安徽省合肥市第四十六中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷

-2025安徽合肥包河四十六中八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)卷2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A. B.C D.3.下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段不能構(gòu)成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，4.下列計算正確的是（）A. B.C. D.5.用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（）A. B. C. D.6.如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值為（）A. B. C. D.7.已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n（m＜n），過銳角頂點把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則（）A.m2+2mn+n2=0 B.m2﹣2mn+n2=0 C.m2+2mn﹣n2=0 D.m2﹣2mn﹣n2=08.隨著“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越來越大，紛紛到了入學(xué)年齡，某校2022年學(xué)生數(shù)比2021年增長了，2023年新學(xué)期開學(xué)統(tǒng)計，該校學(xué)生數(shù)又比2022年增長了，設(shè)2022、2023這兩年該校學(xué)生數(shù)平均增長率為，則滿足的方程是（）A. B.C. D.9.對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（）A.只有①② B.只有①③④ C.只有②③ D.只有①②④10.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，矩形就是由兩個這樣的圖形拼成（無重疊、無縫隙）．下面給出的條件中，一定能求出矩形面積的是（）A.與的積 B.與的積C.與的積 D.與的積二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11.若二次根式有意義，則x取值范圍是_____．12.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為_____．13.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后_____．14.如圖，一圓柱高，底面半徑是，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點爬到點，圓周率取近似值3，則螞蟻爬行路線的最短路徑長為_____．15.已知等腰的一條邊為7，其余兩邊的邊長恰好是方程的兩個根，則m的值是_____．16.如圖，已知在中，，，，是上的一點，，點從點出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度向右運動．設(shè)點的運動時間為．連接．（1）當(dāng)秒時，求_____．（2）過點作于點．在點的運動過程中，當(dāng)_____時，能使．三、解答題（本題共6小題，共52分）17.（1）計算：；（2）解方程：．18.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長均為1．（1）圖1中畫出線段，要求．（2）在圖2網(wǎng)格中面出一個腰長為且面積為5的等腰．19.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有兩個不相等的正整數(shù)解，求整數(shù)的值．20.閱讀下面材料：將邊長分別為的正方形面積分別記為．則例如：當(dāng)時，根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當(dāng)時，_____；（2）當(dāng)時，把邊長為的正方形面積記作，其中是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當(dāng)時，令，且，求的值．21.某商場新建一個三層停車樓，每一層布局如圖所示．已知每層長為米，寬米．陰影部分設(shè)計為停車位，地面需要噴漆，其余部分是等寬的通道，已知噴漆面積為平方米．

（1）求通道的寬是多少米？（2）據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個車位的月租金為元時，可以租出個車位，為了提高收入，公司經(jīng)理決定，每多租一個車位，相應(yīng)的每個車位的月租金可以減少元，當(dāng)租出多少個車位時，商場的月租金收入為元？22.如圖，中，，于點，，分別交于點、．（1）如圖1，若，求的長度；（2）如圖2，若，，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．四．附加題（滿分5分，答對計入總分，但滿分不超過100分）23.已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值為_________．

2024-2025安徽合肥包河四十六中八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)卷2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，逐一判斷選項，即可得到答案．【詳解】A.=，該選項不符合題意，B.是最簡二次根式，該選項符合題意，C.=，該選項不符合題意，D.=2，該選項不符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念，是解題的關(guān)鍵．2.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”，根據(jù)一元二次方程的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．該方程符合一元二次方程的定義，符合題意；B．該方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；C．該方程不是整式方程，不符合題意；D．該方程中，當(dāng)時，不是一元二次方程，不符合題意；故選：A．3.下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段不能構(gòu)成直角三角形的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理依次判斷即可，求出兩條短邊的平方和等于最長邊的平方．【詳解】A、，故是直角三角形，不符合題意；B、，故是直角三角形，不符合題意；C、，故是直角三角形，不符合題意；D、，故不是直角三角形，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．4.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的四則運算，化簡二次根式，根據(jù)二次根式的四則運算法則和化簡法則求出對應(yīng)選項中式子的值即可得到答案．【詳解】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；B、與不是同類二次根式，不是合并，原式計算錯誤，不符合題意；C、，原式計算錯誤，不符合題意；D、，原式計算正確，符合題意；故選：D．5.用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：方程，整理，得，配方得，，即，故選：C．6.如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了數(shù)軸與實數(shù)及勾股定理．根據(jù)圖示，可得：點A是以為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點，再根據(jù)兩點間的距離的求法，求出a的值為多少即可．【詳解】解：由勾股定理得：，∴，∴點A是以為圓心，以為半徑圓與數(shù)軸的交點，且在左側(cè)，∴．故選：B．7.已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n（m＜n），過銳角頂點把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則（）A.m2+2mn+n2=0 B.m2﹣2mn+n2=0 C.m2+2mn﹣n2=0 D.m2﹣2mn﹣n2=0【答案】C【解析】【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解【詳解】解：m2+m2=（n﹣m）2，2m2=n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2=0．故選C.8.隨著“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越來越大，紛紛到了入學(xué)年齡，某校2022年學(xué)生數(shù)比2021年增長了，2023年新學(xué)期開學(xué)統(tǒng)計，該校學(xué)生數(shù)又比2022年增長了，設(shè)2022、2023這兩年該校學(xué)生數(shù)平均增長率為，則滿足的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，設(shè)這兩年該校學(xué)生數(shù)平均增長率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)這兩年該校學(xué)生數(shù)平均增長率為，列方程為，故選：C．9.對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則，其中正確的（）A.只有①② B.只有①③④ C.只有②③ D.只有①②④【答案】D【解析】【分析】本題考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵，按照方程的解的含義，一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式對各選項分別討論，即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)時，，那么一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根，此時成立，那么①一定正確；②方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，那么，故方程必有兩個不相等的實數(shù)根，進而推斷出②正確；③由是方程的一個根，得，當(dāng)，則，當(dāng)，則不一定等于0，那么③不一定正確；④，由，得，由是一元二次方程的根，則成立，那么④正確．綜上所述：說法正確的有①②④，故選：D．10.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，矩形就是由兩個這樣的圖形拼成（無重疊、無縫隙）．下面給出的條件中，一定能求出矩形面積的是（）A.與的積 B.與的積C.與的積 D.與的積【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理的證明，一元二次方程的運用，根據(jù)圖形得到關(guān)于的方程，并用整體代入思想解答是解題關(guān)鍵．欲求矩形的面積，則求出小正方形的邊長即可，可設(shè)小正方形的邊長為，設(shè)，，在中，利用勾股定理建立關(guān)于的方程，利用整體代入思想解決問題，從而求出矩形的面積．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為，設(shè)，，則，，，在中，，即，整理得：，矩形的面積為：，矩形的面積為，一定能求出矩形面積的是與的積，故選：A．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11.若二次根式有意義，則x的取值范圍是_____．【答案】x≥1【解析】【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)可知，被開方數(shù)大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案為：x≥1．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)大于等于0．12.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根分別為x1，x2，則的值為_____．【答案】－2【解析】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，代入到原式＝計算可得．【詳解】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根分別為x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，則原式＝＝﹣2，故答案為：﹣2．【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．13.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后_____．【答案】##【解析】【分析】利用數(shù)軸確定a的取值范圍，然后結(jié)合二次根式的性質(zhì)及整式加減運算法則進行化簡求解．【詳解】解：由題意可得，∴，，原式，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的化簡，整式的加減運算，理解二次根式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．14.如圖，一圓柱高，底面半徑是，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點爬到點，圓周率取近似值3，則螞蟻爬行路線的最短路徑長為_____．【答案】##厘米【解析】【分析】本題考查了勾股定理與最短路徑問題，將圓柱展開為長方形，利用勾股定理求對角線的長即為最短路徑的長．先畫出圓柱展開圖形，最短路程是的長，是底面圓周長的一半，據(jù)此根據(jù)勾股定理計算求解即可．【詳解】解：如圖所示，將圓柱沿著高展開，由題意得，，∴由勾股定理得：，∴螞蟻爬行路線的最短路徑長為，故答案為：．15.已知等腰的一條邊為7，其余兩邊的邊長恰好是方程的兩個根，則m的值是_____．【答案】4【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，當(dāng)腰長為7時，是方程的一個根，當(dāng)?shù)走呴L為7時，則方程有兩個相等的實數(shù)根，據(jù)此分別求出兩種情況下m的值，再求出方程對應(yīng)的根，最后根據(jù)構(gòu)成三角形的條件求解即可．【詳解】解：當(dāng)腰長為7時，則是方程的一個根，∴，解得或，當(dāng)時，由根與系數(shù)的關(guān)系可得方程的另一根為，∴此時該等腰三角形的三邊長分別為7，7，3，∵，∴此時能構(gòu)成三角形，符合題意；當(dāng)時，由根與系數(shù)的關(guān)系可得方程的另一根為，∴此時該等腰三角形的三邊長分別為7，7，15，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)?shù)走呴L為7時，則方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得方程的根為，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形，不符合題意；綜上所述，；故答案為：4．16.如圖，已知在中，，，，是上的一點，，點從點出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度向右運動．設(shè)點的運動時間為．連接．（1）當(dāng)秒時，求_____．（2）過點作于點．在點的運動過程中，當(dāng)_____時，能使．【答案】①.②.5或11【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）先求出長，再求出的長，最后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）分點P在上和點P在的延長線上，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：當(dāng)秒時，，∴，在中，由勾股定理得，故答案為：；（2）①當(dāng)點P在線段上時，如圖1所示：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，解得：；②點P在線段的延長線上時，過點D作于E，如圖2所示：同①得：，∴，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，解得：．綜上所述，在點P的運動過程中，當(dāng)t的值為5或11時，能使．故答案為：5或11．三、解答題（本題共6小題，共52分）17.（1）計算：；（2）解方程：．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本題主要考查二次根式的運算和解一元二次方程，掌握相關(guān)運算法則，靈活選用解方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）運用完全平方公式展開，再運算加減，即可作答；（2）用配方法解方程即可．詳解】解：（1）．（2），，，，解得，．18.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．（1）圖1中畫出線段，要求．（2）在圖2網(wǎng)格中面出一個腰長為且面積為5的等腰．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理和等腰三角形的判定，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理可得直角邊長為2和1的直角三角形斜邊長為，據(jù)此作圖即可（2）根據(jù)勾股定理可得直角邊長為3和1的直角三角形斜邊長為，再根據(jù)面積為5作圖即可．【小問1詳解】解：如圖所示，線段即為所求；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求．19.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有兩個不相等的正整數(shù)解，求整數(shù)的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了根的判別式．（1）先計算根的判別式的值得到，則可判斷，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理數(shù)的整除性得到，從而確定整數(shù)m的值．【小問1詳解】證明：，該方程總有兩個實數(shù)根；小問2詳解】解：，∴，，方程有兩個不相等的正整數(shù)解，∴，∴整數(shù)的值為2．20.閱讀下面材料：將邊長分別為的正方形面積分別記為．則例如：當(dāng)時，根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當(dāng)時，_____；（2）當(dāng)時，把邊長為的正方形面積記作，其中是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當(dāng)時，令，且，求的值．【答案】（1）（2）猜想結(jié)論：，證明見解析（3）【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的混合計算，與二次根式計算有關(guān)的規(guī)律探索，正確推出是解題的關(guān)鍵．（1）仿照題意利用平方差公式計算出的結(jié)果，再代值計算即可；（2）根據(jù)（1）所求結(jié)合題意得出猜想，再利用平方差公式展開證明即可；（3），據(jù)此代值計算即可．【小問1詳解】解：解：，當(dāng)，時，原式；【小問2詳解】解：猜想結(jié)論：，證明如下：；【小問3詳解】解：．21.某商場新建一個三層停車樓，每一層布局如圖所示．已知每層長為米，寬米．陰影部分設(shè)計為停車位，地面需要噴漆，其余部分是等寬的通道，已知噴漆面積為平方米．

（1）求通道的寬是多少米？（2）據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個車位的月租金為元時，可以租出個車位，為了提高收入，公司經(jīng)理決定，每多租一個車位，相應(yīng)的每個車位的月租金可以減少元，當(dāng)租出多少個車位時，商場的月租金收入為元？【答案】（1）通道的寬是3米（2）當(dāng)租出或個車位時，商場的月租金收入為元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，找出等量關(guān)系，正確列出方程．（1）設(shè)通道的寬是x米，則每一層的停車位可合成長為米，寬為米的矩形，再根據(jù)噴漆面積列出方程求解即可；（2）設(shè)多租出