2024-2025學年滬科版七年級數(shù)學下冊期中易錯題壓軸題專項復習（考試范圍：第6~8章）【24大題型】原卷版

期中易錯題壓軸題專項復習【24大題型】

（考試范圍：第6~8章）

【滬科版2024】

＞題型梳理

【易錯篇】......................................................................................2

【考點1平方根、立方根】......................................................................2

【考點2無理數(shù)】..............................................................................2

【考點3實數(shù)與數(shù)軸】..........................................................................3

【考點4實數(shù)的運算】..........................................................................4

【考點5一元一次不等式】......................................................................4

【考點6一元一次不等式組】....................................................................5

【考點7幕的運算】............................................................................5

【考點8單項式乘單項式】......................................................................6

【考點9單項式乘多項式】......................................................................6

【考點10多項式乘多項式】.....................................................................7

【考點11完全平方公式】.......................................................................8

【考點12平方差公式】.........................................................................8

【考點13因式分解】...........................................................................9

【壓軸篇】......................................................................................9

【考點14無理數(shù)的整數(shù)與小數(shù)部分的計算】......................................................9

【考點15不等式（組）的整數(shù)解問題】............................................................10

【考點16不等式組的有解或無解問題】..........................................................11

【考點17利用不等式的基本性質求最值】........................................................H

【考點18方程與不等式（組）的實際應用】......................................................11

【考點19累的運算的逆用】....................................................................13

【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】......................................................13

【考點21多項式乘多項式與圖形面積】..........................................................14

【考點22整式乘法中的規(guī)律性問題】...........................................................17

【考點23整式乘法中的恒成立問題】...........................................................18

【考點24因式分解的應用】....................................................................19

?舉一反三

【易錯篇】

【考點1平方根、立方根】

【例1】（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期末）下列說法中正確的是（）

A.|-25|有平方根B.-64沒有立方根

C.0.09的平方根是±0.03D.，（-4）2的算術平方根是4

【變式1-1】慶+7=27==.

【變式1-2］（24-25八年級上?江蘇揚州?期末）解方程：

（1）20+1）2=8；

（2）（久—3）3—27=0.

【變式1-3］（24-25八年級上?湖北十堰?期末）己知x-1的平方根是±3,x+y的立方根是2,求/+外的

值.

【考點2無理數(shù)】

【例2】（24-25七年級?安徽安慶?期中）滿足-遮<x<VTU的整數(shù)x是.

【變式2-1］（24-25七年級?山東泰安?期末）在實數(shù)-3,0,V7,p7=64.0.1313313331…（每兩個1之

間的3依次多1）中，其中無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式2-21（24-25七年級?甘肅天水?期末）因為22<5<32,可以肯定2<岳<3,也就是愿在2與3之間.依

據(jù)這一方法，對2.22<5<2,32,可以肯定2.2（有<2.3,也就是遮在2,2與2.3之間，可以得到遍的近似

值.那么，花的估算結果中正確的是（）

A.3.15<710<3.16B.3.16<V10<3.17

C.3.17<V10<3.18D.3.18<V10<3.19

【變式2-3］（24-25七年級?遼寧本溪?期末）解答題，在學習第二章第4節(jié)《估算》后，某數(shù)學愛好小組探

究VTTU的近似值的過程如下：

???V100<V110<V121

io<VTTo<11

?面積為no的正方形的邊長是VHU

.?.設=io+%,其中0<尤<1,

畫出示意圖，如圖所示.根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積為

S正方形速。=102+2x10%+%2,

又S正方形4BCO=HO,

???102+2x10%+x2=110,

當0＜久＜1時，可忽略/,得100+20X=110,解得x=0.5,

???V110?10.5.

B10GXC

（1）求舊有的整數(shù)部分;

（2）仿照該數(shù)學愛好小組的探究過程，求的近似值（結果保留1位小數(shù)）.（要求：畫出示意圖，標注

數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）

【考點3實數(shù)與數(shù)軸】

【例3】（24-25七年級?浙江杭州?期中）實數(shù)。在數(shù)軸上對應點4的位置如圖所示，若b=|a-?可+

\2-a\.貝U：

A

IIIIII1.1>

-4-3-2-10123

（1）6的值是.

（2）+2）的平方根是.

【變式3-1]（24-25七年級?山西長治?期中）數(shù)學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數(shù)可以在數(shù)軸上

表示，張老師作了如圖所示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數(shù)軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到

達點4此時點4表示的數(shù)是

【變式3-2]（24-25七年級?浙江杭州?期中）數(shù)軸上點A表示的數(shù)是-2,點2,C分別位于點A的兩側，且

到點A的距離相等.若點8表示的數(shù)是百，則點C表示的數(shù)是

【變式3-3]（24-25七年級?廣東江門?期中）實數(shù)人6在數(shù)軸上的位置如圖所示.

?1gl?、2、??

-ioi

化簡+J(a—b)2=.

【考點4實數(shù)的運算】

【例4】(24-25七年級?河北邯鄲?期中)任意給出一個非零實數(shù)按如圖所示的程序進行計算.

平方

+m

-2m

(1)當初=1時，輸出的結果為.

(2)當實數(shù)機的一個平方根是-g時，求輸出的結果.

【變式4-1](24-25七年級?重慶云陽?期末)計算：(-l)2025+|V3-l|=.

【變式4-2](24-25七年級?湖北十堰?期末)計算：

(1)725-22+V27

2

(2)(72)+|7r-3|+(-1)100

【變式4-3](24-25七年級?山東煙臺?期末)(1)若加2=(一7尸，n3=(-3)3,請求出m+zi的值；

(2)a是-27的立方根和質的算術平方根的和，b是比7=而大且最相鄰的整數(shù)，請求出5a+b的立方根

【考點5一元一次不等式】

【例5】關于x的不等式手-1〉號的解集都是不等式J—1<2—彳的解，貝必的取值范圍是.

4642

【變式5-1]若k-(k+2)久陽t>0是關于x的一元一次不等式，則該不等式的解集是()

A.%<2B.x>—2C.x>--D.x<-

22

【變式5-2]已知關于x的方程4(%-2)=2(%-zn)+4的解為負數(shù)，則加的取值范圍是()

A.m<6B.m>6C.m<—6D.m>—6

【變式5-3](24-25八年級?山東聊城?期中)若關于元的一元一次不等式+。的解集中每一個工

的值都能使不等式手-詈>I成立，貝b的取值范圍是（）

263

44

<>44

a--a--

A.3B.3C.a4—D.。之—

33

【考點6一元一次不等式組】

【例6】（24-25八年級?四川眉山?期末）若不等式組的解集為l<x<2,貝鼠m+口2。25的值為

()

A.-1B.0C.1D.2

【變式6-1]（24-25八年級?廣西貴港?期末）對一個實數(shù)%按如圖所示的程序進行操作，計算機運行從“輸入

一個實數(shù)%”到“判斷結果是否大于190?”為一次操作，如果操作恰好進行兩次操作才停止，那么久的取值范

圍是（）

輸入

xx3>190停止

T___________I否

A.8<%<22B.22<%<64C.22<%<62D.8<%<20

【變式6-2]（24-25八年級?山東聊城?期中）若關于x的一元一次不等式組—1>3（無—2）的解集是刀<5,

Ix<m

則m的取值范圍是（）

A.m>5B.m>5C.m<5D.m<5

【變式6-3X24-25八年級?浙江紹興?期末）關于x的不等式組的解集中每一個值均不在-1<%<

5的范圍中，則〃的取值范圍是（）

A.a<1或。>4.5B.a<1或a>4.5

C.a>4或a<1.5D.a>4或a<1.5

【考點7幕的運算】

74、2024

【例7】（24-25七年級?四川資陽?期末）計算（-3x（1.25產(chǎn)23x5的值等于（）

A.4B.-4C.5D.-5

【變式7-1]（24-25七年級?吉林白城?階段練習）下列計算正確的是（）

A.a5-a5=a25B.（—5a565）2=-25a10610

C.x2+%6=x8D.—m7+（—m）2=-m5

【變式7-2]（24-25七年級?四川成都?期末）已知4a—3b+1=0,則3?x3"+27b的值為

【變式7-3］（24-25七年級?重慶渝北?期末）若4a=6,8b=16,a,b為整數(shù)，則.

【考點8單項式乘單項式】

【例8】（24-25七年級?四川遂寧?期末）設（xMTyn+Z）?（刀5叱產(chǎn)）=K5,7,貝［］（-（巾）的值為（）

A.禺B.-IC.1D.|

【變式8-1］（24-25七年級?四川成都?期末）先化簡，再求值：（—20263）.（—^2）2+（-30263）2.46,其中

a=2,b=1.

【變式8-2］（24-25七年級?山東聊城?期末）若（am+i〃+2）.（一a2n-ib2nI）=一口3b5,則m+n的值為.

【變式8-3］（24-25七年級?浙江金華?期中）如圖，在正方形內，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形

紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）

的周長相等.

①號②號

（1）若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為厘米；

（2）若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是平方厘米.

【考點9單項式乘多項式】

【例9】（24-25七年級?四川成都?期末）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在

矩形A8CD內，未被覆蓋的部分用陰影表示.如果當?shù)拈L變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的

差保持不變，那么"。的值為.

圖1圖2

【變式9-1］（24-25七年級?廣東深圳?期中）若比（尤+a）+3刀-26=/+5%+4恒成立，則a+6=

【變式9-2](24-25七年級?湖南邵陽?期末)數(shù)學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項

式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發(fā)現(xiàn)了這樣一道題："-2/(3_r-?+l)=-6/+4/y—

2/”那么“■”中的一項是.

【變式9-3](24-25七年級?湖南常德?期末)如圖，某校園的學子餐廳Wi-Fi密碼做成了數(shù)學題，小亮在餐

廳就餐時，思索了會，輸入密碼，順利的連接到了學子餐廳的網(wǎng)絡.若他輸入的密碼是2842?，最后兩被隱

藏了，那么被隱藏的兩位數(shù)是.

賬號：XueZiCanTing

5十3十2T51025

9十2十4=183654

8十6十3=482472

學子餐廳歡迎你！7十2十5=143549

【考點10多項式乘多項式】

【例10](24-25七年級?山西臨汾?期末)有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張,若要拼成一個長為2a+b、

寬為a+26的長方形，需要B類卡片()

【變式10-1](24-25七年級?河南省直轄縣級單位?期末)有一塊長為(爪+6)米(機為正數(shù)),寬為(m+3)米

的長方形土地，若把這塊地的長增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積()

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

【變式10-2](24-25七年級.四川成都.期末)先化簡，再求值：汝2a-4b)-(2a+b)(a-b)-2(ab+1),

且單項式久a+3y與一3%yb是同類項.

【變式10-3](24-25七年級?福建福州?期末)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

我們發(fā)現(xiàn)，(x+p)(x+q)=+(p+q)x4-pq.這個規(guī)律可以利用多項式的乘法法則推導得出：(%+p)

(%+q)=/++q%+pq=%2+Q+Q)%+pq.

運用規(guī)律

(1)如果(％+3)(%—5)=+瓶％+九，那么TH的值是,九的值是；

(2)如果(％+a)(%+h)=%2+3%—2.

①求(a—3)(b—3)的值；

②求2+2的值.

a2b2

【考點11完全平方公式】

【例11】(24-25七年級?甘肅蘭州?期中)己知a2+b2+c2=2a—4b+6c—14,則(ab)。的值是()

A.4B.-4C.8D.-8

【變式11-1](24-25七年級?上海閔行?期中)如果關于x的整式9/—(26-1)%+；是某個整式的平方，那

么小的值是.

【變式11-21(24-25七年級?福建漳州?期中)若是自然數(shù),且滿足/+必=叔+2y-4,則x+y=.

【變式H-3](24-25七年級?湖南婁底?期中)已知(x-2023)2+Q-2025)2=24,則Q一2024/的值是

()

A.12B.11C.13D.10

【考點12平方差公式】

【例12】(24-25七年級?河南新鄉(xiāng)?期中)某同學在計算3(4+1)(42+1)時，把3寫成4—1后，發(fā)現(xiàn)可以連

續(xù)運用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計算：3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=

162—1=255,請借鑒該同學的經(jīng)驗，計算：(1+3(1+3(1+由)(1+—+4=.

【變式12-1](24-25七年級?甘肅蘭州?期中)下列各式中能用平方差公式計算的是()

A.(x+y)(x+y)2B.(x+y)(y-x)

C.(x+y)(-x-y)D.(-x+y)(y-x)

【變式12-2](24-25七年級?福建泉州?期中)為了美化校園，學校把一個邊長為am(a>4)的正方形跳遠沙

池的一組對邊各增加1m,另一組對邊各減少1m,改造成長方形的跳遠沙池.如果這樣，你覺得沙池的面積

會()

A,變小B.變大C.沒有變化D.無法確定

【變式12-3](24-25七年級?山西臨汾?期中)霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年(1583年)

建，又稱文昌閣.其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的

一種凹凸結合的連接方式一樣卯(sunmao)結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群

絕倫.如圖①是一個樟卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為(2a+b)cm,寬為(2a—6)cm的

長方形，中間鑿掉一個邊長為acm的正方形，且該零件的高為acm.求這個零部件體積.

2a+b

圖①圖②

【考點13因式分解】

【例13](24-25八年級上?河南南陽?期末)把下列多項式分解因式

(l)x2y+xy2；

(2)9x2(m—2)+y2(2—m)；

(3)x3—4x2+4x；

(4)xy+x+y+1.

【變式13-1](24-25八年級上?福建泉州?期末)若a—6=2,則a?—^一46的值為.

【變式13-2](24-25八年級上?河南開封?期末)下列因式分解正確的是()

A.-x2+y2—(x+y)(x—y)B.a3+2a2b+ab2—+b)2

C.x2—2x+4=(x—l)2+3D.ax2—9=a(x+3)(x—3)

【變式13-3](24-25八年級上?湖北荊州?期末)計算I2-22+32-42+52-62+……+992-10。2的值

為—,

【壓軸篇】

【考點14無理數(shù)的整數(shù)與小數(shù)部分的計算】

【例14】（24-25七年級?浙江寧波?期中）19-回的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,貝吃a-6=.

【變式14-1］（24-25七年級?江蘇蘇州?階段練習）如圖1,把兩個面積為ldm2的小正方形沿對角線剪開，拼

成一個面積為2dm2的大正方形，所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先面積為ldn?的小正方形

的對角線長，因此，可得小正方形的對角線長為近.

(1)某同學把長為2,寬為1的兩個長方形沿對角線剪開裁剪，拼成如圖2所示的一個大正方形.仿照上面的探

究方法求空白部分正方形的面積及其邊長x的值；

(2)若c為(1)中x的整數(shù)部分，求c的平方根.

【變式14-2](24-25七年級?甘肅蘭州?期中)大家知道魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此或的

小數(shù)部分我們不能全部地寫出來，于是小平用魚-1來表示近的小數(shù)部分，你同意小平的表示方法嗎？事

實上小平的表示方法是有道理的，因為魚的整數(shù)部分是1,用這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.請

解答：若后的整數(shù)部分為小數(shù)部分為江

⑴求a,6的值；

(2)求a2+b-6的值.

【變式14-3](24-25七年級?浙江杭州?期中)以下是小明與老師之間的對話：

小明：張老師，我們知道乃是無理數(shù)，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，那該如何表示出它的小數(shù)部分呢?

老師：小明，因為述的整數(shù)部分是2,所以將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即傷-2.

根據(jù)上述對話內容，解答下面的問題：

已知7+VTI=x+y,其中久是整數(shù)，且0<y<1.

(l)x=；y=；

(2)求—y的值.

【考點15不等式(組)的整數(shù)解問題】

—2(%—2)—%〈2

”X、1最多有2個整數(shù)解，且關

{——>-----1-x

22

于y的一元一次方程3(y-1)-2(y-k)=7的解為非正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和為()

A.13B.18C.21D.26

【變式15-1]已知關于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為一5,則根的取值范圍為.

【變式15-2](20-21八年級?上海虹口?期中)已知關于x的不等式組{：二^的整數(shù)解共有5個，且關于

y的不等式ay-1<-y的解集為y>《p則a的取值范圍_______.

【變式15-3](23-24八年級.北京?期中)(1)關于久的不等式—2<%<3有個整數(shù)解；

（2）若關于％的不等式組歲［2（人為常數(shù),且為整數(shù)）恰有5個整數(shù)解，貝味的取值為；

（3）若關于％的不等式3k<x<（a+3）k（k和a為常數(shù)，且為整數(shù)）恰有6個整數(shù)解，則共有組滿

足題意的k和a.

【考點16不等式組的有解或無解問題】

3%+a<2%

1-5上；有解但沒有整數(shù)解，則a的取值范圍為.

｛--x<-x+2,

【變式16-1］若不等式組｛久J;無解，則不等式組｛久>I］:的解集是（）

X&uX<3D

A.x>3—aB.x<3—bC.3—a<x<3—bD.無解

（x—2（x—1）<3

【變式16-2］關于久的方程k-2*=3（k-2）的解為非負數(shù)，且關于久的不等式組2k+x>%有解，則

符合條件的整數(shù)k的值的和為.

【變式16-3］從一2,-1,0,1,2,3,5這七個數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)記為m,若數(shù)m使關于x的不等式組

f々十2無解，且使關于x的一元一次方程（m—2）x=3有整數(shù)解，那么這六個數(shù)所有滿足條

件的m的個數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【考點17利用不等式的基本性質求最值】

【例17】（20-21八年級?江西景德鎮(zhèn)?期中）已知非負數(shù)x,y,z滿足.平=萼=早.，設W=3x-2y+z,

234

則w的最大值與最小值的和為（）

A.-2B.-4C.-6D.-8

【變式17-1］（23-24八年級.江蘇南通?期末）己知非負數(shù)a,b,c滿足條件3a+2b+c=4,2a+6+3c=5,

設s=5a+4b+7c的最大值是m,最小值是n,則m+n的值為.

【變式17-2］（20-21八年級?湖北黃石?期末）已知實數(shù)a,6,滿足lWa+6W4,0Wa-bW1且a-26有

最大值，貝帕a+20216的值是.

【變式17-3］（23-24八年級?北京?期末）已知久1，%2>%3，x4>打為正整數(shù)，且X1<久2<%3<%4<招，若

X］+X2+*3+%4+%5=2024,則X］+%2+%3的最大值為-

【考點18方程與不等式（組）的實際應用】

【例18】（22-23八年級?重慶九龍坡?階段練習）某家具店經(jīng)銷A、8兩種品牌的兒童床，已知A品牌兒童床

的售價為4200元，利潤率為20%,2品牌兒童床的成本價為4200元，而每張B品牌兒童床的售價在成本的

基礎上增長了"

(1)該店銷售記錄顯示，四月份銷售4B兩種兒童床共20張，且銷售A品牌兒童床的總利潤與2品牌兒童

床總利潤相同，求該店四月份售出力、B兩種品牌的兒童床的數(shù)量；

(2)根據(jù)市場調研，該店五月份計劃購進這兩種兒童床共30張，要求購進8品牌兒童床張數(shù)不低干A品牌兒

童床張數(shù)的70%,而用于購買這兩種兒童床的資金不超過115000元，請通過計算設計所有可能的進貨方案：

(3)在(2)的條件下，該店打算將五月份按計劃購進的30張兒童床全部售出后，所獲得利潤的10%用于購

買甲、乙兩款教學儀器捐贈給某希望小學.已知購買甲款儀器每臺300元，購買乙款儀器每臺130元，且

所捐的錢恰好用完，求該店捐贈甲，乙兩款儀器的數(shù)量.

【變式18-1](23-24八年級.廣東韶關.期末)快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工

分揀.己知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共

需12萬元.

(1)甲，乙兩種型號機器人的單價各為多少萬元？

(2)已知1臺甲型和1臺乙型機器人每小時分揀快遞的數(shù)量分別是1400件和1200件，該公司計劃最多用16萬元

購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人3臺，請問有哪幾種購買方案?哪種方案能使每小時的

分揀量最大？

【變式18-21某手機經(jīng)銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號的手機，若購進2部甲型號手機和1部乙型號

手機，共需要資金2800元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金4600元.

(1)求甲、乙型號手機每部進價為多少元？

(2)該店計劃購進甲、乙兩種型號的手機銷售，預計用不多于1.8萬元且不少于1.74萬元的資金購進這兩種

型號的手機共20臺，請問有幾種進貨方案？

(3)售出一部甲種型號手機，利潤率為40%,乙型號手機的售價為1280元.為了促銷，公司決定每售出一臺

乙型號手機，返還顧客現(xiàn)金山元，而甲型號手機售價不變，要使(2)中所有方案獲利相同，求機的值.

【變式18-3](23-24八年級.江蘇南通?期中)【綜合與實踐】根據(jù)以下信息1-3,探索完成設計購買方案的

任務1?3.

信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為4B,C三類.

信息2：若購買2份A獎品和3份2獎品共需220元；購買3份A獎品和2份8獎品共需230元.單獨購

買一份C獎品需要15元.

信息3：計劃獲A獎品的人數(shù)要少于獲3獎品的人數(shù).購買時有優(yōu)惠活動：每購買1份A獎品就贈送一份C

獎品.

任務1：求A獎品和8獎品的單價；

任務2：若獲A獎品的人數(shù)等于獲C獎品的人數(shù)，且獲得A獎品的人數(shù)超過10人，求此次購買A獎品有幾

種方案；

任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲A獎品的人數(shù)盡量多，請你直接寫出符合條件的購買

方案.

【考點19幕的運算的逆用】

【例19]（24-25七年級?湖北武漢?階段練習）若a〃7=20,bn=20,ab=20,則---=.

mn

【變式19-1]（24-25七年級?四川巴中?期中）已知2*+2?31+2=36工-3,貝壯=.

【變式19-2]（24-25七年級?安徽滁州?期中）已知n=28+21】.

（1）若久-m2,則自然數(shù)爪=；

（2）若x+2”是一個完全平方數(shù)，則自然數(shù)n=.

【變式19-3]（24-25七年級?浙江溫州?期中）已知整數(shù)a、b、c、d滿足a<b<c<d且2a3b4c5d=10000,

貝114a+3b+2c+d的值為.

【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】

【例20】（24-25七年級?湖北武漢?期中）如圖，一個長方形被分成四塊：兩個小長方形，面積分別為Si,

S，兩個小正方形，面積分別為S3，S4,若2S1—S2的值與AB的長度無關，則S3與S4之間的關系是.

【變式20-1]（24-25七年級?福建泉州?期末）對于多項式％-a,x-b,x—c,x—d（a,b,c,d是常數(shù)），

若％-a與尤-b的積減去x-c與無一d的積，其差為常數(shù)，則a,b,c,1應滿足的關系是（）

A.a+b=-c—dB.CL-b=c-d

C.a+b=c+dD.ab=cd

【變式20-2]（24-25七年級?四川巴中?期中）若（/+荏％+3）（/—3%+TH）的展開式中不含/和第3項，則

m+n=__________

【變式20-3]（24-25七年級?安徽淮北?期中）[知識回顧]

有這樣一類題：

代數(shù)式ax-y+6+3x-5y-1的值與無的取值無關，求a的值；

通常的解題方法；

把x,y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關，所以含x項的系數(shù)為0,即原

式=(a+3)x—6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

A

b

a

—D

圖1圖2

[理解應用]

(1)若關于x的多項式(2?n-3)x+2m2-3nl的值與x的取值無關，求m的值；

(2)已知3[(2x+l)(x-1)-x(l-3y)]+6(-x2+xy-1)的值與x無關,求y的值；

(3)(能力提升)如圖1,小長方形紙片的長為人寬為6,有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在

大長方形ABC。內，大長方形中有兩個部分(圖中陰影部分)未被覆蓋，設右上角的面積為S「左下角的

面積為S2,當A8的長變化時，Si??的值始終保持不變，求。與6的等量關系.

【考點21多項式乘多項式與圖形面積】

【例21】(24-25七年級?云南迪慶?期中)【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個

等式.

(1)【知識探究】如圖1,是用長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線均分成四個小長方形，然后按照圖2

拼成一個正方形，可以得到(a-b)2、(a+b)2、ab三者之間的等量關系式：；

(2)【知識遷移】類似的，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖3,觀察

大正方體分割，寫出可以得到的等式；若a+b=6,ab=7,求(^+川的值;

(3)【拓展探究】如圖4,兩個正方形4BCD、CEFG的邊長分別為x,〉y)若這兩個正方形的面積之和為

34,且BE=8,求圖中陰影部分的面積.

【變式21-1]（24-25七年級?北京?期中）長方形窗戶ABCD（如圖1）,是由上下兩個長方形（長方形AEFD和

長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽

簾的高度分別是。和2b（即DF=a,BE=2b）,其中a>b>0.當遮陽簾沒有拉伸時（如圖1）,若窗

框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形ABCD）的面積.如圖2,上面窗戶的遮

陽簾水平向右拉伸2a至G”.當下面窗戶

的遮陽簾水平向左拉伸2b時，恰好與在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）.

圖1圖2圖3

（1）求長方形窗戶A8CD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）

（2）如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至4G=|&￡>,下面窗戶的遮陽簾拉伸至CP=|BC處時，窗戶的透光面積恰

好為長方形窗戶力BCD面積的一半，求,

【變式21-21（24-25七年級?福建福州?期中）我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形

少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休.”可見，數(shù)形結合思想在解決數(shù)學問題，理解數(shù)學本質

上發(fā)揮著重要的作用.在一節(jié)數(shù)學活動課上，老師帶領同學們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘.

情境一如下圖，甲同學將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含a、b的式子分別表示

圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；

情境一

圖1圖2

情境二乙同學用1塊4木片、4塊8木片和若干塊C木片拼成了一個正方形，請直接寫出所拼正方形的邊長（用

含a、b的式子表示），并求所用C木片的數(shù)量；

情境二

a

Aab

情境三丙同學聲稱自己用以上的4B,C三種木片拼出了一個面積為2a2+7ab+462的長方形；丁同學認

為丙同學的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長方形.

你贊同哪位同學的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應的圖形.（要求：所畫圖形的

長、寬與圖樣一致，并標注每一小塊的長與寬）.

【變式21-3］（24-25七年級?黑龍江哈爾濱?期中）八年級數(shù)學老師在集體備課中，發(fā)現(xiàn)利用“面積法”說明整

式的乘法有助于學生的理解，為此老師們用硬紙卡制作了如下的學具（aXa的正方形A,bxb的正方形以

ax6的長方形C）,

（1）在一節(jié)課的探究中，小高老師利用1張A和1張C拼出如圖1所示的長方形，利用“面積法”可以得出的

整式乘法關系式為

（2）在隨后的探究中，小高老師在上課時則給同學們發(fā)了很多硬紙片（axa的正方形A,bxb的正方形B,axb

的長方形C）,并要求同學們用2張A,1張8和3張C拼成一個長方形，請你在框1中畫出對應的示意圖,

并將利用面積法得出的整式乘法關系式補充完整;

框1

()()=2a2+3ab+b2

(3)小朱老師在設計本單元的階梯作業(yè)時，給出如圖2所示的示意圖，請結合圖例，在橫線上添加適當?shù)氖?/p>

子，使等式成立；

+=2a2+2b2

(4)小威老師在培優(yōu)群中布置了一道思考題：已知(a+b)2+(a-b)2=40,求2a+b的最大值，請認真思考,

并完成解答.

【考點22整式乘法中的規(guī)律性問題】

【例22】(24-25七年級?四川眉山?期中)觀察下列各式：

(%—1)(%+1)=%2—1；

(%-1)(%2+X+1)=%3—1；

24

(X—1)(久3+%+%+1)=X—1;

432

根據(jù)規(guī)律計算：22。22—22021+22020_22019+......+2-2+2-2的值是()

?720239

A.-~-B.22023—1C.—22023

3

【變式22-1](24-25七年級?廣西南寧?期中)閱讀：在計算(%-l)(xn+xn-r+xn-2+???+%+1)的過程中,

我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結，形成解決一

類問題的一般方法，數(shù)學中把這樣的過程叫做特殊到一般.如下所示：

(1)【觀察】①(％-l)(x+1)=；

②(X-1)(久2+X+1)=；

③(X—l)(x3+X2+X+1)=;....

(2)【猜想】由此可得：(%-l)(xn+xn-1+xn~2H------1-x+1)=；

(3)【應用】請運用上面的結論，解決下列問題：計算：52024+52023+52022+5202]+…+5+1的值.

【變式22-2](24-25七年級?廣東湛江?期末)觀察并驗證下列等式：

I3+23=(1+2)2=9,

I3+23+33=(1+2+3)2=36,

I3+23+33+43=(1+2+3+4)2=100,

(1)續(xù)寫等式：13+23+33+43+53=;(寫出最后結果)

(2)我們已經(jīng)知道1+2+3+-+n=|n(n+1),根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結論：I3+23+33+-

+(n-I)3+n3=；(結果用因式乘積表示)

(3)利用(2)中得到的結論計算：

33+63+93+-+573