第三單元：等積變形問(wèn)題“一般型”專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)-2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版

2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列第三單元：等積變形問(wèn)題“一般型”專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)一、填空題。1．把一個(gè)長(zhǎng)15厘米、寬9厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體鐵塊熔鑄成一個(gè)正方體鐵塊，這個(gè)正方體鐵塊的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?10【分析】把一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊熔鑄成一個(gè)正方體鐵塊后，鐵塊的形狀改變，但是鐵塊的體積不變，正方體鐵塊的體積等于長(zhǎng)方體鐵塊的體積，利用“長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高”求出這個(gè)正方體鐵塊的體積，據(jù)此解答?！驹斀狻?5×9×6＝135×6＝810（立方厘米）所以，這個(gè)正方體鐵塊的體積是810立方厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查等體積變形，明確正方體的體積等于長(zhǎng)方體的體積并掌握長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。2．用同一塊橡皮泥捏成棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，后捏成一個(gè)長(zhǎng)為2厘米，寬4厘米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的高為()厘米。【答案】8【分析】根據(jù)題意，先把一塊橡皮泥捏成正方體，后又把這塊橡皮泥捏成長(zhǎng)方體，形狀變了，但這塊橡皮泥的體積不變；先根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出這塊橡皮泥的體積；再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高可知，長(zhǎng)方體的高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解。【詳解】橡皮泥的體積：4×4×4＝64（立方厘米）長(zhǎng)方體的高：64÷（2×4）＝64÷8＝8（厘米）這個(gè)長(zhǎng)方體的高為8厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查正方體的體積、長(zhǎng)方體的體積公式的靈活運(yùn)用，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關(guān)鍵。3．一塊長(zhǎng)方體鐵塊，長(zhǎng)20厘米，寬12厘米，高8厘米，它的體積是()立方厘米；把它熔鑄成底面積是10平方厘米，高是8厘米的小長(zhǎng)方體鐵塊，可熔鑄成()個(gè)?！敬鸢浮?92024【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出長(zhǎng)方體鐵塊的體積；熔鑄后，鐵塊的體積不變，先利用長(zhǎng)方體的公式求出小長(zhǎng)方體鐵塊的體積，再用原來(lái)長(zhǎng)方體鐵塊的體積除以小長(zhǎng)方體鐵塊的體積，即可求出熔鑄的數(shù)量?！驹斀狻?0×12×8＝1920（立方厘米）10×8＝80（立方厘米）1920÷80＝24（個(gè)）即長(zhǎng)方體鐵塊的體積是1920立方厘米，可熔鑄24個(gè)小長(zhǎng)方體鐵塊?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握長(zhǎng)方體的體積的計(jì)算方法以及等積變形的數(shù)學(xué)思想。4．把一個(gè)棱長(zhǎng)5分米的正方體鋼塊，鍛造成寬2.5分米，高4分米的長(zhǎng)方體鋼塊，長(zhǎng)是()米。【答案】1.25【分析】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，代入數(shù)據(jù)求出正方體鋼塊的體積。鍛造后，體積不變，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出長(zhǎng)方體鋼塊的長(zhǎng)?！驹斀狻?×5×5÷（2.5×4）＝125÷10＝12.5（分米）＝1.25（米）即長(zhǎng)是1.25米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查等積變形，靈活運(yùn)用正方體和長(zhǎng)方體的體積公式求解。5．把水倒入一個(gè)長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體容器里，水的高度是()dm。【答案】2【分析】根據(jù)題意可知，水倒入長(zhǎng)方體容器內(nèi)，體積不變，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高，高＝體積÷（長(zhǎng)×寬），代入數(shù)據(jù)，即可求出水的高度，據(jù)此解答?！驹斀狻?20L＝120dm3120÷（10×6）＝120÷60＝2（dm）把120L水倒入一個(gè)長(zhǎng)10dm、寬6dm、高4dm的長(zhǎng)方體容器里，水的高度是2dm?！军c(diǎn)睛】熟練掌握長(zhǎng)方體體積公式是解答本題的關(guān)鍵，注意單位名數(shù)的換算。6．把一塊棱長(zhǎng)是8dm的正方體鋼坯，鍛造成橫截面的面積是0.4m2的長(zhǎng)方體鋼材，鍛造成的鋼材長(zhǎng)()?！敬鸢浮?.28m/1.28米【分析】根據(jù)正方體體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出鋼坯體積，再根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)＝體積÷橫截面積，列式解答即可?！驹斀狻?dmm（m）鍛造成的鋼材長(zhǎng)1.28m?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體和正方體體積公式。7．把一塊棱長(zhǎng)6cm的正方體鋼塊，鍛造成一根長(zhǎng)方體鋼材。鋼材的橫截面是邊長(zhǎng)1.5cm的正方形，這根長(zhǎng)方體鋼材的長(zhǎng)是()cm?！敬鸢浮?6【分析】根據(jù)正方體的體積公式：，長(zhǎng)方體的體積公式：，那么，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】6×6×6÷（1.5×1.5）＝216÷2.25＝96（cm）這根長(zhǎng)方體鋼材的長(zhǎng)是96cm?！军c(diǎn)睛】此題主要考查正方體、長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。8．一個(gè)棱長(zhǎng)是6cm的正方體鐵塊，能鑄成一個(gè)長(zhǎng)9cm、寬4cm，高()cm的長(zhǎng)方體。【答案】6【分析】由題意可知，長(zhǎng)方體的體積等于正方體的體積，先根據(jù)“正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”求出長(zhǎng)方體的體積，再利用“高＝長(zhǎng)方體的體積÷長(zhǎng)÷寬”求出長(zhǎng)方體的高，據(jù)此解答?！驹斀狻?×6×6÷9÷4＝36×6÷9÷4＝216÷9÷4＝24÷4＝6（cm）所以，長(zhǎng)方體的高是6cm?！军c(diǎn)睛】掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。9．把一塊棱長(zhǎng)10cm的正方體鐵塊，鍛造成寬5cm，高10cm的長(zhǎng)方體鐵條，這個(gè)鐵條的長(zhǎng)是()cm?！敬鸢浮?0【分析】根據(jù)題意，把正方體的鐵塊鍛造成長(zhǎng)方體，只是形狀改變了，體積沒(méi)有變，根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出鐵塊的體積，再用鐵塊的體積除以長(zhǎng)方體的寬和高的乘積，即可求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，由此解答?！驹斀狻?0×10×10÷（5×10）＝1000÷50＝20（cm）【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算，利用長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算方法解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。10．小紅把一個(gè)棱長(zhǎng)之和是48厘米的正方體橡皮泥捏成一個(gè)高是2厘米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體所占空間是()立方厘米，占地面積是()平方厘米?！敬鸢浮?432【分析】根據(jù)“正方體的棱長(zhǎng)＝棱長(zhǎng)之和÷12”求出正方體的棱長(zhǎng)，把正方體橡皮泥捏成長(zhǎng)方體所占空間的大小不變，則長(zhǎng)方體的體積等于正方體的體積，再利用“正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”求出橡皮泥的體積，最后利用“底面積＝長(zhǎng)方體的體積÷高”求出長(zhǎng)方體橡皮泥的占地面積，據(jù)此解答?！驹斀狻坷忾L(zhǎng)：48÷12＝4（厘米）體積：4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）占地面積：64÷2＝32（平方厘米）【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。二、選擇題。11．把一個(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥捏成一個(gè)正方體，體積和原來(lái)相比()。A．增加了 B．減少了 C．不變 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】物體所占空間的大小叫做物體的體積。把一個(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥捏成一個(gè)正方體，它的形狀改變了，但這塊橡皮泥的大小不會(huì)改變，即體積不變，據(jù)此解答?！驹斀狻堪岩粋€(gè)長(zhǎng)方體橡皮泥捏成一個(gè)正方體，體積和原來(lái)相比不變。故答案為：C【點(diǎn)睛】掌握體積的定義，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關(guān)鍵。12．把一個(gè)棱長(zhǎng)為24cm的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)長(zhǎng)是48cm，寬是40cm的長(zhǎng)方體鐵塊，這個(gè)長(zhǎng)方體的高是()cm。A．72 B．12 C．1.2 D．7.2【答案】D【分析】根據(jù)題意，將一個(gè)正方體鐵塊熔鑄成長(zhǎng)方體鐵塊，形狀變了，體積不變；先根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，求出鐵塊的體積；再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高可知，長(zhǎng)方體的高＝體積÷長(zhǎng)÷寬，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這個(gè)長(zhǎng)方體的高?！驹斀狻空襟w的體積（鐵塊的體積）：24×24×24＝576×24＝13824（cm3）長(zhǎng)方體的高：13824÷48÷40＝288÷40＝7.2（cm）這個(gè)長(zhǎng)方體的高是7.2cm。故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查正方體、長(zhǎng)方體體積公式的靈活運(yùn)用，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關(guān)鍵。13．一塊正方體實(shí)心鋼坯，棱長(zhǎng)為6分米，工人師傅想把它鍛造成一個(gè)高為3分米、寬為4分米的長(zhǎng)方體實(shí)心鋼坯，這個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心鋼坯的長(zhǎng)是()分米。A．36 B．27 C．24 D．18【答案】D【分析】把正方體實(shí)心鋼坯鍛造成長(zhǎng)方體，體積不變；根據(jù)正方體體積公式：體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)，求出正方體實(shí)心鋼胚的體積，再根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：體積＝長(zhǎng)×寬×高；長(zhǎng)＝體積÷（寬×高），代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?×6×6÷（4×3）＝36×6÷12＝216÷12＝18（分米）一塊正方體實(shí)心鋼坯，棱長(zhǎng)為6分米，工人師傅想把它鍛造成一個(gè)高為3分米、寬為4分米的長(zhǎng)方體實(shí)心鋼坯，這個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心鋼坯的長(zhǎng)是18分米。故答案為：D【點(diǎn)睛】熟練掌握和靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體體積公式和正方體體積公式是解答本題的關(guān)鍵。14．用棱長(zhǎng)1cm的正方體小木塊拼成一個(gè)棱長(zhǎng)1dm的大正方體，需要這樣的小木塊()個(gè)。A．10 B．30 C．100 D．1000【答案】D【分析】此題抓住拼組前后的體積不變，再利用體積單位之間的進(jìn)率1dm3＝1000cm3，即可解答?！驹斀狻坷忾L(zhǎng)為1dm的正方體的體積為1dm3，即1000cm3；棱長(zhǎng)為1cm的正方體的體積為1cm3，1000÷1＝1000（個(gè)）故答案為：D【點(diǎn)睛】此類(lèi)拼組題目，要抓住它們拼組前后的體積不變這個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行解答。15．一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的體積是24立方厘米，正好可以熔鑄成3個(gè)同樣大的小正方體，小正方體的棱長(zhǎng)是()厘米。A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意，先求出小正方體的體積，再根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)解答即可。【詳解】24÷3＝8（立方厘米）8立方厘米＝2厘米×2厘米×2厘米故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查的是正方體體積計(jì)算公式靈活運(yùn)用。三、解答題。16．把一個(gè)棱長(zhǎng)是4分米的正方體鋼坯鍛造成一塊長(zhǎng)50分米，寬2分米的長(zhǎng)方體鋼板，這塊鋼板厚多少分米？【答案】0.64分米【分析】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，代入數(shù)據(jù)求出正方體鋼坯的體積，鍛造后，體積不變，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出這塊鋼板的厚度。【詳解】4×4×4÷（50×2）＝64÷100＝0.64（分米）答：這塊鋼板厚0.64分米。【點(diǎn)睛】此題主要考查等積變形，靈活運(yùn)用正方體和長(zhǎng)方體的體積公式求解。17．把一塊棱長(zhǎng)6厘米的正方體鋼錠鍛造成一塊長(zhǎng)12厘米、寬6厘米的長(zhǎng)方體鋼錠，鋼錠的高是多少厘米？【答案】3厘米【分析】由題意可知，把這塊正方體鋼錠鍛造成長(zhǎng)方體鋼錠，鋼錠的體積不變，則長(zhǎng)方體鋼錠的體積等于正方體鋼錠的體積，先根據(jù)“正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”表示出這塊鋼錠的體積，再利用“高＝長(zhǎng)方體的體積÷長(zhǎng)÷寬”求出鋼錠的高，據(jù)此解答。【詳解】6×6×6÷12÷6＝216÷12÷6＝18÷6＝3（厘米）答：鋼錠的高是3厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查體積的等積變形，熟練掌握正方體和長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。18．天天鮮水產(chǎn)品養(yǎng)殖場(chǎng)挖了一個(gè)長(zhǎng)50米，寬36米，深2米的魚(yú)池，如果將挖出的土鋪在一條寬6米的路上，鋪2分米厚，最多可以鋪路多少米？（損耗忽略不計(jì)）【答案】3000米【分析】挖出的土實(shí)際上就是魚(yú)池的體積，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，鋪在路上，體積并沒(méi)有改變，用體積連續(xù)除以路面的寬和路面的高，即可得到需要鋪的路面的長(zhǎng)度?！驹斀狻?0×36×2＝3600（立方米）2分米＝0.2米3600÷6÷0.2＝600÷0.2＝3000（米）答：最多可以鋪路3000米?！军c(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是抓住體積不變的原則，靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式求解。19．中國(guó)冶煉鑄鐵的技術(shù)比歐洲早，據(jù)《管子》記載，齊國(guó)“斷山木，鼓山鐵”。齊國(guó)工匠將一塊棱長(zhǎng)是6分米的正方體鐵塊，鍛造成了一個(gè)橫截面積是4平方分米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少分米？【答案】54分米【分析】根據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，用6×6×6即可求出正方體鐵塊的體積，把正方體鐵塊鍛造成了一個(gè)橫截面積是4平方分米的長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高＝長(zhǎng)×橫截面積，用正方體鐵塊的體積除以4平方分米，即可求出這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)。【詳解】6×6×6÷4＝216÷4＝54（分米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是54分米