2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊分類訓(xùn)練：菱形【10個】解析版

第08講菱形【10個必考點】

【人教版】

【知識點1菱形的定義及性質(zhì)】........................................................................1

【必考點1利用菱形的性質(zhì)求線段的長度】............................................................2

【必考點2利用菱形的性質(zhì)求角度】...................................................................6

【必考點3利用菱形的性質(zhì)求面積】..................................................................10

【必考點4坐標系中菱形性質(zhì)的應(yīng)用】................................................................13

【知識點2菱形的判定】..............................................................................17

【必考點5菱形的判定條件】.........................................................................17

【必考點6證明一個四邊形是菱形】..................................................................21

【必考點7菱形的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用】.............................................................27

【必考點8菱形中的多結(jié)論問題】....................................................................33

【必考點9菱形中的最值問題】.......................................................................39

【必考點10菱形中的動點問題】.....................................................................44

【知識點1菱形的定義及性質(zhì)】

1.菱形的定義：有一組鄰邊相等平行四邊形叫做菱形.

(1)菱形必須具備兩個條件：①是平行四邊形;②是有一組鄰邈瞳.這兩個條件缺一不可.

(2)菱形的定義既是菱形的性質(zhì)，也是菱形的判定方法.

2.菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的擔(dān)四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自身獨特的性質(zhì),

性質(zhì)數(shù)學(xué)語言圖形

菱形的四條邊都???四邊形是菱形，

邊

相等AB=BC=CD=AD.

4

菱形的兩條對角?.?四邊形是菱形，

B^D

巷互相垂直,并且:.BDLAC,

對角線

每一條對角線平ZDAC=/BAC/ACD=/ACB,

c

分一組對角/ABD=/CBD,/ADB=ZCDB.

對稱性菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸

(1)菱形的兩條對稱軸分別是兩條對角線所在直線.

(2)菱形的兩條對角線互相垂直，且把菱形分成四個全等的直角三角形.把菱形的性質(zhì)與勾股定理相聯(lián)系,

可得對角線與邊之間的關(guān)系，即邊長的平方等于兩條對角線一半的平方和.

(3)如果菱形的一個內(nèi)角為60。，那么菱形的兩條邊與較短的對角線構(gòu)成的三角形為等邊三角形.

3.菱形的面積

公式由來文字語言數(shù)學(xué)語言圖示

菱形是平行菱形的面積=

菱形

S菱形48cLBC.AED

四邊形.底X局.

的面

菱形的面積=

積公菱形的對角

對角線長的SICD=；4C.BD

B/EC

式線互相垂直

乘積的一半

【拓展】對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半.

【必考點1利用菱形的性質(zhì)求線段的長度】

【例1】如圖，四邊形N2CD是菱形，對角線ZC=4cm,BD=2cm,DHLAB于點、H,且?！ā雠cNC交于點

G,則?！ǖ拈L為()

8

C.-cmD.

5

【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線積的一半，可求得菱形的面積，又由菱形的對角線互相平分且垂直,

可根據(jù)勾股定理得的長，根據(jù)菱形的面積的求解方法：底乘以高或?qū)蔷€積的一半，即可得菱形的

高.

【解答】解：???四邊形/BCD是菱形,

11

..ACA-BD,OA=OC=—AC=2cm,OB=OD=~^BD=1cm,

-"-AB=〃。2+BO2=Vl2+22=V5>

1

'S菱形/Be。=54。.8°="8.°乩

ACBD4V5

.??DH=--7-=-^—cm

2AB5

故選：B.

【例2】如圖，四邊形/BCD中，ZC=90°，點E是8C上一點，連接DE,BD,AE與BD交于點、

0,四邊形48磯＞是菱形，若￡C=3,CD=4,則2。的長為（）

A.4B.3V3C.D.2V5

【分析】求解DE=J32+42=5,可得DE=BE=AB=AD=5,再求解BD=yjBC2+DC2=&+析=

4V5＞從而可得答案.

【解答】解：：四邊形/3CD中，ZC=90°,

...△CDK是直角三角形，

在RtZ\CDE中，EC=3,CD=4,

由勾股定理得：=力2+42=5.

?.?四邊形4BED是菱形,

：.DE=BE=AB=AD=5,OB=OD,

:.BC=BE+EC=8,

在直角三角形8co中,由勾股定理得：BD=VfiC2+DC2="+82=4Vs＞

1「

:.B0=^D=2近,

故選：D.

【變式1】如圖，四邊形4BCD是菱形，過點2作交對角線/C于點￡.若NE=8,48=7,則EC

的長為（）

【分析】先根據(jù)勾股定理求得的長，然后利用等面積法可求得50的長，再根據(jù)勾股定理可求得結(jié)果.

【解答】-BELAB,AE=8,AB=7,

:?BE=JAE2-AB2=V82-72=V15，

??,四邊形4SCZ）是菱形,

J.ACLBD,AB=BC=7,

11

??S^ABE=~'AE-B0=—?AB-BE,

7國、竺

在RtZXBOC中，0C={BC2-0B?=72-(

49

/.OA=OC=~~

o

4915

/.OE=AE—AO=8——二—

oo

49153417

：.EC=0C-0E=

8884

故選：A.

【變式2】如圖，在菱形45CZ）中，對角線4C,5。相交于點。，點N分別是邊的中點，連

接MN,OM.若MN=3,S菱形4BCD=24,則（W的長為（

C.2D.2.5

【分析】由三角形中位線定理得4C=2〃N=6,再由菱形的性質(zhì)和勾股定理求出。。=5,然后由三角形

中位線定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：??,點N分別是邊4。，CD的中點,

?是△4CZ）的中位線,

：.AC=2MN=2X3=6,

???四邊形45C。是菱形，S菱形"8=24,

11

：.OA=OC=~AC=3,OB=OD,ACLBD,-AC9BD=24,

1

即］X6義5。=24,

:,BD=8,

1

'.OD=~BD=4,

在RtZ^OCD中，由勾股定理得：CD=7OC2+OD2=732+42=5,

:點M是/。的中點，CM=OC,

：.OM是4ACD的中位線，

1

：.OM=~CD=2.5,

故選：D.

【變式3】如圖，菱形43C。的對角線/C、8。交于點O,菱形45CZ）的周長為40,直線斯過點。，且

與4D,分別交于點E,F,若06=3,則四邊形45FE的周長是（）

A.20B.23C.26D.29

【分析】由菱形的性質(zhì)得48=BC=CD=4D=10,AD//BC,OA=OCf證明尸(44S),

得OE=OF=5,AE=CF,再根據(jù)四邊形的周長即可得解.

【解答】解：?.?菱形的周長為40,OE=3,

：.AB=BC=CD=AD=10,AD//BC,OA=OC,

：./EAO=NFCO,ZAEO=ZCFO,

在△ZOE和△口?中，

(Z.EA0=Z.FCO

\z-AE0=Z.CF0,

WA=OC

：.AAOE^ACOF(AAS),

：?OE=OF=5,AE=CF,

???四邊形/5FE的周長是：

AB+BF+EF+AE

AB+BF+(OE+OF)+CF

10+QBF+CF)+(3+3)

=10+10+6

=26,

/.四邊形五E的周長是26.

故選：C.

【必考點2利用菱形的性質(zhì)求角度】

【例1】如圖，在菱形N8CD中，直線MV分別交/8、CD、NC于點M、N和。.且⑷/=CN,連接

BO.若/O8C=60°,貝U/DNC為()

A.65°B.30°C.25°D.20°

【分析】先由菱形性質(zhì)得出4B〃CD,BC//AD,BA=BC.結(jié)合4W=CN,證明

(ASA),則。/=OC,因為NO8C=60°,所以運用三角形內(nèi)角和性質(zhì)來計算，即可作答.

【解答】解：???四邊形/3CD是菱形，

：.AB//CD,BC//AD,BA=BC.

：.ZOMA=ZONC,ZOAM=ZOCN,ZDAC=ZOCB.

在△O/M和△OCN中，

(/LOMA=乙ONC

\AM=CN,

JOAN=/.OCN

:AOAMqAOCN(ASA).

：.OA=OC.

：.BO±AC.

：.ZBOC=90°.

,：ZOBC=60°,

AZ0C5=180°-/BOC-/OBC=30°.

：.ZDAC=ZOCB=30°.

故選：B.

【例2】如圖，在菱形4BCD中，E、尸分別是48、CD上的點，且/E=C尸，EF與/C相交于點。若/

DAC=36°,則NO8C的度數(shù)為（）

A.36°B.54°C.56°D.64°

【分析】由菱形的性質(zhì)可得/8=2C=4D=C￡>,AB//CD,AD//BC,由“44S”可證△/OE2△(%>*

可得/O=CO,由等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：???四邊形/5CD是菱形，

：.AB=BC=AD=CD,AB//CD,AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,ZDAC=ZACB=36°,

在△NOE和△CO/中，

(Z-EAO=4FCO

\z.AOE=Z.COF,

=CF

：./\AOE^/\COF(AAS),

：.AO=CO,

又,：AB=BC,

：.BOLAC,

：.ZOBC=90°-ZACB=54°,

故選：B.

【變式1］已知如圖，菱形/BCD中，對角線NC與2。相交于點O,DELAB于E,交AC于點F,若/BAD

11

C.90°--crD.45°+5a

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出NC,8。，進而利用互余解答即可.

【解答】解：??,四邊形/BCD是菱形,

11

：.AC±BD.ZBAO=-ZBAD=-af

：.ZDFO+ZFDO=90°,

9：DELAB,

：.ZFDO+ZABO=90°,

???/DFO=NABO,

VZBAO+ZABO=90°,

1

AZZ）FO=90°-ZBAO=90°

故選：C.

【變式2】如圖，四邊形/BCD是菱形，對角線/C、8。相交于點O,DH1BC于點、H,連接?！?，ZBAD

=56°,則NOHO的度數(shù)是（）

A.38°B.34°C.28°D.24°

【分析】首先根據(jù)菱形的一組鄰角互補可以求出NZBC=124。，再根據(jù)菱形的對角線互相平分且每組對

1

角線平分一組對角可得4=乙480=5乙4BC=62。、OB=OD,所以可得NBZ)H=28°,根據(jù)直角三

角形的斜邊等于斜邊的一半可得80=。。根據(jù)等邊對等角可得Nnro=NMO=28°.

【解答】解：如下圖所示，

由菱形性質(zhì)可得N8/O+N45C=180°,

?：/BAD=56°,

VZABC=U4O,

1

乙DBH=乙ABD=《乙ABC=62°,

'：DH±BC,

:.NDHB=90°,

在中，NBDH=9G°-NDBH=9Q°-62°=28°,

,：OB=OD,

.,?點。是8。的中點，

:.HO=DO,

：.ZDHO=ZBDO=2S°.

故選：C.

【變式3】如圖，點E,尸分別是菱形4BC。邊4D,8的中點，EG,2c交的延長線于點G.若NGEF

=66°,則的度數(shù)是（）

A.24°B.33°C.48°D.66°

【分析】連接NC,由菱形的性質(zhì)推出4D〃3C,NBAD=2ND4C,判定EG_L4D,得到NDEF+/FEG

=90°,求出ND￡F=24°,由三角形中位線定理推出￡F〃NC,得到/D4C=NDEF=24°,即可求

出N8/Z)=2X24°=48°.

【解答】解：連接ZC,

?.?四邊形N8C。是菱形，

J.AD//BC,ZBAD=2ZDAC,

:EGJLBC,

J.EGYAD,

：.ZDEF+ZFEG=90°,

VZGEF=66°,

ZDEF=24°,

,:E,B分別是4D,CD的中點，

尸是△￡MC的中位線，

C.EF//AC,

：.ZDAC=ZDEF=24°,

:./BAD=2X24°=48°,

故選：C.

【必考點3利用菱形的性質(zhì)求面積】

【例1】已知菱形的邊長為3,較短的一條對角線的長為2,則該菱形面積為（）

A.2V2B.2V5C.4V2D.2V10

1

【分析】設(shè)菱形/BCD中，AB=3,BD=2,連接/C、AD交于點0,貝吐/。3=90°,OB=~BD=\,

_________1

求得0c=。4=《4B2-?！?2五，貝U/C=4五,所以S菱形4ECD=7C?3D=4VL于是得到問題的答

案.

【解答】解：菱形ABCD,AB=3,BD=2,連接ZC、AD交于點。，

\'AC±BD,

：.ZAOB=90°,

1

'：OB=OD=~BD=1,

oc=OA=-JAB2-OB2=Vs2-i2=2vL

：.AC=OA+OC=2^2+272=4VL

11

:?S差彩ABCD=/C?BD=三4近x2=4?

該菱形面積為4vL

故選：C.

D

【變式1】如圖，在菱形48CD中，AC.5D相交于O,且4cBD=1：b，若48=2.則菱形45CZ）的

面積是（）

A.2V3B.V3C.孚D.孚

Z4

【分析】首先設(shè)/O=x,由在菱形NBCD中，AC：BD=\-.百，48=2,可得方程/臺2=（怎）2+x2=

22；繼而可求得NC與8。的長，則可求得菱形/BCD的面積.

【解答】解：菱形兩對角線將其分割為四個全等的直角三角形.

設(shè)/。=x,

:四邊形/BCD為菱形，

：.AO^CO,BO=DO,ACLBD.

又：/C：BD=ltV3>

.".AO：BO—I：V3,BO=V3.

在RtZUBO中,

'：AB2=BO2+AO2,

.,.AB2=（V3）2+X2=22.

解得：x=l.

.,.AO=l,BO=V3.

：.AC=2,BD=2y[3-

1廠廠

.?.菱形的面積為：-X2X2V3=2V3.

故選：A.

【變式2】如圖，菱形48co的對角線NC、2。相交于點O,過點。作于點區(qū)連接。〃，若04

=8,0H=3,則菱形/BCD的面積為（

A.48B.72C.96D.108

【分析】由菱形的性質(zhì)得OA=OC,OB=OD,由于點〃，得/BHD=90°,因為

1

04=8,OH=3,所以/C=2O4=16,BD=2OH=6,則S菱形/BCD=于是得到問題的答

案.

【解答】解：???四邊形/3CO是菱形，對角線/C、8。相交于點。，

J.ACVBD,OA=OC,OB=OD,

；DHL4B于點H,

:./BHD=90°,

：CM=8,0H=3,

.'?AC=2OA=16,BD=2OH=6,

11

=

:，S菱形4BCD~^AC*BD=]X16X6=48,

故選：A.

【變式3】如圖，在菱形NBC。中，AB=6,NQ=60°,點尸為邊CD中點，連接5尸，過點Z作跖〃

BP,且EF=BP,連接BE,PF,則四邊形5環(huán)尸的面積為（）

【分析】連接4C,AP,過C作于X,由菱形的性質(zhì)推出ZABC=ZD=60°,CD

「1

//AB,判定△/8C是等邊三角形，得到班/=3,由勾股定理求出C〃=3百，得到△N8C的面積=p比

C"=9內(nèi),于是△/3P的面積=A48C的面積=9百,判定四邊形￡8尸尸是平行四邊形，得到四邊形BEFP

的面積=2Sug尸=18V5.

【解答】解：連接4C,AP,過。作SL48于H,

???四邊形/BCD是菱形，

:,AB=BC,ZABC=ZD=60°,CD//AB,

???△48。是等邊三角形，

11

:,BH=~^4B=QX6=3,

■:BC=AB=6,

:.CH=y/BC2-BH2=3百，

1-

:.AABC的面積=?2?S=9百，

:CD〃AB,

：./\ABP的面積=△ABC的面積=9百，

'JEF//PB,EF=PB,

/.四邊形EBPF是平行四邊形，

四邊形BEFP的面積=2限@=2X9百=18V3.

故選：C.

【必考點4坐標系中菱形性質(zhì)的應(yīng)用】

【例1】已知菱形的三個頂點的坐標分別為0(0,0),4(2,0),5(1,西)，則第四個頂點C的坐標是—.

【分析】分為對角線，。2為對角線，3為對角線三種情況分別畫出菱形，進而根據(jù)圖形和菱形的

性質(zhì)即可解答.

【解答】解：如圖：

V0（0,0）,4（2,0）,5（1,何，

：?OA=OB=AB=2,

：./\OAB是等邊三角形，

當(dāng)為對角線時，點8（1,百）向右平移兩個單位得到。式3,V3）;

當(dāng)08為對角線時，點8（1,百）向左平移兩個單位得到C式-1,V3）;

當(dāng)。/為對角線時，點8（1,q）關(guān)于x軸的對稱點。3（1,-V3）-

故答案為：（3,⑨或（一1,百）或（1,-V3）.

【變式1】如圖，在平面直角坐標系中，菱形。N2C的頂點/的坐標是（3,1）.若頂點8在第一象限的

角平分線上，則點3的坐標是.

【分析】由“SSS”可證g△/"O,可得OH=BH,ZAHO=ZAHB=45a,由等腰直角三角形的

性質(zhì)可得//=FH=1,即可求解.

【解答】解：如圖，過點8作軸于〃，過點N作4FUO”于尸，連接

:點A的坐標是（3,1）,

尸=1,OF=3,

?..四邊形CM8C是菱形,

：.OA=AB,

..?點B在第一象限的角平分線上，

AOBH是等腰直角三角形,

：.BH=OH,

又；AH=AH,

：./\AHB^^xAHO(SSS),

：.OH=BH,ZAHO=ZAHB=45°,

\'AF±OH,

:.AF=FH=1,

：.OH=BH=4,

.,.點B(4,4),

故答案為：(4,4).

【變式2】如圖：已知點/的坐標為（-2百，2）,菱形的對角線交于坐標原點O,則C點的坐標

【分析】由菱形的性質(zhì)可知點/和點C關(guān)于原點對稱，結(jié)合條件可求得點C點的坐標.

【解答】解：???四邊形N3CD為菱形，

：.OA^OC,OB=OD,

:點O為坐標原點，

點/和點C關(guān)于原點對稱，點8和點。關(guān)于原點對稱，

:點N的坐標為（—2百，2）,

；.C點坐標為（2百,-2）.

故答案為：（2百，-2）.

【變式3】如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點N在〉軸上，M,N分別是邊。4,0c的中點,

若點M,N的縱坐標分別是3,2,則點2的坐標是.

M

MI

olX

【分析】延長交X軸于。，作AP，。。于尸，由菱形的性質(zhì)得到5C〃/。，BC=CO=AO,由點M

的縱坐標是3,得至!!OC=5C=6,由N的縱坐標是2,得到尸N=2,由三角形中位線定理得到0C=4,

即可求出5。的長，由勾股定理求出。。的長，即可得到5的坐標.

【解答】解：延長交工軸于0,作律,。。于P,

??,四邊形/8C。是菱形，

:?BC〃AO,BC=CO=AO,

'：AOLOQ,

：.BC±OQ,

??,點N的縱坐標分別是3,2,

：.OM=3fPN=2,

???M是。4中點，

：.AO=2OM=6,

：.OC=BC=6f

,:PN〃CQ,

：.PO：PQ=ON：NC,

?：ON=NC,

：?OP=PQ,

???/W是△OC。的中位線，

：?CQ=2PN=4,

OQ=^CO2-CQ2=2心

'：BQ=BC+CQ=6+4=10,

的坐標是（2訴，10）.

故答案為：（2V5.10）.

【知識點2菱形的判定】

Hfl、、/ST--

判定方法數(shù)學(xué)語百圖示

有一組鄰邊相等的在aABCD中，

漁四邊形是菱形AB=BC,

???A

（定義）.:.LJABCD是菱形.

邊

在四邊形N8C。中，

四條邊擔(dān)箜的四邊

???AB=BC=CD=AD,c

形是菱形.

，四邊形/8CA是菱形.

在LJABCD中,/

對角線互相垂直的￡

對角線AC±BD,

位四邊形是菱形

:qABCD是菱形.

（

【必考點5菱形的判定條件】

【例1】下列條件：

①一組對邊平行且相等；②對角線互相平分；③對角線互相垂直；④對角線相等;

⑤一組鄰邊相等；⑥一個角為直角.

從中選取兩個，能判定一個四邊形為菱形的序號為（)

A.①②B.①③C.②④D.②⑥

【分析】根據(jù)菱形的判定方法對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：N、①②有一組對邊平行且相等，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤；

B、①③有一組對邊平行且相等，對角線互相垂直的四邊形是菱形，故本選項正確；

C、②④對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故本選項錯誤；

D、②⑥對角線互相平分且一個角為直角的四邊形是矩形，故本選項錯誤；

故選：B.

【變式1】四邊形N8CD中，對角線/C與8。交于點O,下列條件中不一定能判定這個四邊形是菱形的是

()

A.AD//BC,AB//DC,AD=BC

B.AB=DC,ZABD=ZBDC,AD=CD

C.AB=DC=AD=BC

D.OA=OC,OB=OD,ACLBD

【分析】由菱形的判定方法逐一判斷，即可求解.

【解答】4、AD//BC,AD=BC,AB//DC,如一般的矩形可滿足此條件，但不是菱形，故符合題意；

B、'：ZBDC=ZABD,

C.AB//CD,

,:AB=DC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

；CD=4D,

四邊形/BCD是菱形，故不符合題意；

C、；DC=AD=4B=BC,由菱形的定義可得四邊形/BCD是菱形，故不符合題意；

D、；OB=OD,(24=OC,

四邊形/BCD是平行四邊形，

\'AC±BD,

四邊形/BCD是菱形，故不符合題意；

故選：A.

【變式2】如圖，四邊形N8CO是平行四邊形，給出下列四個條件：①AB=BC；@AC=BD；@ACL

BD；④NC平分/AID.若添加其中一個條件，不能使四邊形N5CD是菱形的為()

AD

0

BC

A.①B.②C.③D.④

【分析】根據(jù)由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷①，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷

②；根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判斷③；由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得NA4C=

NACB,得到可判斷④.

【解答】解：：四邊形N5C。是平行四邊形，AB=BC,

四邊形/BCD是菱形，

①能使四邊形/8CO是菱形；

:四邊形N8CD是平行四邊形，AC=BD,

四邊形/BCD是矩形，

/.②不能使四邊形ABCD是菱形；

:四邊形ABCD是平行四邊形，AC±BD,

四邊形/BCD是菱形，

.??③能使四邊形/BCD是菱形；

V四邊形/BCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

平分N34D,

NBAC=NDAC,

：.ZBAC=ZACB,

:.AB=BC,

四邊形/BCD是菱形，

④能使四邊形/BCD是菱形；

故選：B.

【變式3】如圖，在平行四邊形N8CD中，DE,區(qū)分別是/3C和//8C的平分線，添加一個條件，仍

無判定四邊形5FDE為菱形的是（）

F

DC

亞--------E---------AB

A.ZA=60°B.DE=DF

C.EFLBDD.BD平分/EDF

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得N45/=NCD￡,進而由平行線的性質(zhì)得N4W=N

AED,則。E〃研，再證明四邊形OE即是平行四邊形，然后由菱形的判定依次判斷即可.

【解答】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

:.NADC=NABC,

又?:DE,8月分別是N4DCN4BC的平分線，

:./ABF=NCDE,

?：CD〃AB,

：?/CDE=/AED,

：.ZABF=ZAED,

:,DE〃BF,

'：DE//BF,DF//BE,

???四邊形。防尸是平行四邊形，

若N4=60°,不能判定四邊形BEDE為菱形，故選項Z符合題意；

若DE=DF,則四邊形5即￡為菱形，故選項5不符合題意；

若EFLBD,則四邊形5廠DE為菱形，故選項4不符合題意；

若BD平分NEDF,

：.NBDF=/BDE,

?:DF〃BE,

：.ZFDB=ZDBE=/BDE,

:?DE=EB,

???四邊形BEDE為菱形，故選項。不符合題意；

故選：A.

【變式4】如圖，AC,5。是四邊形45C。的對角線，點區(qū)尸分別是4D,5c的中點，點N分別是

AC.3。的中點.若四邊形瓦小是菱形，則原四邊形4BCD應(yīng)滿足的條件是（）

A.AC=BDB.AB=CD

C.ACYBDD.ZABC+ZDCB=90°

11

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到m=月0=5/6FN^EM=~CD,則可證明四邊形EMFN為平行

四邊形，當(dāng)當(dāng)EN=FN,即N3=C。，則此時平行四邊形及仞V是菱形，據(jù)此可得答案.

【解答】解：F,N,M分別是BC,BD,/C的中點,

：.AE^DE,BN=DN,AM=CM,BF=CF,

:.EN、NF、FM、EM分別為△48。、/XBCD,△4BC、CD的中位線,

11

：.EN^FM=~AB,FN^EM=~CD,

...四邊形EMFN為平行四邊形,

當(dāng)EN=FN,即NB=CD,則此時平行四邊形EA3N是菱形，

故選：B.

【必考點6證明一個四邊形是菱形】

【例1】如圖，在四邊形中，AB//CD,AC,8。相交于點。，E,尸分別是04OC的中點，OB=

0D.

(1)求證：BE=DF；

(2)連接DE,BF,當(dāng)滿足△NBC什么條件時，四邊形。班廠是菱形，并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)證明(AAS),得出O/=OC,再證明△BOE也/(&4S),即可推

出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論先得出四邊形?？趶S是平行四邊形.再結(jié)合菱形的對角線互相垂直可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：'：AB//CD,

：.NDCO=/BAO,

XVADOC=ABOA,OB=OD,

.'.AABO^ACDO(AAS),

：.OA=OC,

又?：E,歹分別是。4,0c的中點,

：.OE=OF,

又；/DOC=/BO4OB=OD,

:.△BOE4ADOF{SAS),

：.BE=DF；

當(dāng)/8=3C時四邊形DEB尸是菱形.理由如下：

'：OE=OF,OD=OB,

.?.四邊形DEBF是平行四邊形.

由(1)可知四邊形/BCD是平行四邊形，

;AB=BC,

，四邊形/BCD是菱形，

J.ACLBD,

平行四邊形。班廠是菱形.

【變式1】如圖，△/2C中，點。是上一點，點E是/C的中點，過點C作CF〃/3,交DE的延長線

于點足

(1)求證：LADE絲ACFE；

(2)連接NP,CD,如果點。是48的中點，那么當(dāng)NC與8c滿足什么條件時，四邊形/DCF是菱

形？證明你的結(jié)論.

【分析】(1)由C尸〃48,得/ADF=/CFD,ZDAC=ZFCA,又4E=CE,可證△/DE0ACFE

(AAS),即得4D=CF；

(2)由/D=CF,AD//CF,知四邊形/DCF是平行四邊形，再證明對角線垂直，可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：'.'CF//AB,

：.NADF=ZCFD,ZDAC=ZFCA,

:點￡是/C的中點，

：.AE=CE,

在△4DE與△CFE中，

(Z.ADF-Z.CFD

ADAC=AFCA,

UF=CE

:.AADE/LCFE(AAS)；

(2)解：當(dāng)NCJ_3C時，四邊形/OC尸是菱形，證明如下：

由(1)知，AD=CF,

'：AD//CF,

四邊形HOC尸是平行四邊形，

：.AE=CE,

;點D是的中點，

：.AD=BD,

C.DF//CB,

"JACLCB,

：.ACLDF

四邊形4DCF是菱形.

【變式2】如圖，在△NBC中，點。是8c的中點，點E在/。上，點/在/。延長線上，且8E〃CF.

(1)求證：四邊形BEC尸是平行四邊形；

(2)當(dāng)△/BC滿足什么條件時，四邊形8ECF是菱形？并說明理由.

【分析】(1)由已知條件，據(jù)44S證得△CFZ涇△3ED,則可證得CF=8￡,繼而證得四邊形8EC戶是

平行四邊形；

(2)由/8=NC,BD=CD,得到EE_L8C,然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形8ECF是菱形.

【解答】(1)證明：在△4BC中，。是3c邊的中點，

：.BD=CD,

'JCF//BE,

：.ZCFD=ZBED,

在△CFD和△BED中，

(Z.CFD=乙BED

\CD^BD,

k^FDC=Z.EDB

:.ACFD/ABED(Z/S),

：.CF=BE,

四邊形BFCE是平行四邊形；

(2)解：滿足條件/2=/C時四邊形2ECF為菱形.

理由：若時，△48C為等腰三角形，

,：AD為中線，

J.ADLBC,

即FELBC,

平行四邊形2EC尸為菱形.

【變式3】已知：如圖，的對角線/C,BD交于點、O,分別過點/,B作/E〃BD,BE//AC,連接

CE交BD于點F.

(1)求證：ABEFqAOCF；

(2)當(dāng)N/2C滿足什么條件時，四邊形O4E5為菱形？請說明理由.

【分析】(1)由四邊形/BCD是平行四邊形得O/=OC,證明四邊形O4E8是平行四邊形，則有0/=

BE=OC,然后根據(jù)//S證明AB即會△OCF即可；

(2)證出四邊形/8CO是矩形，由矩形的性質(zhì)得出04=08,即可得出四邊形O/協(xié)為菱形；

【解答】(1)證明：口/BCD的對角線/C,AD交于點O,AE//BD,BE//AC,

：.OA=OC,四邊形。4E8是平行四邊形，ZBEF=ZOCF,

：.OA=BE,

：.BE=OC,

在△班產(chǎn)和△OCF中,

(/.BEF=Z0CF

乙BFE=乙OFC,

(BE=CO

:.ABEF/AOCF(AAS)；

(2)解：當(dāng)N4BC=90。時，四邊形CME8為菱形；理由如下：

:四邊形/BCD是平行四邊形，/4BC=90°,

四邊形/BCD是矩形，

.,.AO=CO=BO=DO,

'：AE//BD,BE//AC,

四邊形OAEB是平行四邊形，

四邊形04班為菱形.

【變式4】已知：平行四邊形48。，對角線/C,8。相交于點。E是的中點，連接OE并延長至尸

使得昉=?！?連接FD,FC,FC交BD于點G.

(1)判斷四邊形下OCD的形狀，并說明理由.

(2)當(dāng)與NC的數(shù)量關(guān)系滿足時，四邊形/OCD是菱形.請說明理由.

F

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)推出ZO=OC,AB//CD,由三角形中位線定理推出OE〃CD,CD=

2OE,而。方=2。￡,得到即可證明四邊形R9CD是平行四邊形；

1

(2)由平行四邊形的性質(zhì)推出OC=pC,CD=AB,得到OC=4B,因此OC=CZ),而四邊形尸OCZ)

是平行四邊形，判定四邊形尸OC。是菱形.

【解答】解：(1)四邊形R9C。是平行四邊形，理由如下：

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AO=OC,AB//CD,

是4D中點，

???。￡是△4CD的中位線，

：.OE//CD,CD=2OE,

?：EF=OE,

：.OF=2OE,

：.CD=OF,

?：OF〃CD,

???四邊形FOCD是平行四邊形；

1

(2)當(dāng)=p。時，四邊形R9CZ)是菱形，理由如下:

???四邊形ABCD是平行四邊形，

1

AOC=-ACfCD=AB,

1

AB=~^AC,

：.OC=AB,

：.OC=CD,

..?四邊形尸。。是平行四邊形,

...四邊形/OCD是菱形.

1

故答案為：AB=~AC.

【必考點7菱形的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用】

【例1】如圖，在平行四邊形/BCD中，AE平分NBAD,交BC于點E,BF平分/ABC,交4D于點H

4E與BF交于點、P,連接EF,PD.

(1)求證：四邊形48所是菱形；

(2)若/8=8,/。=12,ZABC=60°,求線段DP的長.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形和角平分線的性質(zhì)可得AB=AF,AF=BE,從而證明四邊形N8EF

是菱形；

(2)由菱形的性質(zhì)得出得到N/AF=30°,ZBAP=ZFAP=6Q°從而得出/8=NE=8,AP=

4,過點「作乃w，/。于得到PM=2百，AM^2,從而得到。〃=10,由勾股定理求出尸。、依的

長，即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：二?四邊形/BCD是平行四邊形，

J.AD//BC.

：.NDAE=ZAEB.

；4E平分NB4D