2024年高考數(shù)學一輪復習考點題型課下層級訓練48雙曲線含解析

PAGEPAGE1課下層級訓練(四十八)雙曲線[A級基礎強化訓練]1．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,10)－eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,10)＝1【答案】A[已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則c＝4，a＝2，b2＝12，雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.]2．(2024·山東菏澤月考)已知雙曲線C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，則雙曲線C的焦點坐標為()A．(±5,0) B．(±eq\r(7)，0)C．(0，±5) D．(0，±eq\r(7))【答案】C[由方程C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1表示雙曲線，焦點坐標在y軸上，可知，a2＝16，b2＝9.則c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故雙曲線的焦點坐標為(0，±5)．]3．(2024·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)【答案】D[由題意，得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因為a>0，b>0，所以a＝b，漸近線方程為x±y＝0，點(4,0)到漸近線的距離為eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2).]4．(2024·山東鄒城檢測)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4),則此雙曲線的離心率為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(\r(7),3)【答案】A[∵雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，∴－eq\f(3b,a)＝－4，eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(16,9))＝eq\f(5,3).]5．(2024·山東青島調(diào)研)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±x D．y＝±eq\r(3)x【答案】D[雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝eq\f(c,a)＝2,2＝eq\r(1＋\f(b2,a2))?eq\f(b2,a2)＝3，eq\f(b,a)＝eq\r(3).故漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.]6．(2024·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1【答案】C[如圖，不妨設A在B的上方，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2bc,c)＝2b＝6，∴b＝3．又由e＝eq\f(c,a)＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝eq\r(3)．∴雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.]7．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(eq\r(5)，0)，則a＝____________；b＝____________．【答案】12[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2．又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]8．(2024·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(3),2)c，則其離心率的值為____________．【答案】2[雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，焦點F(c,0)到漸近線的距離d＝eq\f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))＝b.∴b＝eq\f(\r(3),2)c，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\f(1,2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2.]9．設雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為____________．【答案】10[由雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因為|AF1|＋|BF1|＝|AB|，當|AB|是雙曲線的通徑時，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝eq\f(2b2,a)＋8＝10.]10．已知雙曲線的中心在原點，左，右焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0．【答案】(1)解∵e＝eq\r(2)，∴可設雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過點(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴雙曲線的方程為x2－y2＝6．(2)證明證法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，∴kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3)．∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0．證法二：由證法一知eq\o(MF,\s\up6(→))1＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF,\s\up6(→))2＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵點M在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF,\s\up6(→))1·eq\o(MF,\s\up6(→))2＝0．[B級實力提升訓練]11．(2024·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4【答案】B[由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(1,\r(3))x．設兩漸近線夾角為2α，則有tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以α＝30°．所以∠MON＝2α＝60°．又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MN⊥ON，如圖所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝eq\r(3)．則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝eq\r(3)·tan60°＝3.]12．(2024·湖北武漢調(diào)研)已知不等式3x2－y2>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點P(x，y)到直線y＝eq\r(3)x和直線y＝－eq\r(3)x的垂線段分別為PA，PB，若△PAB的面積為eq\f(3\r(3),16)，則點P軌跡的一個焦點坐標可以是()A．(2,0) B．(3,0)C．(0,2) D．(0,3)【答案】A[∵直線y＝eq\r(3)x與y＝－eq\r(3)x的夾角為60°，且3x2－y2>0，∴PA與PB的夾角為120°，|PA||PB|＝eq\f(|\r(3)x－y|,2)·eq\f(|\r(3)x＋y|,2)＝eq\f(3x2－y2,4)，S△PAB＝eq\f(1,2)|PA||PB|·sin120°＝eq\f(\r(3),16)(3x2－y2)＝eq\f(3\r(3),16)，即P點的軌跡方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，半焦距為c＝2，∴焦點坐標可以為(2,0)．]13．(2024·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為____________．【答案】eq\f(2\r(3),3)[如圖，由題意知點A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴點A到l的距離d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))．又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN為等邊三角形，∴d＝eq\f(\r(3),2)MA＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，∴a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).]14．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點P使eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，則eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))＝____________．【答案】2[由題意及正弦定理得eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF2F1＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝eq\f(4＋16－16,2×2×4)＝eq\f(1,4)，∴eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))＝|eq\o(F2P,\s\up6(→))|·|eq\o(F2F1,\s\up6(→))|cos∠PF2F1＝2×4×eq\f(1,4)＝2.]15．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點．(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求|AB|．【答案】解(1)∵雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1．(2)雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦點為F2(3,0)，∴經(jīng)過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5)．所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5)．16．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實軸長為2eq\r(3)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C的左支交于A，B兩點，求k的取值范圍；(3)在(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍．【答案】解(1)設雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝eq\r(3)，