全國(guó)青年教師觀摩大賽數(shù)學(xué)賽課一等獎(jiǎng)作品教學(xué)設(shè)計(jì)模板（一）

全國(guó)青年教師觀摩大賽數(shù)學(xué)賽課一等獎(jiǎng)作品

教學(xué)設(shè)計(jì)精品模板（一）

目錄

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“全國(guó)青年教減摩大藏學(xué)褰課■愚作品傭二分法舫程的近蟠》臧嬲doc

全國(guó)青年剃覦度大襄教學(xué)褰保一等到幅《醐函豺搬說(shuō)加oc

9.6空間向量的夾角和距離公式

南昌大學(xué)附屬中學(xué)高

瑩

三維目標(biāo)：

知識(shí)與技能：1.使學(xué)生知道如何建立空間直角坐標(biāo)系，掌握向量的長(zhǎng)度

公式、

夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并會(huì)用這

些公式

解決有關(guān)問(wèn)題；

2被學(xué)生經(jīng)歷對(duì)從生活中如何抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，從

而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

過(guò)程與方法：通過(guò)采用啟發(fā)探究、講練結(jié)合、分組討論等教學(xué)方法使

學(xué)生在積極活躍的思維過(guò)程中，從“懂”到“會(huì)”到“悟”.

情感、態(tài)度和價(jià)值觀：1.通過(guò)自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生

的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；

2.通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會(huì)

數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的習(xí)慣和熱情.

教學(xué)重點(diǎn)：夾角公式、距離公式.

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)模型的建立.

關(guān)鍵：將生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確

寫(xiě)出空間向量的坐標(biāo).

教具準(zhǔn)備：多媒體投影，實(shí)物投影儀.

教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入

2008年5月16日，南昌可以說(shuō)是萬(wàn)人空巷，大家都把自己的愛(ài)國(guó)熱情聚集在

圣火的傳遞上，讓我們值得驕傲的是火炬?zhèn)鬟f中的一站就是我們的南昌大學(xué)，其

中途經(jīng)我市雄偉而壯觀的生米大橋，為記錄傳遞過(guò)程，我校派了小記者在船上進(jìn)

行全景拍攝，出現(xiàn)了這么一個(gè)問(wèn)題.

引例:在離江面高30米的大橋上，火炬手由東向西以2m/s的速度前進(jìn)，小船以

1m/s的速度由南向北勻速行駛，現(xiàn)在火炬手在橋上％點(diǎn)以東30米的G點(diǎn)處，

小船在水平。點(diǎn)以南方向30米的A處（其中。刀，水面）

求（1）6s后火炬手與小船的距離？

（2）此時(shí)的視線(xiàn)與開(kāi)始時(shí)的視線(xiàn)所成角的余弦值?

（不考慮火炬手與小船本身的大?。?

今天我們從另一個(gè)角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題.

分析:建立數(shù)學(xué)模型

問(wèn)題（1）轉(zhuǎn)化為:如何求空間中兩點(diǎn)間的距離？

問(wèn)題（2）轉(zhuǎn)化為：如何求空間中兩條直線(xiàn)所成角的余弦值?

1、空間兩點(diǎn)間的距離公式

已知：A（X，X，Z|），8@2，%，22）,則

AB=（x2-xi,y2-yl,z2-zt）

網(wǎng)=NABAB="（/-療+⑴-川+仁一力

^A.B=V（X2-X1）2+（%一丁1）-+（Z2—4）一

2、夾角公式

設(shè)。=（4%，4）,6=（%2，%，22），

則a=O4,b=0B

.a*h

cos<a,b

2+yj+zj^x^+y^+z^

（二）例題示范，形成技能

例1：在離江面高30米的大橋上，火炬手由東向西以2m/s的速度前進(jìn)，小船以

1m/s的速度由南向北勻速行駛，現(xiàn)在火炬手在橋上2點(diǎn)以東30米的G點(diǎn)處，

小船在水平。點(diǎn)以南方向30米的A處（其中OQ，水面）

求（1）6s后火炬手與小船的距離？

（2）此時(shí)的視線(xiàn)與開(kāi)始時(shí)的視線(xiàn)所成角的余弦值?

（不考慮火炬手與小船本身的大?。?

解：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則A（30,0,0），G（0,30,30）

M（0,18,30）,N（24,0,0）；

(1)|w|=^242+(-18)2+(-30)2

=30\f2m

(2)W=(24,-18,-30),AC,=(-30,30,30).

MN?AC、

cos〈MN,AC)

|M/V|-|AC,|

24x(-30)+(-18)x30+(-30)x30_2m

30A/2xJ(-30『+3()2+3025

此題所求的是空間兩條直線(xiàn)所成角的余弦值，而不是兩個(gè)空間向量夾角的

余弦值，兩者有什么區(qū)別？我們又如何轉(zhuǎn)化為本題的結(jié)論?

（三）學(xué)生互動(dòng)鞏固提高

變式訓(xùn)練:實(shí)際上,我們剛剛就是在一個(gè)正方體中討論兩點(diǎn)間的距離，兩條直線(xiàn)

所成的角，而在正方體中還有許多的點(diǎn)與線(xiàn),

例2：（1）若G為MN的中點(diǎn)，求G3兩點(diǎn)間的距離.

（2）若耳耳=〃￡=竽，求88與。耳所成的角的余弦值.

(D解：設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為G(x,y,z),則

DG=1(DM-9

=l[(O,18，M24]

=(12,9,)1.

G(12,9,)1B(,30),

\GB\=V182+212+152=3VH0.

⑵解:如圖，5(30,30,0),￡,30,y,30

0(0,0,0)/0,萬(wàn),30

BE,=10,-y,30=0,y,30j.

x"+30x30

BE、?DF[2___1_5____

cos〈BEi，DF)=

時(shí)Wl15>/171571717

22

請(qǐng)?jiān)谏厦胬}的基礎(chǔ)上,各編一個(gè)關(guān)于求夾角和距離的題目.

拓展提高:我們知道平面上到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是一條直線(xiàn),那么猜想空間

上到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)平面，我們能不能把它表示出來(lái)呢？

例3：求到M,N兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)x、y、z滿(mǎn)足的條件.

解：點(diǎn)P(品y,z)到N兩點(diǎn)距離相等,

則-MTP,

Q(X-Q)~+(y-]8)~+(z-30)

=^-24)2+(y-0)2+(z-0)2

化簡(jiǎn)，得

4x-3y-5z+54=

即到到M,N兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z)滿(mǎn)足的條件是

4元一3y-5z+54=

(四)概括提煉，總結(jié)升華

求空間兩點(diǎn)間的距離求空間兩條直線(xiàn)的夾角

(五)布置作業(yè)，探究延續(xù)

1.課本P42習(xí)題9.67.8.9.

2.請(qǐng)同學(xué)們各編寫(xiě)一道關(guān)于求夾角和距離的題目，并解答.

3.思考題：弓I例:何時(shí)小船與火炬手之間的距離最短?

（六）板書(shū)設(shè)計(jì):

§9.6空間向量的夾角和距離公式

1.兩點(diǎn)間的距離公式例題作業(yè)

2.向量的夾角公式小結(jié)

3.中點(diǎn)公式

教案說(shuō)明

一'授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

本節(jié)課是人教版第九章第六節(jié)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算之夾角和距離公式的第

一課時(shí)，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上進(jìn)

一步學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，體現(xiàn)了向量的工具性、應(yīng)用性,

滲透了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.同時(shí)它也是數(shù)學(xué)建模中很典型的一堂課，是

數(shù)學(xué)研究過(guò)程的一個(gè)縮影.

這節(jié)課希望達(dá)到以下教學(xué)目標(biāo)：

三維目標(biāo)：

知識(shí)與技能：1.使學(xué)生知道如何建立空間直角坐標(biāo)系，掌握向量的長(zhǎng)度

公式、

夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并會(huì)用這

些公式

解決有關(guān)問(wèn)題；

2.使學(xué)生經(jīng)歷對(duì)從生活中如何抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，從

而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

過(guò)程與方法：通過(guò)采用啟發(fā)探究、講練結(jié)合、分組討論等教學(xué)方法使

學(xué)生在積極活躍的思維過(guò)程中，從‘‘懂"到''會(huì)"到“悟”.

情感、態(tài)度和價(jià)值觀：1.通過(guò)自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生

的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；

2.通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會(huì)

數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的習(xí)慣和熱情.

二'學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)以及今后有何用處

在人們生活的空間中存在著大量的圖形，夾角和距離在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn),

同時(shí)它們又是立體幾何中的重要問(wèn)題，由于高二的學(xué)生已具備一定的空間想象，

但對(duì)把空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的問(wèn)題的能力有所欠缺，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生經(jīng)

歷對(duì)從生活中如何抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決

問(wèn)題的能力.

本節(jié)課是在已完成了“平面向量的數(shù)量積公式、夾角公式，空間向量的坐標(biāo)

表示，空間向量的數(shù)量積”等內(nèi)容的教學(xué)以后進(jìn)行的，它研究的是空間中夾角和

距離公式，是空間向量在立體幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是后面學(xué)習(xí)夾角和距離的基礎(chǔ)，

同時(shí)也肩負(fù)著學(xué)生用向量法處理立體幾何問(wèn)題，把對(duì)空間圖形的研究從“定性推

理”轉(zhuǎn)化為“定量計(jì)算”的任務(wù)，因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容起著承前啟后的作用.

這節(jié)課的教學(xué)，為向量在數(shù)學(xué)和物理上的綜合運(yùn)用奠定了基礎(chǔ).

三'教學(xué)診斷分析

(1)由于高二的學(xué)生已具備一定的空間想象，但對(duì)把空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的

問(wèn)題的能力有所欠缺，因此在創(chuàng)設(shè)情境中安排了實(shí)際背景材料一一奧運(yùn)火炬在南

昌的傳遞，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示來(lái)引出新知，使學(xué)生直觀的

體驗(yàn)空間中兩點(diǎn)間的距離和空間兩條直線(xiàn)所成的角，目的有以下幾點(diǎn)：①通過(guò)學(xué)

生身邊的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變枯燥的數(shù)學(xué)為有趣的數(shù)學(xué);②使學(xué)生感

悟到數(shù)學(xué)就在身邊，提高“用數(shù)學(xué)”的意識(shí);③使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出

數(shù)學(xué)“模型”過(guò)程，培養(yǎng)“建模”意識(shí).

(2)由于本節(jié)課的重點(diǎn)是夾角和距離公式，而關(guān)鍵在于如何找坐標(biāo)，學(xué)生容易

了解，因此在例題的講解上，充分的發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，盡可能的由他們說(shuō)

出點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，激發(fā)學(xué)生參與的熱情.

(3)由于高二的學(xué)生具備一定的學(xué)習(xí)能力，但在探究問(wèn)題的內(nèi)部聯(lián)系和內(nèi)在發(fā)

展上還有所欠缺，為此在例1的基礎(chǔ)上設(shè)置變式訓(xùn)練，首先將課本中的中點(diǎn)坐標(biāo)

以及求夾角的例題設(shè)計(jì)到變式訓(xùn)練中給學(xué)生以示范,再安排學(xué)生在以上的基礎(chǔ)上

自己編題，目的:①始終以例1為主線(xiàn)，貫穿下來(lái)②起到培養(yǎng)學(xué)生的合作精神以及

對(duì)掌握知識(shí)的相互補(bǔ)充作用，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生真正參與進(jìn)來(lái),

真正的自主的學(xué)習(xí).并通過(guò)投影儀充分展示學(xué)生的成果，在師生雙邊活動(dòng)的過(guò)程中

養(yǎng)成反思意識(shí)和提高有條理的表達(dá)能力，促進(jìn)學(xué)生全面和諧地發(fā)展.

將課本中求空間上到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題設(shè)計(jì)到拓展提高當(dāng)中，引

發(fā)學(xué)生的興趣，將整堂課推向高潮.

（4）利用程序框圖幫助總結(jié)求空間兩點(diǎn)間的距離與兩條直線(xiàn)所成角的步驟.

（5）為適應(yīng)不同水平的學(xué)生，作業(yè)層次有所不同，給例1設(shè)計(jì)了一問(wèn)留給學(xué)生思

考，使得整堂課一根紅線(xiàn)貫穿始終.

四、本節(jié)課的教法特點(diǎn)以及預(yù)期效果分析

1.教學(xué)方法

為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識(shí)，面向全體學(xué)生，使學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)，

各方面的能力得到進(jìn)一步的培養(yǎng).根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，本節(jié)課采用啟發(fā)探究、

講練結(jié)合，分組討論等教學(xué)方法，著重于培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力以及良

好的學(xué)習(xí)品質(zhì).

2.教學(xué)中的預(yù)期效果分析

本節(jié)課我采用現(xiàn)代化的教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，運(yùn)用已有的知識(shí)體系，創(chuàng)造性的

使用教材，一根紅線(xiàn)貫穿始終,使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)與教師引導(dǎo)相結(jié)合的教學(xué)實(shí)踐

中，從“懂”到“會(huì)”到“悟”，體會(huì)鉆研的意識(shí)，品嘗成功的喜悅，從而使學(xué)生

在積極活躍的思維過(guò)程中，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高.

《算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)》

焦作市第十一中學(xué)郭振東

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）知識(shí)目標(biāo)

使學(xué)生能準(zhǔn)確表達(dá)兩個(gè)重要不等式；理解它們成立的條件和意義；能正確運(yùn)

用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理求最值.

(2)能力目標(biāo)

通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析和提煉培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和抽象、概括能力；通過(guò)師

生間的合作交流提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和邏輯思維能力.

(3)情感目標(biāo)

讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中勤于思考,

積極探索；通過(guò)去偽存真的學(xué)習(xí)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生批判質(zhì)疑的理性思維和鍥而不舍追

求真理的精神.

【教學(xué)重點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理及應(yīng)用定理求最值.

【教學(xué)難點(diǎn)】在求最值時(shí)如何正確運(yùn)用定理.

【教學(xué)過(guò)程】

I.引言：

某人中秋節(jié)到超市買(mǎi)兩斤糖果，不巧超市的電子秤壞了，但超市還有一個(gè)不

等臂但刻度準(zhǔn)確的壞天平，于是售貨員先把糖果放在天平的左側(cè)稱(chēng)出“一斤”，

再拿出一些糖果放在天平的右側(cè)稱(chēng)出“一斤”，然后把兩次稱(chēng)出的糖果合在一起

給了他，并且解釋?zhuān)骸耙贿叾嘁贿吷?，加在一起就正?”這種稱(chēng)法準(zhǔn)確么？如果

不準(zhǔn)確，那么是稱(chēng)多了還是稱(chēng)少了？

【分析】設(shè)天平左右兩側(cè)力臂長(zhǎng)分別為4、4,兩次稱(chēng)得的糖果實(shí)際重量為工、

y則：M=4，=y"?

X+y=^-+—

/,l2

這個(gè)數(shù)比2大還是小呢？有沒(méi)有好的解決方法？請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本第9,10頁(yè)算

術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)一節(jié)的正文及例1,看看能否在課本中找到答案。同時(shí)思

考以下問(wèn)題：

問(wèn)題1.糖果給多了還是少了？你用什么知識(shí)解決了這個(gè)問(wèn)題？如何解決的？

問(wèn)題2.除定理外還有一個(gè)重要不等式，內(nèi)容是什么？它與定理有哪些相同點(diǎn)和

不同點(diǎn)？

問(wèn)題3.認(rèn)真分析例1及其證明過(guò)程，你能得到什么啟示？

n.閱讀課文，找尋答案

學(xué)生閱讀課本后回答問(wèn)題1和問(wèn)題2,引出本節(jié)知識(shí)

一.兩重要不等式

如果凡b￡R那么a2+b1、2ab

（當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃時(shí)取T號(hào)）.

定理如果a力是正數(shù)，那么小2疝

2

（當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)取“=”號(hào)）.

想一想："當(dāng)且僅當(dāng)"的含義是什么？

介紹生吆叫做。、〃的算術(shù)平均數(shù)，依叫做。、〃的幾何平均數(shù).數(shù)列

2

解釋?zhuān)簝蓚€(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的正項(xiàng)等比中項(xiàng).

m.例題精析，去偽存真

二.定理應(yīng)用

例L已知都是正數(shù)，求證：

（1）如果積砂是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2"；

（2）如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積.有最大值;S?.

回答問(wèn)題3,得出：

1.利用定理可以求解最值問(wèn)題；

2.利用定理可以求解：和一定求積的最值；積一定求和的最值.

3.利用定理求最值應(yīng)滿(mǎn)足：一正二定三相等.

指出“一正”即滿(mǎn)足定理成立的條件；“二定”即求和的最小值則積應(yīng)為定

值，求積的最大值則和應(yīng)為定值；“三相等”即要保證求出的最值可以取到.三

個(gè)條件在利用定理求最值時(shí)缺一不可.

Q1

練習(xí)1.（1）已知xwO,當(dāng)x取什么值時(shí)的值最小，最小值是多少？

（2）已知0<x<2,當(dāng)x取什么值時(shí)，x（2-x）的值最大，最大值是多少？

投影學(xué)生的解題過(guò)程，讓其他學(xué)生分析是否完整，并思考這兩個(gè)問(wèn)題是否還

有其他解法（第一個(gè)小題還可以利用第一個(gè)重要不等式；第二小題可以利用一元

二次函數(shù)的最值求法）.

練習(xí)2.下列問(wèn)題的解法是否正確，如果錯(cuò)誤請(qǐng)指出錯(cuò)誤原因.

（1）求函數(shù)y=（xwO）的值域.

X

解：y=x+—^2x—=2

xVx

函數(shù)y=的值域?yàn)椋?,+8）.

（2）求函數(shù)/=尤（3-2外,龍卜勺最大值.

3

解：0<x<—.*.3—2v>（

2

y=x（3—2x）W（x+；2x）2=（21￡）2,

函數(shù)沒(méi)有最大值.

（3）求函數(shù)丁=，X2+4+」_■,的最小值.

《+4

解：>{x2+4>0,-；1>0

VX2+4

.,.函數(shù)的最小值為2.

帶領(lǐng)學(xué)生分析：練習(xí)1錯(cuò)誤原因：忽略了自變量取負(fù)值的情況；練習(xí)2錯(cuò)

誤原因：不滿(mǎn)足和x+（3-2x）為定值；練習(xí)3錯(cuò)誤原因：7?喜不可能

VX2+4

成立.并且給出第（1）（2）小題的正確解法.

再次強(qiáng)調(diào)“一正”即滿(mǎn)足定理成立的條件；“二定”即求和的最小值則積

應(yīng)為定值，求積的最大值則和應(yīng)為定值；“三相等”即要保證求出的最值可以取

到。三個(gè)條件在利用定理求最值時(shí)要同時(shí)滿(mǎn)足，缺一不可.

IV.歸納小結(jié)，課堂延伸

要求學(xué)生回顧本節(jié)課的內(nèi)容，談?wù)動(dòng)心男┦斋@，然后教師總結(jié)

1.兩個(gè)重要不等式的內(nèi)容及成立條件是什么？

2.利用定理求最值應(yīng)滿(mǎn)足的條件有哪些？含義是什么？

作業(yè)：書(shū)面作業(yè)：課本12頁(yè)第5、6、7題.

拓展作業(yè)：借助互聯(lián)網(wǎng)了解算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；了解股

市大盤(pán)指數(shù)的含義.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（教案說(shuō)明）

河南省焦作市第十一中學(xué)郭振東

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫(huà)自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)

語(yǔ)言和有效工具；在形成人類(lèi)理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特

的、不可替代的作用；數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須

具備的一種基本素質(zhì).

因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中要以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)為根本目標(biāo)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的

基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想；使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理；使學(xué)生具有實(shí)

事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神；使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)

世界.

一.教學(xué)背景分析

1.教材的地位和作用

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理及重要不等式"+》2二2ab不僅

在證明不等式和求最值中有著廣泛的應(yīng)用，而且作為工具，在物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中

也常常看到它們的身影；在高考中，這兩個(gè)重要的不等式既可以從本身出發(fā)單獨(dú)

命題，又可以作為解答題的一個(gè)步驟，運(yùn)用相當(dāng)靈活，成為高考的一個(gè)熱點(diǎn).

2.學(xué)生情況

在本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明一些簡(jiǎn)單的不等式，已經(jīng)

具備了一定的建模能力，能夠解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題.

二.教學(xué)展開(kāi)分析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理及應(yīng)用定理求解簡(jiǎn)單的最值

問(wèn)題.

2.教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，力求達(dá)到以下三個(gè)目標(biāo)：

（1）知識(shí)目標(biāo)

使學(xué)生能準(zhǔn)確表達(dá)兩個(gè)重要不等式，理解它們成立的條件和意義；能準(zhǔn)確運(yùn)

用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理求最值.

（2）能力目標(biāo)

通過(guò)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、研討培養(yǎng)他們的自學(xué)能力和分析、解決問(wèn)題能力；通

過(guò)師生間的合作交流提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力.

（3）情感目標(biāo)

通過(guò)學(xué)生對(duì)教師給出問(wèn)題的解決，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中勤于思考，積極探索；

通過(guò)去偽存真的學(xué)習(xí)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生批判、質(zhì)疑的理性思維和鍥而不舍追求真理的

精神.

3.教學(xué)重、難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)定理及應(yīng)用定理求最值.難點(diǎn)

是理解應(yīng)用定理求最值是應(yīng)具備的三個(gè)條件一一“一正、二定、三相等”，以及

在求最值時(shí)如何正確運(yùn)用定理。

三.教學(xué)過(guò)程分析

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，我把本節(jié)課設(shè)計(jì)為以下四個(gè)環(huán)節(jié)：

1.設(shè)置情境，自學(xué)釋疑

這一環(huán)節(jié)通過(guò)設(shè)置有趣的實(shí)際問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生帶著問(wèn)題閱

讀課本，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和分析、解決問(wèn)題的能力，為他們將來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)打

下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.深化定理，例題精析

通過(guò)對(duì)定理和例1的認(rèn)真分析突出教學(xué)重點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力和

歸納、總結(jié)能力.通過(guò)師生間的合作交流，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力.

3.練習(xí)鞏固，錯(cuò)解辨析

通過(guò)這一環(huán)節(jié)突破教學(xué)難點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)利用定理求最值時(shí)必須同時(shí)滿(mǎn)足“一正、

二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可.同時(shí)通過(guò)去偽存真的學(xué)習(xí)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生批判、

質(zhì)疑的理性思維和鍥而不舍的鉆研精神與科學(xué)態(tài)度.

4.歸納小結(jié)，課堂延伸

鞏固學(xué)生已學(xué)知識(shí)，延伸數(shù)學(xué)課堂.通過(guò)實(shí)踐作業(yè)擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)容量，使

學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

四.教學(xué)診斷分析

本節(jié)課中，兩個(gè)重要不等式的內(nèi)容及其證明過(guò)程學(xué)生比較容易理解，所以我

采用學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方式培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，同時(shí)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)重要不等式的適用

范圍及等號(hào)成立的條件，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用定理求解最值問(wèn)題埋下伏筆.

課本例1實(shí)質(zhì)上給出了利用定理求解最值問(wèn)題的模板，通過(guò)學(xué)生的認(rèn)真分析

與合作交流得出利用定理求解最值時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足的三個(gè)條件一一“一正、二定、三相

等”.

如何正確地應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理求解最值問(wèn)題是本節(jié)課的教

學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn).準(zhǔn)確理解三個(gè)條件“一正、二定、三相等”是突破教學(xué)難點(diǎn)的關(guān)

鍵，為此我專(zhuān)門(mén)準(zhǔn)備了三個(gè)有針對(duì)性的練習(xí)，通過(guò)錯(cuò)解辨析進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)

用定理求最值時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足的三個(gè)條件的理解：“一正”即滿(mǎn)足定理成立的條件；“二

定”即求和的最小值時(shí)積應(yīng)為定值，求積的最大值時(shí)和應(yīng)為定值；“三相等”即

要保證不等式兩邊可以取等號(hào)，三個(gè)條件在利用定理求最值時(shí)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足，缺一

不可.

五.教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析

本節(jié)課我采用“設(shè)置疑問(wèn)，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”的科研式教學(xué)

方法啟學(xué)釋疑培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力；討論辨析形成批判性思維；應(yīng)用、拓展發(fā)

展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

在學(xué)生自整￡習(xí)與教師引導(dǎo)相結(jié)合的教學(xué)過(guò)程中，力求使學(xué)生掌握兩個(gè)重要

不等式及利用定理求解最值的方法，建立自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、

解決問(wèn)題的能力.課后利用網(wǎng)絡(luò)的信息資源進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

六.教學(xué)理念

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了我的兩個(gè)教學(xué)理念：

1.給學(xué)生提供一個(gè)充分展示自我的平臺(tái)，讓每一位學(xué)生都能得到發(fā)展.

在教學(xué)中設(shè)置不同層次的問(wèn)題，使每位學(xué)生都能通過(guò)解決問(wèn)題體會(huì)到學(xué)習(xí)過(guò)

程中的快樂(lè)，樹(shù)立起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

2.學(xué)習(xí)是為了應(yīng)用，只有緊密聯(lián)系生活的科學(xué)才是有生命力的科學(xué).

新課標(biāo)中再三強(qiáng)調(diào)要注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，課堂教學(xué)不能一味的講授理

論，要隨時(shí)隨地聯(lián)系實(shí)際，只有這樣學(xué)生才會(huì)覺(jué)得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有用，才能激發(fā)學(xué)生

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，數(shù)學(xué)課堂才能充滿(mǎn)活力和激情！

課題：隨機(jī)事件的概率（第一課時(shí)）

授課教師：賀航飛（2008年9月20日）

一、教學(xué)目標(biāo)分析：

1、知識(shí)與技能：⑴了解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵通過(guò)試驗(yàn)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性；

2、過(guò)程與方法：⑴創(chuàng)設(shè)情境，引出課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲；

⑵發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，通過(guò)拋硬幣試驗(yàn)，獲取數(shù)據(jù)，歸納總結(jié)試驗(yàn)結(jié)果，體會(huì)隨機(jī)

事件發(fā)生的隨機(jī)性和規(guī)律性，在探索中不斷提高；

⑶明確概率與頻率的區(qū)別和聯(lián)系，理解利用頻率估計(jì)概率的思想方法.

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：⑴通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦和親身試驗(yàn)來(lái)理解知識(shí)，體

會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系；

⑵培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)意識(shí)，并通過(guò)數(shù)學(xué)史實(shí)滲

透，培育學(xué)生刻苦嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)：

⑴重點(diǎn)：通過(guò)拋擲硬幣了解概率的定義、明確其與頻率的區(qū)別和聯(lián)系；

⑵難點(diǎn)：利用頻率估計(jì)概率，體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的隨機(jī)性和規(guī)律性；

三、學(xué)法與教學(xué)用具：

⑴指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件隨機(jī)性中的規(guī)律性，更深刻的理解事件

的分類(lèi)，認(rèn)識(shí)頻率，區(qū)分概率；

⑵教學(xué)用具：硬幣數(shù)十枚，表格，幻燈片，計(jì)算機(jī)及多媒體教學(xué).

四、教學(xué)基本流程：

創(chuàng)設(shè)情境、引出課題

溫故知新、鞏固練習(xí)

師生合作、共探新知

討論探究、例題演練

課堂小結(jié)、布置作業(yè)

五、教學(xué)情境設(shè)計(jì)：（第一課時(shí)）

1、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題——狄青征討儂智高

故事：北宋仁宗年間，西南蠻夷儂智高起兵作亂，大將狄青奉命征討.出征

之前，他召集將士說(shuō)：“此次作戰(zhàn)，前途未卜，只有老天知道結(jié)果.我這里有100

枚銅錢(qián)，現(xiàn)在拋到地上，如果全部正面朝上，則表明天助我軍，此戰(zhàn)必勝.”言

罷，便將銅錢(qián)拋出，100枚銅錢(qián)居然全部正面朝上！

將士聞?dòng)崳瑲g聲雷動(dòng)、士氣大振！宋軍也勢(shì)如破竹，最終全勝而歸.

2、溫故知新、承前啟后——溫習(xí)隨機(jī)事件概念：

⑴必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的?；

⑵不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件s的?；

⑶隨機(jī)事件：在條件s下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于s的?；

⑷確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)于條件s的確定事件.

討論：在生活中，有許多必然事件、不可能事件及隨機(jī)事件.你能舉出現(xiàn)實(shí)

生活中隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的實(shí)例嗎？

例1:判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？

⑴“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；

⑵“拋出一塊石塊，自由下落”；

⑶“某人射擊一次，中靶”；

（4）“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰自然融化”；

⑸''方程f+1=0有實(shí)數(shù)根”；

（6）”如果。＞方，那么a—匕＞0"；

⑺“西方新聞機(jī)構(gòu)CNN撒謊”；

⑻“從標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中，得到1號(hào)簽”。

答：根據(jù)定義，事件⑴、⑵、⑹是必然事件；事件⑷、⑸是不可能事件；事

件⑶、⑺、⑻是隨機(jī)事件.

?頻數(shù)與頻率:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),

稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例

fn（A）=%為事件A出現(xiàn)的頻率.

n

討論：隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件頻率的取值范圍？

答：必然事件出現(xiàn)的頻率為1,不可能事件出現(xiàn)的頻率為0,隨機(jī)事件出現(xiàn)

的頻率介于0和1之間.

3、師生合作，共探新知一一拋擲硬幣試驗(yàn)：

?試驗(yàn)步驟：（全班共48位同學(xué)，小組合作學(xué)習(xí)）

第一步，個(gè)人試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)：全班分成兩大組，每大組分成六小組，每小

組四人，前三排每人試驗(yàn)15次，后三排每人試驗(yàn)10次；

第二步，小組統(tǒng)計(jì)，上報(bào)數(shù)據(jù)：每小組輪流將試驗(yàn)結(jié)果匯報(bào)給老師；

第三步，班級(jí)統(tǒng)計(jì)，分析數(shù)據(jù)：利用EXCEL軟件分析拋擲硬幣“正面朝上”

的頻率分布情況，并利用計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣試驗(yàn)說(shuō)明問(wèn)題;

組另U第一大組第二大組

小組正面朝上次數(shù)正面朝上比例正面朝上次數(shù)正面朝上比例

1

2

3

4

5

6

合計(jì)

第四步，數(shù)據(jù)匯總，統(tǒng)計(jì)“正面朝上”次數(shù)的頻數(shù)及頻率；

第五步，對(duì)比研究，探討“正面朝上”的規(guī)律性.（教師引導(dǎo)、學(xué)生歸納）

①隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，硬幣“正面朝上”的頻率穩(wěn)定在0.5附近；

②拋擲相同次數(shù)的硬幣，硬幣“正面朝上”的頻率不是一成不變的。

（在試驗(yàn)分析過(guò)程中，由學(xué)生歸納出來(lái)）

提問(wèn)：如果再做一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果還會(huì)是這樣嗎？（不會(huì)，具有隨機(jī)性）

?歷史上一些拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果.（PU2,表3-2）

正面向上的

試驗(yàn)者拋擲次數(shù)（n）頻率(―)

次數(shù)（頻數(shù)m）n

棣莫弗204810610.5181

布豐404020480.5069

費(fèi)勒1000049790.4979

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

（討論：0.5的意義，引出概率的概念.）

?概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的

頻率fn（A）穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A）,稱(chēng)為事件A的概率。

討論：事件A的概率P（A）的范圍？頻率與概率有何區(qū)別和聯(lián)系？

?頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系：（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

⑴頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)穩(wěn)定在概率附近；

⑵頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定；

⑶概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)。

?討論：研究隨機(jī)事件的概率有何意義?

任何事件的概率是0~1之間的一個(gè)確定的數(shù)，它度量該事情發(fā)生的可能性。

小概率事件很少發(fā)生，而大概率事件則經(jīng)常發(fā)生。知道隨機(jī)事件的概率有利于我

們作出正確的決策。（例子）

?數(shù)學(xué)思想方法點(diǎn)撥一一如何求隨機(jī)事件的概率？

通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，利用頻率估計(jì)概率。

例子：天氣預(yù)報(bào)、保險(xiǎn)業(yè)、博彩業(yè)等。

4、參考例題及課后練習(xí)：

例2：做同時(shí)擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，觀察試驗(yàn)結(jié)果：

⑴試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有幾種？分別把它們表示出來(lái)。

⑵做100次試驗(yàn)，每種結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)、頻率各是多少？

重復(fù)⑵的操作，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？你能估計(jì)“兩個(gè)正面朝上”的概率嗎？

（利用計(jì)算機(jī)模擬擲兩次硬幣試驗(yàn)，說(shuō)明問(wèn)題）

照應(yīng)：通過(guò)模擬試驗(yàn)，我們知道拋兩枚硬幣，得到“兩個(gè)正面朝上”的概率

為0.25,那狄青拋100個(gè)銅錢(qián)都正面朝上，這種事情你敢相信嗎？

揭示謎底：狄青所拋銅錢(qián)正面朝上是必然事件，而不是隨機(jī)事件，因?yàn)樗?/p>

拋的銅錢(qián)正反兩面是相同的。

備用練習(xí)：P113,練習(xí)題第2題（利用計(jì)算機(jī)模擬擲骰子試驗(yàn)）

5、課堂小結(jié)一知識(shí)內(nèi)容：⑴隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵概率的定義及其與頻率的區(qū)別和聯(lián)系，體會(huì)隨機(jī)事件的隨機(jī)性與規(guī)律性。

?思想方法：利用頻率（統(tǒng)計(jì)規(guī)律）估計(jì)概率.

6、課后任務(wù)：

（必做）如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為0.001,那么買(mǎi)1000張彩票一定能中獎(jiǎng)

嗎？試論述中獎(jiǎng)概率為0.001的含義。（要求突出頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系）

（選做）試求上題中，買(mǎi)1000張彩票都不中獎(jiǎng)的概率？

六、教學(xué)反思（參評(píng)教師課后討論——網(wǎng)絡(luò)教研）：

?觀課教師的課后評(píng)析（2008年4月30日海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽）

（注：以下內(nèi)容來(lái)自數(shù)學(xué)教育交流站，錄像課為2008年9月20日在演播大廳重拍）

/index/1000026.jspx?articleld=1469267

2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇

?13.評(píng)：2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇,2008-04-3018:16:00,疝1

賀航飛老師這節(jié)課應(yīng)該說(shuō)上得非常完整非常精彩，在《十面埋伏》的音樂(lè)背景中引入一個(gè)傳

說(shuō)故事，也引起了學(xué)生的好奇和興趣。教學(xué)中一環(huán)扣一環(huán)，使得學(xué)生不斷的開(kāi)發(fā)智力，只是

板書(shū)少了些。這個(gè)過(guò)程明確目的，強(qiáng)調(diào)重難點(diǎn)，非常順暢的完成這個(gè)課時(shí)的教學(xué)。

?33.評(píng)：2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇,2008-04-3020:03:00,選搔性失明

1,海南中學(xué)，賀航飛老師."隨機(jī)事件的概率"最難上，所有上過(guò)該課的老師都有體會(huì)，我

認(rèn)為賀老師做得很好，詳略得當(dāng)，重點(diǎn)突出，趣味靈動(dòng)；對(duì)概率的定義，處理很到位，從直

觀到理性，細(xì)膩有味，凸顯了數(shù)學(xué)思想方法。我提倡上這樣的數(shù)學(xué)課。

?95.評(píng)：2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇,2008-05-0100:36:0。，刀

最后的賀選手整節(jié)課把握的不錯(cuò)，不論是開(kāi)局，過(guò)程，結(jié)尾；還是思想，教法都顯得渾然一

體，完美。特別是結(jié)尾，此次比賽前面許多選手把握不到火候，硬給羅老師喊“?！薄?/p>

但有一細(xì)節(jié)請(qǐng)教，我看到課前他將一椅子讓學(xué)生放在前幾行的中間，是否另有妙招還沒(méi)展

示？

?103.評(píng)：2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇,2008-05-0109:54:00,我也評(píng)評(píng)

首先，我是一個(gè)高級(jí)教師，非常欣賞賀老師，課堂設(shè)計(jì)非常漂亮，執(zhí)行得也非常好，特別是

分組試驗(yàn)設(shè)計(jì)得很好，否則這節(jié)課很難完成教學(xué)任務(wù)。但我也有幾個(gè)問(wèn)題要問(wèn)賀老師，第一，

你怎么看幾何概型？第二，教材中利用頻率估計(jì)概率這種提法，我覺(jué)得很別扭，你怎么看。

?141.評(píng)：2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇,2008-05-0123:03:00,鵬儀

三亞港中有一位年青教師給我遞紙條：“隨機(jī)事件的概率范圍是(0,1)這樣的話(huà)經(jīng)常出現(xiàn)在

許多數(shù)學(xué)教師口中，這原本就是一個(gè)錯(cuò)誤，我想請(qǐng)您在這次大賽中向一些老師糾正一下。

隨著人教試驗(yàn)版數(shù)學(xué)教科書(shū)幾何概型的引入，概率為零的事件也可能發(fā)生，而概率為1的事

件也可能不發(fā)生。也就是說(shuō)原來(lái)隨機(jī)事件概率范圍(0,1)已經(jīng)是一個(gè)錯(cuò)誤，必須隨著教材版

本的改進(jìn)而加以更正。否則我們作為數(shù)學(xué)教師的就是對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的大不敬。

不當(dāng)之處，請(qǐng)給予指正。”

這位老師提的問(wèn)題很好，大家可以討論討論。另外，比較有意思的還有幾個(gè)問(wèn)題：1,關(guān)于

零向量問(wèn)題，共線(xiàn)向量與平行向量的關(guān)系；2,復(fù)數(shù)定義問(wèn)題，虛軸與實(shí)軸定義問(wèn)題。

?144.評(píng)：2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇,2008-05-0123:15:00,鵬儀

有關(guān)數(shù)學(xué)概念的細(xì)節(jié)問(wèn)題，我們是否有必要在概念課時(shí)與學(xué)生糾纏更多？這三個(gè)問(wèn)題都是爭(zhēng)

論很久也沒(méi)有定論的，所以我的意見(jiàn)還是，高考都回避了，我們沒(méi)必要太多糾纏。從小概率

事件的定義來(lái)講，在一個(gè)圈內(nèi)投豆，豆子落到某點(diǎn)是隨機(jī)事件，但正好落到這點(diǎn)的概率為0,

有關(guān)幾何概型中出現(xiàn)的悖論，歷史上最有名的就是Buffon的悖論，所以才有后來(lái)概率論的

嚴(yán)格定義。如果為了講這個(gè)問(wèn)題，而搬出那么多歷史問(wèn)題，這樣的課堂將更加失敗。

?145.評(píng)：2008年海南省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽決賽論壇,2008-05-0123:30:00,鵬儀

關(guān)于利用頻率逼近概率問(wèn)題，這是一種非常重要的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，新課程所提倡的，隨機(jī)模

擬方法，也就是Monte-Carl。法，至于他的數(shù)學(xué)公理性，沒(méi)有人刻劃，但這個(gè)方法比較有效。

最簡(jiǎn)單的例子就是Buffon的投針問(wèn)題：平面上畫(huà)有等距離的平行線(xiàn)，平行線(xiàn)間的距離為a

(a>0),向平面任意投一枚長(zhǎng)為1(l<a)的針，試求針與平行線(xiàn)相交的概率。利用這個(gè)問(wèn)

題估計(jì)K(pi)的值。

“隨機(jī)事件的概率”教案說(shuō)明

海南省海南中學(xué)賀航飛

“隨機(jī)事件的概率”是人教A版《數(shù)學(xué)必修3》第三章第一節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)

課是其中的第一課時(shí).課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不

確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別”.并指

出：“概率教學(xué)的核心問(wèn)題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義”.要求“教師應(yīng)

通過(guò)日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)，正確理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確

定性及其頻率的穩(wěn)定性，并嘗試澄清日常生活遇到的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).”根據(jù)課程

標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合教材實(shí)際，我將從背景分析、目標(biāo)定位、教法學(xué)法、教學(xué)設(shè)想、

教學(xué)評(píng)價(jià)等五個(gè)方面對(duì)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行說(shuō)明.

一、背景分析

1.教材分析：

相對(duì)于傳統(tǒng)的代數(shù)、幾何而言，概率論形成較晚，其定義方式新穎獨(dú)特，具

有不確定性，這是理解概率的難點(diǎn)所在.新教材在教學(xué)內(nèi)容的編排上，采用了模

塊化、螺旋上升的方式.本節(jié)課就是在學(xué)習(xí)了“隨機(jī)抽樣”、“用樣本估計(jì)總體”

等統(tǒng)計(jì)知識(shí)的基礎(chǔ)上展開(kāi)對(duì)概率的研究的一一利用頻率估計(jì)概率，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)

較大時(shí)，頻率漸趨穩(wěn)定的那個(gè)常數(shù)就叫概率.本節(jié)課的學(xué)習(xí)，將為后面學(xué)習(xí)古典

概型、幾何概型、條件概率等打下基礎(chǔ).因此，我認(rèn)為“通過(guò)拋擲硬幣了解概率

的定義、明確其與頻率的區(qū)別和聯(lián)系”是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)；

2.學(xué)情分析：

學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了概率初步，對(duì)頻率與概率的關(guān)聯(lián)有一定的認(rèn)識(shí)，但他

們不知道如何利用頻率去估計(jì)概率，這是教學(xué)中的一大難點(diǎn)；另外，隨機(jī)事件發(fā)

生的隨機(jī)性和規(guī)律性是如何辯證統(tǒng)一的，這是教學(xué)中的又一大難點(diǎn).

二、目標(biāo)定位

1、知識(shí)與技能目標(biāo)：⑴了解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵通過(guò)試驗(yàn)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性；

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：⑴創(chuàng)設(shè)情境，引出課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲；

⑵發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，通過(guò)拋硬幣試驗(yàn)，獲取數(shù)據(jù)，歸納總結(jié)試驗(yàn)結(jié)果，體會(huì)隨機(jī)

事件發(fā)生的隨機(jī)性和規(guī)律性，在探索中不斷提高；

⑶明確概率與頻率的區(qū)別和聯(lián)系，理解利用頻率估計(jì)概率的思想方法.

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：⑴通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦和親身試驗(yàn)來(lái)理解知識(shí)，

體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系；

⑵培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物觀，增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)意識(shí)，并通過(guò)數(shù)學(xué)史實(shí)滲透，培

育學(xué)生刻苦嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

三、教法學(xué)法

針對(duì)本節(jié)課的特點(diǎn)，在教法上，我采用以教師引導(dǎo)為主，學(xué)生合作探索、積

極思考為輔的探究式教學(xué)方法；在教學(xué)過(guò)程中，我注重啟發(fā)式引導(dǎo)、反饋式評(píng)價(jià),

充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，鼓勵(lì)同學(xué)們動(dòng)手試驗(yàn)，讓同學(xué)們積極主動(dòng)分享自己

的發(fā)現(xiàn)和感悟；在教學(xué)手段上，我靈活運(yùn)用黑板板書(shū)和多媒體展示，通過(guò)打擂臺(tái)

等競(jìng)賽方式，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，活躍了氣氛，加深了理解；在教學(xué)思想上，我

以建構(gòu)主義為主，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，讓學(xué)生親歷隨機(jī)事件隨機(jī)性與規(guī)律

性的發(fā)現(xiàn)之旅.

四、教學(xué)設(shè)想

歿行意畫(huà)號(hào)評(píng)述

本節(jié)課的總體設(shè)計(jì)思

創(chuàng)設(shè)情境、引出課題想是建構(gòu)主義的.

首先通過(guò)狄青將軍討

溫故知新、鞏固練習(xí)伐儂智高的傳說(shuō)，創(chuàng)設(shè)情

1境，激發(fā)興趣.

師生合作、共探新知然后回顧隨機(jī)事件、

1頻數(shù)、頻率相關(guān)概念，為

討論探究、例題演練拋擲硬幣試驗(yàn)做好準(zhǔn)備；

1高效的拋擲試驗(yàn)和富有成

課堂小結(jié)、布置作'也效的試驗(yàn)研討是本節(jié)課的

關(guān)鍵.

建構(gòu)主義要求教師通過(guò)問(wèn)題為載體，以學(xué)生活最后通過(guò)例題分析、

動(dòng)為主線(xiàn)開(kāi)展教學(xué)，尊重“受體”知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程.課堂小結(jié)，分享成長(zhǎng)體會(huì)，

達(dá)到教學(xué)目的.

1、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題一一狄青征討儂智高

數(shù)學(xué)過(guò)整歿花意畫(huà)號(hào)評(píng)述

音樂(lè)（十面埋伏）本節(jié)課的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)

故事：北宋仁宗年間，西南蠻夷儂智高起兵作單，學(xué)生在初中已經(jīng)有所

舌L,大將狄青奉命征討.出征之前，他召集將士說(shuō)：涉及，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)

“此次作戰(zhàn)，前途未卜，只有老天知道結(jié)果.我這習(xí)興趣、主動(dòng)參與課堂，

里有100枚銅錢(qián)，現(xiàn)在拋到地上，如果全部正面朝是教學(xué)的一大難點(diǎn).

上，則表明天助我軍，此戰(zhàn)必勝言罷，便將銅說(shuō)書(shū)形式評(píng)講狄青將

錢(qián)拋出，100枚銅錢(qián)居然全部正面朝上！軍討伐儂智高的傳說(shuō)，能

將士聞?dòng)?，歡聲雷動(dòng)、士氣大振！宋軍也勢(shì)如夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

破竹，最終全勝而歸.調(diào)動(dòng)聽(tīng)課者情緒，以飽滿(mǎn)

的精神參與課堂.

2、溫故知新、承前啟后——進(jìn)一步認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件、頻率:

數(shù)學(xué)過(guò)程世材意囹號(hào)評(píng)述

2.1復(fù)習(xí)隨機(jī)事件概念

⑴必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，由于是章節(jié)的第一課

叫相對(duì)于條件S的必然事件；時(shí)，又涉及到全新概念，

⑵不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的本節(jié)課有許多枝節(jié)內(nèi)容需

事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；要介紹，頗顯繁瑣.在課

⑶隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)堂中如何組織這部分內(nèi)容

生的事件，叫相對(duì)于s的隨機(jī)事件；的教學(xué)，考驗(yàn)了教師教學(xué)

⑷確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相的基本功.

對(duì)于條件S的確定事件.

2.2討論：在生活中，有許多必然事件、不可對(duì)隨機(jī)事件的概念，

能事件及隨機(jī)事件.你能舉出現(xiàn)實(shí)生活中隨機(jī)事筆者直接利用多媒體展示

件、必然事件、不可能事件的實(shí)例嗎？出來(lái)，重點(diǎn)放在對(duì)生活中

隨機(jī)事件的討論上，調(diào)動(dòng)

2.3例1：判斷下列事件哪些是必然事件，哪些了同學(xué)們的積極性，活躍

是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？了氣氛.在實(shí)際教學(xué)中，

⑴“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；學(xué)生總能想到一些奇特的

⑵''拋出一塊石塊，自由下落”；例子，生動(dòng)活潑，出人意

⑶“某人射擊一次，中靶”；料.

⑷“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰自

然融化”；

第一個(gè)例題，鼓勵(lì)同

（5）“方程V+1=0有實(shí)數(shù)根”；

學(xué)們搶答，或輪流回答，

（6）“如果”>。，那么a-b>0”；突出參與意識(shí).

⑺“西方新聞機(jī)構(gòu)CNN撒謊”；

⑻“從標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽

中，得至U1號(hào)簽

答：事件⑴、⑵、⑹是必然事件；事件⑷、⑸

是不可能事件；事件⑶、（7）、⑻是隨機(jī)事件.

2.4頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次復(fù)習(xí)頻率概念，為理

試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事解概率概念及“利用頻率

件A出現(xiàn)的次數(shù)以為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);稱(chēng)事件A估計(jì)概率”的思想方法創(chuàng)

造條件.

出現(xiàn)的比例fn（A）=也為事件A出現(xiàn)的頻率.

n

2.5提問(wèn)：隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件加深對(duì)隨機(jī)事件的理

頻率的取值范圍？