2025年高考數(shù)學(xué)大題突破訓(xùn)練：立體幾何（6大題型）學(xué)生版+解析

培優(yōu)專題03立體幾何

暗■無(wú)罪嚏！特鋼?幫埴提如、.

題型1建系技巧強(qiáng)化

r±T±TAT±T±TXT±T±TATATATATXTATATXTATATXTXTATATXTAT±TXTATAT±TXTAT±T±TAT±TAT±T±TXTATAT±TATATATATAT±TXTATAT±TATAT±TXTATATATAT±T±T±TAT±TATATAT±T±TXTXTATATXTJ

占

一、空間直角坐標(biāo)系建立的模型

⑴墻角模型：已知條件中有過(guò)一點(diǎn)兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型.

建系：以該點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以兩兩垂直的三條直線為x軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。孫Z,當(dāng)然

條件不明顯時(shí)，要先證明過(guò)一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直+面內(nèi)兩條線垂直），這個(gè)過(guò)程不能

省略.然后建系.

⑵垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個(gè)平面，就是墻角模型.

情形1垂下（上）模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類型.如圖，此情形包括垂足在平面

圖形的頂點(diǎn)處、垂足在平面圖形的邊上（中點(diǎn)多）和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況.

第一種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖

形中,過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)）建立空間

直角坐標(biāo)系.如圖1-1

第二種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閆軸，垂足所在的一邊為x軸或y軸，在平面圖

形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)）建立空間

直角坐標(biāo)系.如圖1-2

第三種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，連接垂足與平面圖形的一頂點(diǎn)所在直線為

為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作無(wú)軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面

圖形的另一頂點(diǎn)）建立空間直角坐標(biāo)系.如圖1-3

圖1-1

8

圖1—2

圖1一3

情形2垂左（右）模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少.各種情況如圖，建系方法可類比情形

1.

V

「函2一1'"S2-2百12—3

j情形3垂后(前)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少.各種情況如圖，建系方法可類比情形

\1.

圖3-1

一、解答題

1.(2025?陜西榆林?二模)如圖，已知斜三棱柱ABC-A耳G，平面AACG，平面ABC,AC±BC,AA,±AtC,

AAj=AjC,AC=2,BC=1.

(1)求證：平面ABC,平面BCC由；

(2)求平面ABC,與平面ABC所成夾角的余弦值.

2.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，圓錐CO的底面直徑AB和母線8C的長(zhǎng)度均為2,。是底面圓。圓

周上的一點(diǎn).

(2)當(dāng)=g時(shí)，求二面角A-CD-8的正弦值.

3.(24-25高三下?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試)如圖，四棱錐尸-ABCD中，四邊形是菱形，上4,平面ABCD,

ZABC=6Q,PA=^AB=l,E,b分別是線段8。和PC上的動(dòng)點(diǎn)，且=PF=2PC（O<A<1）.

(1)若EF//PA,求4的值；

(2)當(dāng)彳=；時(shí)，求直線。尸與平面PBC所成角的正弦值；

(3)若直線AE與線段BC交于點(diǎn)M,于點(diǎn)當(dāng)C"的長(zhǎng)度最小時(shí)，求4的值.

4.(24-25高三下?云南昆明?階段練習(xí))如圖甲，在等腰直角VABC中，A=90,沿底邊的高AD與，ACD

的中位線跖，分別將和△CEF折起到和△。跖的位置，如圖乙，折疊過(guò)程保持￡>P〃E。.

甲乙

(1)證明：4尸,尸,。四點(diǎn)共面；

(2)求直線AE與平面PDF所成角的正弦的最大值.

5.（2025?山東荷澤?一模）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，CD//BE,NBED=60°,BC=CD=1,AE=2ED=2,

PB=2叵,PE=EB,尸為尸B的中點(diǎn).

⑴求證：CV〃平面PAD；

（2）若平面依E_L平面ABCD,求與平面ABP所成角的正弦值.

6.（24-25高三下?河北滄州?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐A-58中，底面3c。為等腰三角形，ZCBD=—,

點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，平面ABC，平面3CD,平面平面BCD.

（1）求證：平面ACD_L平面ABE；

（2）若AB=8C=2,求該三棱錐外接球的體積；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)尸為3。的中點(diǎn)，求平面ABE與平面ACF的夾角的余弦值.

題型2求線面角和線面角中的探索性問(wèn)題

LTXT^TXTXTAT^TATXTXTATATXTXTXTATXTXTATATXTATXTATXTXTXTATXTXTXTATATXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTATXTATXTATATATXTATXTATXT^TXTXTXT^TXTXTXTXTXT^TXTXI

一、求直線與平面所成角

1、垂線法求線面角（也稱直接法）：

（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A向平面a做垂線，確

定垂足O；

（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

（3）把投影B0與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

|用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。

1公式為：sind=p其中。是斜線與平面所成的角，九是垂線段的長(zhǎng)，1是斜線段的長(zhǎng)。

j方法：已知平面夕內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S,它在平面a內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，

\平面a和平面p所成的二面角的大小為0,貝Ucose=萼.這個(gè)方法對(duì)于無(wú)棱二面角的求解很簡(jiǎn)便。

：4、直線與平面所成角：設(shè)々是直線/的方向向量，％是平面a的法向量，直線與平面的夾角為氏則

i.nII”「巧

!sin，=cos<%,%〉|=11j.

"1"2

一、解答題

1.（24-25高三下?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，三棱臺(tái)ABC-AAG，AB±BC,AC1BBt,平面

平面ABC,AB=6,BC=4,BBf,AC1與A。相交于點(diǎn)。，AE=2EB，且DE〃平面比。%

（1）求三棱錐c-A與G的體積;

（2）/、N分別在線段AV84上，且平行A5,平面MNC與平面ABC所成角為。，CC1與平面MNC所

成角為尸，求a+P.

2.（24-25高三下?河北邯鄲?開(kāi)學(xué)考試）建筑學(xué)中常用體形系數(shù)S表示建筑物與室外大氣接觸的外表面積與

其所包圍的體積的比值，即S=「，工為建筑物暴露在空氣中的外表面積，V。為建筑物所包圍的體積，外

表面積中，不包括地面的面積.某圓臺(tái)形建筑如圖所示，圓臺(tái)Ga的軸截面AACG為等腰梯形，

AC=2AiC,=4,8為底面圓周上異于AC的點(diǎn)，且AB=BC.

⑴若AC，空,求s；

(2)若s=…叵，求直線QB與平面AtAB所成角的余弦值.

14

3.(24-25高三下?廣東?開(kāi)學(xué)考試)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，是等邊三角形，四邊形ABCD是

直角梯形，AB±AD,BC//AD,AD=2AB=2BC,PC=^AB.

(1)證明：平面加8,平面ABC。.

3PF

(2)線段PC上是否存在點(diǎn)E,使得直線BE與平面PCD所成角的正弦值為二？若存在，求會(huì)的值；若不存

5EC

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2025?山東淄博?一模)如圖，在四棱錐S-ABCD中，BC//AD,AB=3C=1,點(diǎn)E在上，且

SELAD,AE=1,DE=2.

(1)點(diǎn)尸在線段SE上，且8/〃平面SCO,證明：尸為線段SE的中點(diǎn)；

(2)若AB，平面SAD,SD與平面SAB所成的角的余弦值為巫，求⑼的長(zhǎng)度.

10

題型3求二面角.平面與平面所成角及其探索性問(wèn)題

點(diǎn)

;一、聚二畝鬲、卑而寫(xiě)乖說(shuō)襁鬲

\1、幾何法

（1）定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直

i于棱的射線.

（2）三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作

i垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面

\角

（3）垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）：過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所

i成的角就是二面角的平面角。

2、向量法：若勺,的分別為平面4￡的法向量，。為平面a,分的夾角，貝！Jcosd=，os<nn>|=

v2JJ

一、解答題

1.（2025?山東聊城?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)ABC-A4cl中，AB=BC=2A4,=2CG=#AC=2后,

點(diǎn)。為棱AC的中點(diǎn)，BD=6且直線3。與平面A3C所成的角為g.

⑴證明：BDLAC-,

（2）求平面A4G與平面BCCiBi成角的余弦值.

2.（2025?黑龍江?一模）如圖所示，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,D,E,尸分別是各邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將VADE,

△BEF,VCDF分別沿DE,EF,。歹折起，使得VADE,ABEF,VC￡>f所在平面均與底面DEF垂直.

H

FR

(1)求證：平面ABC〃平面DEF；

(2)求二面角C—DA—E的正弦值.

3.(2025?山東煙臺(tái)?一模)如圖，點(diǎn)。在以A5為直徑的半圓的圓周上，NA5C=60,且的，平面ABC,

AB=2BP=4。=ACP(0<2<1)

⑴求證：AC.LBD；

(2)當(dāng)力為何值時(shí)，平面AC尸與平面夾角的余弦值為亞

4.(2025?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-ABGR的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正

方形，平面A陰平面ABC。，,點(diǎn)M是線段8月的中點(diǎn)，N為線段C￡>上一點(diǎn).

(1)若C7V=1,證明：MN//平面ADRA；

(2)在線段CD上是否存在點(diǎn)N,使平面與平面MNB夾角的余弦值為叵？若存在，指出點(diǎn)N的位

置；若不存在，說(shuō)明理由.

題型4求點(diǎn)到面（線）距離及其探索性問(wèn)題

1、定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長(zhǎng)度；

2、等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離；

3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離.

2、向量法求空間距離：

（1）點(diǎn)面距：已知平面a的法向量為〃，A是平面a內(nèi)的任一點(diǎn)，P是平面&外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作則平面a

AP,n

的垂線/,交平面a于點(diǎn)。，則點(diǎn)尸到平面口的距離為PQ=

_\AB-n\,八

（2）直線。與平面a之間的距圖：j=J---------1,其中九是平面a的法向量。

AB?川

（3）兩平行平面％。之間的距離：d=J---------1,其中”是平面1的法向量。

一、解答題

1.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-4耳。中，AB=AC=y[5,BC=28瓦=2,

P,。分別為4G，A8的中點(diǎn).

(1)證明：\BYCP.

（2）求直線AB與平面CPQ所成角的正弦值.

d,

（3）設(shè)點(diǎn)G到直線CQ的距離為4,點(diǎn)G到平面“。的距離為4,求廣的值.

2.（2025?湖南岳陽(yáng)?一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面乃山，底面A3C￡）,PA=尸。，底面ABCD為

平行四邊形，BC=2代,C。=#,E為邊8C的中點(diǎn)，NBCD=?

p

c

a

⑴求證：PALDE-,

TT__3

⑵已知二面角P-3C-D的平面角等于y,則在線段AB上是否存在點(diǎn)M,使得M到平面PBC的距離為1,

若存在，指出點(diǎn)/的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

3.(24-25高三上?湖北?期末)如圖在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，ZABC=60,平面

ABCD,EA//BF,AB=AE=2BF=2.

AG_L平面EFC;

(2)在棱EC上有一點(diǎn)M,且M到平面BCF的距離為"，求二面角M-3D-C的正弦值.

4

4.(2024高三上?福建廈門?期中)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC￡＞為直角梯形，BC=3AD,

AD//BC,ZBCD=90°,〃為線段尸8上一點(diǎn).

(1)若尸求證：AM〃平面PCD；

⑵若上4=2,AD=1,異面直線出與CD成90。角，二面角8-尸C-D的余弦值為一叵，在線段PC上是

10

否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。到直線AD的距離為氈，若存在請(qǐng)指出點(diǎn)。的位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

5.(24-25高三上?遼寧?階段練習(xí))如圖，在四棱臺(tái)ABC。-A耳￡2中，的，平面A5C0,A與〃平面

CDDIG，ADIIBC,AB=AD=CD=2AAi=2\BX=2.

⑴求證：A￡>=BXCX；

(2)求平面CDDg與平面BAA^所成角的正弦值;

(3)求點(diǎn)A關(guān)于平面\BC的對(duì)稱點(diǎn)M到平面的距離.

題型5翻折問(wèn)題

TXTXTXTXTdiTXTXTXTATdiTATXTXTATATXTJiTATATJjrJiTJiTJiTXTJiTATJiTATXTXTATXTXTXTXTATATATATJiTdiTXTXTATXTATATATXTJiTATXTXTJiTATXTJiTATXTATXTXTXTXTATXTXTJiTXTXTXTATATJiTdiTA1

點(diǎn)

一、翻折問(wèn)題的兩個(gè)解題策略

1、確定翻折前后變與不變的關(guān)系：畫(huà)好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)

量關(guān)系的變與不變.一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩

側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則

要在立體圖形中解決

2、確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置：所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過(guò)程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn).因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，

會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化.只

有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與

計(jì)算

一、解答題

1.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在VA3C中，8=90。，AB=4,BC=2,D,E分別是邊A8,AC的中

點(diǎn)，現(xiàn)將VADE沿著。E折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，連接P8,PC,得到四棱錐PBCED如圖2所示，

設(shè)平面PDE1平面PBC=l.

⑵若點(diǎn)B到平面PDE的距離為V3,求平面PEC與平面PBD夾角的正弦值.

2.（24-25高三上?廣西河池?階段練習(xí)）如圖1,平面圖形PA3CD由直角梯形ABCD和等腰直角△PAD拼

接而成，其中AB=3C=1,BC//AD,/BAD=90;PA=PD=4i,NAP￡>=90,點(diǎn)。是AD中點(diǎn)，現(xiàn)

沿著AD將其折成四棱錐尸-ABCD（如圖2）.

圖1圖2

（1）當(dāng)二面角尸-AD-C為直二面角時(shí)，求點(diǎn)A到平面PCD的距離；

（2）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)。為線段PD上任意一點(diǎn)（不與P,。重合），求二面角。-AC-。的余弦值的

取值范圍.

3.（23-24高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）如圖：等邊三角形A3C的邊長(zhǎng)為3,2AM=MB，AN=2NC.將

三角形AWN沿著MN折起，使之成為四棱錐A-MBCN.點(diǎn)、P滿足MP=2PN，點(diǎn)。在棱2C上，滿足

MQ1BP.且A'Q=V^NQ.

(1)求4到平面MBCN的距離;

(2)求面A'NQ與面ANC夾角的余弦值；

(3)點(diǎn)。在面A'MB的正射影為點(diǎn)S,求SW與平面ANC夾角的正弦值.

題型6立體幾何中的新定義問(wèn)題

'XTATXTATATATATATXT^TATXTATdiTATXTXTATATXTXTXTdiTATATXTATATJiTXTATXTXTXTXTXTXTXTXTATXTATXTATXTXTATATXTATATXTXTATXTATXTXTXTATXTATXTATATXTXTXTXTJ

面對(duì)新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識(shí)相結(jié)合。明確解題

目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在解題

過(guò)程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡(jiǎn)化問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可嘗試建立空間直角

坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問(wèn)題平面化，通過(guò)截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解

對(duì)象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來(lái)遇

到類似問(wèn)題時(shí)能夠迅速應(yīng)對(duì)

一、解答題

1.(24-25高三上?江西上饒?期末)在空間直角坐標(biāo)系。肛z中，定義：過(guò)點(diǎn)4(%,%,z0),且方向向量為

克=(a,6,c)("c/0)的直線的點(diǎn)方向式方程為亍=2/=亍；

121

過(guò)點(diǎn)A(%,y0,Zo),且法向量為n=(a,b,c)[a+b+C*0)的平面的點(diǎn)法向式方程為。(%-%)+

^(y-yo)+c(z-zo)=O,將其整理為一般式方程為依+勿+cz-d=o,其中d=aXo+byo+cZo.

y+2I—

(1)已知直線人的點(diǎn)方向式方程為二y—=-z,平面名的一般式方程為2x-括y+z+5=0,求直線4與

平面四所成角的余弦值;

(2)已知平面02的一般式方程為2x+3y+2-l=0,平面4的一般式方程為x-y-2z+4=0,平面力的一般式

方程為(2〃2+l)x+(3m+2)y+(m+l)z—5=0,若叫1仇證明：4〃%；

(3)已知斜三棱柱A2C-A2C中，側(cè)面”瓦4所在平面見(jiàn)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)尸(4,0,0),Q(3,l,—l),2),側(cè)

面BCC內(nèi)所在平面用的一般式方程為x+2y+z+4=0，側(cè)面AC￡A所在平面％的一般式方程為

mx+6y+2mz+l=Q,求平面45與A與平面ACCH夾角的余弦值.

2.(24-25高三下?甘肅白銀?階段練習(xí))空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性,

規(guī)定：①多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有

頂點(diǎn)的曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均曲率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多

面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為故其各個(gè)頂點(diǎn)的

7T

曲率均為2兀-3x—=兀.

3

圖1圖2

⑴如圖1,已知四棱錐P-AB8的底面ABC。為菱形，NADC=60。，。為8。的中點(diǎn)，且POJL平面ABC。，

AB=2PO=2.

①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；

②求二面角2-9-。的平面角的正弦值；

(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對(duì)簡(jiǎn)單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名

的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)￡與面數(shù)尸滿足V+尸-5=2.請(qǐng)運(yùn)用歐拉定理解決下列問(wèn)題:

碳60(C60)具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十

分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示.已知碳60(Ce。)的分子結(jié)構(gòu)是一個(gè)由60個(gè)C原子構(gòu)成的

分子，這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，試求碳60(C60)各頂點(diǎn)的平均曲率.

3.(23-24高三下.重慶?期末)球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球。的半徑為

R.A、B、C為球面上三點(diǎn)，劣弧的弧長(zhǎng)記為設(shè)。。,表示以。為圓心，且過(guò)8、C的圓，同理，圓

。3，02的劣弧AC、AB的弧長(zhǎng)分別記為匕、c,曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形.若設(shè)二面角C-OA-B,

A-OB-C,8—OC-A分別為a、/、九則球面三角形的面積為S球面小叱=(?+/+7—萬(wàn))殷

(1)若平面。15、平面。4C、平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；

(2)若平面三角形ABC為直角三角形，AC1BC,設(shè)ZAOC=q,ZBOC=02,ZAOB=%.則:

①求證：cos0x+cos02-cos^3=1

②延長(zhǎng)4。與球。交于點(diǎn)D.若直線D4,0c與平面ABC所成的角分別為g,BE=ABD,2e(0,l],S

43

為AC中點(diǎn)，T為BC中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面ES7的夾角為凡求sin。的最小值，及此時(shí)平面AEC截球。

的面積.

培優(yōu)專題03立體幾何

°■龍?

題型1建系技巧強(qiáng)化

TXTXTXTXTJiTATXTXTATATATXTAiTATATXT4iTATJiTJiTJiTJiTATATXTAT4iTAT4iTXTXTXTXTXTXTdLTXTXTATJiT4iTATAT4iT4iTJiTATATATJiTdbTXTJiTJiTXTATJiTATXTXTATATXTXTXTJ<TATXTXT4iTATXTJiTJ.TJiTJ

點(diǎn)

一、空間直角坐標(biāo)系建立的模型

⑴墻角模型：已知條件中有過(guò)一點(diǎn)兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型.

建系：以該點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以兩兩垂直的三條直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,當(dāng)然

條件不明顯時(shí)，要先證明過(guò)一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直+面內(nèi)兩條線垂直），這個(gè)過(guò)程不能

省略.然后建系.

⑵垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個(gè)平面，就是墻角模型.

情形1垂下（上）模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類型.如圖，此情形包括垂足在平面

圖形的頂點(diǎn)處、垂足在平面圖形的邊上（中點(diǎn)多）和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況.

第一種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖

「法前汪原福宿;時(shí)成，碗的壓及浮還藏箕,福多巔百票蓬薪薪后率面面花的其二話舄逢豆型面

i直角坐標(biāo)系.如圖i-i

第二種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閆軸，垂足所在的一邊為X軸或y軸，在平面圖

形中，過(guò)原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)）建立空間

直角坐標(biāo)系.如圖1-2

第三種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，連接垂足與平面圖形的一頂點(diǎn)所在直線為

為x軸或y軸，在平面圖形中，過(guò)原點(diǎn)作無(wú)軸或y軸的垂線為y軸或x軸（其中很多題目是連接垂足與平面

圖形的另一頂點(diǎn)）建立空間直角坐標(biāo)系.如圖1-3

圖1T

1-1

圖1—2

圖1一3

情形2垂左（右）模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少.各種情況如圖，建系方法可類比情形

1.

情形3垂后（前）模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少.各種情況如圖，建系方法可類比情形

1.

圖3—1

一、解答題

1.（2025?陜西榆林?二模）如圖，已知斜三棱柱ABC-ABCi，平面AACG，平面ABC,AC±BC,AA,1A.C,

AAj=AXC,AC=2，BC=1.

（1）求證：平面ABC_L平面BCC百；

（2）求平面ABC,與平面A.BC所成夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵書(shū).

【分析】（D證法1,由胡，AC,得AC，CG,再由面面垂直的性質(zhì)可得BC，平面AACG，則BC，ac,

然后利用線面垂直的判定定理得AC，平面BCG4,從而由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；證法2,由

面面垂直的性質(zhì)可得3C，平面AAC&,則BCLAC，BC1QC,則NACG為二面角4-BC-Q的平面

角，然后結(jié)合已知可得二面角A-BC-q為直二面角，從而可證得結(jié)論；證法3,取AC的中點(diǎn)。，取

的中點(diǎn)。，連接A。，OD,可證得a。，。。，A.O1AC,OD1AC,所以以O(shè)D,OC,C%所在的直線分

別為％%z建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可；

(2)解法1,以。D,OCOA所在的直線分別為羽y,z建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可，解法

2,過(guò)點(diǎn)C作平面ABC的垂線，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

【詳解】(D證法1：因?yàn)樵谛比庵鵄2C-4q6中，AA,//CC,,且所以ACLCG，

又因?yàn)槠矫鍭BC_L平面ACGA,平面ABC平面ACC]A=AC,BCu平面ABC,且AC_L3C,

所以8CJL平面AAC￡,

因?yàn)锳Cu平面AACG，所以BCJ.AC，

又因?yàn)镃C]C2C=C,CClyBCu平面BCG耳，所以AC,平面BCC1耳，

又因?yàn)锳Cu平面ABC,所以平面ABC,平面BCCf.

證法2：因?yàn)槠矫鍭BC_L平面ACGA,平面ABC平面ACGA=AC,BCu平面ABC,AC±BC,

所以8CL平面AAC￡,

因?yàn)锳CGCu平面AACG,所以BC^AC,BCIQC,

因?yàn)槠矫鍭,BCc平面BCQB^BC,所以NACG為二面角\-BC-Cx的平面角，

因?yàn)樵谛比庵鵄BC-A耳G中，AA^/CQ,且所以ACJ_CG，

所以二面角A-BC-Q為直二面角，

即平面ABC和平面BCG片所成的角為E，

所以平面ABCJ_平面BCC由.

證法3：如圖1,取AC的中點(diǎn)0,取A3的中點(diǎn)D,連接A。，0D,

由為VABC的中位線，知OD〃8c.

又因?yàn)锳CL3C,所以O(shè)DLAC.

因?yàn)锳4,=AC,所以AOLAC.

因?yàn)槠矫鍭BC,平面ACG4，平面A3C平面ACC]4=AC,4。匚平面人(7。14，

所以A。，平面ABC,

因?yàn)镺￡>,OCu平面ABC,所以AO_LOD,\OLAC,

所以O(shè)D,OC,O4兩兩垂直，

所以以02OC,(M所在的直線分別為羽y,z建立空間直角坐標(biāo)系，如圖I所示,

圖1

則A（0,—l,0）,4（。，。/），3（1，1,0），c（o,l,o）,G（0,2,1）,

0^^（0,-1,1）,CB=（1,0,0）,CCj=（0,1,1）,

設(shè)平面ABC和平面BCC由的法向量分別為4=(占,如zj,乙=優(yōu),％,z2)，

匕=0

由CB%,0A1，得取M=1,則％=（0,1,1）,

1-y+Z]=0

（尤。=0.

由CB±%，CCt±n2得___0,?。?=1，則%=（0,1,-1）,

則巧?%=0,所以

即平面ABC±平面BCCXB..

(2)解法1：如圖2,取AC的中點(diǎn)。,取的中點(diǎn)。，連接4。，OD,

由。。為VABC的中位線，知OD〃gC.

又因?yàn)锳C_L3C,所以O(shè)DJ_AC.

因?yàn)锳4t=AC,所以AO'AC.

因?yàn)槠矫鍭BC,平面ACGA，平面ABC平面ACG4=AC,4。＜=平面4(704,

所以A。，平面ABC.

因?yàn)镺D,OCu平面ABC,所以Afi±AC,

所以O(shè)D,OC,OA兩兩垂直，

所以以oz),oc,oa所在的直線分別為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示,

圖2

則A（OTO）,4（。，。/），3（1/，。），G（0,2,1）,

所以A4,=（0,1,1）,AB=（1,2,0）,Aq=（0,3,1）,

由（1）知，的，平面A0C,所以44f為平面ABC的法向量,

設(shè)平面ABCt的法向量為n=（x,y,z）,平面A,BC與平面A2G所成角記為0,

x+2y=0/、

由AB_L〃，AQ±/i,得-取》=-1,得”=2,-1,3,

3y+z=0

AA-n\2百

Icos^l=--i----r=

11M母又歷一7

所以平面ABC和平面際所成夾角的余弦值為*

解法2：因?yàn)槠矫鍭BC,平面ACG4,平面ABC平面ACGA=AC,

所以過(guò)點(diǎn)C作平面ABC的垂線必在平面ACC0內(nèi).

又因?yàn)锳C_L3C,所以可以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?（0,-2,0）,4（0,-1,1）,5（1,0,0）,G（0,1,1）,

所以招=（0,1,1）,AB=（l,2,0）,AG=（0,3,1）,

由（1）知，44,，平面ABC,所以A4,為平面ABC的法向量,

設(shè)平面ABC,的法向量為"=（x,y,z）,平面與平面ABC,所成角記為6,

x+2=y=0。,取一得，(/一，、

由AB_L〃，AQLn,得3y+y=j"2,I”

,2_幣

同|⑨|V2xV147

所以平面ABC和平面ABG所成夾角的余弦值為五.

7

2.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，圓錐C。的底面直徑AB和母線2C的長(zhǎng)度均為2,。是底面圓。圓

周上的一點(diǎn).

（2）當(dāng)AD=百時(shí)，求二面角A—CD—5的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

8^65

⑵干.

【分析】（1）法一：通過(guò)AB±OC,得到AB,平面。CD,即可求證；法二：通過(guò)AOLOD,

AO1OC,得到ABJL平面OC￡>,即可求證；法三：建系，由向量求證垂直；

（2）法一，建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；法二：過(guò)點(diǎn)A作A7/LCD于點(diǎn)以，設(shè)A//與

h

平面BCD所成的角為8,點(diǎn)A到平面BCD的距離為〃，貝?。﹕ine=F，

AH

由等體積求得〃，即可求解；

【詳解】（1）法一：連接

因?yàn)锳3為直徑，所以5￡>_LAZ）,

因?yàn)锳D=血，所以=JAB。-AD〉=0,

連接0。，因?yàn)?。為的中點(diǎn)，所以

易知MLOC,

又OCOD=O,OC,ODu平面OCZ),所以AB,平面OCD,

因?yàn)镃Du平面OC￡),所以AB_LCD.

法二：連接O。，因?yàn)锳O=OD=1,AD=垃,所以AO?+OD?=AD、

所以AO_LOD.又AO_LOC,OCOD=O,OC,ODu平面08,

所以AB_L平面OCE),

因?yàn)镃Du平面。CD,所以AS_LCD.

法三：連接0￡>,因?yàn)锳O=OD=1,AD=6,所以AC>2+OD2=AD2，

所以AOLOD.又OC,平面ABD,故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。已。。，。(^所在直線分別為左/衣軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-1,0),3(0,1,0),C(0,0,道),￡>(1,0,0),

故42=(0,2,0),8=(1,0,-力)，所以430)=0,所以ABLCD.

(2)解法一：當(dāng)A￡>=退時(shí)，由于AO=OD=1,

所以cos/AOQ=臂3-；，可得：ZAOD=^-,

2x1x123

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為y軸，OC所在直線為z軸，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)。且垂直于。8的直線為X軸,

則4（0,-1,0）,8（0,1,0）￡（0,0,』）,￡＞［事,：,oj,

故CD=卓;，一T，CA=（O,T-@,C2=（O,1,_@.

設(shè)平面ACD的法向量為克=（菁,％,Z1）,

m-CD=0—x+—y,->/3z,=0

故,BP212?1V1,

m-CA=Oc-

i[-J1-V3Z1=0

令乂=百，可得：X]=-3,Z]=-l,

則加=卜3,6,一1）.

設(shè)平面BCD的法向量為“=（W，%，Z2），

n-CD=Q—^-x^+—y,—V3z,=0

故，BP222722

n-CB=Q

、AZ

y2-/32=0

令z?=1,可得：9=1,%=6，

則加=

-1765

所以cos（相，力

岳乂琳-65

故二面角A-CD-B的正弦值為

解法二當(dāng)=g時(shí)，由于AO=OD=1,

所以COS/AOD=K1=-；,可得：ZAOD=4，

，X1X12J

JT

所以4BOD=§,可得：BD=1.

過(guò)點(diǎn)A作AH_LCD于點(diǎn)//,在.ACD中，AC=CD=2,AD=6，

h

設(shè)AH與平面BCD所成的角為凡點(diǎn)A到平面BCD的距離為3貝!)sine=F，

AH

因?yàn)閊C-ABD=^A-BCD，所以§X/X^3X1X^3=—x//X—xlx^4——,

解得〃=3叵，

5

所以sine=WH,

65

故二面角A-CD-B的正弦值為嶇.

65

3.(24-25高三下?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試)如圖，四棱錐尸-ABCD中，四邊形43。是菱形，P4,平面ABCD,

ZABC=60,PA=^AB=l,E,P分別是線段AD和PC上的動(dòng)點(diǎn)，且=PF=2PC(0<A<1).

⑴若EF//PA,求2的值；

(2)當(dāng)2=g時(shí)，求直線。廠與平面PBC所成角的正弦值；

(3)若直線AE與線段BC交于點(diǎn)4〃，9于點(diǎn)”，當(dāng)CH的長(zhǎng)度最小時(shí)，求兄的值.

【答案】(l)4=g

⑵

16

15—A/65

-16-

【分析】(1)首先根據(jù)幾何關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行關(guān)系，即可求解；

(2)首先求向量。尸和平面的法向量，代入線面角的向量公式，即可求解；

(3)設(shè)=利用空間向量基本定理以及三點(diǎn)共線的充要條件得出A”，利用向量模長(zhǎng)公式以及導(dǎo)數(shù)

判斷函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算最值即可.

【詳解】(1)由于四邊形ABCD是菱形，且NABC=60,取CO中點(diǎn)G,則AGLCD,即AGLAB,

又P4，平面ABCD,故可以以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則3(2,0,0),C(1,^,0),D(-l,73,0),尸(0,0,1),

所以尸C=(l,右,-l),B￡>=(-3,^,0),BP=(-2,0,1),

由=PF=2PC(0<A<1),

可知8E=/L8Q,PF=ylPC，

：.EF^EB+BP+PF^-ABD+BP+APC=(42-2,0,1-2),

易知AP=（0,0,l）,因?yàn)轷拧˙4,所以跖=女尸4，

得至U4X-2=0,得至！J2=g.

（2）由（1）知。尸=。尸+尸產(chǎn)=（1,一百,1）+（4百2,—2）

2732、

丁以

n-BP=—2x+z=0,

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,則

n?PC=x+V3y-Z=0,

令%=1,貝!]z=2,y=^~,〃=L^~,2,

3I3)

設(shè)直線DF與平面PBC所成角為。,

nDF

.|nc,|\-23A/6

msma=cosn,DF\=--；---=——尸---==----

則11MB尸47347216?

3-

(3)設(shè)BM=f3C=r，后,0),fe[0,l],

貝!|AM=AB+=(2T,島0),

由于H,M,P共線，不妨設(shè)A〃=xAM+(l-x)AP,易知A〃_LAP,

y.AH±PM,貝！|有A8.PM=AH-（AM-AP）=0nxAM2-（l-x）Ap2=0,

所以xA"2=l—X，則.嬴7r4/一書(shū)+5'

貝！|CH=CA+AH=^2-t）x-l,^3tx-y/3,l~xj,

.2/、一4/—5

即CH=（4產(chǎn)-4t+5）x2_（4.+6）x+5=4產(chǎn)今+5+5，

_Af_<8（2/+5,—5）

記〃>^^（問(wèn)0』），貝堂,⑺

令2『+5=0,得至11y—羯

4

在0,-5：病］上廣⑺<0,在「5丁?,］上廣⑺>0,

可知/⑺在區(qū)間Ly上單調(diào)遞減，在區(qū)間［一§］病」上單調(diào)遞增，

所以〃/)在/=0±返處取到極小值，此時(shí)CH的長(zhǎng)度最小，此時(shí)九=殷=_^=L="二返.

4BDBE+EDt+116

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是關(guān)于為關(guān)于f的函數(shù)，再一個(gè)關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理，得

到AH=xAW+(l_x)AP.

4.(24-25高三下?云南昆明?階段練習(xí))如圖甲，在等腰直角VABC中，A=90,沿底邊的高AZ)與，ACD

的中位線EF,分別將△ABD和ACEF折起到△PAD和△Q￡F的位置，如圖乙，折疊過(guò)程保持DP//EQ.

乙

(1)證明：ARR。四點(diǎn)共面；

(2)求直線AE與平面PDF所成角的正弦的最大值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

力3而

⑵丁

【分析】(1)根據(jù)條件證明P。與AF交于一點(diǎn)，即可證明四點(diǎn)共面；

(2)首先由條件可證明平面尸DEQ,再以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)NEDP=O,并表示點(diǎn)

P的坐標(biāo)，利用向量法表示線面角，再根據(jù)三角函數(shù)求最值.