2025年高考數(shù)學三輪復習之函數(shù)應用

2025年高考數(shù)學三輪復習之函數(shù)應用

選擇題（共8小題）

陛x>2

1.（2025?南通模擬）若函數(shù)"X）=x'有最大值，則k的最大值為（）

x<2

In2ln211

A.B.一C.——D.

42e7

2.（2024秋?贛榆區(qū)校級期末）已知函數(shù)-無）=?-|x-a\+a恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（)

11111

A.{0，g}B.[0,g]C.[一鏟g]D.[0,4]

3.(2025?咸陽模擬)已知函數(shù)/(x)=|2X-1|,若g(x)—2\f(x)]3+3/(x),則關(guān)于x的方程g(x)=

7\f(x)產(chǎn)的解集是()

A.{-1,log23-1,2}B.{0,-1,log23-1,2}

1

C.{0,-1,log23,3)D.{0,33}

已知函數(shù)/(%)=[1°'X°,g(x)=f(x)+2x-m,

4.（2025?長安區(qū)一模）若g（x）有一個零點,則

x>0

機的取值范圍是（）

A.(-8,1]B.(-8,1)C.[1,+°°)D.(1,+°0)

5.（2024秋?酒泉期末）設(shè)/(x)=3%-%2,則在下列區(qū)間中，使函數(shù)/（%）有零點的區(qū)間是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(-1,0)D.(-2,-1)

6.（2024秋?雙清區(qū)校級期末）已知/G）=（一：+6'尤‘°,則力。）］的值為（）

+1,%V。

A.-20B.2C.7D.5

7.（2024秋?阿魯科爾沁旗校級期末）函數(shù)/（x）=f+2x-4的零點所在區(qū)間是（）

A.e，1）B.2）C.（1,|）D.（2,1）

8.（2024秋?徐州期末）函數(shù)y=/ogiX+3—%的零點所在的區(qū)間為（）

3

17

A.（夕1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,9

二.多選題（共4小題）

_丫2__Qy

,則下列說法正確的是（）

Inx—a,x>1

A.若函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（-8,-2]

B.若函數(shù)/（%）有3個不同零點，則實數(shù)。的取值范圍為（0,1）

C.若函數(shù)/（X）有3個零點名XI,XI,X3（X1<X2<X3）,則X1+X2-X3的取值范圍為（-e,-1）

D.對任意aV上,函數(shù)/（x）在（0,2）內(nèi)無最小值

（多選）10.（2025?葫蘆島一模）已知數(shù)列｛斯｝，｛為｝不為常數(shù)列且各項均不相同，設(shè)an=f（n）,bn=g

（n）,下列正確的是（）

A.若｛外｝為等差數(shù)列且｛阮｝為等比數(shù)列，則方程/（〃）=g（n）最多有三個解

B.若｛斯｝,｛阮｝均為等差數(shù)列，則方程/（〃）=g（"）最多一個解

C.｛.｝單調(diào)遞增，｛阮｝單調(diào)遞減，則方程/（w）=g⑺最多有一個解

D.若｛斯｝，｛歷｝均為等比數(shù)列，則方程T（〃）=g（n）最多有三個解

（多選）11.（2024秋?山西期末）狄利克雷函數(shù)。（吟二0’XEQ，是德國數(shù)學家狄利克雷給出的一個函

6xeCRQ

數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)的論述正確的是（）

A.3xo6R,D（￡>（xo））=0

B.方程。（x+1）-1=0有無數(shù)個實數(shù)解

C.VxGR,D（x+2025）=D（x）

D.VaGR,sin+cos°（：）兀=]

丫2-J-nv+[y2^>0

,有4個零點X2,X3,X4（XI

（/（一%）,%<0

<X2<X3<X4）,則（）

A.實數(shù)〃的取值范圍是（-8,-2）

B.函數(shù)/（%）的圖象關(guān)于y軸對稱

C.X1X2X3X4=2

D.XI+2X2+3%3+4X4的取值范圍是（4,+°°）

三.填空題（共4小題）

13.（2025*3月份模擬）已知xi,X2是函數(shù)f（x）=cos3x-cos2x,xE（0,n）的兩個零點，則枕1-12|

—%2+3,%V1

14.（2024秋?上城區(qū)校級期末）已知函數(shù)/（久）=1一,若當切時，lW/（x）（3,則

xH------1/x〉1

x

b-a的最大值是.

一%2—4x+L%40

15.（2024秋?袁州區(qū)校級期末）已知函數(shù)/（%）=1,若關(guān)于x的方程（/（乃-

2-（2尸,x>0

-m）=。恰有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是.

16.（2024秋?仁壽縣校級期末）已知命題a：方程:-利+1=0無實數(shù)根，命題0：a-3<0；那么a是0

的條件.（用充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要填空）

四.解答題（共4小題）

17.（2024秋?保定期末）已知函數(shù)/（%）的定義域為若對于任意〃，b,cEM,f（?）,f（Z?）,f（c）

能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，則稱函數(shù)y=/（x）為集合M上的“三角形函數(shù)”.

（1）已知函數(shù)無）=x+］是區(qū)間g,t］。為常數(shù)）上的“三角形函數(shù)”，求r的取值范圍；

（2）已知函數(shù)/（X）=cos（2x+芻是區(qū)間［―90］（0為常數(shù)）上的“三角形函數(shù)”，在函數(shù)“X）的

圖象上，是否存在三個不同的點A（XI,f（Xl））,B（尤2,f（X2））,C（X3,f（X3））,當尤1+X3=2x2時，

f（XI）+f（X3）=V3f（X2）,若存在，求COS（尤1-尤3）的值；若不存在，說明理由.

18.（2024秋?呂梁期末）山西某村為富硒土壤，且氣候適宜，非常適合種植櫻桃.近年來，為全面推進鄉(xiāng)

村振興，實現(xiàn)共同富裕，當?shù)攸h委帶領(lǐng)村民積極發(fā)展規(guī)模化種植，完善深加工產(chǎn)業(yè)鏈，成立深加工合作

社，建立櫻桃批發(fā)市場.該地櫻桃一般從5月1日開始上市，6月20日基本結(jié)束.通過市場調(diào)查，得

到櫻桃的投入成本y（單位：元/千克）與上市時間r（單位：天數(shù)）的數(shù)據(jù)如下表：（上市時間r滿足1

WW51,怎N*）

上市時間r（天數(shù)）102250

投入成本y（元/千克）32.163

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請從下列四個函數(shù)模型中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型反映櫻桃投入成本y與上市時

間r的關(guān)系（需說明理由），并求出相應的函數(shù)解析式；

@y—at+b,?y=at1+bt+c,?y=a*bt,@y=a\ogbt.

（2）利用你選取的函數(shù)模型，求投入成本最低時櫻桃的上市時間及最低投入成本.

19.（2024秋?景德鎮(zhèn)期末）現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明，用100℃的水

泡制，待茶水溫度降至60℃時，飲用口感最佳.某中學學生利用課余時間探究室溫下剛泡好的茶水達

到最佳飲用口感的放置時間，每隔1加沅測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表:

時間/加〃012345

水溫/℃1009284.878.3272.4967.24

設(shè)茶水溫度從100℃經(jīng)過X7W而后溫度變?yōu)楝F(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：

@y—cx+b(c<0,x20)；

②y=c〃+b(c>0,0<a<Lx20)；

③y=loga(尤+c)+b(a>l,c>0,x20).

(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式;

(2)根據(jù)(1)中所求函數(shù)模型，求剛抱好的茶達到最佳飲用口感的放置時間(精確到0.01)(參考數(shù)

據(jù)：欣2仁0.301,0.4771)；

x+1,x<0

20.(2024秋?青銅峽市校級期末)已知函數(shù)/(%)=

2X,x>0

(1)求的值；

(2)畫出函數(shù)/(x)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若f(x)》2,求x的取值范圍.

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2025年高考數(shù)學三輪復習之函數(shù)應用

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案CABCCBCC

二.多選題（共4小題）

題號9101112

答案ABDABCBCDABD

一.選擇題（共8小題）

（媽r>2

1.（2025?南通模擬）若函數(shù)〃>）=%'一’有最大值，則左的最大值為（）

,kx,x<2

ln2ln211

A.----B.----C.—D.-

422ee2

【考點】分段函數(shù)的應用；函數(shù)的最值.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用導數(shù)求出/（x）在［2,+8）上的極大值，結(jié)合/（x）有最大值建立關(guān)于人的

不等式組，解之即可得到本題的答案.

【解答】解：當xN2時，/（久）=,，求導數(shù)得f'（久）=*竺，

當2WxVe時，f'（x）>0；當x>e時，f（x）<0.

所以/（x）在［2,e）上是增函數(shù)，在（e,+8）上是減函數(shù).

可知/（x）在［2,+8）存在極大值f（e）=",

flnx

因為『（久）=尸’”一有最大值，

tkx,x<2

1

所以函數(shù)>=息在（-8,2）上為增函數(shù)，且最大值小于等于一,

e

（k>0ii

gpL,解得OWkW二可得實數(shù)上的最大值為丁.

12k<-2e2e

故選：c.

【點評】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，屬于中檔題.

2.（2024秋?贛榆區(qū)校級期末）已知函數(shù)無）-k-a\+a恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）

11111

A.{0,g}B.[0,g]C.[一不，g]D.[0,印

【考點】由函數(shù)零點所在區(qū)間求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】分類討論；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】A

【分析】將函數(shù)解析式化成分段函數(shù)形式，對。分。<一寺，-1<a<0,a=0,a>0四種情況討論,

數(shù)形結(jié)合判斷是否恰有三個零點，從而可得結(jié)果.

■e,（x2-x+2a,x>a

【解答】解：/（%）=x2-\x-a\+a=<,

lx2+x,x<a

①當a<一2時，

y=/+x的開口向上，對稱軸為入=-±,

所以在（-8,Q）上單調(diào)遞減，-%+2。在（a,}上單調(diào)遞減，在（4，+8）上單調(diào)遞增，

因為/（x）在處連續(xù)，

所以/（X）在（一8,當上單調(diào)遞減，在8,+8）上單調(diào)遞增，

I11

且f（2）=-4+2aVO，

所以/（X）在（―8,1）,弓，+8）分別有一個零點，

即/（%）只有2個零點，不滿足函數(shù)有三個零點；

1

②當—2v&vo時，

則/（%）在（—8,―》上單調(diào)遞減，在（_*,a）上單調(diào)遞增，

在（a,》上單調(diào)遞減，在+8）上單調(diào)遞增，

且/（〃）=/+〃=〃（a+1）<0,

作出兩段拋物線的圖象，如圖所示:

此時了(%)只有兩個零點，不滿足函數(shù)有三個零點;

「x、r,(X2—X,X>0

③當a=0時t，/(%)=]，

+x,x<0

作出兩段拋物線的圖象如圖：

-11]

此時了(無)恰有三個零點：-1,0,1,滿足題意;

④當a>0時，

因為y=/+x，在在(-8,a)有兩個零點，

且當了=〃時兩段拋物線的函數(shù)值相等，

若要有三個零點，

則y=7-x+2a在+°°)有一個零點，

作出兩段拋物線的圖象，如圖所示:

此時卜>°,解得a=需滿足題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為{0,

故選：A.

【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想，屬于中檔題.

3.(2025?咸陽模擬)已知函數(shù)/(x)=|2X-1|,若g(x)=2<(x)]3+3/(x),則關(guān)于尤的方程g(x)=

7[f(尤)]2的解集是()

A.{-1,log23-1,2}B.{0,-1,log23-1,2}

1

C.{0,-1,log23,3}D.{0,2，3}

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維；運算

求解.

【答案】B

【分析】作出函數(shù)/(x)的圖象，令m=f(X),解得加=0或2或3,結(jié)合圖象求解即可.

【解答】解：由題意，作出函數(shù)/(無)的圖象，如圖所示：

令m=f(x),

則方程g(x)=7[f(x)『可變換為2帆3-7川+3機=o,

即加(2m-1)(m-3)=0,

1

解得機=0或二或3.

2

當根=0時，f(x)=|2%-1|=0,解得x=0;

11

當TH=2時，/(%)=|2%-1|=2，解得冗=-1或冗=log23-1;

當m=3時，f(x)=|2%-1|=3,解得x=2.

綜上所述，關(guān)于1的方程g(x)=7[f(x)產(chǎn)的解集是｛0,-1,iog23-1,2).

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

4.(2025?長安區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=[l0'X<0,g(x)=/(無)+2x-m,若g(x)有一個零點，則

Ugx,x>0

m的取值范圍是()

A.(-8,i]B.(-8,i)C.[1,+8)D.(1,+8)

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用零點的意義將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)>=/(無)的圖象與直線交點，再利用數(shù)形

結(jié)合求出范圍.

【解答】解:由g(x)=0,得/(x)=-2x+m,因此g(x)有一個零點，

當且僅當函數(shù)>=/(%)的圖象與直線y=-2尤+根有且僅有一個公共點，

因為當x<0時，f(x)=1C,

函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為(0,1),

當x>0時，f(x)=lgx,

在(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為R,

在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)>=/(無)的圖象與直線y=-2x+"Z的圖象，

*

y=-2x+m

觀察圖象知，當機VI時，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=-2X+M有兩個交點，

所以當用21時，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=-21+加有1個交點，

所以加的取值范圍是［1,+8).

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

5.(2024秋?酒泉期末)設(shè)/(無)=3x-/,則在下列區(qū)間中，使函數(shù)/(無)有零點的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-1,0)D.(-2,-1)

【考點】函數(shù)零點的判定定理.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【答案】C

【分析】由題意求得了(0)>0,/(-1)<0,根據(jù)函數(shù)零點的判定定理得出結(jié)論.

【解答】解：由/(無)=3工-/,可得/(0)=1>0,/(-1)=-j<0,

根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)/(尤)有零點的區(qū)間是(-1,0),

故選：C.

【點評】本題主要考查函數(shù)零點的判定定理的應用，判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題.

_X6v>Q

'—，則力(7)］的值為()

x2+1,x<0

A.-20B.2C.7D.5

【考點】分段函數(shù)的應用.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式計算可得答案.

_y_1_￡y>Q

'一，則八7)=-7+6=-1,

%2+1,%<0

則力(7)］=/(-1)=1+1=2；

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)值的計算，涉及分段函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2024秋?阿魯科爾沁旗校級期末)函數(shù)/(x)=/+2x-4的零點所在區(qū)間是()

1335

A.G，1)B.(92)C.(1,|)D.(2,I)

【考點】求解函數(shù)零點所在區(qū)間.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)零點存在性定理判斷即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)=必+2尤-4在R上單調(diào)遞增，

且7(0)=-4<0,f(1)=1+2-4=-1<0,渴)=(新+2x|-4=竽>0,

f(2)=8+4-4>0,/(|)=(|)3+2X|-4=哈>0,

3

則/⑴?/'(])<0,

則函數(shù)“X)=/+2x-4的零點所在區(qū)間是(1,1).

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)零點的判定及應用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.(2024秋?徐州期末)函數(shù)丫=2。91%+3-%的零點所在的區(qū)間為()

3

17

A.弓，1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,孑)

【考點】求解函數(shù)零點所在區(qū)間.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理即可得答案.

【解答】解：因為函數(shù)無)=Zogix+3-久的定義域為(0,+8),

3

y=logix,y=3-尤在(0,+°°)上單調(diào)遞減，

3

所以數(shù)/(無)=logix+3-久在(0,+8)上單調(diào)遞減，

3

又/(1)=2>0,f(2)=1-log32>0,f(3)=-1<0,

所以函數(shù)的零點在(2,3)內(nèi).

故選：C.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，考查了零點存在定理，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2024秋?許昌期末）設(shè)函數(shù)〃久）=十z。，x,則下列說法正確的是（）

vlnx-Q,x>1

A.若函數(shù)/（x）在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（-8,-2]

B.若函數(shù)/（x）有3個不同零點，則實數(shù)。的取值范圍為（0,1）

C.若函數(shù)/（無）有3個零點名xi,Xi,X3（xi<x2<%3）,則xi+x2-尤3的取值范圍為（-e,-1）

D.對任意函數(shù)/（無）在（0,2）內(nèi)無最小值

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；分段函數(shù)的應用.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，可判定A；

令/（x）=0,結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定8正確；

a1

得到%】+x2-x3=-a-e,令gOOmin=g（l）=-1-e,求得函數(shù)g（x）的單調(diào)性和最值，可判定

C;

當x<l時，函數(shù)/1（>）=一/一ax+2a,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，

可判定。正確.

—丫2—ny-LV-<^1

，要使得函數(shù)無）在R上單調(diào)遞增，

{Inx—a,x>1

那么一與一一2二匕所以,因此布（-8,-2],因此選項A正確；

l-a>-1+ala-2

令函數(shù)/（x）=0,當％21時，可得歷x=a,

如果/（%）有3個零點，那么近需有一個零點，那么。20；

當X<1時，可得-/-ax+2a=0,如果/（x）有3個零點，

那么方程/+ax-2a=0需有兩個不等的小于1的實根，

—1—a+2aVO

（J=a2+4X2a>0,解得OVaVl,

因此/（%）有3個零點，那么（0,1）,所以選項3正確.

設(shè)/（X）的3個零點分別是XI,X2,X3（X1<X2<X3）,

a

則盟^X1+x2-x3=-a-e,

令g（X）=-X-e^,XE（0,1）,則g（X）在（0,1）上單調(diào)遞減，所以g（%）max=0（0）=-0-e。=-1,

（9（x）min=<9（1）=-1-e1,即Xl+%2-X3的取值范圍是（-1-e,-1）,所以。錯誤；

當1時，fi（x）——%2—ax+2a是開口向下的二次函數(shù)，對稱軸是》——趣>—/，

當一舞（一2°]時，/⑴在（61）單調(diào)遞減，在（31）沒有最小值，/（尤）>/（1）=-1+”，

當入21時，fi（x）=lnx-a單調(diào)遞增，因此力（%）min=fi（1）=-a,

由于0VaV?,因此7+a<-a,因此函數(shù)/（尤）在（0,2）內(nèi)無最小值；

當一養(yǎng)（0,1）時，f（x）在（一搭，1）單調(diào)遞減，在（0,-當單調(diào)遞增，

在（0,1）沒有最小值，函數(shù)/（%）>min｛f（1）,f（0）｝=min｛-1+a,2a],

當X^l時，fl（x）=lnx-a單調(diào)遞增，因此愈（x）min=fl（1）=-a,

由于-2VqV0,因此加2a]<-a,因此函數(shù)/（%）在（0,2）內(nèi)無最小值；

當一期[1,+8）時，f（X）在（0,1）單調(diào)遞增，在（0,1）沒有最小值，f（x）>f（0）=2a,

當時，fl（無）單調(diào)遞增，因此力（無）min—fl（1）—-a,

由于“W-2,因此2a<-a,因此/（%）在（0,2）內(nèi)無最小值，所以。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，屬于中檔題.

（多選）10.（2025?葫蘆島一模）已知數(shù)列｛劭｝,｛加｝不為常數(shù)列且各項均不相同,設(shè)an=f（?）,bn=g

（〃），下列正確的是（）

A.若｛即｝為等差數(shù)列且｛為｝為等比數(shù)列，則方程/（〃）=g（n）最多有三個解

B.若｛板｝,｛阮｝均為等差數(shù)列,則方程/（w）=g（n）最多一個解

C.｛外｝單調(diào)遞增，｛瓦｝單調(diào)遞減，則方程/（"）=g（"）最多有一個解

D.若｛麗｝,｛加｝均為等比數(shù)列,則方程/（〃）=g（〃）最多有三個解

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用；等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；邏輯思維；運算求

解.

【答案】ABC

【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷的正誤，利用反例可判斷。的正誤，結(jié)合通項公式的

特征及反證法可判斷A的正誤.

【解答】解：對于A,設(shè)%=4qnQ4qW0,q*±1),an=kn+b(^0),

若方程/(〃)=g(n)至少有四個解，

則關(guān)于n的方程Aqn=kn+b至少有4個不同的正數(shù)解，

若q<0,qW±l,考慮關(guān)于w的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，

當Aq"=h?+b有偶數(shù)解，此方程即為用行=而+b,方程至多有兩個偶數(shù)解，

且有兩個偶數(shù)解時，Akln\q\>0,否則A〃川切<0,

所以y=A|q|",>=版+%單調(diào)性相反，方程至多一個偶數(shù)解，

當=有奇數(shù)解，此方程即為-A|q|”=如+6方程至多有兩個奇數(shù)解，

且有兩個奇數(shù)解時，-4W川歷@<0,否則AW川切>0,

因為>=-A\q\n,y=kn+b單調(diào)性相反，

方程-A\q\n^kn+b至多一個奇數(shù)解，

因為4t歷⑷>0,Akln\q\<0不可能同時成立，

若q>0,gWl,

則關(guān)于"的方程Aq"=h?+b至多有兩個不同的解，矛盾，

故Aq"=版+￡>不可能有4個不同的正數(shù)解，即M中最多有3個元素，A正確；

對于B：｛珈｝,｛阮｝均為等差數(shù)列,且數(shù)列｛珈｝,｛加｝不為常數(shù)列且各項均不相同,

故它們的散點圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個公共點，

所以方程/(〃)=g(〃)最多一個解，B正確；

對于C：因為｛金｝為單調(diào)遞增，｛6”｝為遞減數(shù)列，｛牝｝，｛a｝不為常數(shù)列且各項均不相同，

前者散點圖呈上升趨勢，后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，

即方程/(")=g(n)最多有一個解，C正確；

對于。：令斯=2心】，,=一(一2產(chǎn)一】，滿足｛即｝,｛加｝均為等比數(shù)列，

但當n為偶數(shù)時，an=2^1=bn=

方程/(")=g(n)有無窮多個解，D錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題考查數(shù)列的綜合應用，屬于難題.

(多選)11.(2024秋?山西期末)狄利克雷函數(shù)。(久)=「'XEQ，是德國數(shù)學家狄利克雷給出的一個函

6%eCRQ

數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)的論述正確的是()

A.3xoGR,D(￡>(尤o))=0

B.方程。(x+1)-1=0有無數(shù)個實數(shù)解

C.VASR,D(X+2025)=D(X)

7r

D.Va€R,sin"；"+cos"(；)=j

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】新定義；分類討論；函數(shù)思想；綜合法；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維；運算求解;

新定義類.

【答案】BCD

【分析】利用函數(shù)新定義分xoeQ,和XOCCR。代入求解可判斷A；

由函數(shù)新定義可判斷8；

由函數(shù)新定義分x6Q,X+20256Q和若x《R。，則X+2025GCRG代入討論即可判斷C；

由函數(shù)新定義分?￡Q和西CR。，再結(jié)合特殊正余弦函數(shù)值求解可判斷D.

【解答】解：對于A,因為=XEQ,

10,%GQRQ

若xoeQ,D(尤o)—1,所以。(￡>(尤o))—D(1)=1,

若XOGCR。，D(尤o)=0,

所以。(D(xo))=D(0)=1,

所以VxCR,D(D(xo))=1,故A錯誤；

對于8,若x+leQ,D(x+1)-1=1-1=0,

所以任意有理數(shù)皆為方程。(x+1)-1=0的解，故B正確；

對于C,若xCQ,X+20256Q,

則D(尤+2025)=1=D(x),

若XEQRQ,貝I]X+2025《R。，

所以。(x+2025)=O=D(x),

所以VxCR,D(x+2025)=D(x),故C正確；

對于。，若aeQ,則。(a)=1,

.D(a)n,D(d)n.n,n

JCTTCH以Isin—2-----Hcos———sin]+cos1=1,

若QWCRQ,則。(〃)=0,所以sinO+cosO=l,

所以VaCR,s山以+cos久圖=1,故0正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查了狄利克雷函數(shù)的定義及性質(zhì)，屬于中檔題.

丫2|CLXI1v)^0

’，有4個零點尤1,XI,X3,X4(XI

(x<0

<X2<X3<X4),則()

A.實數(shù)a的取值范圍是(-8,-2)

B.函數(shù)無)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.XLX2X3X4=2

D.XI+2X2+3X3+4X4的取值范圍是(4,+°0)

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，求出x<0時/(x)的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的定義判斷出/(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)

于y軸對稱.然后作出了(X)的圖象，結(jié)合圖象可得Xl+X4=0、X2+X3=0,且X1X2=X3X4=1,由此對各

項中的結(jié)論依次分析判斷，即可得到本題的答案.

丫2I(~i■y-I-1

,可知當X<0時，/(x)=f(-x)=(-X)2+4(-x)

(/(-%)/x<0

+1=X-,

/+a%+1,x->0,oo

，當x>0時，/(-%)=(-x)2-a(-x)+l=x2+〃x+l=/(x).

{x2—ax+1,x<0

所以/(x)是偶函數(shù)，/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以選項5正確；

根據(jù)/(X)有4個零點，可知x>0時/(x)有兩個零點，即方程/+辦+1=0有兩個正根X3、X4,

p=a2-4>0

所以《修+久4=一a>0,解得。<-2,可知選項A正確；

K4=1〉。

作出了(X)的圖象，根據(jù)/(X)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得Xl+X4=0且％2+%3=0.

方程X2-"+1=0的兩根為％1、XI,由韋達定理得X1X2=1,

所以％LX2X3X4=（X1X2）（X3X4）=1,可知選項C錯誤；

因為％1+212+3X3+4X4=2（X2+X3）+X3+（X1+X4）+3x4=（X3+X4）+2x4=-4+2%4,

根據(jù)圖象，可得了(X)最大的零點％4>—笠所以X1+2X2+3X3+4%4=-〃+2%4>-2〃>4,可知選項。正

確.

故選：ABD.

【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分段函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點及其應用

等知識，屬于中檔題.

三.填空題(共4小題)

13.(2025?3月份模擬)已知I1,X2是函數(shù)/(x)=cos3x-cos2x,xG(0,TC)的兩個零點，則田-12|=

271

~5

【考點】由函數(shù)零點所在區(qū)間求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】對應思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

?…加、27r

【答案】y.

【分析】利用和差化積公式得f(%)=-2s譏等5嗚，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.

xx

【解答】解：根據(jù)和差化積公式得/(%)=cos3x—cos2x=—2sin^~^sin

貝(J令一2s譏苧sin*=0,得sin1=0或s譏竽=0,

XTC

因為(0,ir),則&G(0，］)，

所以s譏*=0無解；

,,,5%57r

因為(o,IT),則一G(0/—),

22

當s譏彳=0時，

5%

則——=7T或211,

2

解得％=普或%=等，

貝！]|%1_%21=萼一普=爭.

故答案為：

【點評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

——+3,%41

14.(2024秋?上城區(qū)校級期末)已知函數(shù)/(%)=1，若當]日〃，切時，lW/(x)W3,則

xH--x----1/%>1

b-a的最大值是2+或+值.

【考點】分段函數(shù)的應用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解.

【答案】2+戊+g.

【分析】根據(jù)給定條件，按xWl和x>l兩種情況求出不等式lW/(x)W3的解集的并集即可求解.

—龍之+3,X<1

【解答】解：根據(jù)題意可知，函數(shù)f(x)=1,

x4--x----1,x>l

當xWl時，由lW/(x)W3,得1W-/+3W3,解得一段工工三應，因此—

當X>1時，由iw/(x)W3,得解得1<%<2+遮，因此1<T42+V5,

因此1W/(%)W3等價于—魚<%<2+8，依題意，[a,b]Q[―V2/2+V3],

所以匕-〃的最大值為2+V2+V3.

故答案為：2+V2+V3.

【點評】本題考查了分段函數(shù)，屬于中檔題.

(-%2—4%+1,%40

15.(2024秋?袁州區(qū)校級期末)已知函數(shù)/(%)=1,若關(guān)于x的方程(/(乃-

(2-(2)x/x>0

=0恰有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是{加山=5或一<1}.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維.

【答案】{相依=5或相<1}.

【分析】在同一直角坐標系下畫出函數(shù)/（X）與丫=篇的圖象，可知方程〃久）=筋有三個實根,

乙U乙看乙U乙什

故方程/（X）=機有且僅有一個實數(shù)根.結(jié)合圖象即可求解.

【解答】解：根據(jù)方程（/（%）-第3（f（x）-m）=0,可知/（尤）=m或/（久）=|§||,

在同一直角坐標系下畫出了（無）與函數(shù)y=需的圖象如下圖：

可知/（X）=翁有三個實根.

因為（“X）—箴）（/0）-M）=0恰有4個不同的實數(shù)根,

因此/'（無）=機有且僅有一個實數(shù)根.

因此根據(jù)/（x）的圖象可知，m=5或%<1.

故答案為：{詞》7=5或相<1}.

【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的問題，屬于中檔題.

16.（2024秋?仁壽縣校級期末）已知命題a：方程f-ax+l=0無實數(shù)根，命題0：a-3<0；那么a是!3

的充分非必要條件.（用充分非必要，必要非充分，充要，非充分非必要填空）

【考點】函數(shù)的零點；充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應用；簡易邏輯；運算求解.

【答案】充分非必要條件.

【分析】命題a：方程/-辦+1=0無實數(shù)根，則A<0,解得。范圍.命題仇。-3<0,解得。范圍.進

而判斷出關(guān)系.

【解答】解：命題a：方程記-依+1=0無實數(shù)根，貝i]A=（-a）2-4<0,解得-2<a<2.

命題0：a-3<0,解得a<3.

由而由0推不出a.

那么a是0的充分非必要條件.

故答案為：充分非必要.

【點評】本題考查了方程與不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

四.解答題（共4小題）

17.（2024秋?保定期末）已知函數(shù)/（無）的