河北省保定市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)含解析

河北省保定市六校聯(lián)盟20232024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）一、選擇題（每題5分，共30分）1.函數(shù)性質(zhì)已知函數(shù)\(f(x)=x^24x+3\)，下列關(guān)于該函數(shù)的說法正確的是（）。A.函數(shù)在\(x=2\)處取得最大值B.函數(shù)在\(x=2\)處取得最小值C.函數(shù)的對(duì)稱軸為\(x=1\)D.函數(shù)的圖像開口向下2.數(shù)列極限數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)定義為\(a_n=\frac{1}{n^2}\)，則\(\lim_{n\to\infty}a_n\)的值為（）。A.0B.1C.2D.無窮大3.立體幾何在一個(gè)正方體中，若其對(duì)角線長(zhǎng)度為\(\sqrt{6}\)，則其棱長(zhǎng)為（）。A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(\sqrt{3}\)4.不等式求解解不等式\(2x3>x+1\)得到的解集是（）。A.\(x<4\)B.\(x>4\)C.\(x<2\)D.\(x>2\)5.概率計(jì)算從一副撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌，抽到紅桃的概率是（）。A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{13}\)D.\(\frac{1}{52}\)6.三角函數(shù)已知\(\sin\theta=\frac{1}{2}\)，則\(\cos\theta\)的值為（）。A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)二、填空題（每題5分，共20分）7.復(fù)數(shù)運(yùn)算已知\(z=2+3i\)，則\(z\)的共軛復(fù)數(shù)是________。8.函數(shù)極值函數(shù)\(f(x)=x^33x^2+4\)在\(x=1\)處的極值是________。9.對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算\(\log_28\)的值是________。10.數(shù)列通項(xiàng)公式已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n=n^2+3n\)，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為________。三、解答題（每題10分，共40分）11.函數(shù)解析式已知函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極小值，且\(f'(x)=3x^26x+1\)，求\(f(x)\)的解析式。12.不等式證明證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(x\)，不等式\(x^2+1\geq2x\)恒成立。13.數(shù)列求和已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)為等差數(shù)列，首項(xiàng)\(a_1=2\)，公差\(d=3\)，求該數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。14.立體幾何計(jì)算在一個(gè)長(zhǎng)方體中，已知長(zhǎng)、寬、高分別為\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2+c^2=14\)，求該長(zhǎng)方體的體積。四、綜合題（每題15分，共30分）15.函數(shù)應(yīng)用已知某工廠的產(chǎn)量\(Q\)與時(shí)間\(t\)的關(guān)系為\(Q=2t^23t+4\)，求當(dāng)\(t=2\)時(shí)，工廠的產(chǎn)量。16.解析幾何已知直線\(y=mx+1\)與圓\(x^2+y^2=4\)相切，求\(m\)的值。解析1.選擇題解析第1題：正確答案是B。因?yàn)閈(f(x)=x^24x+3\)是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,1)\)，故在\(x=2\)處取得最小值。第2題：正確答案是A。因?yàn)閈(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0\)。第3題：正確答案是C。正方體的對(duì)角線長(zhǎng)度為\(\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}\)，已知對(duì)角線長(zhǎng)度為\(\sqrt{6}\)，解得\(a=\sqrt{2}\)。第4題：正確答案是D。將不等式\(2x3>x+1\)化簡(jiǎn)為\(x>4\)。第5題：正確答案是A。一副撲克牌中共52張牌，其中紅桃有13張，故概率為\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)。第6題：正確答案是A。因?yàn)閈(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，且\(\sin\theta=\frac{1}{2}\)，解得\(\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。2.填空題解析第7題：復(fù)數(shù)\(z=2+3i\)的共軛復(fù)數(shù)為\(23i\)。第8題：函數(shù)\(f(x)=x^33x^2+4\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(x)=3x^26x\)，在\(x=1\)處，\(f'(1)=0\)，且\(f''(1)>0\)，故\(x=1\)處為極小值點(diǎn)，極小值為\(f(1)=2\)。第9題：\(\log_28=3\)，因?yàn)閈(2^3=8\)。第10題：數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=S_nS_{n1}=(n^2+3n)[(n1)^2+3(n1)]=2n+2\)。3.解答題解析第11題：由\(f'(x)=3x^26x+1\)得\(f''(x)=6x6\)，令\(f''(x)=0\)解得\(x=1\)。將\(x=1\)代入\(f'(x)\)求得\(f(1)=0\)，因此\(f(x)=x^33x^2+c\)，代入\(x=1\)解得\(c=0\)，所以\(f(x)=x^33x^2\)。第12題：不等式\(x^2+1\geq2x\)可化簡(jiǎn)為\(x^22x+1\geq0\)，即\((x1)^2\geq0\)，顯然對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(x\)恒成立。第13題：等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式為\(S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n1)d)\)，代入\(a_1=2\)，\(d=3\)得\(S_n=\frac{n}{2}(4+3n3)=\frac{3n^2+n}{2}\)。第14題：長(zhǎng)方體的體積為\(V=abc\)，由\(a^2+b^2+c^2=14\)可得\(V=\sqrt{14}^3=14\sqrt{14}\)。4.綜合題解析第15題：將\(t=2\)代入\(Q=2t^23t+4\)得\(Q=2\times2^23\times2+4=8\)。第16題：直線\(y=mx+1\)與圓\(x^2+y^2=4\)相切，說明它們只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程解得\(m=\pm\sqrt{3}\)。一、選擇題1.B2.A3.B4.D5.A二、填空題6.47.38.29.510.6三、解答題11.函數(shù)f(x)=x^24x+3的圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，因此函數(shù)在x=2處取得最小值1。12.數(shù)列an=1/n^2的極限為0，因?yàn)楫?dāng)n趨向于無窮大時(shí)，1/n^2趨向于0。13.正方體的對(duì)角線長(zhǎng)度為sqrt6，棱長(zhǎng)為sqrt6/sqrt3=sqrt2。14.解不等式2x3>x1得x>4。15.撲克牌中紅桃的數(shù)量為13，總牌數(shù)為52，因此抽到紅桃的概率為13/52=1/4。四、綜合題16.當(dāng)t=2時(shí)，Q=8。17.直線y=mx1與圓x^2+y^2=4相切的條件是它們的判別式為0，即m^24m+4=0，解得m=±sqrt3。1.函數(shù)性質(zhì)：考察了函數(shù)的圖像、頂點(diǎn)、最值等基本性質(zhì)。2.數(shù)列極限：考察了數(shù)列的極限概念和計(jì)算方法。3.立體幾何：考察了正方體的對(duì)角線長(zhǎng)度與棱長(zhǎng)的關(guān)系。4.不等式求解：考察了解不等式的基本方法。5.概率