2025年湖南省長沙市某中學(xué)高考數(shù)學(xué)演練試卷（一）含答案

2025年湖南省長沙市長郡中學(xué)高考數(shù)學(xué)演練試卷（一）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

23456

1.已知（2x—1）6=%+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,則劭+a2+a4+a6=（）

A.364B.365C.728D.730

2.在數(shù)列｛a“｝中，則/-a5=|"是“數(shù)列｛冊｝為等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

3.已知集合4=｛123,4,5｝,且力CB=A,則集合B可以是（）

A.{2,3,4}B.{x\x2>1}

x

C.{x|3>1}D.{x|log2(x-l)<3}

,pJi,1+sinO+cosO

4.已知sin?G(0,2))則sin^+cosg=()

A.兇豆B.豆@C.區(qū)叵D.晅

17171717

5.在棱長為4的正方體4BCD-&B1C1D1中，M,N分別是棱4B,的中點，過MN作平面a,使得

BD//a,則直線MCi與平面a所成角的正弦值為（）

B.岑

6.已知拋物線C：/=2py（p>0）的焦點為F,過C上一點P作C的準(zhǔn)線y=一|的垂線，垂足為M,若

TT

Z.MFP=%,貝！||PF|=()

A.|B.竽C.|D.2

7.記△&BC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若c=2冊,ccos(A—B)+28

asinBcosC=-ccosC,貝！MB邊上的中線CD長度的最小值為()

A.|BWC.72D.2^/2

8.探究函數(shù)/(x)=/,x￡(0,+00),下列說法正確的是()

第1頁，共10頁

A./(x)有且只有一個極大值點

B.f⑺在(0,今上單調(diào)遞增

C.存在實數(shù)ae(0,+8),使得f(a)

D.f(x)有最小值，最小值為吃

ee

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知48為隨機(jī)事件，P(X)=0.6,P(B)=0.3,則下列結(jié)論正確的有()

A.若4B為互斥事件，貝UPQ4US)=0.9

B.若4B為互斥事件，則P(4UB)=O.1

C.若48相互獨立，貝葉(4UB)=0.72

D.若P(B|4)=0.3,貝|P(B|4)=0.3

10.三角形的布洛卡點是法國數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，當(dāng)△48C內(nèi)一點P滿足條件:

NPAB=NPBC=NPC4=8時，則稱點P為△4BC的布洛卡點，角。為布洛卡角,如圖，在△4BC中，角

A,B,C所對的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S,點P是△ABC的布洛卡點，布洛卡角為仇貝U()

A.當(dāng)AB=4C時，PB2^PA-PC

B.當(dāng)AB=AC且PC="PB時，cosd=等

C.當(dāng)。=30。時，a2+b2+c2=4避S

D.當(dāng)A=28時，b2=ac

11.已知拋物線C的焦點為F,準(zhǔn)線為2,點P在C上，PQ1I,垂足為Q,直線QF與C相交于M,N兩點,若M

為QF的三等分點，貝)

1嗎

A.CQSZ-PQM=-B.sinNQPM=

C.\NF\=\QF\D.\PN\=居PQ|

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量五,加滿足2=(6,8),a-6=8,\a-b\=10,則歷|=

13.若關(guān)于％的不等式仇%-ae"<0在(0,+8)上恒成立，則正數(shù)a的最小值為—

1

14.設(shè)%),8(X2,丫2)為平面上兩點，定義d(4B)=+3一加，己知點p為拋物線c：x2=-y

上一動點，點Q是直線I：y=2(尤-4)上一動點，則d(P,Q)的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(x)=xex+ax2.

(1)若曲線y=/。)在點(1/(1))處的切線的斜率為2e+4,求a的值；

(2)討論/(X)的零點個數(shù).

16.(本小題15分)

如圖所示，在直三棱柱48C—2/10中，AB=AC=2避，441=5,。為力C中點，且N4BD=30°,

BE=|咽,BF=|cCi.

(1)求證：BD1alF；

(2)求平面4EF與平面&EF夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

向“新”而行，向“新”而進(jìn)，新質(zhì)生產(chǎn)力能夠更好地推動高質(zhì)量發(fā)展.如人工智能中的大語言模型

OeepSee/c(以下簡稱DeepSeek).為調(diào)查DeepSeek的應(yīng)用是否會對相關(guān)從業(yè)人員的數(shù)量產(chǎn)生影響，某學(xué)校研

究小組隨機(jī)抽取了150名視頻從業(yè)人員進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示：

DeepSee/c的應(yīng)相關(guān)從業(yè)人員

合計

用情況減少未減少

應(yīng)用5472

沒有應(yīng)用42

合計90150

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為的應(yīng)用與相關(guān)從業(yè)人員的減少有關(guān)？

(2)某公司視頻部現(xiàn)有員工100人，公司擬開展DeepSeek培訓(xùn)，分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)

達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為|翡每輪相互獨立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應(yīng)用DeepSeek.

⑴求員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用DeepSeek的概率.

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(ii)已知開展DeepSeek培訓(xùn)前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓(xùn)后，能應(yīng)用

DeepSeek的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤10萬元；DeepSeek培訓(xùn)平均每人每年成本為1萬元.根據(jù)公

司發(fā)展需要，計劃先將視頻部的部分員工隨機(jī)調(diào)至其他部門，然后剩余員工開展DeepSeek培訓(xùn)，現(xiàn)要求培

訓(xùn)后視頻部的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，則視頻部最多可以調(diào)多少人到其他部門？

附：*=(a+b)(：，^Tc)(b+d),其中n=a+6+c+d,P(z2>3.841)"0.05)

18.(本小題17分)

已知雙曲線C的對稱中心在原點。，以坐標(biāo)軸為對稱軸，兩條漸近線分別為小y=x和，2：y=-x，其右

焦點為(裾,。).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)直線Z：y=2%—4與雙曲線C交于4，Bi兩點(占在％的上方)，過點力i，Bi分別作6，h的平行線相交

于點P1，過Pi作珀勺平行線與雙曲線C交于4，&兩點在私的上方)，再過點A，%分別作%，A的平行

線相交于點。2，…，這樣一直操作下去，可以得到一系列點Pi，2,…,P”,n23,nCN*.證明：

①Pi，P2,…，Pn共線；

②|OPJ2—仍出+1|2為定值，VWn-l,ieN*.

19.(本小題17分)

nn

已知等差數(shù)列｛&J的前幾項和為Sn,且56=60,。3+3￡15=48.當(dāng)幾6村*時，2bi+25%2+???+2%=3

-1.

(1)求數(shù)列｛冊｝、｛0｝的通項公式；

(2)(i)若％=(2與1)產(chǎn)”-2),求數(shù)列｛%｝的前幾項和幾；

unun+l

(ii)根據(jù)⑴試求出疆的最小值.

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參考答案

1.5

2.D

3.C

4.2

5.C

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ACD

12.4

13.i

14—

4

15.解:(1)函數(shù)/(%)=%ex+a%2,則尸(%)=(%+l)ex+2ax,

又曲線y=/(%)在點(L/(l))處的切線的斜率為2e+4,

???/'(I)=2e+2a=2e+4,解得Q=2.

(2)令/(%)=xex+ax2=0,解得%=0或令+ax—0.

設(shè)g(%)=eX+a%.

當(dāng)Q>。時，g(%)是R上的增函數(shù)，

vg(-3=e~a-l<0,g(0)=1>0,

1

g(W有唯一的零點尤oe(--,0),則/(久)有兩個零點.

當(dāng)a=0時，g(x)=e*>0恒成立，。(久)沒有零點，則/'(久)有唯一的零點.

當(dāng)a<0時，g'(x)—ex+a.

由g'(x)>0,得久>ln(-a),由g'(x)<0,得久<ln(—a),

則9(x)在(-8,ln(-a))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)m譏=g(ln(-a))=-a+aln(-a).

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當(dāng)一e<a<0時,5(x)min=-a+aln(-a)>0,g(x)沒有零點，則/'(x)有唯一的零點;

當(dāng)a=-e時,9(久)他譏=一。+abi(-a)=0,g(x)有一個零點，則/'(%)有兩個零點;

當(dāng)a<—e時，g(x)mtn—~a+alnQ—a)<0,

9(-￡)=eF-l>0,g(0)=1>0,

???9(久)有兩個小于。的零點，則f(x)有三個零點.

綜上，當(dāng)—e<aW0時，/(x)有唯一的零點；

當(dāng)。>0或。=一6時，/(久)有兩個零點；

當(dāng)a〈-e時，/(久)有三個零點.

16.解：(1)證明：因為4B=AC=2避，。為4C中點，所以4。=木,

又乙ABD=30°,所以由余弦定理得，BD=3,所以4=人悔+^￡)2,

所以1AC,

由直棱柱性質(zhì)有，44」平面力BC,BDu平面ABC,

所以A411BD,又

所以BD1平面ACC遇1，又尸在CQ上，所以乙尸u平面4CC14,

所以8。LArF.

(2)過。作側(cè)棱的平行線，交40于點G,則DGL平面力BC,

則在。處有DB、DC兩兩互相垂直，以。為原點，

DA.DB、DC所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則依題意有，4(商,0),8(0,3,0),C(—8,0,0),￡(0,3,3),F(-避,0,1),乙(居0,5),

AE=(--^/3,3,3),EF=(―^/3,—3,—2),A^E=(—s/3,3,—2),

設(shè)平面4EF的一個法向量為何=(x,y,z),

貝“帚.而=_5x_3y：2z=0，令*=避，貝W=-5,z=6,

所以TH=(4,—5,6),

設(shè)平面Z1EF的一個法向量為日=(a,hc),

.(TI,A-^E——+3b—2c—03

,令a=^/3,則b=0,c

貝『?EF=-島-3b-2c=02,

所以71=(居0,-|)，

設(shè)平面AEF與平面/他口的夾角為仇

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則cose=|COS＜帚房＞I='=十+25—73+1=嚕.

平面4EF與平面&EF夾角的余弦值為尊.

14

17.

解：(1)依題意，2x2列聯(lián)表如下：

DeepSee/c的應(yīng)相關(guān)從業(yè)人員

合計

用情況減少未減少

應(yīng)用541872

沒有應(yīng)用364278

合計9060150

零假設(shè)Ho為：DeepSeek的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少獨立，DeepSeek的應(yīng)用前后視頻從業(yè)人員無差異,

由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，由=150;(：晨:端:j365=等°J?981>3.841.

根據(jù)小概率值a=0.05的*2的獨立性檢驗，推斷Ho不成立，

所以有95%的把握認(rèn)為。eepSeek的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān).

(2)(i)設(shè)4表示“員工在第i輪獲得優(yōu)秀”(i=1,2,3),

且42,4相互獨立.根據(jù)題意：第一輪獲得優(yōu)秀的概率：P(4i)=|.

第二輪獲得優(yōu)秀的概率：「(出)=今

第三輪獲得優(yōu)秀的概率：PMh)/，

員工能應(yīng)用DeepSeek的條件是：至少在兩輪中獲得優(yōu)秀.

因此，我們需要計算以下情況的概率：1.全部三輪優(yōu)秀：A^As，

2.第一輪和第二輪優(yōu)秀，第三輪不優(yōu)秀：4〃243，

3.第一輪和第三輪優(yōu)秀，第二輪不優(yōu)秀：4/24，

4.第二輪和第三輪優(yōu)秀，第一輪不優(yōu)秀：彳遇24計算各項概率

則：

P(B)=204遇2甸+「(彳遇2&)+P(X1X2X3)+P(4遇2彳3)

211,111,211,2121

=3X2X3+3X2X3+3^2X3+3^2X3=2t

所以員工經(jīng)過培訓(xùn)能應(yīng)用DeepSeek的概率是今

第7頁，共10頁

(譏)設(shè)視頻部調(diào)%人至其他部門，X￡N,X為培訓(xùn)后視頻部能應(yīng)用DeepSeek的人數(shù),

則X因此E(X)=竺尸,

100—Y1

調(diào)整后視頻部的年利潤為空尸X10+(l-1)(100-x)x6-(100-%)=(700-7久)(萬元),

令700-7x>100x6,解得久14.3,又xeN,所以久

所以視頻部最多可以調(diào)14人到其他部門.

18.解：(1)根據(jù)題意可設(shè)C：疊一噲=l(a>0,b>0),

因為曲線C的右焦點為(也,0),所以c=yj2,

因為兩條漸近線分別為y=%和丫=—均所以5=1，

因為+b2=c2,解得a=b=1,

所以雙曲線C：x2-y2=l；

(2)結(jié)合題意作圖，

①證明：設(shè)過PJI平行于1的直線為y=2x+m;,2<i<n+l,ieN*,

與C相交于4，S兩點，

聯(lián)立直線和雙曲線可得12：3=啊，化簡得3%2+4mix+(mf+1)=0,

因為該方程有兩個不等正實根，因此根的判別式4=4成-12>0,且-4恤>0,所以孫〈-道,

所以根據(jù)韋達(dá)定理可得刈+%=卷%4?陶=至4，

因為直線4P?：y~yAi=—(%—%4),又因為'a=2%4+mt，

所以直線4Pt：y=-x+?>xA.+mt，

同理可得直線&匕：y=x+xB.+mt，

聯(lián)立直線4Pi和直線BiPi可得C;;二:？可得匕(四產(chǎn)，出產(chǎn)+機(jī))

根據(jù)韋達(dá)定理知科=3%+3啊,

-4

第8頁，共10頁

代入匕坐標(biāo)可得VP,=3%+%—3均+3啊=3”%=1

244，

因此Pi，…，Pn都在y=1%±；

②證明：根據(jù)①可設(shè)匕為?，京。，因此|0Pi|2="f,

因此過匕的直線4+1均+i為y=2.x——Xi，

根據(jù)①可知nif+i=—1,%1,

因此辦,+i+xBi+1=-曾+i=2%，

由于4+1=3%+1：%+1,

因止匕|匕匕+/2=泳+廣/）2=|（3%+丁—叮切，+與=1（%+「陶Q2

=|［（必，+1+久B,+1）2—4以,+1久B"」，

由于孫,”+%+1=坐=24孫,+1.%+1=遞盧=駕尸，

因此田出+1|2=標(biāo)_|,

因此|0Pj|2—島。1+1|2=|為定值.

19.解：（1）因為等差數(shù)列｛廝｝的前九項和為S