10.1 二元一次方程組的概念 教學(xué)設(shè)計(jì) 2024-2025學(xué)年 人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

10.1二元一次方程組的概念教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本課內(nèi)容是人教版七年級(jí)下冊(cè)第十章第一節(jié)"二元一次方程組的概念"，主要包含二元一次方程的定義、二元一次方程組的定義、二元一次方程的解與二元一次方程組的解四部分核心內(nèi)容。通過(guò)新疆采棉機(jī)租用數(shù)量問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，理解二元一次方程組的必要性，掌握相關(guān)概念的本質(zhì)特征，為后續(xù)解方程組及應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)

(1)能準(zhǔn)確識(shí)別二元一次方程及方程組，理解方程解與方程組解的異同

(2)能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二元一次方程（組）模型

(3)會(huì)檢驗(yàn)數(shù)值是否為方程或方程組的解目標(biāo)解析

通過(guò)新疆采棉機(jī)租用問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)情境，發(fā)展學(xué)生從具體問(wèn)題抽象數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，形成用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的能力。在類(lèi)比一元一次方程的過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，建立"方程思想"與"模型觀念"。通過(guò)解的特征分析，培養(yǎng)數(shù)據(jù)觀念，為后續(xù)學(xué)習(xí)方程組解法做好鋪墊。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析概念理解偏差：容易混淆"項(xiàng)的次數(shù)"與"未知數(shù)的次數(shù)"，例如將xy=模型建立困難：面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)難以準(zhǔn)確提取兩個(gè)獨(dú)立等量關(guān)系解的判斷錯(cuò)誤：對(duì)"公共解"概念理解不透徹，忽略代入兩個(gè)方程驗(yàn)證的必要性應(yīng)用意識(shí)薄弱：不理解建立二元方程組的優(yōu)越性，缺乏多角度分析問(wèn)題的意識(shí)四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情景引入問(wèn)題1某果園需要采收800kg蘋(píng)果，現(xiàn)有兩種采收方案：

方案A：全部用大型采收機(jī)，每臺(tái)每小時(shí)采收50kg

方案B：混合使用大、小型采收機(jī)，其中小型機(jī)每臺(tái)每小時(shí)采收30kg

若同時(shí)租用兩種機(jī)器共15臺(tái)，1小時(shí)完成任務(wù)，每種機(jī)器各需多少臺(tái)？問(wèn)題2如果只設(shè)一個(gè)未知數(shù)（如大型機(jī)臺(tái)數(shù)x），如何列方程？

學(xué)生嘗試：設(shè)大型機(jī)x臺(tái)，則小型機(jī)(15-x)臺(tái)

方程：50x+3015?x=問(wèn)題3若直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)（大型機(jī)x臺(tái)，小型機(jī)y臺(tái)），如何列方程？

學(xué)生得出：

x設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)產(chǎn)生矛盾的問(wèn)題情境，引發(fā)認(rèn)知沖突，直觀體會(huì)引入兩個(gè)未知數(shù)的必要性。對(duì)比一元與二元方程組的差異，滲透建模思想，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)。（二）合作探究1探究1：二元一次方程的特征

展示方程：

①x+y=15

②50x+30y追問(wèn)1哪些方程具有共同特征？試歸納特征

學(xué)生活動(dòng)：對(duì)比分析得出含有兩個(gè)未知數(shù)未知數(shù)次數(shù)都是1整式方程追問(wèn)2方程③xy=24是否滿(mǎn)足條件？為什么？

關(guān)鍵點(diǎn)：形成概念

二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)對(duì)比辨析突破概念難點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)"項(xiàng)的次數(shù)"而非"未知數(shù)的次數(shù)"，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)。（三）鞏固練習(xí)1判斷方程類(lèi)型：

(1)3x?2y=5→非整式（排除）

(2)x+y若方程m?2xmm?1=1→mn（四）合作探究2探究2：二元一次方程組的定義

展示方程組：

A.x+y=5y=追問(wèn)1哪些屬于二元一次方程組？為什么？

關(guān)鍵點(diǎn)：整體含有兩個(gè)未知數(shù)每個(gè)方程都是整式各方程次數(shù)均為1研究3方程組x=1y設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)正反例辨析，理解"方程組整體"的約束條件，突破"每個(gè)方程必須都含兩個(gè)未知數(shù)"的誤區(qū)，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)。（五）典例分析例1某校組織籃球聯(lián)賽，勝場(chǎng)得2分，負(fù)場(chǎng)得1分。某隊(duì)比賽10場(chǎng)得16分，求勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)建模過(guò)程：

設(shè)勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)

x解的尋找：

通過(guò)枚舉法嘗試解：

x=6,y=4時(shí)，2×6+4=16設(shè)計(jì)意圖

示范從實(shí)際問(wèn)題抽象方程組的過(guò)程，滲透模型觀念，對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)。（六）鞏固練習(xí)某車(chē)間每天生產(chǎn)螺釘和螺母，1個(gè)螺釘配2個(gè)螺母。若每天生產(chǎn)螺釘x個(gè)，螺母y個(gè)，列出方程→y已知x=2y=k檢測(cè)方程組解：x+y=5（七）歸納總結(jié)概念要點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)二元一次方程兩未知數(shù)·次數(shù)1·整式xy=二元一次方程組整體兩未知數(shù)·各方程次數(shù)1不要求每方程都含兩元方程的解使方程成立的數(shù)值對(duì)需同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程（八）感受中考(2023·北京)方程組x+y=52x?y=4的解是（C）

(2023·廣州)已知方程2x+y=?的一個(gè)解是x=2(2023·成都)下列是二元一次方程組的是（D）

A.x2+y=3y=2B.(2023·重慶)根據(jù)對(duì)話(huà)列方程組：

小明："買(mǎi)3支鉛筆、2塊橡皮花11元"

小華："買(mǎi)同款1支鉛筆、1塊橡皮花4元"

方程組：3x（九）小結(jié)梳理知識(shí)模塊相互關(guān)系應(yīng)用場(chǎng)景方程定義識(shí)別方程組類(lèi)型的基礎(chǔ)概念辨析題方程組建模連接實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)的橋梁應(yīng)用題列式解的特征驗(yàn)證解題正確性的依據(jù)解的檢驗(yàn)與選擇（十）布置作業(yè)必做題教材P90習(xí)題1-3列出雞兔同籠問(wèn)題的方程組：

頭數(shù)：x+y選做題研究古代數(shù)學(xué)問(wèn)題："九章算術(shù)"中"二馬一牛"問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)二元一次方程組的現(xiàn)實(shí)情境五、教學(xué)反思（此處留空供課后填寫(xiě)）附：板書(shū)設(shè)計(jì)10.1二元一次方程組的概念一、定義體系二元一次方程：兩未知數(shù)·次數(shù)1·整式?示例：3