結(jié)構(gòu)力學II 課件 第9-12章-矩陣位移法 -結(jié)構(gòu)的極限荷載

9-1概述9-2一般桿件的單元分析9-3剛架的整體分析9-4一般荷載作用下的剛架分析9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析9-6支座移動和溫度改變時的分析9-7后處理法簡介第9章矩陣位移法第九章矩陣位移法9-1-1矩陣分析法9-1矩陣位移法概述矩陣分析法矩陣力法(柔度法)——應用少矩陣位移法(剛度法)——應用廣傳統(tǒng)位移法——手算矩陣位移法——電算原理同，實施方法不同位移法2.矩陣位移法步驟1)離散——將原結(jié)構(gòu)分離成單元(桿件)2)單元分析——建立單元桿端力與桿端位移關(guān)系3)整體分析——建立結(jié)構(gòu)結(jié)點力與結(jié)點位移關(guān)系4)再次單元分析——計算單元最終桿端力1.矩陣分析法9-1-2矩陣位移法步驟9-1矩陣位移法概述2)建立單剛方程：Fe

=ke

e

3)建立總剛方程和位移法方程并求解：F=K

,K

=P單元剛度矩陣整體剛度矩陣145263789101)離散：對單元、結(jié)點編碼

4)再次單元分析：疊加法求單元最終桿端力

9-1-3坐標系與正負號規(guī)定9-1矩陣位移法概述采用右手坐標系:(1)各個單元的坐標系——局部坐標系(2)整體結(jié)構(gòu)的坐標系——整體坐標系xy

123A(0,0,0)B(1,2,3)C(4,5,6)D(0,0,0)——結(jié)點(桿端)力、位移均沿坐標正方向為正9-1概述9-2一般等截面桿件的單元分析9-3剛架的整體分析9-4一般荷載作用下的剛架分析9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析9-6支座移動和溫度改變時的分析9-7后處理法簡介第九章矩陣位移法第9章矩陣位移法9-2-1局部坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析單元桿端位移向量單元桿端力向量圖中物理量均為正ij9-2-1局部坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析單元桿端力-桿端位移關(guān)系(e)ijl（1）（2）——局部坐標系中的單元剛度方程9-2-1局部坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析——局部坐標系中的單元剛度矩陣(1)單剛9-2-1局部坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析(2)單剛元素(單元剛度系數(shù))的物理意義(3)單剛矩陣的性質(zhì)——當?shù)?/p>

s個桿端位移分量(其他位移分量為零)時,所引起的第r個桿端力分量的值。①對稱性——反力互等定理;②奇異性——|ke|=0給定

唯一給定無確定解9-2-2整體坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析順時針桿端位移變換式：

e=T

eji(x,y)9-2-2整體坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析T1=TT——T為正交矩陣單元剛度方程：Fe=ke

e單剛變換式：——性質(zhì)不變桿端力變換式：反變換式整體坐標系中的單元剛度矩陣

e=T

T

e

Fe=TTFe

Fe=TFeke=TTkeT9-2-2整體坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析ji子塊形式（r、s=i、j）9-2-2整體坐標系下的單元剛度矩陣9-2一般等截面桿件的單元分析kije、kjje與kije相互關(guān)系：9-1概述9-2一般等截面桿件的單元分析9-3剛架的整體分析9-4一般荷載作用下的剛架分析9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析9-6支座移動和溫度改變時的分析9-7后處理法簡介第九章矩陣位移法第9章矩陣位移法9-3-1整體剛度矩陣的形成9-3剛架的整體分析整體剛度方程：

P=K

整體結(jié)點位移向量(考慮軸向變形)：

=[

1

2

3

4

5

6

7]T整體結(jié)點荷載向量：P=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]T(2)(1)(3)BADC342176500000結(jié)點位移整體碼(先處理法)xyq9-3-1整體剛度矩陣的形成9-3剛架的整體分析Ri+R'i=0P2P3P1P7P6P5P4P2P3P1P7P6P5P4R'i=-PiP=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]TP=RR'2R'3R'1R'7R'6R'5R'4荷載下約束反力R'R2R3R1R7R6R5R4所有變形產(chǎn)生的約束反力R9-3-1整體剛度矩陣的形成9-3剛架的整體分析CBAD(2)(1)(3)

5=1K55K25K35K45K15K65K75(2)(1)(3)BADC342176500000xyq結(jié)構(gòu)基本體系第j個結(jié)點位移分量

j=1(其他結(jié)點位移分量為零)時，所產(chǎn)生的i

方向約束反力。P=K

結(jié)點位移整體碼節(jié)點的約束反力9-3-2整體坐標系下的局部編碼9-3剛架的整體分析i(2)(1)ji(3)jij1

2

3

4

5

6

1

2

3

1

2

3

4

5

6

4

5

6

整體坐標系局部編碼i(2)(1)ji(3)jij1

2

3

4

5

6

2

1

3

1

2

3

5

4

6

4

5

6

局部坐標系局部編碼ke=TTk

eT9-3-3整體剛度元素確定方法9-3剛架的整體分析CBAD(2)(1)(3)K25K35K45K15

5=1K55K65K75K55K65K75C(2)ij1

2

3

4

5

6

(3)ij1

2

3

4

5

6

整體結(jié)構(gòu)位移編碼（整體編碼）桿端位移局部碼（局部編碼）1)結(jié)點平衡法（傳統(tǒng)方法，手算、校核計算）9-3-3整體剛度元素確定方法9-3剛架的整體分析2)單元集成法（計算機方法）K55K65K75C整體剛度矩陣Kij的值=各個桿件單元剛度矩陣與其物理含義對應元素值的和1）將各個桿件單元的局部編碼改寫為整體編碼，則單元剛度矩陣元素的物理意義和整體剛度矩陣元素的物理意義就能匹配。2）將單元剛度矩陣用整體編碼表示，將各個元素按照整體編碼指示的物理意義，填入和整體剛度矩陣大小和編碼一致的矩陣。3）各個單元的擴充矩陣（貢獻矩陣）求和→整體剛度矩陣。[kn'm']el6×6[kij]ClN×NK=∑[k]Cl形成各個單元的貢獻矩陣9-3-3整體剛度元素確定方法9-3剛架的整體分析(a)建立結(jié)點位移局部與整體編碼的關(guān)系—單元定位向量(b)對單剛元素換碼就位——對號入座局部編碼CxyBAD(2)(1)(3)342176500000整體坐標系整體編碼i(2)(1)ji(3)jij1

2

3

4

5

6

1

2

3

1

2

3

4

5

6

4

5

6

整體坐標系局部編碼9-3-3整體剛度元素確定方法9-3剛架的整體分析CBAD(2)(1)(3)342176500000單元貢獻矩陣9-3-3整體剛度元素確定方法9-3剛架的整體分析a)對總剛清零，K=0；b)形成整體坐標系下的單剛k(e)

；c)對各單剛元素換碼就位并累加—對號入座；d)對各單元完成上述計算，得總剛。CxyBAD(2)(1)(3)342176500000快速方法：邊定位，邊累加整體坐標系編碼9-3-4整體剛度矩陣的性質(zhì)9-3剛架的整體分析(1)元素Krs物理意義:a)對稱性;b)引入約束條件(排除剛體位移)后，K可逆;c)帶狀稀疏性?；倔w系第s個結(jié)點位移分量s=1(其他結(jié)點位移分量為零)時，所產(chǎn)生的第r個方向的約束反力。(2)整體剛度矩陣9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析P=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]TK

=P1.求解思路P2P3P1P7P6P5P4R2R3R1R7R6R5R4基本體系受結(jié)點位移作用R=PP2P3P1P7P6P5P4基本體系受荷載作用（結(jié)點荷載下內(nèi)力=0）9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析預設(shè)定整體結(jié)點力向量{P}整體剛度矩陣[K][K]N×N{D}N×1={P}N×1

{D}N×1

{D}e6×1l{F}e6×1=[T]{F}e6×1{F}e6×1=[K]e6×6{D}e6×1{D}e6×1=[T]{D

}e6×1{F}e6×1=[K]e6×1{D

}e6×1彎矩圖9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析【例9-2】試形成整體剛度矩陣，并計算在圖示荷載作用下的結(jié)點位移和桿端力，作出內(nèi)力圖CxyBAD4m3m4m18kN101.16kN9kNm45kN18kNm33kNm2.88kN23CBAD(2)(1)(3)1765400000P=[1845332.88101.169

18]T整體坐標系編碼外荷載作用9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(1)單元及結(jié)點位移編碼（共3個單元，7個結(jié)點位移）

(1)=[123000]T23CBAD(2)(1)(3)1765400000

(2)=[123456]T

(3)=[456007]T整體坐標系編碼整體坐標系局部編碼9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(2)整體坐標系下單元剛度矩陣，獲得貢獻矩陣

(1)=[123000]T單元1的剛度矩陣單元1的貢獻矩陣9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析

(2)=[123456]T(2)整體坐標系下單元剛度矩陣，獲得貢獻矩陣單元2的剛度矩陣單元2的貢獻矩陣9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析

(3)=[4

5

6007]T(2)整體坐標系下單元剛度矩陣，獲得貢獻矩陣單元3的剛度矩陣單元3的貢獻矩陣9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(3)集成整體剛度矩陣K=K(1)

+K(2)+K(3)整體剛度矩陣9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(4)求解方程

=10

5

[93.1283.7592.636-96.34280.5707.77351.926]T9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(5)整體坐標系下的桿端位移向量

=10

5

[93.1283.7592.636-96.34280.5707.77351.926]T

(1)=[123000]T

(2)=[123456]T

(3)=[456007]T

(1)=10

5

[93.1283.7592.636000]T

(2)=10

5

[93.1283.7592.636-96.34280.5707.773]T

(3)=10

5

[-96.34280.5707.7730051.926]T9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(6)局部坐標系下的桿端力向量局部坐標系下的桿端力向量9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(6)局部坐標系下的桿端力向量局部坐標系下的桿端力向量9-3-5結(jié)點荷載作用下的整體分析9-3剛架的整體分析(7)內(nèi)力圖彎矩圖（kNm）剪力圖（軸力圖）（kN）9-3-6小結(jié)9-3剛架的整體分析1）確定局部和整體坐標系，確定整體編碼。2）建立局部坐標系下的各單元剛度矩陣。（局部編碼）2）建立各單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣。3）計算整體坐標系下的各單元剛度矩陣。（局部編碼）4）利用定位向量建立各單元貢獻矩陣。（整體坐標系，整體編碼）5）所有貢獻矩陣求和，獲得整體剛度矩陣（整體編碼）7）建立方程，求解整體結(jié)點位移向量（整體坐標系，整體編碼）6）利用結(jié)點荷載建立整體結(jié)點力向量（整體坐標系，整體編碼）8）利用定位向量確定單元桿端位移向量（整體坐標系，局部編碼）9）求局部坐標系下的單元桿端位移向量（局部編碼）10）求局部坐標系下的單元桿端力向量（局部編碼）整體分析的過程9-1概述9-2一般等截面桿件的單元分析9-3剛架的整體分析9-4一般荷載作用下的剛架分析9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析9-6支座移動和溫度改變時的分析9-7后處理法簡介第九章矩陣位移法第9章矩陣位移法9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析1.結(jié)點荷載向量P2P3P1P7P6P5P4P2P3P1P7P6P5P4基本體系受荷載作用（結(jié)點荷載下內(nèi)力=0）R2R3R1R7R6R5R4基本體系受結(jié)點位移作用P=[P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7]TP=

K

R=P=K

9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析2.等效結(jié)點荷載向量

桿內(nèi)有荷載Δ1Δ2Δ3－F3P－F2P－F1PF3PF2PF1P等效結(jié)點荷載原結(jié)構(gòu)內(nèi)力=基本體系內(nèi)力+結(jié)點荷載下內(nèi)力桿件內(nèi)力=兩端固定桿內(nèi)力+桿端變形下桿件內(nèi)力9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析{P}=

{FP}=[

F1P

F2P

…

FnP]T——等效結(jié)點荷載向量等效原則——與原荷載產(chǎn)生相同的結(jié)點位移(約束力).FPq3ACB21=

ACB

F1P

②①

F2P

F3P

FPqACB②①F1P

F2P

F3P

+9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析3.{P}的計算方法1)結(jié)點平衡法——手算、校核計算

鎖定結(jié)點位移，計算單元

固端力;

由結(jié)點平衡求各附加約束力FiP

;

將約束力反號得等效結(jié)點荷載：

Pi

=

FiP

FPqACB②①F1P

F2P

F3P

節(jié)點平衡法的驗算9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析3.{P}的計算方法2)單元集成法——計算機方法FPqACB②①FP1

FP2

FP3

FPB②F1P(2)

F2P(2)

F3P(2)

AqAC①F1P(1)

F2P(1)

F3P(1)

基本結(jié)構(gòu)約束反力=∑各（兩端固定）單元對約束反力的貢獻疊加：整體坐標系，整體編碼9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析等效結(jié)點荷載向量=∑單元等效結(jié)點荷載向量

{P}

N×1=∑{P}

(i)

N×1

FjP=∑FjP(i){Pj}N×1=∑{FjP}(i)N×1

Pj

=∑FjP(i){P}

(i)

N×1=

{FjP}

N×1

(i){l}

(i)單元固端力向量9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析與{P}大小、編碼一致只反映該單元上荷載對{P}的貢獻CBA(2)(1)21θxyO42m4m2m390kN9kN/mBA9kN/m(1)18kN12kNm018kN12kNm0CB(2)90kN045kN45kNm045kN45kNm045kNm18kNB

P2

P1

P3045kN12kNm【例9-3】確定剛架的等效結(jié)點荷載向量，并用結(jié)點平衡法對前3個元素進行校核，設(shè)各桿均為等截面。剛架受荷載作用各桿件和節(jié)點的節(jié)點平衡法過程9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析CBA(2)(1)21θxyO42m4m2m390kN9kN/mBA9kN/m(1)18kN12kNm018kN12kNm0【例9-3】1'2'3'4'5'6'

(1)=[123000]T單元1的等效節(jié)點荷載9-4-1等效結(jié)點荷載向量9-4一般荷載作用下的剛架分析【例9-3】CBA(2)(1)21θxyO42m4m2m390kN9kN/mCB(2)90kN045kN45kNm045kN45kNm2'1'3'5'4'6'

(1)=[123040]TP=[18kN45kN33kNm45kN]Tp(1)=[180

1218012]Tp(2)=[04545045

45]T等效節(jié)點荷載9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析1.幾個問題的討論1)坐標系選取yxo

yxo

所有計算式均相同yxoz可推廣至：xy

xy

9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析2)結(jié)點位移局部與整體編碼CxyBAD(2)(1)(3)342176500000i(1)j1

2

3

4

5

6

(3)ij1

2

3

4

5

6

桿端位移局部碼結(jié)點桿端位移整體碼{

}(1)=[324001]T

桿端位移局部碼局部坐標系整體坐標系定位向量：{

}(1)=[234001]T

9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析3)單元固端力可查表9-1：僅兩端固定情況qBCA231654(1)(2)單元(2)固端力qBC(2)9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析2.計算步驟(7)疊加法求最后桿端力：(1)離散：單元編號，結(jié)點位移編號；(2)計算各單元，變換；(4)計算各單元的固端力和等效結(jié)點荷載；(5)集成整體等效結(jié)點荷載向量P；(3)由ke

集成總剛K；(6)求解位移法方程K

=P，得到結(jié)點位移；qA(0,0,0)(1)(3)B(1,2,3)(2)C(4,5,6)D(0,7,0)xyqBCA

F1P

F2P

F3P

(1)(2)qBCA(1)(2)BCA(1)(2)=+9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析2.計算示例(1)單元、結(jié)點位移編號；(2)計算各單元，變換，集成總剛K；(3)計算各單元的固端力和等效結(jié)點荷載

集成P；CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2mCD64.8kN48.6kN36kN12.6kN36kN

m18kN

m43.2kN21.6kN(3)p(1)=[1801218012]Tp(2)=[0454504545]T斜桿固端力：橫向、軸向分別計算p(3)=[

2.8856.16362.8824.84

18]T9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析2.計算示例CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2m(3)計算各單元的固端力和等效結(jié)點荷載

集成P；p(1)=[1801218012]Tp(2)=[04545045

45]T依據(jù)：

(1)=[123000]T

(2)=

[123456]T

(3)=[456007]T

集成：P=[18kNm45kNm33kNm2.88kN101.16kN9kNm

18kNm]Tp(3)=[

2.8856.16362.8824.84

18]T9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析2.計算示例(4)解方程K

=P可求得結(jié)點位移;

=10

5

[

93.1283.7592.636

96.34280.5707.773

51.926]T9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析2.計算示例(5)計算單元桿端力;

(3)=10

5

[

96.34280.5707.77300

51.925]T以單元(3)為例：

由

(3)=[456007]T

CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2mCBAD(2)(1)(3)231765400000θxyO9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2mCBAD(2)(1)(3)231765400000θxyO9-4-2一般荷載下的剛架計算9-4一般荷載作用下的剛架分析(6)作內(nèi)力圖(a)剛架及結(jié)點位移編碼(b)單元(3)固端力CBAD90kN2m1m4m2m9kN/m81kN2m(2)(1)(3)2317654θxyOCD64.8kN48.6kN36kN12.6kN36kN

m18kN

m43.2kN21.6kN(3)(c)彎矩圖（kN

m）(d)剪力圖（軸力值）（kN）CAD93.2B66.32.493.21842.2905452.84.6CBAD57.921.967.722.332.915.7(

67.7)(

57.9)(

52.5)(

117.3)E9-4-3忽略軸向變形時的分析9-4一般荷載作用下的剛架分析——對矩形剛架，可通過結(jié)點位移編碼實現(xiàn)8mCDBA6kN/m4m(1)021000θxyOC(1,0,3)B(1,0,2)(3)(2)031000D(0,0,0)A(0,0,0)

(1)=[102000]T

(2)=[102103]T

(3)=[103000]T

=10

4

[1.94930.10570.3621]T9-4-3忽略軸向變形時的分析9-4一般荷載作用下的剛架分析8mCDBA6kN/m4m(1)021000θxyOC(1,0,3)B(1,0,2)(3)(2)031000D(0,0,0)A(0,0,0)軸力不正確，需由結(jié)點平衡求得：9-1概述9-2一般等截面桿件的單元分析9-3剛架的整體分析9-4一般荷載作用下的剛架分析9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析9-6支座移動和溫度改變時的分析9-7后處理法簡介第九章矩陣位移法第9章矩陣位移法9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析1.連續(xù)梁單元qABEI

2

1

3CDFPθxyO單剛：(e)

i

j連續(xù)梁單元ij9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析2.普通梁單元qABEI

2

1

3CDFPθxyOE

5

4單剛：(e)

i

j普通梁單元ijvivj9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析2EIA20kN/mDC30kNm80kN6m6m3mEI3mBEIθxyOADCB1(2)(1)(3)0231)單元和結(jié)點位移編碼

(1)=[01]T

(2)=[12]T

(3)=[0230]T(1)、(2)：連續(xù)梁單元(3)：普通梁單元9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析2EIA20kN/mDC30kNm80kN6m6m3mEI3mBEIθxyO2)單元剛度矩陣3)單元剛度矩陣9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析2EIA20kN/mDC30kNm80kN6m6m3mEI3mBEIθxyO4)等效結(jié)點荷載p(1)=[60

60]Tp(3)=[203020

30]TP=[

6030+1020]T=[

604020]T5)結(jié)點位移解9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析6)內(nèi)力計算9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析6)內(nèi)力計算9-5-1連續(xù)梁9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析7)作內(nèi)力圖909045150180ADCB90M圖(kNm)FQ圖(kN)45753080ADCB連續(xù)梁的內(nèi)力圖9-5-2桁架9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析1.局部坐標系下單剛矩陣ABCDFPθxyO局部坐標系下，桿件有2個自由度ji(e)l、EA單剛矩陣:9-5-2桁架9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析2.整體坐標系下單剛矩陣ABCDFPθxyO整體坐標系下，桿件有4個自由度(1)將局部坐標系下的單元剛度方程

擴展成四階形式：(2)由坐標變換得將ke：(3)整體分析方法同剛架9-5-2桁架9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析3(3)(4)(5)(1)4(2)θxyOABCD120000A5mB5m5mC20kND40kN(1)單元和結(jié)點位移編碼

(1)=[0010]T，

(2)=[1020]T，

(3)=[3400]T

(4)=[3410]T，

(5)=[3420]T(2)單元剛度矩陣9-5-2桁架9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析A5mB5m5mC20kND40kN(3)整體剛度矩陣(4)結(jié)點位移解9-5-2桁架9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析(5)內(nèi)力計算A5mB5m5mC20kND40kN21.4215.156.8615.1529.719-5-2桁架9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析3.例題分析(5)內(nèi)力計算A5mB5m5mC20kND40kN21.4215.156.8615.1529.719-5-3組合結(jié)構(gòu)9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析組合結(jié)構(gòu)包含一般桿件單元桁架桿單元組合結(jié)點處各單元線位移相同一般單元另有角位移橫梁EI=3.42105kNm2,EA=5.4106kN；拉桿EA1=1.08105kN12m9m8kN/m12mB(1,2,3)(3)(2)C(0,0,0)A(0,0,0)D(0,0)(1)(1)編碼與定位向量

(1)=[000123]T

(2)=[123000]T

(3)=[1200]TθxyO9-5-3組合結(jié)構(gòu)9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析(2)單元剛度矩陣9-5-3組合結(jié)構(gòu)9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析(2)單元剛度矩陣(3)整體剛度矩陣及等效結(jié)點荷載向量P=[048

96]T9-5-3組合結(jié)構(gòu)9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析(4)結(jié)點位移解答

=10

5

[2.5037654.9514

42.1053]T9-5-3組合結(jié)構(gòu)9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析(5)內(nèi)力計算9-5-3組合結(jié)構(gòu)9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析(5)內(nèi)力計算9-5-3組合結(jié)構(gòu)9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析(6)作內(nèi)力圖FQ圖（FN值）（kN）M圖（kN

m）12m8kN/m12mB(1,2,3)(3)(2)C(0,0,0)A(0,0,0)D(0,0)(1)9mθxyO69.56(28.15)26.449.56(

11.27)(11.27)DBAC組合結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖（值）69.3345.33213.3314460DBAC9-1概述9-2一般等截面桿件的單元分析9-3剛架的整體分析9-4一般荷載作用下的剛架分析9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析9-6支座移動和溫度改變時的分析9-7后處理法簡介第九章矩陣位移法第9章矩陣位移法9-6-1等效結(jié)點荷載9-6支座移動和溫度改變時的分析CBACBAF1c+tF2c+tF3c+t

F1c+t

F2c+t

F3c+t

F4tCBAt1θxyOF4tt2c1c2t1t2c1c2附加約束體系——溫度和支座移動作用無附加約束體系——結(jié)點荷載下結(jié)構(gòu)分析9-6-1等效結(jié)點荷載9-6支座移動和溫度改變時的分析1）溫度下的固端力向量溫度作用下桿端力向量9-6-1等效結(jié)點荷載9-6支座移動和溫度改變時的分析2）支座移動下的固端力向量(e)ijl桿件的桿端位移和固端力9-6-1等效結(jié)點荷載9-6支座移動和溫度改變時的分析指定桿端位移情況下的桿端力桿端位移9-6-1等效結(jié)點荷載9-6支座移動和溫度改變時的分析3）單元等效結(jié)點荷載向量等效結(jié)點荷載向量=∑單元等效結(jié)點荷載向量

{P}

=∑{P}

(i)=∑{FP}(i)

整體坐標系：溫度作用單元固端力向量整體坐標系：支座移動單元固端力向量{l}

(i){l}

(i)9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析【例9-8】計算圖示剛架的桿端力。已知支座D發(fā)生了1cm的沉降，BC桿下側(cè)溫度升高了20

C；各桿截面均為矩形，EA=720×104kN、EI=21.6×104kN

m2，截面高度h=0.6m；材料線膨脹系數(shù)α=1.0×10

5

°C

1。C(4,5,6)B(1,2,3)A(0,0,0)D(0,0,7)4m4m(2)(1)(3)3mθxyO+20

C1cmCB(2)0+20

CF1t(2)F3t(2)0F4t(2)F6t(2)DC(3)F1c(3)F3c(3)F4c(3)F5c(3)F6c(3)F2c(3)剛架發(fā)生了溫度改變和支座位移9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析溫度作用下單元等效結(jié)點荷載向量P(2)=[

7200727200

720]T9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析P(3)=[0006812.59290.6311.0311.0]T支座位移下單元等效結(jié)點荷載向量9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析

{P}

=∑{P}

(i)P(2)=[

7200727200

720]TP(3)=[0006812.59290.6311.0311.0]TP=[

7200727532.59290.6239.0311.0]T剛架的等效結(jié)點荷載向量9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析2）整體剛度方程及解

=10

4

[41.3340.10418.79945.41865.72611.68911.224]T9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析3)單元桿端力向量求解原結(jié)構(gòu)附加約束體系內(nèi)力+無附加約束體系受結(jié)點力作用內(nèi)力第i個桿內(nèi)力=體系1第i個桿內(nèi)力+體系2第i個桿內(nèi)力各桿兩端固定求解(2)(1)(3)θxy+20

C1cm體系1：整體剛度方程求解(2)(1)(3)θxyF1F3F2F6F4F5F7體系2：局部坐標系整體坐標系9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析3)單元桿端力向量求解9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析3)單元桿端力向量求解9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析4）內(nèi)力圖9-6-2計算實例9-6支座移動和溫度改變時的分析4）內(nèi)力圖9-1概述9-2一般等截面桿件的單元分析9-3剛架的整體分析9-4一般荷載作用下的剛架分析9-5連續(xù)梁、桁架及組合結(jié)構(gòu)的分析9-6支座移動和溫度改變時的分析9-7后處理法簡介第九章矩陣位移法第9章矩陣位移法9-7-1求解步驟9-7后處理法簡介CBA2m4m2m30kN/m4m(2)(1)θxyOC(7,8,9)(2)(1)B(4,5,6)A(1,2,3)θxyO略去所有邊界約束，先形成包含約束位移的剛度矩陣;再引入位移邊界條件，形成新的整體剛度方程，并求解；計算單元桿端力向量。9-7-2基本理論(劃行劃列法)9-7后處理法簡介CBA(2)(1)θxyOF4F6F5F1F3F2F7F9F8

=[

1

2

3

7

8]T=[

0.004m0000]T已知位移未知反力未知位移結(jié)點荷載K

=P

K

后處理法先處理法K

=P

=09-7-3計算實例9-7后處理法簡介C(7,8,9)B(4,5,6)A(1,2,3)2m4m2m30kN/m4m(2)(1)θxyOP0=[FxA

FyA

MA06040FxC

FyC

40]T9-7后處理法簡介K

=P

K

9-7后處理法簡介9-7-4處理邊界條件的其他方法填0置1法乘大數(shù)法目的：保持矩陣階數(shù)不變具體可參考結(jié)構(gòu)有限元分析方面書籍謝謝！浙江大學建筑工程學院結(jié)構(gòu)力學教研組第九章矩陣位移法10-1動力計算概述10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動10-4單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動10-5多自由度體系的自由振動10-6多自由度體系的強迫振動10-7無限自由度體系的自由振動10-8近似法求結(jié)構(gòu)的自振頻率第10章結(jié)構(gòu)的動力計算第10章結(jié)構(gòu)的動力計算10-1動力計算概述10-1-1動力荷載和動力計算1.動力計算的特點靜力荷載慣性力不可忽略(2)動力計算的特性(1)荷載例:風荷載、

地震作用、車輛行駛振動時間相關(guān)動力荷載隨時間變化考慮質(zhì)量與慣性力10-1動力計算概述2.動力荷載的分類(1)周期荷載:(2)沖擊荷載:如爆炸荷載、高空墜物(3)隨機荷載:如:地震作用、風荷載otFP(t)簡諧荷載一般周期荷載otFP(t)totrFP(t)急劇增大totdFP(t)急劇減小確定性荷載非確定性/隨機荷載荷載10-1動力計算概述10-1-2體系振動的自由度動力自由度:確定全部質(zhì)量位置所需的獨立參數(shù)數(shù)目嚴格說,均為無限自由度集中質(zhì)量法動力方程為偏微分方程簡化為有限自由度不易求解10-1動力計算概述2個自由度視質(zhì)點為結(jié)點，獨立結(jié)點線位移數(shù)=動力自由度忽略梁式桿軸向變形例：確定體系動力自由度。xy2個自由度結(jié)論：自由度數(shù)不一定等于1倍或2倍質(zhì)點數(shù)1.質(zhì)點體系動力自由度的判斷10-1動力計算概述2.包含無限剛質(zhì)量塊體系的動力自由度的判斷帶剛性質(zhì)量塊(有尺寸)形心的平動位移+塊體轉(zhuǎn)動位移3自由度彈性地基單自由度10-1動力計算概述10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動10-4單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動10-5多自由度體系的自由振動10-6多自由度體系的強迫振動10-7無限自由度體系的自由振動10-8近似法求結(jié)構(gòu)的自振頻率第10章結(jié)構(gòu)的動力計算第10章結(jié)構(gòu)的動力計算10-2單自由度體系的自由振動1.振動微分方程的建立(1)剛度法：列質(zhì)點平衡方程無阻尼情況：

Fy=0

(2)

柔度法：計算體系在質(zhì)點m位移單位力產(chǎn)生的位移：慣性力：質(zhì)點位移：m恢復力=ky慣性力=

m?平衡位置自重產(chǎn)生的位移可不計。10-2-1無阻尼自由振動10-2單自由度體系的自由振動ykmymkym?恢復力慣性力剛度法——先求剛度系數(shù)，再列平衡方程。剛度法與柔度法的比較柔度法——先求柔度系數(shù)，再求慣性力作用下的位移。10-2單自由度體系的自由振動剛度法列平衡方程具體步驟剛度系數(shù)1）在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2）發(fā)生位移y的回復力；3）力的平衡條件。1ymEIl10-2單自由度體系的自由振動柔度法列平衡方程具體步驟F=1柔度系數(shù)1）在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2）求外力和慣性力引起的位移；3）令該位移等于體系位移。mEIl10-2單自由度體系的自由振動ABCl/2m2=mEI=

ykl/2l/2m1=2my1y2DABCk

yD【例10-1】圖10-9a所示剛度無窮大的伸臂梁體系，兩個集中質(zhì)量m1=2m、m2=m，彈性支座的彈簧剛度為k。試建立體系自由振動的微分方程。梁所受作用力(1)剛性梁只能繞A端轉(zhuǎn)動，故為一單自由度體系(2)剛度法，由

MA=0可建立剛性桿的平衡方程10-2單自由度體系的自由振動2.位移響應及自振特性自振圓頻率系數(shù)c1、c2由初始條件確定初速度引起初位移引起10-2單自由度體系的自由振動Oy0ty(t)Oaty(t)-aOty(t)無阻尼自由振動解的性質(zhì)簡諧振動（sin函數(shù)）！y(t)=asin(

t+

)初始相位角：振幅：y

a對應圓周運動起點10-2單自由度體系的自由振動3.自振周期頻率(單位時間的振動次數(shù))圓頻率(2

個單位時間的振動次數(shù))(1)自振周期計算式的幾種形式：

st=W

質(zhì)點沿振動方向施加W荷載產(chǎn)生的靜位移(2)自振周期/頻率的特性：只與結(jié)構(gòu)自身的m、k有關(guān)，與外界因素無關(guān)；與m1/2成正比，與k1/2成反比；結(jié)構(gòu)的固有特性。10-2單自由度體系的自由振動【例10-2】圖a、b所示單跨梁，跨中有一集中質(zhì)量m。試求梁的自振頻率。(a)簡支梁mBEIAl/2l/2mBEIAl/2l/2(b)一端固定一端鉸支梁BA1BA1BA110-2單自由度體系的自由振動10-2-2有阻尼自由振動c：粘滯阻尼常數(shù)材料介質(zhì)摩擦結(jié)構(gòu)-支承摩擦周圍介質(zhì)阻力阻尼來源粘滯阻尼，其它阻尼阻尼種類粘滯阻尼體系振動微分方程：ymkkyc10-2單自由度體系的自由振動1.低阻尼體系(

<1)特征方程：位移響應：ytOy0a

aykyk+1(有阻尼體系自振圓頻率)10-2單自由度體系的自由振動一般工程結(jié)構(gòu):0.01

0.1

r

阻尼影響可忽略阻尼對自振頻率的影響阻尼對振幅的影響相鄰周期：振幅的對數(shù)衰減率：隨ξ增大而減小ytOy0a

a

1

2>110-2單自由度體系的自由振動2.臨界阻尼情況(

=1)臨界阻尼系數(shù):3.過阻尼情況(ξ>1)ytOy0

=1

>1（無振動）（無振動）阻尼比：實際阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值10-1動力計算概述10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動10-4單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動10-5多自由度體系的自由振動10-6多自由度體系的強迫振動10-7無限自由度體系的自由振動10-8近似法求結(jié)構(gòu)的自振頻率第10章結(jié)構(gòu)的動力計算第10章結(jié)構(gòu)的動力計算10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動強迫振動是指結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下產(chǎn)生的振動微分方程：(無阻尼)ymkkyF(t)F(t)10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動10-3-1無阻尼強迫振動特解：完整解=特解+通解體系在靜荷載F作用下的靜位移10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動設(shè)兩部分組成2)按

的振動——瞬態(tài)響應(有阻尼時將逐漸消退)1)按

的振動——平穩(wěn)響應(純強迫振動)yt純強迫振動實際振動過渡階段平穩(wěn)階段O伴生自由振動完整解:10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動動力系數(shù)：10123|

1)：|

|

1，可視作靜荷載;2)：|

|

>1，

隨

/

增大而增大;3)：|

|∞，振幅∞，共振;4)：|

|隨

/

增大而減小.平穩(wěn)階段的物理意義ytO10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動【例10-3】圖10-19a所示具有剛性橫梁的單層剛架，質(zhì)量集中于橫梁上。試求簡諧荷載作用下的位移動力系數(shù)，并作最大動彎矩圖。已知荷載頻率為0.7倍的自振頻率。Mmax圖（

F0h）ACDB0.490.490.490.490.49EI1=

ACDBhWEIEIF0sin

ty(t)解:靜位移自振圓頻率10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動【討論】現(xiàn)對簡諧荷載與慣性力作用線不重合的情況作一討論。(a)剛架作用均布簡諧荷載ACDB0.1620.1620.3280.2450.2450.042EI1=∞ACDBWEIEIqsinthy(t)(c)固定結(jié)點ACDBACDBqsint(b)Mmax圖（qh2）(d)放松結(jié)點10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動【例10-4】圖10-21所示伸臂梁，端部有一集中質(zhì)量m，試求圖(a)、(b)兩種荷載工況下質(zhì)點的最大動位移，并作梁的最大動彎矩圖。已知荷載頻率：(a)荷載位于梁端最大動彎矩圖ABCF0lABC1l/2DABCDmF0sin

ty1l/2l/2l/2EI=常數(shù)M1圖10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動(b)荷載位于跨中ABCDmF0sin

t(e)圖(a)工況最大動彎矩圖(f)圖(b)工況最大動彎矩圖ABCDl/41M1圖ABC1l/2DM2圖質(zhì)點沿自由度方向的位移幅值仍等于荷載幅值引起的靜位移乘以動力系數(shù)β10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動(b)荷載位于跨中ABCDmF0sin

tABCD5F0l/16F0l/16慣性力：慣性力幅值：截面B最大動彎矩：最大動彎矩圖截面D最大動彎矩：截面D彎矩動力系數(shù)：求出質(zhì)點的慣性力幅值mθ2Y，則結(jié)構(gòu)的最大動位移和動內(nèi)力就等于結(jié)構(gòu)在荷載幅值和慣性力幅值共同作用下的靜位移和靜內(nèi)力。10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動10-3-1有阻尼強迫振動ymkkycF(t)F(t)強迫振動微分方程：——自振圓頻率

——荷載圓頻率方程通解：

y(t)=e

t(Acos

rt+Bsin

rt)+(C1cos

t+C2sin

t)初始靜止：(y|t=0=0,v|t=0=0)仿真演示：:8095/10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動僅考慮平穩(wěn)振動，合并兩項。

y=Y

sin(t

)方程通解：

y(t)=e

t(Acos

rt+Bsin

rt)+(C1cos

t+C2sin

t)仍為簡諧振動滯后一相位角位移動力系數(shù)：與

/

及

相關(guān)齊次解：伴生自由振動，很快衰減特解：平穩(wěn)振動

1023450.51.01.52.02.53.0

=0

=0.1

=0.2

=0.5

=1.0

30

0

0.51.01.52.02.53.060

90

120

150

180

=0

=0.1

=0.2

=1.0

=0.5

=0

0<

<1:ξ越小，

-

/

曲線趨陡ξ很小時，共振點

/

=1處，

=1/2ξ，非峰值點

位移動力系數(shù)及相位角隨頻率比變化曲線10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動

1023450.51.01.52.02.53.0

=0

=0.1

=0.2

=0.5

=1.0

30

0

0.51.01.52.02.53.060

90

120

150

180

=0

=0.1

=0.2

=1.0

=0.5

=0

位移動力系數(shù)及相位角隨頻率比變化曲線10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動

位移y比F(t)滯后一相位角

：

/

0時，

0

y與F(t)同步，近似靜力，F(xiàn)(t)由恢復力平衡

/

時，

180

y與F(t)反向，振動很快,F(t)由慣性力平衡

/

1時，

90共振,恢復力與慣性力平衡,F(t)由阻尼力平衡10-1動力計算概述10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動10-4單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動10-5多自由度體系的自由振動10-6多自由度體系的強迫振動10-7無限自由度體系的自由振動10-8近似法求結(jié)構(gòu)的自振頻率第10章結(jié)構(gòu)的動力計算第10章結(jié)構(gòu)的動力計算10-3單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動瞬時沖量S下無阻尼單自由度體系的動力響應t=0作用S：S(t=0)=F·

t(

t

0)t=

時作用S：

S(t=τ)=FdttOΔt沖量S=FΔtF(t)轉(zhuǎn)化動量定理

隨時間按一般規(guī)律變化的動力荷載的作用可視作由一系列連續(xù)作用的微小沖量組合而成tOdtS=FdtF(t)

10-3單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動

Duhamel

積分若有初始

y0、v0：每一個微小沖量dS產(chǎn)生的位移響應：任意荷載下無阻尼單自由度體系的動力響應連續(xù)動力荷載的作用可視作由一系列連續(xù)作用的微小沖量的作用結(jié)構(gòu)荷載響應結(jié)構(gòu)沖量和響應所有微小沖量dS產(chǎn)生的位移響應：若d

→

0,則有tF(t)F(t)ttdS=F(t)dt0dt10-3單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動1.突加荷載以y=yst為基線作簡諧振動tOF(t)F0O0π2π4π3πωty(t)2ystyst位移動力系數(shù)：幾種典型動力荷載下無阻尼單自由度體系響應10-3單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動2.短時荷載階段II(t>td):0,t<0F0,0<t

<

td0,t

>

uF(t)=階段I(t≤td)：O0π2πωty(t)2ystysttd

>T/2位移圖線tOF(t)F0td階段II(F0和

F0共同作用)階段I（僅F0作用）O0π2πωty(t)2ystysttd<T/2位移圖線

0.51/61210

-

td/T曲線:動力系數(shù)反應譜若td

T/2：ymax發(fā)生于階段I,

位移動力系數(shù)若td

<T/2:

y=ymax發(fā)生于階段II,

位移動力系數(shù)

=210-3單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動3.線性漸增荷載動力系數(shù)

取決于增載時間

trtOF(t)F0tr

123456為盡可能消除動力效應，應確保增載時間大于自振周期4倍tr>4T:

tr→

∞，

→1.0tr<0.25T:

tr→0，

→2.010-1動力計算概述10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動10-4單自由度體系在一般荷載作用下的強迫振動10-5多自由度體系的自由振動10-6多自由度體系的強迫振動10-7無限自由度體系的自由振動10-8近似法求結(jié)構(gòu)的自振頻率第10章結(jié)構(gòu)的動力計算第10章結(jié)構(gòu)的動力計算10-5多自由度體系的自由振動10-5-1兩自由度體系的頻率和振型剛度法：建立平衡方程柔度法：建立位移協(xié)調(diào)方程回復力：結(jié)構(gòu)使得質(zhì)量體回到平衡位置的力多個質(zhì)量體ykmymkym?回復力慣性力

質(zhì)量體運動致使結(jié)構(gòu)變形，由此產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)作用于質(zhì)量體上使其回到平衡位置的力（回到平衡位置為正，與運動方向相反為正）。

多個質(zhì)量體運動致使結(jié)構(gòu)變形，由此產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)作用在各質(zhì)量體上使它們回到平衡位置的力。（回到平衡位置為正，與運動方向相反為正）。單質(zhì)量體10-5多自由度體系的自由振動1.剛度法y1(t)y2(t)m1m221m2

y2m2F2m1

y1m1F1Fi

:i處因y1、y2所引起的回復力,Fi

=ki1

y1

+ki2

y2

(i=1,2)kji:其它位移為零，j方向發(fā)生單位位移引起的i方向回復力Ah1BEI1EI2m1EI

y2EI1EI2m2EI

h2y1質(zhì)量矩陣剛度矩陣位移向量加速度向量10-5多自由度體系的自由振動剛度矩陣的對稱性及其元素物理意義kij——其它處位移為零，j方向發(fā)生單位位移引起的i

方向回復力?；貜土Γ航Y(jié)構(gòu)變形引起的結(jié)構(gòu)作用在質(zhì)量體運動方向上的回到平衡位置的力。(a)系數(shù)k11、k21ABk1k2k111k21ABk121k22k1k2(b)系數(shù)k12、k22k11=k1+k2k12=k21=

k2k22=k210-5多自由度體系的自由振動齊次方程的解兩質(zhì)點按同一頻率和相位角振動任一時刻y1(t)/y2(t)保持為常數(shù)該特征形狀Y1/Y2稱主振型單自由度體系2自由度體系振型方程頻率方程非零解10-5多自由度體系的自由振動回代振型方程

1,

2——第1、第2自振圓頻率第1振型第2振型若體系按某個振型振動，則其振動形式保持不變，象單自由度體系一樣.Y11,

1,Y12,

2由初始條件確定線性方程,線性算子解1:解2:10-5多自由度體系的自由振動(a)列出方程，求[K]、[M](b)頻率方程

求ωk1=k2=k，m1=m2=m:【例10-5】圖示兩層剛架，其層間剛度分別為k1、k2，試求下面兩種情況下的自振頻率和主振型：(1)k1=k2=k，m1=m2=m；(2)k1=nk2=nk，m1=nm2=nm。(c)代入振型方程

求YABm1m2k2k1EI

EI

10-5多自由度體系的自由振動(d)鞭梢效應k1=nk2=nk，m1=nm2=nmn=110:Y2>>Y1——鞭梢效應振型：頻率：ABm1m2k2k1EI

EI

ABY22=

0.618Y12=1.0第二振型ABY21=1.618Y11=1.0第一振型10-5多自由度體系的自由振動2.柔度法m1y2(t)m2y1(t)-m2y2-m1y11m1m2

21

111

22

12m1m2位移協(xié)調(diào)方程（基于達朗貝爾原理）計算體系在m1、m2處由慣性力產(chǎn)生的位移。質(zhì)量矩陣柔度矩陣位移向量加速