第30屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽答案

v0一、（15分）一半徑為R、內(nèi)側(cè)光滑的半球面固定在地面上，開口水大小為v0(v0≠0).求滑塊在整個運動過程中可加速度大小為gv0OθP內(nèi)側(cè)運動時，可將其速度v分解成緯線切向(水平方向)分量vφ及經(jīng)線切向分量vθ.設(shè)滑塊質(zhì)量為m，在某中間狀態(tài)時，滑塊位于半球面內(nèi)側(cè)P處，P和球心O的連線與水平方向的夾角為θ.由機(jī)械能守恒得OθP這里已取球心O處為重力勢能零點.以過O的豎直線為軸.球面對滑塊的支持力通過該軸，力矩為零；重力相對于該軸的力矩也為零.所以在整個運動過程中，滑塊相對于軸的角動量守恒，故mv0R=mvφRcosθ.(2)由(1)式，最大速率應(yīng)與θ的最大值相對應(yīng)vmax而由(2)式，θ不可能達(dá)到τ/2.由(1)和(2)式，θ的最大值應(yīng)與vθ=0相對應(yīng)，即[2gRsinθ-vtan2θ=v≥0.若sinθ≠0，由上式得實際上，sinθ=0也滿足上式。由上式可知v(θmax)=2gRsinθmax-vtan2θmax=0.(4’)]vsin2θmax-2gRsinθmax(1-sin2θmax)=0.(5)以sinθmax為未知量，方程(5)的一個根是sinθ=0，即θ=0，這表是所求的解.于是sinθmax≠0.約去sinθmax，方程(52gRsin2θmax+vsinθmax-2gR=0.注意到本題中sinθ≥0，方程(6)的另一解不合題小物塊D和一質(zhì)量為αm(α為常數(shù)）的小物塊B，桿可繞通過小物塊B所在端的豎直固定轉(zhuǎn)軸），時滑塊C恰好靜止在距軸為r（r>l）處.2.若碰后物塊D、C和桿剛好做勻速轉(zhuǎn)動，求碰前滑塊A的恒由于軸對系統(tǒng)的作用力不做功，系統(tǒng)內(nèi)僅有彈力起很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結(jié)束，所以不必考慮彈性勢能的變化.故v0DvA.(3’)2mv0方向與v0方向相同.軸與桿的作用時間也為Δt，設(shè)軸對桿的作用力為F2，由質(zhì)心運動定理有方向與v0方向相同.因而，軸受到桿的作用力的沖量為方向與v0方向相反.注意：因彈簧處在拉伸狀態(tài)，碰前軸已受到沿桿方向的作用力；在碰撞過程中還有與向心力有關(guān)的力作用于軸.但有限大小的力在無限小的碰撞時間D件可見，為了使碰撞后系統(tǒng)能保持勻速轉(zhuǎn)動，碰前滑塊A的速度大小v0應(yīng)滿足(13)式.三、（25分）一質(zhì)量為m、長為L的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自由1.令λ=表示細(xì)桿質(zhì)量線密度.當(dāng)桿以角速度w繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動Ek式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù).已知在同一單位制下，兩物理量當(dāng)且僅當(dāng)其數(shù)值和單位都相等時才相等.由此求出α、β和Y的值.2.已知系統(tǒng)的動能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時隨質(zhì)心一起運動的動能和系統(tǒng)在質(zhì)心系（隨質(zhì)心平動的參考系）中的動能之和，求常數(shù)k的值.3.試求當(dāng)桿擺至與水平方向成θ角時在桿上距O點為r處的橫截面兩側(cè)部分的相互作用力.重力加速度大小為g.提示：如果X(t)是t的函數(shù)，而Y(X(t))是X(t)的函數(shù)，則Y(X(t))對t的導(dǎo)數(shù)為例如，函數(shù)cosθ(t)對自變量t的導(dǎo)數(shù)為s1.當(dāng)桿以角速度w繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，其動能是獨立變量λ、w和Ek式中，k為待定常數(shù)（單位為1）.令長度、質(zhì)量和時間的單位分別為[L]、[M]和[T]（它們可視為相互獨立的基本單位則λ、w、L和Ek的單位分別為1,在一般情形下，若[q]表示物理量q的單位，則物理量q可寫為式中，(q)表示物理量q在取單位[q]時的數(shù)值.這樣，(1)式可寫為(Ek)[Ek]=k(λ)α(w)β(L)Y[λ]α[w]β[L]Y(4)(Ek)=k(λ)α(w)β(L)Y(5)β[L]Y(6)[M][L]2[T]—2=[M]α[L]Y—α[T]—β(7)(2)式并未規(guī)定基本單位[L]、[M]和[T]的絕對大小，因而(7)式對于任意大小的[L]、[M]和[T]均EkEk=Ek,c+Ek,r(10)Ek,c注意到，桿在質(zhì)心系中的運動可視為兩根長度為的桿過其公共端（即質(zhì)心）的光滑水平軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，因而，桿在質(zhì)心系中的動能Ek,r為Ek,rλw2L3.(15)Ek設(shè)另一段對該段的切向力為T(以θ增大的方向為正方向)，法向(即與截面相垂直的方向)力為N(以指向O點方向為正向)，由質(zhì)心運動定理得T+λ(Lr)gcosθ=λ(Lr)atNλ(Lr)gsinθ=λ(Lr)an式中，at為質(zhì)心的切向加速度的大小而an為質(zhì)心的法向加速度的大小四、（20分）圖中所示的靜電機(jī)由一個半徑為R、與環(huán)境絕緣的開為m、帶電量為q的球形液滴從G緩慢地自由之前進(jìn)入容器的液體尚未充滿容器.忽度大小為g.若容器初始電勢為零，求容器可達(dá)到的最高電勢Vmax.設(shè)在某一時刻球殼形容器的電量為Q.以液式中，v為液滴在容器口的速率，k是靜電力常量.由此得液滴的動能為從上式可以看出，隨著容器電量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不斷變??；當(dāng)液滴在容器8五、（2s分）平行板電容器兩極板分別位于磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向沿x軸負(fù)方向，如圖所示.1.在電容器參考系S中只存在磁場；而在以沿y軸正方向的恒定速度(0,v,0)（這里(0,v,0)表示為沿x、y、z軸正方向的速度分量分別為0、v、0，以下類似）荷量和作用在物體上的合力在伽利略變換下不變.2.現(xiàn)在讓介電常數(shù)為ε的電中性液體（絕緣體）在平行板電容器兩極板之間勻速流動，流速大小為v，方向沿y軸正方向.在相對液體靜止的參考系（即相對于電容器運動的參考系）S,中，由于液體處在第1問所述的電場(Ex,,Ey,,Ez,)中，其正負(fù)電荷會效應(yīng)），使得液體中出現(xiàn)附加的靜電感應(yīng)電場，因而液體中總電場強(qiáng)度不再是(Ex,,Ey,,Ez,)，而是,這里ε0是真空的介電常數(shù).這將導(dǎo)致在電容器參考系S中器參考系S中電場的強(qiáng)度以及電容器上、下極板之間的電勢差.（結(jié)果用ε0、ε、v、B或（和）d表出.）1.一個帶電量為q的點電荷在電容器參考系S中的速度為(ux,uy,uz)，在運動的參考系S,中的速度yz,).在參考系S中只存在磁場(Bx,By,Bz)=(B,0,0)，因此這個點電荷在參考系S中所受zB,yBxyzyFyyxzzxyyyzx,uy,uz)(0,v,0)ExzByEyxBzzBxzB,EzxByyB它們對于任意的(ux,uy,uz)都成立，故yzy2.現(xiàn)在，電中性液體在平行板電容器兩極板之間以速度(0,v,0)勻速運動.電容器參考系S中的磁場會在液體參考系S’中產(chǎn)生由(5)式中第一個方程給出的電場.這個電場會把液體極化，使得液體中為了求出電容器參考系S中的電場，我們再次考慮電磁場的電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度在兩個參考如(2)式所示.它在電容器參考系S中的形式為FyyBzuzBy),xByuyBx)利用兩參考系中電荷、合力和速度的變換關(guān)系(3)以及(6)式，可得ExyBzuzBy=0,EyuxBz+uzBx=uzB,(8)對于任意的(ux,uy,uz)都成立，故可見，在電容器參考系S中的磁場仍為原來的磁場，現(xiàn)由于運動液體的極化，也存在電場，電場強(qiáng)度如(9)中第一式所示.注意到(9)式所示的電場為均勻電場，由它產(chǎn)生的電容器上、下極板之間的電V=-Ezd.(10)vBd.(11)一起，成為等長的平直雙金屬片.若鋼和青銅的線膨脹系數(shù)雙金屬片將自動彎成圓弧形，如圖所示.試求雙金屬片彎曲的曲率半徑設(shè)彎成的圓弧半徑為r，金屬片原長為l，圓弧Δl(T式中，d=0.20mm.對于青銅片七、（20分）一斜劈形透明介質(zhì)劈尖，尖角為θ,高為h.今以尖角頂點為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系如圖(a)所示；劈尖斜面實際上是由一系列微小臺階組成的，在圖(a)中看來，每一個小臺階的前側(cè)面與xz平面平行，上表面與yz平面平行.劈尖介質(zhì)的折射率n隨x而變化，n(x)=1+bx，其中常數(shù)b>0.一束波長為λ的單色平行光沿x軸正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透鏡，在劈尖與薄凸透鏡之間放一檔板，在檔板上刻有一系列與z方向平行、沿y方向排列的透光狹縫，如圖(b)所示.入射光的波面（即與平行入射光線垂直的平面）、劈尖底面、檔板平面都與x軸垂直，透鏡主光軸為x軸.要求通過各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點處得到加強(qiáng)而形成亮紋.已知第一條狹縫位于1.求其余各狹縫的y坐標(biāo)；2.試說明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求.xyhzθhzθO1.考慮射到劈尖上某y值處的光線，計算該光線由x=0到x=h之間的光程δ(y).將該光線在介質(zhì)中的光程記為δ1，在空氣中的光程記為δ2.介質(zhì)的折射率是不均勻的，光入射到介質(zhì)表面時，在線性增加，光線從x=0處射到x=h1（h1是劈尖上y值處光線在劈尖中傳播的距離）處的光程δ1忽略透過劈尖斜面相鄰小臺階連接處的光線（事實上，可通過選擇臺階的尺度和檔板上狹縫），δytanθ.(5)故y2tan2θ.(6)從介質(zhì)出來的光經(jīng)過狹縫后仍平行于x軸，狹縫的y值應(yīng)與對應(yīng)介質(zhì)的y值相同，這些平行光線會對于y=0處，由上式得y處與y=0處的光線的光程差為由于物像之間各光線的光程相等，故平行光線之間的光程差在通過透鏡前和會聚在透鏡焦點處時保持不變；因而(8)式在透鏡焦點處也成立.為使光線經(jīng)透鏡會聚后在焦點處彼此加強(qiáng)，要求兩束光的光程差為波長的整數(shù)倍，即cotθ=Acotθ.(10)A,2A,3A,4A,.