2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)下學(xué)期同步訓(xùn)練之棱錐

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版高一同步經(jīng)典題精練之

棱錐

一.選擇題（共5小題）

1.（2025?濮陽(yáng)一模）截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫(huà)法幾何研究的內(nèi)容之一.當(dāng)空間形

體表面是曲面時(shí)，截交線是一條平面曲線；當(dāng)空間形體表面由若干個(gè)平面組成時(shí)，截交線是一個(gè)多邊

形.已知正三棱錐0-ABC,滿足0A_L03,OB±OC,OA±OC,04=3,點(diǎn)尸在△ABC內(nèi)部（含邊

界）運(yùn)動(dòng)，且|0「|=乃，則點(diǎn)尸的軌跡與這個(gè)正三棱錐的截交線長(zhǎng)度為（）

V37TV27T71

A.-----B.-----C.-D.n

222

—>—>

2.（2024秋?新余校級(jí)月考）現(xiàn)有一三棱錐P-ABC,AC-BC=0,。為其外接球（四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球

面上）球心，PC=PB,CA=2V7,平面PC2恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)0.設(shè)平面ABC截球。的截面為a,截面中

心為，^tanZOAB==r,O'A=4,G為a上一點(diǎn)，則PG取最大值時(shí)，tanZPGO'=()

6+2V76-2V716+5b16-5?

A.---------B.---------C.-----------D.-----------

3333

3.(2024?包河區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試)在三棱錐P-ABC中，PO_L平面ABC,垂足為O,且則

點(diǎn)0一定是AABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

4.（2024?東莞市校級(jí)模擬）若半徑為廠的小球可以在棱長(zhǎng)均為8的四棱錐內(nèi)部自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則廠的最大值為

（）

A.V3+1B.2（V3+1）C.2（V6-V2）D.2（V6-1）

5.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)Ai,Bi,Ci,。分別是四棱錐P-ABC。側(cè)棱B4,PB,PC,PD±

的點(diǎn).給出以下兩個(gè)命題，則（）

①若A8C。是平行四邊形，但不是菱形，則ALBICLDI可能是菱形；

②若ABCD不是平行四邊形，則AiBiCiDi可能是平行四邊形.

A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假

二.多選題（共5小題）

（多選）6.（2024?魏都區(qū)校級(jí)三模）已知三棱錐V-A2C,VA^VB^VC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

D,E別是以，的中點(diǎn)，ZCDE=90°,V在平面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)M在平面儂8內(nèi)的投影

為點(diǎn)P則（）

A.儂，VB,VC兩兩垂直

B.P在平面口IC的投影為儂的中點(diǎn)

C.C,M,E三點(diǎn)共線

D.形如三棱錐V-ABC的容器能被整體裝入一個(gè)直徑為2.5的球

（多選）7.（2024春?神木市校級(jí)期末）如圖，正三棱錐尸-A8C和正三棱錐Q-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)分別為2,

V2,直線尸。與底面ABC相交于點(diǎn)O,OP=2OQ,貝”（

A.PQ=V5

B.AQ,BQ,C。兩兩垂直

C.4尸與C。的夾角為45°

D.點(diǎn)尸，A,B,C,。不可能同時(shí)在某個(gè)球的表面上

（多選）8.（2023春?江寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四棱錐S-ABCZ）中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形,

下列選項(xiàng)中，正確的是（）

—>—>T—>T

A.S/l+SS+SC+SD=0B.SA+SB-SC-SD=O

—?T—>—?

C.SA-SB+SC-SD=OD.SA-SB=SC,SD

（多選）9.（2023秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為a.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木

塊鋸開(kāi)，則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中正確的是（）

B

A.過(guò)棱AC的截面中，截面面積的最小值為回-

4

11

B.若過(guò)棱AC的截面與棱2。（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)P,則-VCOSNZPCW-

32

a2

C.若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為一

4

D.與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)

（多選）10.（2023秋?朝陽(yáng)期中）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為a.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開(kāi),

則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中正確的是（）

r-9

A.過(guò)棱AC的截面中，截面面積的最小值為四-

4

1

B.若過(guò)棱AC的截面與棱8。（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)P,則cos/APC的最小值為三

C.若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為一

2

D.與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)

三.填空題（共3小題）

11.（2024秋?閔行區(qū)期末）側(cè)棱長(zhǎng)為2百的正三棱錐V-ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=40°,過(guò)點(diǎn)

A作截面AEF,則截面△AEP周長(zhǎng)的最小值為.

12.（2024春?華池縣校級(jí)期中）在四棱錐P-ABC。中，AB=（4,-2,3）,AD=（-4,1,0）,XP（-

6,2,-8）,則該四棱錐的高為.

13.（2024?諸暨市三模）若正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為1,以三個(gè)側(cè)面為底面向外作三個(gè)正四面體P1A8C,

P2ABD,P3ACD,則2P3外接圓的半徑是.

四.解答題（共2小題）

14.(2024春?天河區(qū)校級(jí)期中)正六棱錐得底面周長(zhǎng)為24,。是底面的中心，H是8c的中點(diǎn)，ZSHO

60°.

(1)求棱錐的高；

(2)求棱錐的斜高；

(3)求棱錐的側(cè)棱長(zhǎng).

15.(2023秋?武漢月考)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2五,PB=PC=&,BP,

AP,BC的中點(diǎn)分別為O,E,O,4。=逐。。，點(diǎn)P在AC上，BFLAO.

(1)證明：EF〃平面ADO；

(2)證明：平面AZ)O_L平面BEF.

A

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）高一同步經(jīng)典題精練之

棱錐

參考答案與試題解析

題號(hào)12345

答案ADBCC

選擇題（共5小題）

1.（2025?濮陽(yáng)一模）截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫(huà)法幾何研究的內(nèi)容之一.當(dāng)空間形

體表面是曲面時(shí)，截交線是一條平面曲線；當(dāng)空間形體表面由若干個(gè)平面組成時(shí)，截交線是一個(gè)多邊

形.已知正三棱錐0-ABC,滿足OBLOC,OA±OC,。4=3,點(diǎn)尸在△ABC內(nèi)部（含邊

界）運(yùn)動(dòng)，且|。2|=聲，則點(diǎn)尸的軌跡與這個(gè)正三棱錐的截交線長(zhǎng)度為（）

V37TV27Tn

A.-----B.-----C.-D.it

222

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】由題意可得，所以點(diǎn)尸的軌跡是以。為球心，半徑為巡的球面與△ABC內(nèi)部（含邊界）包含

的平面相交所得的弧，即點(diǎn)P的軌跡是以正AABC的中心E為圓心，EP=舊為半徑的圓在△ABC內(nèi)

部（含邊界）的弧，在平面圖形中求出弧長(zhǎng)即可.

【解答】解：由題意可知，正三棱錐O-A8C,滿足OBLOC,OALOC,OA=3,

可得。4_L平面08C,得底面正△ABC的邊長(zhǎng)為3&，設(shè)正△ABC的中心為E,

由V三棱鏈。-ABC=V三棱錐A-OBC，

iir?兀ii

得ZQ一x-x(3\2)xsin—xOF=-x-x3x3x3,

32332

解得。E=V3,

又EP=VOP2-EO2=V3,

點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且|。2|=迎,

所以點(diǎn)P的軌跡是以0為球心，半徑為傷的球面與△48C內(nèi)部（含邊界）包含的平面相交所得的弧,

即點(diǎn)P的軌跡是以E為圓心，EP=K為半徑的圓在AABC內(nèi)部（含邊界）的弧,

如圖，作于。，圓與交點(diǎn)為G、H,則EG==百,

ED=一亍

M\^COS/GED=^=^=^,則/GE/"?所以/GE"/,

則點(diǎn)尸的軌跡在△ABC內(nèi)部（含邊界）的弧所對(duì)的圓心角為2兀-3x±=±,

.7T/-y/371

則弧長(zhǎng)為3xv3=

即點(diǎn)P的軌跡與這個(gè)正三棱錐的截交線長(zhǎng)度為手

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，屬于難題.

—>—>

2.（2024秋?新余校級(jí)月考）現(xiàn)有一三棱錐P-ABC,AC-BC=0,。為其外接球（四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球

面上）球心，PC=PB,CA=2V7,平面PC2恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)0.設(shè)平面ABC截球0的截面為a,截面中

心為O',^tanZOAB=7，O'A=4,G為a上一點(diǎn)，則PG取最大值時(shí)，tan/PGO'=()

6+2V76-2V716+5^716-5V7

A.---------B.---------C.-----------D.-----------

3333

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】分類討論；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；運(yùn)算求解；空間想象.

【答案】D

【分析】解出三角形A8C,再應(yīng)用球的截面性質(zhì)求出球的半徑，根據(jù)三角形PCB的等腰特點(diǎn)確定點(diǎn)P

的位置并求出點(diǎn)P到截面的距離，分析當(dāng)PG取最大值時(shí)，需PG取到最大值，進(jìn)而求解tan/PG。'.

【解答】解：：在截面a內(nèi)4LBC=0,.?.ACLBC,

即AABC為直角三角形，所以截面中心。'為A8中點(diǎn).

'：0'為截面中心，由球的截面性質(zhì)可知，00,_1_截面a,

又A8u截面a,OO'±AB.

在RtZ\。。'A中，tanZOAB=O/A=4,

q

OO'=3,OA=5,OB=OC=OP=5,

取8c的中點(diǎn)M,連MP,

:平面PCB恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,...點(diǎn)O為三角形PCB的外心，

又,：PC=PB,C.MPLBC,且O,P,M三點(diǎn)共線，

當(dāng)點(diǎn)。在三角形尸a內(nèi)部時(shí)（如圖1所示），作PP±a,垂足為點(diǎn)P',

：.PP'//OO',且點(diǎn)P,點(diǎn)O',點(diǎn)M三點(diǎn)共線，連MP'.

在RtZ\ABC中，ACLBC,AB=20'A=8,CA=2夕，：.BC=6,

1

在Rt/XBMO中，OM工BM,OB=5,BM=^BC=3,：.OM=4,

在RtZXPPM中，00'〃尸P,0P=5,0M=4,00'=3,

根據(jù)相似知識(shí)知，PP'="O'P'=等，

：.PG=y/P'P2+P'G2=J（竽）2+P（2,

又：G為a上一點(diǎn)，...PG,nax=O'P'+4=挈+4時(shí)，PG才取最大值，

此時(shí)tan/PG。'=第=年-=羽答.

r（Jby/_|o

當(dāng)點(diǎn)。在三角形PCB外部時(shí)（如圖2所示），同理可得尸P'=l<^>O'P'=零,

444,

z

/.當(dāng)PGmax=O'P'+4=竽+4,PG取最大值，

而此時(shí)tanZPGO'=算<、6—>

綜上，PG取最大值時(shí)，tan^PGOz=16~5^.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解與空間想象能力，是中檔題.

3.（2024?包河區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）在三棱錐P-A2C中，PO_L平面ABC,垂足為。，且則

點(diǎn)O一定是AABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；立體幾何；邏輯思維.

【答案】B

【分析】由題意知，三條斜線在底面的射影相等，即此點(diǎn)到底面三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由此得出

該點(diǎn)是三角形的外心.

【解答】解：由題意點(diǎn)尸為△ABC所在平面外一點(diǎn)，尸。,平面ABC,垂足為。，

若M=PB=PC,則它們?cè)诘酌嫔系纳溆耙蚕嗟龋?/p>

由此知點(diǎn)0至?△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

由外心的定義知，點(diǎn)。是三角形的外心.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外心定義與判斷問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件得出B4,PB,PC在底

面上的射影相等，是基礎(chǔ)題.

4.（2024?東莞市校級(jí)模擬）若半徑為/?的小球可以在棱長(zhǎng)均為8的四棱錐內(nèi)部自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則r的最大值為

A.V3+1B.2(V3+1)C.2(V6-V2)D.2(V6-1)

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)內(nèi)切球半徑滿足的條件，將其放在三角形中，通過(guò)已知條件列方程，結(jié)合解三角形知識(shí)即

可求解.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該四棱錐為四棱錐S-ABC。，如圖：

連接AC,BD,交于點(diǎn)連接SM,則該四棱錐的內(nèi)切球球心。在線段SM上.

設(shè)內(nèi)切球與側(cè)面SBC相切于點(diǎn)N,球。的半徑為小連接ON,

則ON_L平面SBC,且OM=ON=ro.

連接SN并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,連接ME,

則￡1為的中點(diǎn)，SE±BC,ME±BC.

由四棱錐的棱長(zhǎng)均為8,可知CM=^AC=1X8V2=4V2,ME=4,SM=Jd2-(4V2)2=4vLSE=

4V3.

易知ASONsASEM,

~SOON

所以一=，

SEME

即Ul°得「0=2(乃一或)，故廠的最大值為2(乃一魚(yú)).

4V34

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及棱錐的內(nèi)切球的問(wèn)題，屬于中檔題.

5.(2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末)設(shè)Ai,B\,Ci,Di分別是四棱錐P-ABC。側(cè)棱B4,PB,PC,PD±

的點(diǎn).給出以下兩個(gè)命題，則()

①若A8CQ是平行四邊形，但不是菱形，則ALBICLDI可能是菱形;

②若ABCD不是平行四邊形，則AiBiCiDi可能是平行四邊形.

A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯；直觀想象.

【答案】C

【分析】對(duì)于②，可以考慮構(gòu)造一個(gè)正四棱錐來(lái)說(shuō)明，對(duì)于①可以考慮利用反證法證偽.

【解答】解：對(duì)于②，考慮一個(gè)正四棱錐，然后再他的側(cè)棱的延長(zhǎng)線上可以畫(huà)出一個(gè)梯形,

具體做法是：取B4i=P8i=PQ=PDi,則四棱錐P-AiBiCiQi為正四棱錐，

然后令B4=2B4i,PB=2PBi,PC=3P0,PD=3PDi；

那么AO〃BC,AD手BC,

此時(shí)ABC。是梯形，但不是平行四邊形，

對(duì)于①，如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，AiBiCiDi也為平行四邊形,

若平面ABCD與平面AiBiCiD不平行，

則四邊形ALBCLDI中必有一邊與底面ABC。相交，

不妨設(shè)直線46與底面相交，則直線21。也與底面相交，

在平面中過(guò)P做4D1的平行線，交AD與T,貝

因PC平面PBC,B1C1U平面PBC,故PTu平面PBC,即為平面PBC,

而平面PBCC平面ABCD=BC,故TeBC,而TeAD,

故BC,相交，這與ABC。為平行四邊形矛盾，

故平面A8CO〃平面AiBiCiDi,故——=—￡=―一，

ABPAAD

若四邊形AIBICLDI為菱形，則481=4。，則A8=AD,

p

T

故四邊形ABC。為菱形，故①錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真值判斷，屬于中檔題.

二.多選題（共5小題）

（多選）6.（2024?魏都區(qū)校級(jí)三模）已知三棱錐V-A8C,VA=VB=VC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

D,E別是儂，的中點(diǎn)，/CDE=90°,V在平面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)M在平面013內(nèi)的投影

為點(diǎn)P.則（）

A.VA,VB,VC兩兩垂直

B.尸在平面VAC的投影為也1的中點(diǎn)

C.C,M,E三點(diǎn)共線

D.形如三棱錐V-ABC的容器能被整體裝人一個(gè)直徑為2.5的球

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；平行投影及平行投影作圖法.

【專題】整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到平面VAC,結(jié)合勾股定理逆定理得到三條側(cè)棱兩兩垂直；B

選項(xiàng)，作出輔助線，得到P在平面01c的投影不為論的中點(diǎn)；C選項(xiàng)，根據(jù)正三棱錐的特征得到三點(diǎn)

共線；。選項(xiàng)，求出三棱錐V-A8C的外接球直徑，與2.5比較后得到答案.

【解答】解：A選項(xiàng)，因?yàn)?。，E分別為儂，的中點(diǎn)，所以。E〃仞3,因?yàn)镹CQE=90°,

所以CDLDE,故CDLVB,

取AC的中點(diǎn)S,連接VS,BS,因?yàn)樗?VC,AB=BC,所以VS_LAC,BSLAC,XVSHBS=S,VS,

BSu平面VBS,

所以ACJ_平面UBS,因?yàn)閂Bu平面UBS,所以AC_LYB,因?yàn)镃QC4C=C,CD,ACu平面VAC,

所以W?J_平面VAC,因?yàn)橐裕琕Cu平面VAC,

所以VB_L以，VB±VC,又Wk=VB=VC,AB=BC=2,故IM=PB=UC=&又AC=2,V^+VC2

=AC2,

由勾股定理逆定理得3_LVC,四，VB,VC兩兩垂直，A正確；

8選項(xiàng)，由題意得E,尸不重合，過(guò)點(diǎn)尸作PW〃丫B,交口1于點(diǎn)W,因?yàn)檠?,平面01C,

所以尸平面儂C,且W,。不重合，故P在平面VAC的投影不為VA的中點(diǎn)，B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，三棱錐V-ABC為正三棱錐，故點(diǎn)M為等邊三角形ABC的中心，故C,M,E三點(diǎn)共線，C

正確；

。選項(xiàng)，因?yàn)閮z，VB,VC兩兩垂直，故三棱錐V-A8C的外接球即為以四，VB,VC為棱的正方體

的外接球，

故外接球直徑為J(V2)2+(V2)2+(V2)2=V6,而乃＜2.5,

形如三棱錐V-ABC的容器能被整體裝入一個(gè)直徑為2.5的球，D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂直及平行關(guān)系的判斷及性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了幾何體性質(zhì)的應(yīng)用，考查了空

間想象能力的應(yīng)用，屬于中檔題.

(多選)7.(2024春?神木市校級(jí)期末)如圖，正三棱錐尸-A8C和正三棱錐Q-A8C的側(cè)棱長(zhǎng)分別為2,

V2,直線尸。與底面ABC相交于點(diǎn)O,OP=2OQ,貝。()

Q

A.P<2=Vs

B.AQ,BQ,CQ兩兩垂直

C.AP與CQ的夾角為45°

D.點(diǎn)、P,A,B,C,。不可能同時(shí)在某個(gè)球的表面上

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正三棱錐的特征，利用頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心可分析A與以利用割

補(bǔ)法可分析C與。，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng):

對(duì)于A選項(xiàng)，由正三棱錐的性質(zhì)知尸。，平面ABC,

如圖，連接0A,可得PQLOA,有。4=7Ap2-0P2=JAQ2-OQ2,

有J4-40Q2=J2-OQ2,解得。Q=坐，

可得仍（2|=逐，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

P

3、2月

可得BC=萼=2,又由4Q=BQ=CQ=42,

2s嗚2X字

可得/4QB=/BQC=ZAQC=j,

易知A。，BQ,C。兩兩垂直，故8選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由AQ,BQ,C0兩兩垂直，AB=BC=AC=AP=BP=CP=2,

把正三棱錐P-ABC和正三棱錐。-ABC拼成的幾何體放入如圖所示正方體中,

可知AP與C。的夾角為45°,故C選項(xiàng)正確；

c

對(duì)于。選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，點(diǎn)P,A,B,C,?？梢酝瑫r(shí)在以尸。為直徑的球上，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及空間點(diǎn)線面距離的計(jì)算，屬于中檔題.

（多選）8.（2023春?江寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形,

S至IJA,B,C,。的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是（）

—>T

A.S/+SB+SC+SD=0B.SA+SB-SC-SD=0

—>—>—>—?

C.SA-SB+SC-SD=0D.SA-SB=SC-SD

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯思維.

【答案】CD

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算判斷選項(xiàng)A,B,C,利用空間向量數(shù)量積的定義結(jié)合三棱錐的幾何

性質(zhì)判斷選項(xiàng)。，即可得到答案.

【解答】解：因?yàn)?4—58+5。-5。=84+。。=0,

故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

—?—>—>

因?yàn)镾4+SB-SC-SD=CA+DB^0,

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)榈酌鍭2CD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A,B,C,。的距離都等于2,

貝USASB=2X2Xcos^ASB,

SC-SD=2X2xcosZ-CSD,

因?yàn)?AS8=/CSQ,

TT—>—>

所以=SC?SD,故選項(xiàng)。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，空間向量數(shù)量積定義的理解與應(yīng)用，三棱錐幾何性質(zhì)的理解

與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）9.（2023秋?宛城區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為現(xiàn)準(zhǔn)備將該木

塊鋸開(kāi)，則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中正確的是（）

/—9

A.過(guò)棱AC的截面中，截面面積的最小值為3-

4

11

B.若過(guò)棱AC的截面與棱5。（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)尸，則一Vcos乙4PCW-

32

C.若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為一

4

D.與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；平面的基本性質(zhì)及推論；命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理、三角形面積公式與三角函數(shù)的值域，驗(yàn)證A、8兩項(xiàng)的正誤；根據(jù)

矩形的面積公式與二次函數(shù)的性質(zhì)，驗(yàn)證C的正誤；根據(jù)線面平行的性質(zhì)與點(diǎn)到平面的距離，驗(yàn)證Z）

的正誤，即可得到本題的答案.

【解答】解：對(duì)于A,設(shè)截面與棱BD的交點(diǎn)為P,如圖1,過(guò)棱AC的截面為△ACP,

c

圖1

當(dāng)P為棱BZ)的中點(diǎn)時(shí)，△ACP的面積取得最小值,

△APC中，AC=a,AP=CP=cosZAPC=+rasinZAPC=1-(1)2=-

Z~?V3ZaJ3~a=J\'',

乙F-2~

故△ACP的面積最小值S=^AP-CP-sin^APC=烏貯，A正確.

Z4

一、“J3aa2V3

對(duì)于8,設(shè)AP=CP=r,te[號(hào)，a),-e(1,—],

2222

Ap+cp_Ar2/-_n2n211

在△ACP中，C0S/4PC=?=1-j,所以-<COSNAPCV-,B錯(cuò)誤.

2AP-CP2r2r32

對(duì)于C,如圖2,當(dāng)截面E尸MW為平行四邊形時(shí)，EF//MN,EM//FN.

圖2

由AO_L8C,可得EM_LMN,所以平行四邊形EWW為長(zhǎng)方形.

2

設(shè)則MN=a-x,所以長(zhǎng)方形EFNM的面積S=x(a-x)當(dāng)且僅當(dāng)EM=x=^時(shí)，等號(hào)

成立，C正確.

對(duì)于D,與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為以下兩類：

第一類：平行于正四面體的一個(gè)面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個(gè).

第二類：平行于正四面體的兩條對(duì)棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個(gè).

故與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個(gè)，O正確.

故答案為：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間位置關(guān)系與距離、正余弦定理及其應(yīng)用、求函數(shù)的值域與最值等知識(shí)，考查

了幾何圖形的理解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

（多選）10.（2023秋?朝陽(yáng)期中）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為4.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開(kāi)，

則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中正確的是（）

V2a2

A.過(guò)棱AC的截面中，截面面積的最小值為——

4

1

B.若過(guò)棱AC的截面與棱8。（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)尸，則cos/APC的最小值為§

a2

C.若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為了

D.與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；平面的基本性質(zhì)及推論.

【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；直觀想象；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A，當(dāng)過(guò)棱AC的截面過(guò)棱2。的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最小，求出其面積即可；對(duì)于8,利

用余弦定理求解；對(duì)于C,當(dāng)截面EFNM為平行四邊形時(shí)，可得平行四邊形EFNM為長(zhǎng)方形，設(shè)EM

=x,則所以長(zhǎng)方形EFNM的面積S=xQ-x）,再利用基本不等式求解即可；對(duì)于。，分

平行于正四面體的一個(gè)面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等和平行于正四面體的兩條對(duì)棱，且到兩條棱距離

相等兩種情況討論求解.

【解答】解：設(shè)截面與棱8。的交點(diǎn)為P,如圖1,

圖1圖2

過(guò)棱AC的截面為△ACP,當(dāng)P為棱3。的中點(diǎn)時(shí)，△ACP的面積取得最小值,

F5

止匕時(shí)AP=CP=三〃，AC=a,

所以△的面積為]Xax^l(~a)2~2

ACP(1a)-a2

即截面面積的最小值為-^一，故A正確；

4

、門(mén)?\[3CL。2.y/3

設(shè)AP=CP=￡,貝Ijte[嶗，a),-e(1,—],

在△ACP中，cosZAPC=4c2==1一鳥(niǎo)，

2AP-CP2r2r

11

所以-WCOSNAPCV-,故B正確;

32

如圖2,當(dāng)截面EWW為平行四邊形時(shí)，EF//NM,EM//FN,

由AO_LBC,知EM_LMN,

從而平行四邊形EFNM為長(zhǎng)方形，設(shè)￡M=無(wú)，則MN=a-x,

2

所以長(zhǎng)方形跖NM的面積S=K（a-x）W患當(dāng)且僅當(dāng)EM=x=?時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；

與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為兩類，

第一類：平行于正四面體的一個(gè)面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個(gè)，

第二類：平行于正四面體的兩條對(duì)棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個(gè)，

故與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個(gè)，故。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正四面體的結(jié)構(gòu)特征，考查了余弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于

中檔題.

三.填空題（共3小題）

11.（2024秋?閔行區(qū)期末）側(cè)棱長(zhǎng)為2百的正三棱錐V-ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=40°,過(guò)點(diǎn)

A作截面AEF,則截面aAi產(chǎn)周長(zhǎng)的最小值為

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】沿著側(cè)棱3把正三棱錐V-ABC展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則44'即為截面/周長(zhǎng)的

最小值，且NAVW=3X40=120°./XVAA'中，由余弦定理可得的值.

【解答】解：如圖所示：沿著側(cè)棱儂把正三棱錐V-ABC展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如圖(2),

貝|」44'即為截面△AEF周長(zhǎng)的最小值，且/AV/'=3X40=120°.

△必弘'中，由余弦定理可得A4'=y]VA2+VA'2-2VA-VA'-cos^AVA'=

J12+12-2xl2cosl200=6,

故答案為6.

(1)⑵

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖研究幾條線段和的最

小值問(wèn)題，是一種重要的解題方法，屬于基礎(chǔ)題.

-?—>―>

12.(2024春?華池縣校級(jí)期中)在四棱錐尸-48CD中，AB=(4,-2,3),4。=(-4,1,0),AP(-

6,2,-8),則該四棱錐的高為2.

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】求出平面ABC。的法向量，然后利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.

—>—>—>

【解答】解：四棱錐尸-ABC。中，AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP(-6,2,-8),

設(shè)平面ABCO的法向量為1=(無(wú)，y,z),

LT

則,”=0,

（幾?AD=0

—可r得4曰|（一4%4%—+2yy+=30z=0

不妨令冗=3,則y=12,z=4,

可得蔡=（3,12,4）；

—>

則2P=（-6,2,-8）在平面ABCD上的射影就是這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn),

所以/7=|G||c°s<4k]>|=|源I」』譽(yù)一%I：?；

\n\

所以該四棱錐的高為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)到平面的距離公式的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

13.（2024?諸暨市三模）若正四面體4BC。的棱長(zhǎng)為1,以三個(gè)側(cè)面為底面向外作三個(gè)正四面體PA2C,

P2ABD,P3ACD,則P2P3外接圓的半徑是一

9

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【分析】將正四面體48。放置在正方體中，得到相應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得尸1,P2的坐標(biāo)，求得線段

IP1P2I，從而得出外接圓半徑.

【解答】解：不妨將此正四面體ABC。放置在正方體中,

從而可得A（0,0,0）,8（孝，孝，0），辛，0，孝），孝），

則△ABC的中心為（孝，喀，喀），且此中心為尸1。的中點(diǎn)，則Pi（岑—噂，—春）；

同樣△A8Q的中心為（夠，孝，￥），且此中心為尸2c的中點(diǎn)，貝曲2（—喀，—g），

?.?伊也1=]（半尸+（警）2=*

5_

,1155V3

:.AP1P2P3外接圓的半徑是二?.=—7=-=——

2sml20°3V39

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式及三角形外接圓半徑求法，屬中檔題.

四.解答題（共2小題）

14.（2024春?天河區(qū)校級(jí)期中）正六棱錐得底面周長(zhǎng)為24,。是底面的中心，”是8。的中點(diǎn)，ZSHO=

60°.

（1）求棱錐的高;

(2)求棱錐的斜高；

(3)求棱錐的側(cè)棱長(zhǎng).

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】先求出正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為4,OH=,BC=2?由此利用直角三角形的性質(zhì)能求出棱錐

的高、斜高和側(cè)棱長(zhǎng).

【解答】解：(1).??正六棱錐的底面周長(zhǎng)為24,...正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為4.

在正棱錐S-ABCD所中，取BC的中點(diǎn)X,連結(jié)陽(yáng)，SH±BC,。是正六邊形ABC。跖的中心.

連結(jié)SO,則SO_L底面ABCDE?

F5

在RtZXS?！爸?，OH=號(hào)BC=2同

：.ZSHO=60°,.?.棱錐的高SO=O”1Aw60°=6.

(2)在AS。/中，VZSHO=60°,SOIOH,

棱錐的斜高SH=2OH=4?

(3)RtZXSOH中，：S0=6,0B=BC=4,SOIOH,

棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)SB=yJSO2+OB2=V36+16=2g.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的高、斜高和側(cè)棱長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力

的培養(yǎng).

15.(2023秋?武漢月考)如圖，在三棱錐尸-4BC中，AB±BC,AB=2,BC=2a,PB=PC=屜,BP,

AP,8c的中點(diǎn)分別為D,E,O,AD=ADO,點(diǎn)F在AC上，BFLAO.

(1)證明：￡尸〃平面4。。；

(2)證明：平面AOOJ_平面BEE

p

A

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；立體幾何；直觀想象；運(yùn)算求解.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用向量法可得。/〃AB，。尸=紅2,四邊形。。所為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定

定理即可證明；

（2）由勾股定理可得AO_LO。，AO.LEF,根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.

—>—>—>

【解答】證明：⑴由題可知，|XC|=2V3,設(shè)力F=2u4C,

—>—?—>—?

U：AB-AC=\AB\\AC\cosZBAC=4,

則BF?AO=(ZAC-AB)^~AB+~AC)=2MCI2-4\AB\2+(-4--)AB-AC=8A-4=0,解得4=4,

22211211222

：.OF//AB,OF=

ffi]DE//AB,DE=J.DE//OF,DE=OF,四邊形OOEF為平行四邊形，

：.EF//OD,

：OZ)u平面A。。，EFC平面A。。，

.,在〃平面AOO.

(2)AO=7AB2+OB?=V6=PC=2OD,AD=乘OD,

.?.4。2=4。2+。。2,即A。，。。，AO1EF,

VBFXAO,BFCEF=F,

；.AO_L平面

：AOu平面ADO,

，平面AZ)O_L平面BEF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定定理，是中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)

合命題的真假.

注意：“非p”的正確寫(xiě)法，本題不應(yīng)將“非p”寫(xiě)成“方程x2-2尤+1=0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸?/p>

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由

真值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個(gè)“若〃則/形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”,貝I“若p

則4”為真；而要確定''若p則為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同

真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題

形式出現(xiàn).

2.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.用

頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，例：S-ABCD.

2.認(rèn)識(shí)棱錐

棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個(gè)面都叫做棱錐的側(cè)面.

棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.

棱錐的頂點(diǎn)；棱錐中各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).

棱錐的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高.

棱錐的對(duì)角面；棱錐中過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對(duì)角面.

3.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

4擊雄［1.底面是多邊形

棱錐側(cè)面是三角形

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：

平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比.

4.棱錐的分類

棱錐的底面可