2025年高考數(shù)學重點題型專項訓練：三角函數(shù)與三角恒等變換（學生版+解析）

專題01三角函數(shù)與三角恒等變換

一、三角函數(shù)

1.如圖，P,Q是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，若它們同時從點力(1,0)出發(fā)，沿逆時針方向作勻角速

度運動，其角速度分別為單位：弧度/秒)，M為線段PQ的中點，記經過久秒后(其中0W久W6),/(%)=

36

\OM\

(I)求y=/(久)的函數(shù)解析式；

(II)將/(%)圖象上的各點均向右平移2個單位長度，得到y(tǒng)=g(%)的圖象，求函數(shù)g=g(%)的單調遞減區(qū)

間.

2.設函數(shù)/(%)=4cosxsin(x一：)+V3,xER.

(I)當％W[0曰時,求函數(shù)/(%)的值域；

(II)已知函數(shù)y=/(%)的圖象與直線：=1有交點，求相鄰兩個交點間的最短距離.

3.已知tana=且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sir^G+a)+sina?COS(TT—a)的值.

4.如圖，某市準備在道路所的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段網C該曲線段是函

數(shù)y=4sin(3%+勻(4>0,3>0),X6[—4,0]時的圖象，且圖象的最高點為B(—1,2),賽道的中間部

分為長8千米的直線跑道8,且CD〃斯；賽道的后一部分是以。為圓心的一段圓弧。E.

⑴求3的值和的大小；

(2)若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區(qū)域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路斯上，一個頂點在半

徑。。上，另外一個頂點P在圓弧。E上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時P點的位置.

5.在△ABC中，內角B,C所對的邊分別為a,hc.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值;

(II)求sin卜B+的值.

6.已知函數(shù)/(%)=2cos2tox—1+2V3sino)xcosa)x(0<co<1),直線％=g是函數(shù)段)的圖象的一條對稱軸.

(1)求函數(shù)/(%)的單調遞增區(qū)間;

(2)已知函數(shù)尸g(x)的圖象是由>=/(%)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移半個單

位長度得到的，若g(2a+§=，，aE(0(),求sina的值.

7.已知函數(shù)f(%)=2sin(2a)x+-)+1.

6

⑴若/■(久1)</(%)<f(%2)，kl-^2lmin=p求/'(%)的對稱中心;

(2)己知0<3<5,函數(shù)/(久)圖象向右平移￡個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，x=g是g(x)的一個零點，若函

63

數(shù)0(%)在［皿九］(772,71€R且Hl<71)上恰好有10個零點，求71-TH的最小值；

(3)已知函數(shù)九(%)=acos(2x-7)-2a+3(a>0),在第(2)問條件下，若對任意%】G［。勺，存在&e［。勺，

644

使得似%1)=〃(犯)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

8.已知函數(shù)g(%)=sin(%-，)，/i(x)=cosx,從條件①/(%)=g(%),h(%)、條件②f(%)=g(%)+/i(%)這

兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

⑵/(久)在區(qū)間［o,3上的最小值.

9.在AABC中，內角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,且cosB=2-2.

c2c

⑴求c；

⑵若c=2a,求sinB.

10.已知函數(shù)/(x)=sin(3%+R)(3>0,㈤<§,x=￡是函數(shù)/(久)的對稱軸，且/(x)在區(qū)間&引上單

調.

(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得f(x)的解析式存在，并求出其解析式；

條件①：函數(shù)/(切的圖象經過點4(01)；

條件②：&0)是f(%)的對稱中心；

條件③：(工,0)是/(%)的對稱中心.

(2)根據(1)中確定的/(%),求函數(shù)y=/(%)(%Ejo,])的值域.

11.已知向量五==(cos%,—1).

⑴當五〃]時,求cos?%—sin2%的值；

(2)設函數(shù)/(%)=2(5+B),隹已知在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a,b,c,若a=遮,b=2,sinB=

y,求/?(久)+4cos(24+勻(xG[o,外)的取值范圍.

12.已知一<a<兀，tancr4

4

⑴求tana的值；

、_

⑵/c求pusi赤na+c忌osa的值;

(3)求Zsi/a-sinacosa—3cos2a.的值

13.已知函數(shù)/(%)=2sinx-sin

⑴求/(%)的單調遞增區(qū)間；

(2)若對任意限外，都有士0)-?|4手，求實數(shù)t的取值范圍.

14.已知函數(shù)f(%)=sin(2x+§+cos(2x+弓)-2sinxcosx.

⑴求函數(shù)/(%)的最小正周期及對稱軸方程；

⑵將函數(shù)y=/(%)的圖象向左平移行個單位,再將所得圖象上各點的縱坐標不變、橫坐標伸長為原來的2倍,

得到函數(shù)y=g(%)的圖象，求丫=9(%)在［0,27］上的單調遞減區(qū)間.

15.已知函數(shù)/(%)=/??(a+c),其中向量五=(sin%,—3cosx),b=(sin%,—cos%),c=(—cos%,sin%),xER.

⑴求/(%)的解析式及對稱中心和單調減區(qū)間；

(2)不等式I/O)-爪|<3在xe］；,目上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

16.已知函數(shù)/1(x)=2sin2(x+：)+V2cos(%—(sin久—cosx).

⑴求函數(shù)/(久)的對稱中心及最小正周期；

(2)若湖,求tan。的值.

17.已知函數(shù)f(x)=4sin(3x+(p~)+B(jl>0,a>>0,\<p\<彳)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/Xx)的解析式;

(2)將函數(shù)y="乃圖象上所有的點向右平移一個單位長度，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?

倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.當xe[o,詈]時，方程g(x)-a=0恰有三個不相等的實數(shù)根,

xlfx2fx3(x1<%2<%3)，求實數(shù)a的取值范圍以及久1+2%2+%3的值.

18.已知y=/(%)為奇函數(shù)，其中/(%)=cos(2x+0),06(0,兀).

⑴求函數(shù)y=/(%)的最小正周期和/(%)的表達式；

(2)若/停)=-|,aef求sin(a+§的值.

19.已知函數(shù)f(%)=4sin3%+0)Q4>0,3>0,0VRV：)同時滿足下列四個條件中的三個：①/(一鄉(xiāng)=。；

26

②/(0)=-1；③最大值為2；④最小正周期為兀

(1)給出函數(shù)/(%)的解析式，并說明理由；

(2)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間.

20.已知函數(shù)/'(X)=2sin(a)久+0)(3>0,|R[<])的部分圖象如圖所示.

(1)求/(久)的解析式，并求f(x)的單調遞增區(qū)間；

⑵若對任意Xe[問，都有上⑺/(久-勻-1|w1,求實數(shù)t的取值范圍.

二、三角恒等變換

21.已知函數(shù)/。)=等4.

sm(x+-)

(1)如果f(a)=I，試求sin2a的值；

⑵求函數(shù)/(%)的單調區(qū)間.

22.設/(%)=sin%+cosx(xGR).

⑴判斷函數(shù)y=[/(%+§『的奇偶性，并寫出最小正周期;

(2)求函數(shù)y=f(x)f(%-￡)在[0,習上的最大值.

23.設函數(shù)f(x)=/Isintoxcoswx+cos2a>x(A>0,co>0),從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩

個作為已知，使得/(%)存在.

(1)求函數(shù)/0)的解析式；

⑵當XG[0,目，若函數(shù)9(久)=/(%)-TH恰有兩個零點，求小的取值范圍.

條件①：/1(%)-/(-X)；

條件②：/)的最小值為-點

條件③：“切的圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為5

24.已知函數(shù)/(久)=2sinti)xcos^+2sin<p—4sin2^sin</?(a)>0,|<p|<兀)，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱

中心的橫坐標相差3,從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中.①函數(shù)/(%)的圖象向左平移g個

單位長度后得到的圖象關于y軸對稱且/(0)<0；②函數(shù)/(切的圖象的一個對稱中心為(卷,0)且fQ>0.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)將函數(shù)/(x)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?1〉0)倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若函

數(shù)y=g(x)在區(qū)間［o局上恰有3個零點，求r的取值范圍.

25.設函數(shù)/(x)=2sin2o)x+ZV^sinaxcostox的圖象關于直線x=兀對稱，其中3為常數(shù)且3eQ,1)

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)在△ABC中,已知/'(4)=3,且B=2C,求cosAcosC的值.

26.已知扇形。48的半徑為1,^AOB=全產是圓弧上一點(不與A,B重合)，過尸作PM1OA,PN10B,

M,N為垂足.

⑴若PM=2求PN的長；

(2)設乙40P=x,PM,PN的線段之和為y,求y的取值范圍.

27.設函數(shù)/(x)=fsin23%+cos2O)x,其中0<3<2.

(1)若/(久)的最小正周期為兀，求/(久)的單調增區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(￡)圖像在(0,手上存在對稱軸，求3的取值范圍.

28.在①函數(shù)y=/(x)的圖像關于直線x=尹寸稱；

②函數(shù)y=f(x)的圖像關于點Pe,0)對稱；

③函數(shù)y=f(x)的圖像經過點Q(g,—2)；

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答.

問題：已知函數(shù)/'(x)=2sin<oxcos</?+2coso)xsin</?(3>0,切<§最小正周期為無,

(1)求函數(shù)/(為的解析式；

(2)函數(shù)/(乃在，，上的最大值和最小值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

29.已知函數(shù)/(%)=2sin3xcos,+2sinw-dsiM等sin<p(6J>0,\(p\<TI),其圖像的一條對稱軸與相鄰對

稱中心的橫坐標相差?，,從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中.

①函數(shù)的圖像向左平移:個單位長度后得到的圖像關于y軸對稱且外0)<0；

②函數(shù)的圖像的一個對稱中心為仔,°)且/(￡)>

(1)求函數(shù)/(久)的解析式；

(2)若關于尤的方程/(%)+|/(2x—9=27n有實根，求實數(shù)m的取值范圍.

30.已知函數(shù)/(久)=[sin(o)x+cp)—V3cos(o)x+<p)]cos(a>x+<p)+曰(3>0,0<卬<為奇函數(shù)，且其圖

象相鄰兩對稱軸間的距離為泉

(1)求3和9；

(2)當久E［-看同時，記方程23/(%+=TH的根為第1，%2，%3(%1<%2V%3)，求772，：［上的范圍.

31.已知函數(shù)/(%)=邛"_|_8⑸/%—COS2%).

tan2x—t'annx'"

⑴求函數(shù)f(%)的定義域；

(2)若xejo,?u求函數(shù)〃久)的單調區(qū)間.

32.在銳角△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,已知V5tanZtanC=tanA+tanC+遮.

⑴求角B的大??；

(2)求cosA+cosC的取值范圍.

33.已知/(%)=sina)x—75cos3%,o)>0.

(1)若函數(shù)/(X)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為%求fg)的值；

⑵若函數(shù)f(x)的圖象關于尊0)對稱，且函數(shù)f(x)在［o,月上單調，求3的值.

34.已知函數(shù)/(X)=asinxcosx+cos(2x+：)，且

(1)求Q的值和/(%)的最小正周期；

⑵求/(%)在［0,兀］上的單調遞增區(qū)間.

35.已知五=(sinx+cos%,2cos0),b=(2sin6，sin2%).

⑴若3=（—3,4）且x=%。e（0,兀）時，2與｝的夾角為鈍角，求cos。的取值范圍;

（2）若e=j,函數(shù)f（%）=d-b,求/（久）的最小值.

36.在A4BC中，48,C對應的邊分別為a,6,c,且4,8〈泉且

2sinC+cos27l+cos2B=2

⑴求c；

（2）若a=b=2,BC上有一動點P（異于&C）,將△4BP沿AP折起使BP與CP夾角為：，求4B與平面4CP

4

所成角正弦值的范圍.

37.已知函數(shù)f（%）=2V3sincoxcosa）x—2sin2tox+1（0<o）<2）.在下面兩個條件中選擇其中一個，完成下

面兩個問題：

條件①：在/（%）圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為今

條件②：/（%）的一條對稱軸為久=g

6

⑴求CO；

⑵將/（久）的圖象向右平移：個單位（縱坐標不變），得到函數(shù)儀久）的圖象，求函數(shù)g（x）在［冶身上的值域.

38.正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度

不等的正弦型信號的疊加.正弦信號的波形可以用數(shù)學上的正弦型函數(shù)來描述：UQ）=2sin（2兀咒+0）,其

中U（t）表示正弦信號的瞬時大小電壓V（單位：V）是關于時間f（單位：s）的函數(shù)，而4>0表示正弦信號

的幅度，f是正弦信號的頻率，相應的7=二為正弦信號的周期，s為正弦信號的初相.由于正弦信號是一種最

簡單的信號，所以在電路系統(tǒng)設計中，科學家和工程師們經常以正弦信號作為信號源(輸入信號)去研究

整個電路的工作機理.如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標是一個運算放大器，電路中有四

個電阻，電阻值分別為%,R2,R3,必(單位：匕⑴和彩⑴是兩個輸入信號，匕⑴表示的是輸出信號，

根據加法器的工作原理，玲⑴與匕⑴和吟⑴的關系為：％(t)=(l+g-&%聚；廣⑴例如當匕=R2=

R3=R4=111,輸入信號匕(t)=sint,%(t)=cost時,輸出信號：Vo(t)=(1+1sin；：;cost=sEt+C0Sf

匕⑺氏

手%(7)

R3

X

(1)若R1=R2=R3=R4=IQ，輸入信號匕(t)=sint,V2(t)=cost,求的最大值;

⑵已知氏2=1。，R3=211,R4=3Q,輸入信號匕(t)=sin(t+],V2(t)=cos(t+§.若匕⑴=Xsin(t+|)

(其中A>0),求R1；

⑶已知R3=IQ,R4=Id,0</?2</?!<111,且匕⑴=sint,%⑴=cos2t.若Vo(t)的最大值為I，求滿

足條件的一組電阻值a,R2.

39.如圖是函數(shù)/0：)=5也(3乂+0)(3>0,0<0<；)的部分圖象，已知荏?尼=2.

⑴求3；

(2)若”2)—/6)=—日,求經

40.4V3sinx?cosx+4；③8cos2%—4sin(2%+看)-2這三個條件中任

選一個，補充在下面問題中并解答.

問題：已知函數(shù)/(X)=.

(1)求函數(shù)的最小正周期及單調遞減區(qū)間；

(2)在△ABC中，內角A,2,C所對的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積.若/(x)在x=4處有最小值—a,求

△ABC面積的最大值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

專題01三角函數(shù)與三角恒等變換

一\三角函數(shù)

1.如圖，P,Q是以原點為圓心的單位圓上的兩個動點，若它們同時從點4(1,0)出發(fā)，沿逆時針方向作勻角速

度運動，其角速度分別為單位：弧度/秒)，M為線段PQ的中點，記經過久秒后(其中0W久W6),f(x)=

\OM\

(I)求y=/(X)的函數(shù)解析式；

(II)將/(%)圖象上的各點均向右平移2個單位長度，得到y(tǒng)=g(久)的圖象，求函數(shù)g=g(x)的單調遞減區(qū)

間.

【分析】(I)依題意可知/POA=gx,ZQOA-ZMOQ=3x~ex_從而求得了(無)=|OM=cos

ZMOQ的解析式；

(II)依題意可知g(x)=cos(2<x<8),由芻:一，32析+兀，求得x的范圍，可得函數(shù)y=g

(x)在［2,8］上的單調遞減區(qū)間.

【詳解】解：(I)依題意可知/尸。4=白，

'：\OP\=\OQ\=1,：.\OM\=|OQ?cosZMOQ=cosZMOQ,

/MOQ=.*./(x)=|OM|=cosm(0<JS6),

21212

即f(x)=cos臺，(0<x<6).

(II)依題意可知g(x)=cosSG-2)=cos(為一^)(2<x<8),

12126

由2析式三x—mM2E+兀，得24k+2勺合24攵+14,

126

14/60

故函數(shù)y=g(x)在[2,8]上的單調遞減區(qū)間為[2,8].

【點睛】本題主要考查直角三角形中的邊角關系，余弦函數(shù)的單調性，考查轉化能力與計算能力，屬于基

礎題.

2.設函數(shù)f(x)=4cosxsin(x-p+V3,xER.

(I)當x€[0,學時,求函數(shù)f(x)的值域；

(II)已知函數(shù)y=/(x)的圖象與直線：=1有交點，求相鄰兩個交點間的最短距離.

【答案】(I)[-73.2](IDf

【詳解】試題分析：(I)先根據兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)f(x)=

2sin(2x-豺再根據基本三角函數(shù)性質求其值域；(II)先根據方程解出交點坐標，再根據交點間距離求最小

值

試題解析：(I)解：因為/(乂)=4?)5^(，由1萬一—^(：05萬)+力

=isinXCOSX-27^COS,X+I/3

=Stt>-虛心。才二為

=2sin(2x-p,

因為0<X<2>

所以一產2x一產學，

所以—y<sin(2x—p<1>

即一百<f(x)<2,

其中當x=|^時，/(X)取到最大值2；當x=0時，/(X)取到最小值_石，

所以函數(shù)f(x)的值域為[一J》4.

(II)依題意，得2sin(2x—；)=1,sin(2x-p=1,

所以2x-+2kn或2x—n=如+2kir,

所以x=：+kii或x=得+kn(kEZ),

15/60

所以函數(shù)y=f(x)的圖象與直線J=1的兩個相鄰交點間的最短距離為，

考點：兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函數(shù)性質

3.已知tana=5且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sin2G+a)+sina-cos(兀-a)的值.

【答案】⑴一漁;(2)|.

55

【解析】(1)由同角三角函數(shù)的關系可得2sina=cosa,結合siMa+cos2a=1,a是第三象限角可得sina,

cosa的值；

(2)利用誘導公式將原式化簡，代入sina,cosa的值可得答案.

【詳解】解：(1)由tana=4，可得tana=1^=a即2sina=cosa,

(.__V5

可得｛.=；osa由a是第三象限角，可得1smec—,

ism"a+cosa=1I

(cosa=——2V—5

故sina的值為—?；

(2)sin2償+a)+sina-cos(ir—a)=cos2a—sina?cosa,

代入sina=cosa=一2的值，

55

可得原式=:_l=l.

【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關系式的應用及誘導公式，注意運算的準確性，屬于基礎題型.

4.如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段F8C該曲線段是函

數(shù)y=4sin(s+?(4>0,3>0),x￡[-4,0]時的圖象，且圖象的最高點為B(-L2),賽道的中間部

分為長曰千米的直線跑道。，且C?！ㄋ?；賽道的后一部分是以。為圓心的一段圓弧。E.

16/60

⑴求3的值和的大小；

(2)若要在圓弧賽道所對應的扇形OQE區(qū)域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半

徑。。上，另外一個頂點P在圓弧。E上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時P點的位置.

【答案】(1)3=也ZDOE==(2)Smax=372-3;

【分析】(1)依題意，得A=21=3,根據周期公式T=空可得3,把B的坐標代入結合已知可得平，從而可求

4(0

ND0E的大小

(2)由(1)可知0D=0P,矩形草坪的面積S關于。的函數(shù)，有結合正弦函數(shù)的性質可求S取得最

大值

【詳解】⑴由條件可得A=2,三=3,"=§二3=》二曲線段FBC的解析式為y=2singx+與)，

當x=0時，y=0C=V5,又CD=V5,NC0D=：,ND0E=-

J44

(2)由(1),可知0D=B，又易知當“矩形草坪”的面積最大時，點P在弧DE上，

故OP=V6，設NPOE=0,0<0<p“矩形草坪”的面積為S=V6sin9(V6cose-V6sin0)=6(sin0cos0-

sin20)=6Qsin20+|cos20—|^=3V2sin(29+：)-3

o<0<，故當2。+：=3時,o=，時,S取得最大值Smax=3/-3,

止匕時Xp=V6cos^,yp=V6sin^

故面積最大值為：Smax=3魚-3，P點坐標為(J246+20小2&一2⑸

2'2

【點睛】本題主要考查了實際問題中，由丫=人5皿(3乂+少)的部分圖象確定函數(shù)的解析式，常規(guī)步驟為：由

函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過的特殊點確定周期T,利用周期公式求3,再把函數(shù)所給的點(一般用

最值點)的坐標代入求6從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實際問題中的最值的求解，解題關鍵是要把實

17/60

際問題轉化為數(shù)學問題來求解

5.在中，內角A,B,C所對的邊分別為見仇c.已知b+c=2Q,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值;

(II)求sin(2B+看)的值.

【答案】(I)—：；

4

【分析】(I)由題意結合正弦定理得到a,b,c的比例關系，然后利用余弦定理可得cosB的值

(H)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用兩角和的正弦公式可得sin(2B+罪的值.

【詳解】(I)在△ABC中，由正弦定理」，=一一得bsinC=csinB,

sinBsmC

又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.

又因為b+c=2a,得到b=?a,c=|a.

o416

由余弦定理可得COSB=a*5=a+解產

2ac2,a-a

3

（11）由（1何得sinB=V1—cos2B=—,

4

從而sin2B=2sinBcosB=一季cos2B=cos2B-sin2B=一看

故sin（2B+=）=sin2Bcos=+cos2Bsin”一手xf—"|=3V5+7

16’

【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正

弦定理、余弦定理等基礎知識.考查計算求解能力.

6.已知函數(shù)/(x)=2COS2<DX-1+2-\/3sina)xcos<7)x(0<3<1),直線x=g是函數(shù)危)的圖象的一條對稱軸.

(1)求函數(shù)式無)的單調遞增區(qū)間；

(2)已知函數(shù)產g(x)的圖象是由y=/(x)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移等個單

位長度得到的，若g(2a+；)=，，a6(0,；),求sina的值.

【答案】⑴[-y+2kir,|+2kTr],keZ；(2)"整

【解析】(1)首先化簡函數(shù)f(x)=2sin(23x+9,再根據x=5是函數(shù)的一條對稱軸，代入求3,再求函數(shù)

的單調遞增區(qū)間；⑵先根據函數(shù)圖象變換得到g(x)=2cos1x,并代入g(2a+》.后，得cos(a+?)=|,

18/60

再利用角的變換求sina的值.

【詳解】(1)f(x)=cos2a)x+V3sin2a)x=2sin(2a)x+,

當x=3時，3X字+E=?+kn,keZ,得3=工+史,kez,

336222

v0<0)<1,?,?3=匕

2

即f(x)=2sinfx+-),令一5+2kli<x+^<^+2kn,

\6/262

解得：—亨+2kirWxW；+2kit,keZ,

函數(shù)的單調遞增區(qū)間是卜當+2kTt,=+2kir],k￡Z；

(2)g(x)=2sin[i(x+y)+^]=2cos|x,

g(2a+=)=2cos(a+=f，得cos(a+3)=I，

5\o/5

a+sin(a+5=Jl-cos2(a+L

sina=sin[(a+：)一弓=sin(a+cos§—cos(a+sin

4V3314V3-3

=—x---------x—=------------

525210

【點睛】方法點睛:本題考查函數(shù)的圖象變換，以及y=Asin@x+cp)的性質，屬于中檔題型,y=Asin(x+(p)

的橫坐標伸長（或縮短）到原來的（倍，得到函數(shù)的解析式是y=Asin（u）x+5），若丫=Asinoox向右（或左）

平移（P（cp>0）個單位，得到函數(shù)的解析式是y=Asin［a）（x-叩）］或丫=Asin［（n（x+叩）］.

7.已知函數(shù)f(%)=2sin(23%+m)+l.

6

⑴若“久1）</（久2），出一％21min=務求f。）的對稱中心;

（2）己知0<3<5,函數(shù)圖象向右平移彥個單位，得到函數(shù)儀》）的圖象，久是以切的一個零點，若函

數(shù)g（久）在（m,neRS.m<n）上恰好有10個零點，求n—m的最小值；

（3）已知函數(shù)九⑶=acos（2x—鄉(xiāng)—2a+3（a>。），在第（2）問條件下，若對任意的G［。,耳，存在冷6［。為，

使得/1（X1）=9（丫2）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴（一/+：，1）（keZ）或（含-y,l）（kez）；

⑵野；

19/60

(3)(。哥

【分析】(1)由f(xjWf(x)Wf(X2),|X1—X2lmin=方可求得函數(shù)f(x)的最小正周期，進而確定參數(shù)3的值,

再由整體代換即可求得對稱中心；(2)由三角函數(shù)的平移變換求得g(X)的解析式，再由零點的定義確定參數(shù)

3的值，結合圖象可得n-m的最小值；(3)將所給條件轉化為h(x)和g(x)的值域的包含關系，即可求得參

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】⑴?.?3)=25皿23乂+勺+1的最小正周期為丁=黑，

。|Zu)|

又〈fai)<f(x)<f(x2),ixi-x2imin=3.?.f(x)的最小正周期是兀，

故=加二口，解得)

T|23|u=±l,

當co=1時，f(x)=2sin(2x+匹)+1,由2X+21=kn(kGZ)=>x=——+—(kGZ),f(x)的對稱中心為

\6/6122

(―-kez)；

當0)=—1時，f(x)=2sinf—2x+匹)+1,由一2x+-=kir(kGZ)x=———(kGZ),f(x)的對稱中心為

\6/6122

fc-y，i)(kez)；

綜上所述，f(x)的對稱中心為(—有+與,1)(k6Z)或(含—浮,1)(kGZ).

(2)??,函數(shù)f(x)圖象向右平移5個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，

g(x)=2sin(2o)x+2-昇)+1?

又???x=:是g(x)的一個零點，

g(p=2sin傳3+1一；(n)+l=0,即sin(如+1)

.??匹3+匹=力+21<冗或匹3+匹=山+21<71,kGZ,

366366

解得3=3+6k(k6Z)或3=5+6k(kGZ),

由0VO)<5可得0)=3

g(x)=2sin(6x—普)+1,最小正周期T=*

令g(x)=0,貝！Jsin(6x—1

20/60

即6x—1=-1+2ki兀或6x—1=_1+2k2mkez,解得x="+^x=等,k1(k2GZ；

若函數(shù)g(x)在[m,n](m,neR且m<n)上恰好有10個零點，故4T<n-m<6T

要使n-m最小，須m、n恰好為g(x)的零點，故(n-m)min=4X；+§=臂.

(3)由(2)知g(x)=2sin(6x-?j+1,對任意x[e[0,,存在x?e[0,,使得九(x[)=g3)成立，則

{y|y=h(x)}c{y|y=g(x)}'

當X2G[0,單時，6x—譬€卜普,N，sin(6x—%)e[-l,l],g(x2)e[-1,3]-

當Xie[0,苧時,2x-/Hq],cos卜x-￡)em(xje[-|a+3,-a+3],

fa>0

由{y|y=h(x)}U{y[y=g(x)}可得卜第+32-1,解得ae(0,1].

(-a+3W3

故實數(shù)a的取值范圍為(0尋

【點睛】本題第(3)小問為不等式的恒成立問題，解決方法如下：

一般地，已知函數(shù)y=f(x),x€[a,b],y=g(x),xe[c,d]

(1)若VX1G[a,b],Vx26[c,d],總有f(X。<g(X2)成立,故f(x)max<g(x2)min；

(2)若2X1G[a,b],3X2G[c,d],有f(xj<g(X2)成立,故f(x)max<g(x2)max；

(3)若G[a,b],3X2e[c,d],有f(xj<g(X2)成立，故f(x)min<g(x2)max；

(4)若VX1€[a,b],3X2e[c,d],有f(xj=g(%2)，則f(%)的值域是g(%)值域的子集.

8.已知函數(shù)g(%)=sin(%-*)，h(x)=cosx,從條件①/(')=g(%)?h(x)、條件②/(%)=g(x)+何久)這

兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

⑵/⑶在區(qū)間[o,當上的最小值.

【答案】(1)選條件①TT；選條件②271

(2)選條件①—點選條件②]

【分析】選條件①：f(x)=g(x)-h(x)；

(1)利用兩角和與差的正弦公式化簡可得f(x)=fsin(2x-=)-p

Z64

由周期公式可得答案;

21/60

(2)根據x的范圍求得sin(2x-￡)的范圍可得答案;

選條件②：f(x)=g(x)+h(x).

(1)利用兩角和與差的正弦公式化簡可得f(x)=sin(x+J,

由周期公式可得答案；

(2)根據x的范圍求得sin(x+。的范圍可得答案.

【詳解】(1)選條件①：f(x)=g(x)-h(x)；

(1)f(x)=sin(x—cosx=gsinx—|cosx)cosx=ysinxcosx-jcos2x

V3111+cos2x

=--x-sin2x--x-------------

2222

V311

=——sin2x--cos2x--

444

所以f(x)的最小正周期是71.

選條件②:f(x)=g(x)+h(x).

f(x)=sin(x—/)+cosx=sinx-|cosx)+cosx

V31

=--sinx+-cosx

22

=sin(x+*

所以f(x)最小正周期是2n.

(2)選條件①：f(x)=g(x)-h(x)；

因為

所以-"2x—督，

當2x_[=_g即x=0時,f(x)有最小值-3

ooZ

選條件②：f(x)=g(x)+h(x).

因為0<x<p

22/60

所以衿+罟，

所以3in(x+力L

當x+合也即x=0時，f(x)有最小值也

9.在AABC中，內角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,且cosB=q—2.

c2c

⑴求c；

⑵若c=2a,求sinB.

【答案】(%

【分析】(1)首先利用正弦定理將邊化角，再根據兩角和的正弦公式及誘導公式計算可得；

(2)利用正弦定理將邊化角即可得到sinA,再根據同角三角函數(shù)的基本關系求出cosA,最后根據sinB=

sin(A+C)利用兩角和的正弦公式計算可得；

【詳解】(1)解：因為COSB=2—B,

c2c

即2ccosB=2a—b,由正弦定理可得2sinCcosB=2sinA—sinB,

又sinA=sin[ir—(B+C)]=sin(B+C),

即2sinCcosB=2sin(B+C)—sinB,

所以2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB,

即2sinBcosC=sinB,因為sinB>0,所以cosC=5又CE(0,ir),所以C=；

(2)解：因為c=2a,所以sinA=」sinC=工x3=

2224

因為c>a,所以cosA=V1—sin2A=—,

4

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x+—X—=厚

'/42428

10.已知函數(shù)/(x)=Sin(3%+0)(3>0,|如<；),久建是函數(shù)/'(x)的對稱軸，且/■(%)在區(qū)間&尋)上單

調.

(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得f(x)的解析式存在，并求出其解析式；

條件①：函數(shù)f(x)的圖象經過點“0,3；

23/60

條件②：&0)是/⑺的對稱中心；

條件③：,0)是f(x)的對稱中心.

(2)根據(1)中確定的f(X),求函數(shù)y=f(%)(久e的值域.

【答案】⑴f(x)=sin(2x+￡)

O

⑵卜刊

【分析】(1)根據題意得到0<3<2和5*3+隼=1^+5(1<€2),

再根據選擇的條件得到第三個方程，分析方程組即可求解；

(2)先求出2x+1所在的范圍，再根據圖像求出函數(shù)值域即可.

【詳解】⑴因為f(x)在區(qū)間圓空)上單調,所以建學T=3

因為T=奇，且3>0,解得0<3<2；又因為X=]是函數(shù)f(x)的對稱軸，

所以—X3+0=kuH—(kGZ)；

62

若選條件①：因為函數(shù)f(x)的圖象經過點A(0,￡),所以simp=%

因為即所以<P=，所以三X①+三=1<兀+3即3=6k+2(kEZ),

ZOODoZ

當k=0時，3=2,滿足題意，故f(x)=sin(2x+J).

o

若選條件②：因為管,0)是f(x)的對稱中心，所以3+隼=mn(meZ),

-x(jL)+cp=kn+-

0<a)<2\此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.

{；xco+<p=mn

若條件③：因為僖,0)是f(x)的對稱中心，所以,X3+(P=mn(mEZ),

俏X3+(p=kn+]

所以[O<oo<2，解得1cp=:所以f(x)=sin(2x+)

13=26

/(石5n'xo)+cp=mn

(2)由(1)知，f(x)=sin(2x+)

所以y=f(x)(xe[0(D等價于f(x)=sin(2x+=),xe[o,=],

24/60

所以2x+mE,所以sin(2x+B)E1]，

6LooJoL2J

即函數(shù)丫=￡儀)&￡?)的值域為：卜31|.

11.已知向量五=(sin%,3),3=(cos%,—1).

(1)當五〃B時，求cos?%-sin2%的值；

(2)設函數(shù)/(%)=2(五+3)不，已知在中，內角A、B、C的對邊分別為Q,b,c,若a=W,b=2,sinB=

y,求/。)+4cos(24+勻(xe[o,])的取值范圍.

【答案】⑴|

⑵償-1，夜-4

【分析】⑴蛇〃R可得tanx=V，化簡cos2x_in2x可得cNx-sin2x=^，再代值計算即可,

(2)由題意利用向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)恒等變換公式化簡可得f(x)=&sin(2x+》+|,再利用正

弦定理可求得A=%從而可得f(x)+4cos(2A+J)=V2sin(2x+^)-1,由xe[o,]，得2x+te日，

詈],再利用正弦函數(shù)的性質可求得其范圍

【詳解】(1)因為W=(sinx，B，6=(cosx,—1),a//b.

3O

所以處所以tanx=一“

COSX4’

erpi2.n2c?COS"X-ZSinXCOSXl-2tanx

所以cos"x—sinzx=cosx—2sinxcosx=———-------——

sinzx+coszxl+tan2x

l+2x3j

8

1+05

(2)因為W=(sinx,|),b=(cosx,-1),

所以五+b=(sinx+cosx,—}),

所以f(x)=2(a+b)-b=2[cosx(sinx+cosx)+

1

=zsinxcosx+2cos7x+-

3

=sin2x+cos2x+-

25/60

=V2sin^2x+：）+1’

在^ABC中，a=V3,b=2,sinB=

所以由正弦定理得號=白，總=備，得sinA=S

sinAsinBsina-y2

因為a<b,所以角A為銳角，所以A=?,

所以f(x)+4cos(2A+9

3/ITTlx

+=+4cos（2x—+—）

2V46/

=V2sin（2x+=）-i,

因為xe[o,所以2x+：e[：,詈I，

所以sin詈<sin（2x+：）<sin],

rrnA1_,.11TI./2n,u\TTn,TTITV6-V2

K為sm——=sin——F-）=si.n—2cos-+cos—2si.n-=-----，

12\34734344

所以胃Wsin（2x+：）<1,

所以與1<應sin（2x+^）<y/2,

所以軍-|<V2sin（2x+-I<V2-I，

所以期）+485國+勻儀€[0,1）的取值范圍為他—1,夜—之

12.已知"<a<_,|<z+--=

4兀iantana3

（1）求tana的值;

小、qsina+cosa

（2）求引斯的值;

⑶求29n2a--3s2a.的值

dill5111LUrWnz

【答案】⑴一!

⑵w

（3）-y

26/60

1-1n

【分析】⑴根據tana+品:一三可得3tan2a+l°tana+3=0,解方程并結合角的范圍求得tana；

(2)利用弦化切，將陋事化為詈=，可得答案;

sina-cosatana-1

(3)利用1=sin2a+cos?。,將24112a-sinacosa-3cos2a化為編：°月孑一°；3必,繼而化為^

15111sin2a+cos2a