2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)（7大題型）含答案解析

培優(yōu)專題06導(dǎo)數(shù)

培

。機(jī)奧理特制??；刺?產(chǎn)氣

題型4雙變量問(wèn)題

題型1恒(能)成立問(wèn)題

題型5極值點(diǎn)便宜問(wèn)題■

題型2函數(shù)的零點(diǎn)方程的根導(dǎo)數(shù)

題型3隱零點(diǎn)問(wèn)題

題型7導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題

題型1恒(能)成立問(wèn)題

1、分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，

另一端是變量表達(dá)式的不等式；

步驟：

①分類(lèi)參數(shù)(注意分類(lèi)參數(shù)時(shí)自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：3xeD,使得。>/(x)能成立o?！?(xLn;

3xeD,使得a</(x)能成立oa</(x)max.

③求最值.

2、分類(lèi)討論法

如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類(lèi)討論求解，如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題，可以

1/97

r舍房三詼反索藪寫(xiě)頁(yè)面疝粒噫{a>0,'工W6最屋:E-A2而錄篦'

"、等價(jià)轉(zhuǎn)化法

i當(dāng)遇到/(x)Ng(x)型的不等式有解(能成立)問(wèn)題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)

!>(x)==(x)—g(x)或者“右減左”的函數(shù)a(x)=g(x)—/(X),進(jìn)而只需滿足R(x)1mxi0,或者

；將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問(wèn)題.

!4、最值定位法解決雙參不等式問(wèn)題

⑴期e4,V/e8,使得/(再)>g(x2)成立o/(國(guó))1mx之gg)一

(2)%W/,加€3,使得/(%])>g(x2)成立O/(苞)min之g(^2)min

(3)叫eZ,即e3,使得/(%1)>g(x2)成立O/(xj^>g(x2)min

(4)VX]e/,V%e3,使得/(%])>g(x2)成立Q/(再):>g(x2)max

；5、值域法解決雙參等式問(wèn)題

IeD[,3X2eD2，使得/(xj=gC^)成立

，①VX|eQ,求出/?)的值域，記為2={/(占)]芭6口}

，②R2eD2求出g(x2)的值域，記為8={g(x2)|x2eD2}

!③則Z口8,求出參數(shù)取值范圍.

1.(24-25高二上?江蘇南京?期末)已知函數(shù)/jx)=x2+alnx,aeR.

(1)若曲線f(x)在x=l處的切線與直線2x+3y+l=0垂直，求。的值；

⑵討論了(司的單調(diào)性；

(3)當(dāng)xe1,e時(shí)，/(x)>(a+2)x,求a的取值范圍.

【答案]⑴

(2)答案見(jiàn)解析

(3)

【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題

【分析】(1)求出/''(1),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)斜率之積為-1求解即可；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，解不等式即可得出單調(diào)性區(qū)間；

(3)利用導(dǎo)數(shù)確定g(x)=x-lnx>0,分離參數(shù)后，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=/+alnx,所以r(x)=2x+(,

所以/'⑴=2+。，

2/97

乂〃x)在X=1處的切線與直線2x+3y+l=o垂直，所以尸(1).1|卜T,

即2+。=?3,所以。=—1—.

22

(2)f'(x)=2x+-=2x2+a,x>0.

XX

①當(dāng)a20時(shí)，r(x)>0,所以/(X)在(0,+。)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)a<0時(shí)，令/'(x)=0,得/=-|，又x>0,所以

當(dāng)xe0,J-會(huì)時(shí)，-(無(wú))<0,/(x)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a20時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

匚|,+/上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在0,/上單調(diào)遞減，在

(3)由/(x)2(〃+2)x,得a(x—lnx)?x2-2%在l5e上恒成立.

e

1_i

令g(x)=x-lnx,x>0,貝i]g'(x)=l——=-r一,令g'(x)=O,得x=l,

當(dāng)X￡(0,l)時(shí),gr(x)<o,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)%￡。,+⑹時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)2g(l)=l>0，即x—lnx〉O,

r2-2%「1

貝k匚三在-,e上恒成立.

x-\nxLe

x2-2x1

令=xG—,e

x-lnxe

2(x-l)(x-lnx)-(x-2)(x-l)6-1)g+2-21nx)

(x-lnx)2(x-lnx

因?yàn)?,e,所以lnx?l,貝！Jx+2—21nx>0,

e

令"(x)=0,得x=l,

當(dāng)XG：j時(shí)，"(x)<。，〃⑴單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，”(x)>0,單調(diào)遞增,

所以可江?⑴一，

3/97

所以aW-1,即。的取值范圍是(-叫-1].

Z7Y2-1

2.(24-25高三上?上海?期中)設(shè)a￡R/(x)=ln(x-1)H-------.

x-1

⑴當(dāng)“=1時(shí)，求曲線了=/(尤)在點(diǎn)(2,3)處切線的方程；

(2)當(dāng)“=-；時(shí)，求函數(shù)>=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶設(shè)函數(shù)了=/(無(wú))的定義域?yàn)镈,若〃x)22x+3對(duì)任意的xe。成立，求。的取值范圍.

【答案](l)2x-y-l=0.

(2)(1,4)上是嚴(yán)格增函數(shù)，(4,+⑹上是嚴(yán)格減函數(shù).

(3)a>2.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)、簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可由點(diǎn)斜式求解.

(2)求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)值正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間.

(3)先探求不等式成立的必要條件。22,再證明充分性即可，證明時(shí)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值即

可證明.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，"x)=ln(x-l)+土==ln6-l)+x+l,求導(dǎo)r(x)=—+1,則廣⑵=2,

所以切線方程為V-3=2(X-2),即2X7-1=0.

1Y2+2

(2)當(dāng)。=—彳時(shí)，函數(shù)/(x)=ln(x—1)—；；；一^的定義域?yàn)?1,+8),

22(x-1)

求導(dǎo)得/(》)=」2x(x—1)—x2-2x(x-4)

x-12(1)22(x-l)2

當(dāng)XE(1,4)時(shí)，f\x)>0；當(dāng)(4,+oo)時(shí)，f\x)<0,

所以函數(shù)/(幻在(1，4)上嚴(yán)格增函數(shù)，在(4,+8)上嚴(yán)格減函數(shù).

(3)函數(shù)/(》)=皿X-1)+竺匕定義域?yàn)?1,+8),

x-1

不等式〃x)W2x+3恒成立，即ln(x-l)+竺322x+3恒成立,

x-1

當(dāng)工=2時(shí)，/⑵=4〃-124+3必成立，貝!Ja22,

ctx^—1is,口,口丁，/、x—1+ax2—2ax+1—2(%—1丫

令A(yù)〃(x)=ln(x-1)+上----2%-3，求導(dǎo)得/(%)=--------------.——-——-

x-1(x-1)

(q—2)%2+(5—2a)x—2[(a—2)x+l](x—2)

(%-1)2(%-1)2

而a22,貝(J當(dāng)％￡(1,2)時(shí)〃'(x)<0,當(dāng)XE(2,+OO)時(shí)，hf(x)>0,

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函數(shù)/?(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，A(x)>A(2)=4a-8>0,則a22,

所以。的取值范圍是。22.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在定義域上恒有/(x"2x+3成立求。的范圍，首先根據(jù)恒成立探求其成立的必要條

件，由"2)22x2+3=7可知必有/2,證明充分性時(shí)，令Mx)=ln(x-1)+竺士1-2x-3,利用導(dǎo)數(shù)求出

%x)?(2)恒成立,即可求解，屬于難題.

3.(23-24高二下?上海?期末)已知函數(shù)〃x)=x-lnr-2.

⑴求曲線y=〃尤)在點(diǎn)(1,川))處的切線方程；

(2)函數(shù)/⑺在區(qū)間(后水+1乂丘附上有零點(diǎn)，求左的值；

13

⑶記函數(shù)g(無(wú))=51-法-2-/(無(wú))，設(shè)X],%(演<三)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若62],且

g(xj-g(x2)?左恒成立，求實(shí)數(shù)左的最大值.

【答案】⑴了=T

⑵0或3

⑶個(gè)-21n2

【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)研究不等

式恒成立問(wèn)題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程；

(2)求出“X)的導(dǎo)數(shù)，判斷了(x)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可；

(3)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令g'(x)=O,依題意方程/-(b+1)尤+1=0有兩不相等的正實(shí)根為、x2,利用韋達(dá)定

理，結(jié)合6的取值方程，即可求出A的取值范圍，則8(%)-8(%)=2111%-/再2-!，構(gòu)造函數(shù)

2

F(x)=21nx-1(x-Jr),,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解.

【詳解】⑴因?yàn)?(x)=x-lnx-2,所以/(x)=l-L則切線斜率為/''⑴=0,

又/⑴=-1,切點(diǎn)為所以切線方程為了=-1;

(2)f'(x)=,尤e(0,+8),

當(dāng)0<x<l時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>i時(shí)，r?>o,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，

所以/(X)的極小值為〃1)=-1<0,/(e-2)=e-2-lne-2-2=e-2>0,

，/(無(wú))在區(qū)間(0,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)三，此時(shí)左=0;

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X/(3)=3-ln3-2=l-ln3<0,/(4)=4-ln4-2=2-21n2=2(l-ln2)>0,

在區(qū)間(3,4)上存在一個(gè)零點(diǎn)x4,此時(shí)左=3,

綜上，上的值為0或3；

(3)函數(shù)g(x)=；》2-fcc-2-/(x)=lnx+；x2-(b+l)x,_re(0,+<x>),

所以g'(x)=-+x-(Z)+l)=x，-g+Dx+1,

XX

由g'(x)=O得Y-(6+l)x+l=0,依題意方程f一(6+l)x+l=0有兩不相等的正實(shí)根a、x2,

A=[-(/)+1)]2-4>0

則xx+x2=b+l>0，所以6>1,

xxx2=1>0

1

%!+x2=b+l,再々=1，...x2=——

石

乂S|,…=,解得Of/

g(%J—g(4)=In—+泉%；一42)—@+1)(占-4)=21nxi—

x22

,%|0,—,

構(gòu)造函數(shù)方（X）=21nx-一

所以〃（刈="-3=-（*；1）2<0,

XXX

，尸（X）在[o,；上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=：時(shí),F(x)min=F(1)=y-21n2,

因?yàn)間（xj-g（x2”左恒成立，

所以左（胃-21n2,貝!J上的最大值為g—21n2.

88

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁?/p>

不等式恒成立問(wèn)題.注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理.

4.（24-25高二上?浙江杭州?期末）已知函數(shù)/（x）="lnx+x2（0為實(shí)常數(shù)）.

（1）若。=-1,求證：/（X）在（1,+8）上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)。=-4時(shí)，求函數(shù)“X）在工e]上的最大值與最小值及相應(yīng)的x值；

⑶若存在xe[l,e],使得〃x）W（a+2）x成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

6/97

⑵答案見(jiàn)解析；

(3)?>-1.

【知識(shí)點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單

調(diào)性

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求區(qū)間內(nèi)最值即可；

(3)將問(wèn)題化為a>士在在xe［1,e］上能成立,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的單調(diào)性并求最小值，即可得參數(shù)范圍.

x-］nx

【詳解】(1)由題設(shè)〃x)=-lnx+x2,貝mx)=-L+2x=^^,

則在(1,+8)上有/'(X)>0,故〃X)在(1,+8)上是增函數(shù)，得證；

(2)由題設(shè)/(x)=Tlnx+x2,貝l］/，(x)=2x-3=^^,

XX

當(dāng)〈及時(shí)八勸<0,當(dāng)時(shí)

所以在［1,行)上單調(diào)遞減，在(后,e］上單調(diào)遞增，且/⑴=1</e)=r-4,

所以最小值為x=夜時(shí)/(0)=2-21n2,最大值為X=e時(shí)/(e)=e2-4；

(3)由題設(shè)alnx+x?W(a+2)x在xe［l,e］上能成立，則/-2xVa(x-lnx),

對(duì)于y^x-lnx,則在xe［1,e］上;/=1-工20恒成立，

故y=x-lnx在［l,e］上單調(diào)遞增，且x=l時(shí)了=1,即在［l,e］上x(chóng)-lnx21恒成立,

所以°之上空在xe［l,e］上能成立,

x-lnx

1

x2—2x2(x-l)(x-lnx)-(l--)(x92-2r)(x-1)(%+2-2Inx)

令g(x)=L^E且xe[l,e],則g'Q)=---------------x-----------------------------

(x-Inx)2

x-\nx(x-lnx)

2

對(duì)于＞=x—21nx+2且xe[l,e],則于=1一一,

x

當(dāng)l〈x<2時(shí)，y<0,即歹=x—21nx+2在工2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)2<xWe時(shí)，/>0,即y=x—21nx+2在(2,e］上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=2,y=4-21n2>0,即在［l,e］上x(chóng)-21nx+2>0恒成立,

在［l,e］上g'(x"O恒成立，則g(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，^g?,?=g(l)=-l,

所以Q2—1.

5.(2025?河北保定?一模)已知函數(shù)/(可=-；62'-“/+2/工

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求/'(x)的極值；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)+/20有實(shí)數(shù)解，求。的取值范圍.

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【答案】(1)/(X)的極大值為-：，無(wú)極小值

⑵I一m

【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)

【分析】(1)通過(guò)求導(dǎo)來(lái)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；

(2)分類(lèi)討論，得到單調(diào)性，求出函數(shù)最值，根據(jù)最值滿足的條件來(lái)確定參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，/(x)=-1e2,:-ev+2x,

則/'(x)=-e2x-eA+2=(ex+2)(l-ex),

令/'(x)>0,得x<0；令/'(x)<0,得x>0,

所以/(無(wú))在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

a

所以/(X)的極大值為〃0)=-5,無(wú)極小值.

(2)由題得尸(x)=-e2'-ae，+2aZ=(a-e")(e*+2a),

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=-1e2^<0,不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(無(wú))>0,得xclna；

令/'(x)<0,得尤>lna,

所以/(X)在(-8,Ina)上單調(diào)遞增，在(Ina,+8)上單調(diào)遞減，

所以/Wmax=/(Ina)=-1e2lna-aetafl+2a2lna

-Q2+2。2Inq

2

3

由—a?+2。21nq+/20

2

得-,+2111。20,解得

當(dāng)〃<0時(shí)，令/'(x)>0,得x<ln(-2a)；令/'(x)<0,得x>ln(-2a),所以/(x)在(-鞏In(-2〃))上單調(diào)

遞增，在(ln(-2a),+。)上單調(diào)遞減，

所以/(%)max=/(ln(-2a))=-;e2kle2a)_qeine2a)+2421n(_2q)=2/ln(-2a),

由2Q21n(-2a)+/>o,

得21n(-2a)+1>0,解得a<廣.

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6.(23-24高三上?上海閔行?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+ax2+bx(〃,b￡R).

⑴若。=0,b=l,求函數(shù)V=/(x)在點(diǎn)R1J⑴)處的切線方程；

(2)若。=g,b=-3,點(diǎn)。是函數(shù)了=/(x)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。處切線的傾斜角為￡，求傾斜角a的取值范圍;

⑶若6=-1,對(duì)任意的士,馬€(0,+8),%都有:(*)-/：)>1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

再-x2

【答案】⑴尸21；

(3)?

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、求在曲線上一點(diǎn)處的切線

方程(斜率)、求曲線切線的斜率(傾斜角)

【分析】(1)根據(jù)a=0,6=1,得/(x)=lnx+x,則尸(1,1),求出了'(x),所以過(guò)尸切線斜率為/'⑴=2,

寫(xiě)出切線方程即可.

(2)若“=1，Z)=-3,/(x)=lnx+-x*2-3x(x>0),/'(x)=，+x-3(x>0),所以點(diǎn)。處切線斜率范圍為

22x

-+x-3>2.fZ-3=-l,根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)而求出傾斜角的取值范圍.

xYX

(3)若6=-1,則/(%)=111%+0%2-10>0),對(duì)任意的再,買(mǎi)2€(0,+8),無(wú)產(chǎn)乙,不妨設(shè)再>》2，由

/(")>］得/(網(wǎng))_/(%)>3_￡即/(再)一再,構(gòu)造戶(x)=〃x)-X,則/(X)在(孫再)

上單調(diào)遞增，則尸(x)80在(0,包)上恒成立，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】《1)若。=0，6=1，則/(x)=Inx+x,得f'(x)=1,P點(diǎn)坐標(biāo)為尸(口)，過(guò)P切線斜率為/'⑴=2,

X

所以切線方程為V=2(X-1)+1=2X-1.

(2)若a==，6=-34ljy(x)=lnx+'x2-3Mx>0)，f'(x)=-+x-3(x>0),設(shè)函數(shù)y=/(x)上的動(dòng)點(diǎn)

22x

則。處切線斜率范圍為1+%-322JL%-3=-1,當(dāng)且僅當(dāng)工=%即％=1時(shí)取等號(hào)；

所以切線傾斜角a的正切值tana11,所以角1的范圍為費(fèi)］徽,,兀.

(3)若6=-1,則/0)=111%+"2一武1>0),對(duì)任意的再￡(°，+°°)，玉不妨設(shè)玉〉工2，由

9/97

/（尤1）-/（尤2）

>H#/（X1）-/（X2）>X1-X2BP/（%1）-%1>f（x2）-X2,

再-x2

令廠(x)=/(x)-x,則F(x)在(工2，再)上單調(diào)遞增，則尸'0)=，+2“X-220在(0,+00)上恒成立,

即由2_J=_（工_1）2_[=1_（L_1）2Vl當(dāng)X=]時(shí)2_二取最大值L

XXXXXXXX

所以2aNl=>a?L

2

7.(23-24高二下?上海?期中)己知函數(shù)/口)=；"3一4》(0€!<).

(1)若〃=4,求函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線方程；

⑵討論函數(shù);'(X)的單調(diào)性及極值；

⑶若a=1,任意玉,馬^「，亞]且X產(chǎn)乙,都有|/(占)-/(3)|<7印呻-111引成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)尸

⑵答案見(jiàn)解析

9

【知識(shí)點(diǎn)】含參分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題、求已知函數(shù)的極值、求在

曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)求導(dǎo)，分。<0和a>0討論求函數(shù)單調(diào)性和極值；

(3)代入。值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/'(西)+小111網(wǎng)</(工2)+加11工2恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(無(wú))+加lnx,xe[1,,

轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)不小于零恒成立，繼續(xù)構(gòu)造函數(shù)求最值即可.

2

【詳解】(1)當(dāng)a=4時(shí)，/(X)=1X3-4X,r(x)=4x-4,

貝ij/'(i)=o,又/。)=一I，

所以函數(shù)V=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為y=-1；

(2)由題知/(x)=ax2-4

當(dāng)aV0時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值;

2-2

當(dāng)〃〉0時(shí),令/'(、)〉。得X<一~『或天）〒，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

>Jay/a

10/97

此時(shí)函數(shù)f(x)的極大值為八-寧-4-六=與

綜上：當(dāng)時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值;

極大值為竺也，極小值為一3江；

3a3〃

(3)當(dāng)4=1時(shí)，/(x)=^-x3-4x,由(2)得函數(shù)在［1,拒］上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)IV尤1V應(yīng)，則/(占)>/(無(wú)2)」nX|〈In/,

故由|/(網(wǎng))一)(工2)|<加|山王一出馬|得/(無(wú)1)-/@2)<5(111_￥2-111玉)，

即f(xj+mlnxj</(x2)+zwlnx2,

設(shè)g(x)=/(x)+7〃lnx,xe［1,q,則g(x)單調(diào)遞增,

則g'(x)=/'(x)+—=x2一4+%20恒成立，

所以加之-d+4%對(duì)工￡［1,亞］恒成立，

設(shè)力(x)=—丁+4x,亞］,貝lj/(X)=—3—+4,

2

令"(x)〉0,得l?x<耳，〃(x)單調(diào)遞增，

令〃(x)<0,得!<xV后，〃(x)單調(diào)遞減，

故〃(Mmax=〃

所以"亞更Yl.

9

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，其中我們可以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解答.

題型2函數(shù)的零點(diǎn)方程的根

；1、函數(shù)的零點(diǎn)

11/97

"(7)-而雄百漉';扁手鹵藪5=7而'麗榻涓1b需袤右而楹言薪j(luò)二元豪京"

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

I方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)=函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn).

!2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

j如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間以切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/伍)?/(，)<0,那么函數(shù)

，>=/1)在區(qū)間(生人)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是/(x)=0的根.我們

!把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

;注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn);唯一零點(diǎn)

二一(2024^±W-S??)高薪/(^)=a^x^7o)「<7(1)=^+1

(1)判斷了(尤)在R上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；

(2)g(x)=/(x)-Ax,且g(x)在(0,+為上有零點(diǎn)，求力的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；

(2)2>e+l

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

零點(diǎn)

【分析】(1)由題意解出。的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；

(2)轉(zhuǎn)化問(wèn)題為e，+x-菠=0在(0,+。)上有解，則2=h+1有解，利用導(dǎo)函數(shù)求1+1的單調(diào)性，進(jìn)而求

XX

得取值范圍即可.

【詳解】(1)由題意可得〃l)=a+l=e+l,解得a=e,所以f(x)=e，+x,

/(X)在R上單調(diào)遞增，證明如下：

X12

任取玉>x2eR,則/(x1)-/(x2)=e+西-e*-超=爐-e"?+xl-x2,

因?yàn)閂=e”在R上單調(diào)遞增，且玉>々，

所以9-12>0,x,-x2>0,

所以/(%)一/(Z)>0,即/(xj>/(xj,

所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)由(1)得g(x)=e*+x-,

X

g(x)在(0,+8)上有零點(diǎn),即e*+x-元c=0在(0,+“)上有解，則4=上+1有解，

X

令尸(司=7+1,則尸，(尤)=上=J=e、(:T),

令尸(x)>0解得x>l,令尸(x)<0解得0〈尤<1,

12/97

所以尸(X)在(0,1)單調(diào)遞減,在。,+⑹單調(diào)遞增，

所以尸(x)m,?=尸(D=e+1，沒(méi)有最大值，

所以>12e+1.

2.(2025?廣東湛江?一模)已知函數(shù)/(x)="ln(x-1)+/一2%,其中

(1)若。=-8,求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<-2時(shí)，試判斷/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.

【答案】⑴單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+8)

⑵兩個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得了⑺的單調(diào)區(qū)間.

(2)先判斷2是7(x)的一個(gè)零點(diǎn)，利用分類(lèi)討論法，對(duì)“進(jìn)行分類(lèi)討論，或利用分離參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)

確定正確答案.

【詳解】(1)由題知x>l,/~，3=3+2尤_2=2(1)一+0,

」')x-lx-1

當(dāng).=一8時(shí)，/(X)=2(1)2—8.

令/''(x)=0,得x=3或x=-l(舍去).

當(dāng)xe(l,3)時(shí),r(x)<0,故/(力的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).

當(dāng)xe(3,+s)時(shí),/"(x)>0,故〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+8).

(2)解法一：因?yàn)?2)=0,故/(x)有一個(gè)零點(diǎn)是2.

令/(x)=0,解得再=1一日<1(舍去)，x2=l+^.

當(dāng)xe(l㈤時(shí),f(x)<0,故/(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)工€仇,+⑹時(shí)，f(x)>0,故/(x)單調(diào)遞增.

當(dāng).<一2時(shí)，X2=1+^|G(2,+OO),f(x2)<f(2)=0.

/(]-q)=q[n(-a)+Q--1=—a[_q—In(-q)]—1.

下面先證明當(dāng)時(shí)，x-Inx>1.

令g(x)=x-lnx(%21),gz(x)=l--=^^>0,

xx

故g(x)在[l，+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)2g⑴=1.

13/97

因?yàn)椤猘>2>1,所以/(I-。)=—a[—a—In(—a)]—1>—a—1>0.

易知1-。X2,所以/'(x)在(尤2，+°°)上存在唯一的零點(diǎn)七,

所以當(dāng)a<-2時(shí)，/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，為2和W.

解法二：當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=0,故2是/(司的一個(gè)零點(diǎn).

令/''卜戶。，又x>l,所以毛=1+，|.

當(dāng)xe(l,x。)時(shí)，r(x)<0,/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(%,+oo)時(shí)，/\x)>0,單調(diào)遞增，

所以x=x°是“X)的極小值點(diǎn).

當(dāng)。<—2時(shí)，x0>2,所以/

下證lnx〈x-l(x>0).

令g(x)=x-l-lnx,貝ijg<x)=l-工=^^.

XX

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(L+°°)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

從而g(x)?g(l)=0,

所以當(dāng)x>l時(shí)，ln(x-l)<x-2,

所以“l(fā)n(x-l)2ax-2a,

即f(x)>ax-2a+x2-2x=x[x+(a-2)]-2a.

令玉>2-a,則有X]+a-2>0,則/'(xJ>0.

易得當(dāng)a<-2時(shí)，2-a>x0,所以/(x)=0在上有唯一解.

綜上，當(dāng)a<-2時(shí)，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

解法三:令f(x)=aln(x-l)+x2-2[=0,

當(dāng)x=2時(shí)，/⑵=0,故2是/(力的一個(gè)零點(diǎn).

,,―/+2x

當(dāng)時(shí),”記百

./\-%2+2x

令

易得g(M在(1,2)和(2,+8)上均單調(diào)遞減.

2

-x+2x_r-2(x-l)__

因?yàn)榘?ln(x-1)?](洛必達(dá)法則)，

x-1

14/97

所以當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，g(x)<-2且單調(diào)遞減，

—x+2x/\

故當(dāng)。<-2時(shí)，。=wD在G+00)上有唯一解?

而當(dāng)尤e(l,2)時(shí)，g(x)>-2,

—+2x

故當(dāng)Q<一2時(shí)，a=-r~i一不無(wú)解.

綜上可知，當(dāng)。<-2時(shí)，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0求出關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)在不同區(qū)間的正負(fù)確定函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間，這是解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的基本方法.

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，先找出一個(gè)已知零點(diǎn)，再通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后構(gòu)造函數(shù)證明相關(guān)

不等式，進(jìn)而判斷在其他區(qū)間是否存在零點(diǎn)，這種方法綜合運(yùn)用了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和不等式證明.

3.(2025?四川巴中?一模)已知函數(shù)/(x)=xhw.

⑴求函數(shù)/'(x)的極值；

⑵求證：當(dāng)0<xVl時(shí)，2/(x)>x2-l；

⑶若“外=尤2-2〃+今］，其中討論函數(shù)〃(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴極小值=-廠，無(wú)極大值

⑵證明見(jiàn)解析

⑶答案見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

【分析】⑴對(duì)/'(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值；

2

⑵不等式等價(jià)于0<xWl,2xlnx-x+l>0,令g(x)=2xlnr-/十］，(0<x<l),利用導(dǎo)數(shù)證明g(x)20即

可；

⑶討論=f-2小+1時(shí)(0</<1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，先對(duì)x分類(lèi)討論去絕對(duì)值，易得在(0,e-')±

總有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)尤〉上時(shí)，對(duì)〃(x)求導(dǎo)，再對(duì)/分類(lèi)討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)及零點(diǎn)存在性定理判斷即可.

【詳解】(1)/'(x)=lnx+l(］a0),令/'(x)=0,Mx=e-1,

當(dāng)0<x<eT時(shí)，r(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí),r(x)>0,單調(diào)遞增,

所以/(x)極小值=/卜")=一片|,無(wú)極大值.

(2)證明：原不等式等價(jià)于：0<x?l,2x\nx>x2-B

15/97

即0<E,2xlnx-x2+l>0,

令g(x)=2xlnx—x2+l,(0<x<1),下證：g(x)>0,

則g'(x)=21nx+2-2x,設(shè)機(jī)(x)=g'(x),則/⑴=多-2=型二?N0,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)成立，

XX

所以加(x)=g'(x)在0<xWl上單調(diào)遞增，g'(尤)Vg'Cl)=0,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)成立，

所以g(x)在0<xVl上單調(diào)遞減，g(x)>g(l)=0,即原不等式成立.

(3)等價(jià)于〃(力=，-2力+lnx|(0v/<l)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題:

①當(dāng)0<x<e—時(shí)，h(x)=x2+2z(l+lnx),顯然在(0,上單調(diào)遞增，

又〃⑼.一%MeT)=e->0,所以〃(x)在(0,e^)上總有唯一的零點(diǎn)；

②當(dāng)x>e-時(shí)，/z(x)=x2-2/(l+lnx),

則3)=2》一在=21+〃)[-〃),

XX

(1)若0<芯/，則〃(x)>o在(e，+e)上恒成立，刀卜)在(e\+e)上單調(diào)遞增，

/z(x)>A(e-1)=e-2>0,〃(x)在(e-,+s)上無(wú)零點(diǎn)；

(II)若e-2<f<l,當(dāng)e-<x<"時(shí),力’(力<0,〃(尤)單調(diào)遞減；

當(dāng)X>4時(shí),〃(力>0,〃(力單調(diào)遞增;

=〃(/)=-，(1+lnf),令g)min=力(4)=0，得公尸.

11

(0若e-2</<e-，則g)1nto=，(/)>0，6")在(e-,+e)上無(wú)零點(diǎn)；

⑺若/=「，貝!!"(》焉=〃(〃)=°”1(*)在(5，+8)上有唯一零點(diǎn)；

(歷)若e-<f<l，貝M(x：U="(〃)<0,又Me—)=e-2>0,

又由(2)知InxV尤—1,xlnx<x2—x得〃(2。=4〃—2t—2rtn2t20,

由零點(diǎn)存在性定理可知，刀⑴在(1,”)，(“2)上各有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)0<t<e一時(shí)，〃(x)有一個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)公十時(shí)，〃(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)e-</<l時(shí)，人⑺有三個(gè)

零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，不等式的證明，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，去

絕對(duì)值分類(lèi)討論是關(guān)鍵.

4.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e2、+(2-2a)e"-2ax-a.

⑴討論了(力的單調(diào)性；

(2)若「(X)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

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【答案】(1)答案見(jiàn)解析

⑵(1，+°°)

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、含參分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【分析】⑴求導(dǎo)/'(x)=(2e、+2Xe，-“)，再分a40和a>0討論求解；

(2)由(1)知時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意，可知a>0,若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，由(1)

知/(xL=/(lna)<0,即l-a-21na<0,令g(a)=l-a-21na(a>0)求解.

【詳解】(1)由題知/'(x)=2e2x+(2-2a)e'-2a=(2e'+2Xe，-4)，

當(dāng)aW0時(shí)，r(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)a>0時(shí)，若e*>a,即尤>lna,則/''(尤)>0,故/(尤)在(lna,+s)上單調(diào)遞增；

若e'<a,即x<lna,則八力<0,故/'(x)在(一雙Ina)上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/(X)在R上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，/(X)在Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+s)上單調(diào)遞增.

由(1)可知，當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增，/(尤)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

故。>0,且根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度可知，當(dāng)xf+8時(shí)，當(dāng)x3—8時(shí)，f(x)^+x).

由(1)知,若/(力有兩個(gè)零點(diǎn),

貝!Jf(尤)mm=/(Ina)=a°+(2-2a)a-2alna-a<0,

即1一。一21na<0.

令g(〃)=l-a—21na(a>0),

則g(。)在(0,+°0)上單調(diào)遞減，

Hg(l)=l-l-21nl=0,則當(dāng)0<a<l時(shí)，g(a)>g(l)=0；

當(dāng)a>l時(shí)，g(a)<g(l)=0.

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1,+").

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)，容易忽視分析，當(dāng)Xf+8時(shí)，/(X)—+8,當(dāng)Xf-00時(shí)，/(X)f+8,

僅僅由/(X)而n<0去求解.

5.(2025高三■全國(guó)■專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=aln(l-x)+xe「*,aeR.

(1)若函數(shù)［(x)在［-1,1)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若方程/(x)=0有負(fù)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)［4e2,+8)

(2)(e,+?)

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【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

【分析】(1)對(duì)024e2和0<4e2兩種情況分類(lèi)討論，即可得到結(jié)果;

(2)對(duì)a>e,0<a<e和aVO分類(lèi)討論，即可得到到。的取值范圍是(e,+(?).

【詳解】(1)①若則對(duì)-!<x<l有

/,(x)=(l-x)--y0—<(l-jr)eH-1)-a-=(1-x)/-g<2/-4=0,所以/(x)在［-1,1)上單調(diào)遞減,

滿足條件.

②若a<4e2,取〃為凡和ITne?巳中更小的一個(gè)，貝且對(duì)一1〈尤〈“有

從而此時(shí)r3=(1_同$一'_六=止日上;>0,所以/'(x)在(T")上單調(diào)遞增，不滿足條件.

綜合①②兩方面，可知。的取值范圍是［4e\+/).

1

(2)設(shè)〃(x)=-尤-ln(l-x),則對(duì)x<0有〃(x)=-l+---=——Y<0,所以在(-℃,0)上遞減，從而對(duì)

1-x1-x

x<0有〉〃⑼=0,Bp-x>ln(l-x).

①若a>e,取丫為1_1@；和1-111卜行］中更大的一個(gè)，貝1］"0,且對(duì)v<x<0有

從而此時(shí)/⑴=0_x)一―=(一4一a>0,所以f(x)在(匕0)上單調(diào)遞減，故f(v)>〃0)=0.

1—X1—X

而當(dāng)x<l—ln〃<0時(shí)，利用之前證明的一%>ln(l—x),有/(x)=tzIn(1-x)+xe1-%<-ax+xel~x<x(e1-x-tz).

所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知/(x)=0一定有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，滿足條件；

②若0<a<e,則對(duì)x<0有/'(X)=(l-x)e1-x———>(l-x)e1-0———=(l-x)e-?>e-a>0.

1—x1—0

所以/(X)在(F,o)上單調(diào)遞增，從而對(duì)x<0有/(尤)</(。)=0,故/(x)=0一定沒(méi)有負(fù)實(shí)數(shù)根，不滿足條

件；

③若040,貝IJ對(duì)x<0有/'(尤)=(l-x)ej--2(1-尤)>0.

\-X

所以/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，從而對(duì)x<0有/(x)<〃o)=o,故/(x)=o一定沒(méi)有負(fù)實(shí)數(shù)根，不滿足條

件.

綜合①②③，可知。的取值范圍是(e,+8).

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【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)求導(dǎo)工具的靈活運(yùn)用.

6.(24-25高三上?福建,期中)已知函數(shù)/(x),g(x)滿足〃x)=2e，-b+"，

/⑺+g⑴=(2e?-1)葭+12-5卜+2a.

⑴若/'⑺為R上的增函數(shù)，求〃的取值范圍.

⑵證明：〃x)與g(x)的圖象關(guān)于一條直線對(duì)稱.

⑶若底-2夜，且關(guān)于x的方程/3+/(d-同=28(2-％)在［-1,1］內(nèi)有解，求加的取值范圍.

【答案】⑴12於,+00)

⑵證明見(jiàn)解析

⑶

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

【分析】(1)求導(dǎo)，利用廣(x”0對(duì)xeR恒成立，可求。的取值范圍；

(2)求得g(x)的解析式,根據(jù)g(x"/(2-x)可得結(jié)論:

(3)可得g(2-x)=/(x),結(jié)合已知可得/(1-根)=/(')在『1川內(nèi)有解，結(jié)合(1)的單調(diào)性可得e;m=x，

構(gòu)造函數(shù)可得冽的取值范圍.

【詳解】(1)由/'(%)=21-b+辦，可得/'(x)=2e*+eT+a,

因?yàn)?(x)為R上的增函數(shù)，所以/'(尤"0對(duì)尤eR恒成立，

所以2e*+片工+a20對(duì)尤eR恒成立，所以。＞-(2eA+b*)對(duì)尤eR恒成立，

因?yàn)?芳+尸22J2e,e工=20，所以-(2e"+b、)4-2后，

當(dāng)且僅當(dāng)2/=6一，，即e、=5時(shí)取等號(hào)，所以［-(2爐+片,)京=-2行，

所以a2行，所以。的取值范圍為［-2后,+8).

(2)因?yàn)?(x)=2ex-e-"+ax,f(x)+g(x)=(2e2-l^e-x+12一！卜+2〃，

所以g(x)-(2e2-l)e-“+2a-(2ex-e-x+ax)