)，個(gè)位上是偶數(shù)且各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。據(jù)此解答第二空?！驹斀狻恳埂?□”既是奇數(shù)又是5的倍數(shù)，□里這個(gè)數(shù)字是5；5＋2＝79－7＝2所以，在□里填一個(gè)數(shù)字，使“5□2”既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)2，這個(gè)數(shù)字最小是2?！军c(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握2、3、5的倍數(shù)的特征及綜合應(yīng)用。6．一個(gè)商場(chǎng)某天的收入是一個(gè)六位數(shù)（單位：元）。十萬(wàn)位上的數(shù)：既是偶數(shù)，又是質(zhì)數(shù)。萬(wàn)位上的數(shù)：是最小的自然數(shù)。千位上的數(shù)：既是4的倍數(shù)，又是4的因數(shù)。百位上的數(shù)：既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。十位上的數(shù)：既是奇數(shù)，又是合數(shù)。個(gè)位上的數(shù)：既是質(zhì)數(shù)，又是奇數(shù)，并且是12的因數(shù)。你知道這個(gè)商場(chǎng)該天的收入是()元？【答案】204693【分析】號(hào)碼的每個(gè)數(shù)都是比10小的整數(shù)，也就是說(shuō)每個(gè)數(shù)肯定是0到9兩者以及兩者之間的某個(gè)整數(shù)，那么根據(jù)偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、自然數(shù)、因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)的概念確定各個(gè)數(shù)位，就能得到這個(gè)商場(chǎng)某天的收入是204693。【詳解】既是偶數(shù)，又是質(zhì)數(shù)的數(shù)只有2，即十萬(wàn)位上的數(shù)是2；最小的自然數(shù)0，即萬(wàn)位上的數(shù)是0；既是4的倍數(shù)，又是4的因數(shù)的數(shù)是4，即千位上的數(shù)是4；既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)是6，即百位上的數(shù)是6；既是奇數(shù)，又是合數(shù)的數(shù)是9，即十位上的數(shù)是9；既是質(zhì)數(shù)，又是奇數(shù)，并且是12的因數(shù)的數(shù)是3，即個(gè)位上的數(shù)是3。【點(diǎn)睛】理解和掌握自然數(shù)的概念，弄清因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、以及奇數(shù)和偶數(shù)之間的區(qū)別是解題關(guān)鍵。7．哥德巴赫猜想被稱為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，中國(guó)20世紀(jì)三十年代就開(kāi)始著手這一研究。新中國(guó)成立后，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在這一領(lǐng)域取得了舉世矚目的成果。這一猜想是：所有大于2的偶數(shù)，可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，如：，。照這樣想：18＝()。【答案】或【分析】一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義，先寫(xiě)出18以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，再?gòu)闹姓页瞿膬蓚€(gè)質(zhì)數(shù)的和是18?！驹斀狻?8以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17。其中5＋13＝18，7＋11＝18。所以18＝5＋13或18＝7＋11?！军c(diǎn)睛】明確質(zhì)數(shù)的意義是解決此題的關(guān)鍵。8．定義運(yùn)算“△”：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為。例如：。根據(jù)上面定義的運(yùn)算，則()。【答案】231【分析】根據(jù)題意，求得57和12的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，然后把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相加即要?！驹斀狻?7＝3×1912＝2×2×357和12的最大公因數(shù)是：357和12的最小公倍數(shù)是：3×19×2×2＝2283＋228＝231【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義的新運(yùn)算，找出運(yùn)算方法，列式解答即可。9．哥德巴赫提出了這樣一個(gè)猜想：所有大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。請(qǐng)根據(jù)該猜想把下面的偶數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。18＝()＋()

30＝()＋()【答案】513723【分析】一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)，列舉出30以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，再找出符合條件的質(zhì)數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?0以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，所以18＝5＋13＝7＋11，30＝7＋23＝11＋19＝13＋17?！军c(diǎn)睛】掌握質(zhì)數(shù)的意義并找出30以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。10．五（1）班進(jìn)行體操表演。若每行10人，則少2人；若每行8人，則正好排整行。已知這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)在40到50之間，這個(gè)班有學(xué)生()人?！敬鸢浮?8【分析】每行8人剛好排整行，總?cè)藬?shù)是8的倍數(shù)，每行10人，則少2人，總?cè)藬?shù)加上2應(yīng)該是10的倍數(shù)；在40到50之間的8的倍數(shù)有40和48，40＋2＝42不是10的倍數(shù)排除，48＋2＝50，剛好是10的倍數(shù)，符合題意。【詳解】根據(jù)分析可知，這個(gè)班的人數(shù)有48人。【點(diǎn)睛】此題考查一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確倍數(shù)的取值范圍。二、解答題。11．丁丁也不甘示弱：你們知道著名的“斐波那契”數(shù)列嗎？它是這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，……從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，以后每個(gè)數(shù)都是它前兩個(gè)數(shù)的和，請(qǐng)問(wèn)：前2016個(gè)數(shù)中共有多少個(gè)偶數(shù)？【答案】672個(gè)【分析】由奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)十奇數(shù)＝奇數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列中數(shù)列是以“奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……”3個(gè)一周期排列的，所以2016÷3＝672（個(gè)）周期，每個(gè)周期里有1個(gè)偶數(shù)，672×1＝672（個(gè)），即有672個(gè)偶數(shù)?！驹斀狻?016÷3＝672（個(gè)）672×1＝672（個(gè)）答：前2016個(gè)數(shù)中共有672個(gè)偶數(shù)?！军c(diǎn)睛】找到題干中的數(shù)列規(guī)律是解題的關(guān)鍵。12．五年級(jí)學(xué)生參加舞蹈隊(duì)隊(duì)員選拔。演出時(shí)需要兩次隊(duì)形變換，一次3人一組，一次5人一組，要求不能有剩余，已經(jīng)有26人選上，至少再選多少人剛好合適？【答案】4人【分析】只要舞蹈隊(duì)的人數(shù)既是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)即可，既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上的數(shù)字是0或5，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)的數(shù)，據(jù)此找到比26大，又最小的3和5的倍數(shù)，減去已選上人數(shù)即可。【詳解】比26大，又是3和5的倍數(shù)，最小是30。30－26＝4（人）答：至少再選4人剛好合適。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握3和5的倍數(shù)的特征。13．一個(gè)長(zhǎng)方形草坪的周長(zhǎng)是38米，它的長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)草坪的面積是多少平方米？【答案】34平方米【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2，長(zhǎng)＋寬＝周長(zhǎng)÷2，代入數(shù)據(jù)，求出長(zhǎng)與寬的和；再根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義：一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，求出長(zhǎng)和寬；再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式：面積＝長(zhǎng)×寬，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?8÷2＝19；19＝17＋2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是17米，寬是2米。面積：17×2＝34（平方米）答：這個(gè)草坪的面積是34平方米?！军c(diǎn)睛】根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式、面積公式，以及質(zhì)數(shù)的意義進(jìn)行解答。14．有95個(gè)蘋果，如果每5個(gè)裝一袋，能正好裝完嗎？如果每3個(gè)裝一袋，能正好裝完嗎？如果不能，至少還需要多少個(gè)蘋果才能正好裝完？【答案】如果每5個(gè)裝一袋，能正好裝完，如果每3個(gè)裝一袋，不能正好裝完，至少還需要1個(gè)蘋果才能正好裝完【分析】先計(jì)算一下95能不能被5和3整除，如果能，就能正好裝完，反之，則不能；求至少還需幾個(gè)，先求出余數(shù)，然后用除數(shù)減去余數(shù)，即至少買的個(gè)數(shù)?！驹斀狻?5÷5＝19（袋）95÷3＝31（袋）……2（個(gè)）3－2＝1（個(gè)）答：如果每5個(gè)裝一袋，能正好裝完，如果每3個(gè)裝一袋，不能正好裝完，至少還需要1個(gè)蘋果才能正好裝完。【點(diǎn)睛】此題考查3和5的倍數(shù)特征，明確它們的倍數(shù)特征是解題的關(guān)鍵。15．體育課上同學(xué)們做游戲，把全班60人平均分成相同的幾組，每組不少于12人，不多于20人，有幾種分法？【答案】3種【分析】根據(jù)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，可以利用乘法算式，按因數(shù)從小到大的順序一組一組地找，首先找出60的因數(shù)，通過(guò)每組不少于12人，不多于20人的條件，然后再判斷即可?！驹斀狻?0的因數(shù)：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；每組12人，可以分成5組；每組15人，可以分成4組；每組20人，可以分成3組；答：有3種分法。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法。16．42名同學(xué)去參觀水立方，老師要把同學(xué)們平均分成若干小組，而且每組人數(shù)都是偶數(shù)，可以分成幾組，每組幾人？（組數(shù)大于1）（寫(xiě)出思考過(guò)程）【答案】①分成21組，每組2人；②分成3組，每組14人；③分成7組，每組6人?！痉治觥繉?xiě)出乘積是42的所有乘法算式，偶數(shù)因數(shù)作為每組人數(shù)，另一個(gè)因數(shù)作為組數(shù)，組數(shù)不能為1?！驹斀狻?2＝1×42，42＝2×21，42＝3×14，42＝6×7；由于組數(shù)是大于1的數(shù)，所以分成2組，每組21人，不符合題意；分成21組，每組2人，符合題意；分成3組，每組14人，符合題意；分成14組，每組3人，不符合題意；分成6組，每組7人，不符合題意；分成7組，每組6人，符合題意。答：①分成21組，每組2人；②分成3組，每組14人；③分成7組，每組6人。【點(diǎn)睛】此題的關(guān)鍵是找到42的所有因數(shù)，并判斷因數(shù)的奇偶性。17．果園里有幾行果樹(shù)，每行棵數(shù)相等。下面是幾名小朋友數(shù)出的總棵數(shù)，其中只有一名小朋友數(shù)對(duì)了，你知道他是誰(shuí)嗎？說(shuō)明理由?！敬鸢浮啃∶?；理由見(jiàn)詳解【分析】由題意可知，果園里有幾行果樹(shù)，且每行果樹(shù)的棵數(shù)相等，則果樹(shù)種植的行數(shù)是總棵數(shù)的因數(shù)，果樹(shù)的總棵數(shù)除了1和它本身至少還有一個(gè)因數(shù)，一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)，所以果園里果樹(shù)的總棵數(shù)是一個(gè)合數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻恳?yàn)?3的因數(shù)只有1和73，所以73是質(zhì)數(shù)，不符合題意；因?yàn)?5的因數(shù)有：1、3，5、15、25、75，所以75是合數(shù)，符合題意；因?yàn)?9的因數(shù)只有1和79，所以79是質(zhì)數(shù)，不符合題意；所以，果園里果樹(shù)的總棵數(shù)是75棵。答：小明說(shuō)對(duì)了。【點(diǎn)睛】本題主要考查質(zhì)數(shù)、合數(shù)的應(yīng)用，掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義是解答題目的關(guān)鍵。18．中國(guó)第一次參加奧運(yùn)會(huì)的年份是一個(gè)四位數(shù)。千位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，百位上的數(shù)是一位數(shù)中最大的合數(shù)，十位上的數(shù)的最小倍數(shù)是3，個(gè)位上的數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)。中國(guó)第一次參加奧運(yùn)會(huì)是哪一年？【答案】1932年【分析】質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。合數(shù)是指在大于1的整數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)（0除外）整除的數(shù)。1既不屬于質(zhì)數(shù)也不屬于合數(shù)?！驹斀狻扛鶕?jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義可知，不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的是1，最大的一位數(shù)合數(shù)是9，最小的倍數(shù)是3的數(shù)是3，最小的質(zhì)數(shù)是2。答：中國(guó)第一次參加奧運(yùn)會(huì)是1932年?！军c(diǎn)睛】本題考查質(zhì)數(shù)、合數(shù)、倍數(shù)的認(rèn)識(shí)，根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、倍數(shù)的定義進(jìn)行解答即可。19．小明家