2025年浙江省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形（含解析）

專題16三角形

一.選擇題

1.（2024?湖南三模）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.1,2,3B.1,1,2C.1,2,2D.1,5,7

2.（2024?拱墅區(qū)一模）王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作

的線段AO應(yīng)該是△A3C的（）

C.高線D.以上都不是

3.（2024?鄲州區(qū)模擬）如圖，直線/1〃及，以直線/2上的點A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直

線人、/2于點2、C,連結(jié)AB、BC.若/ACB=68°,則N1的度數(shù)為（）

4.（2024?橋西區(qū)模擬）平面內(nèi)，將長分別為1,1,3,x的線段，首尾順次相接組成凸四邊形（如圖）,

尤可能是（）

A.1B.3C.5D.7

5.（2024?山西模擬）為了比較述+1與近5的大小，小亮先畫了一條數(shù)軸，然后在原點。處作了一

條垂線段04且。4=1,點B表示的數(shù)是2,點C表示的數(shù)為3,連接AB,AC,由A8+8OAC

推出述+1＞折，這里小亮用到的數(shù)學(xué)思想是（）

A

-101234

A.統(tǒng)計思想B.數(shù)形結(jié)合C.模型思想D.分類討論

6.（2024?漢川市模擬）己知△ABC中，其中有兩邊長是2和5,且△ABC的第三邊長是偶數(shù)，則此

三角形的周長為（）

A.11B.12C.13D.11或13

7.（2024?重慶模擬）如圖，在AABC中，是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯

誤的是（）

A.BF=CFB.ZC+ZCAD=90°

C.ZBAF=ZCAFD.SAABC=2SAABF

8.（2024?瑤海區(qū)一模）如圖，在△ABC中，ZB+ZC=110°,AM平分/8AC,交8c于點M,MN

//AB,交AC于點N,則NAMN的大小是（）

9.（2024?肥東縣模擬）如圖，將一副三角板的直角頂點重合并部分重疊，若/BOD=20。，則/AEC

的度數(shù)為（）

10.（2024?榆陽區(qū)二模）將一副三角板和一個直尺按如圖所示的位置擺放，直角邊8c與直尺的一邊

重合，點E在AC上，ZABC=ZD=90°,NA=30°,/DEC=45°,則N1的度數(shù)為（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

11.（2024?西寧）如圖，在△ABC中，是角平分線，BE是中線，AD=BE,且垂足為

F,G為。C的中點，連接DE,EG.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AAFB^AAFEB.ZADB=ZADEC.FD=^BED.AC￡G-ACBE

4

12.（2024?寧夏）如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB^3cm,BC=2cm,點A在直線/i上，

點B,C在直線/2上，h//l2,動點P從點A出發(fā)沿直線/i以Icm/s的速度向右運動，設(shè)運動時間

為ts.

下列結(jié)論：

①當(dāng)t=2s時，四邊形ABCP的周長是10cm；

②當(dāng)f=4s時，點P到直線及的距離等于5cm；

③在點P運動過程中，△P8C的面積隨著t的增大而增大；

④若點。，￡分別是線段PC的中點，在點尸運動過程中，線段DE的長度不變.

其中正確的是（）

A.①④B.②③C.①③D.②④

二.填空題

13.（2024?上饒一模）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放在直尺上，則/I的度數(shù)為

14.（2024?海南）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱OM經(jīng)過的中點O,與地面CD垂直于點

OM—40cm,當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時，另一端8離地面的高度為cm.

B

15.（2025?鹿城區(qū)校級一模）如圖，點。、E分別為A8,AC的中點，8/平分/ABC交。E于點孔

若AB=4,BC=6,貝!jEP=

16.（2024?湖南模擬）已知a,b,c是一個三角形的三邊，且a,b滿足？］+（b-2）2=0，則。

的取值范圍是.

三.解答題

17.（2024?香洲區(qū)校級一模）已知如圖，/XABC過點A作/D4E=/BAC,^.AB//DE,Z1=Z2.

（1）求證AO〃BC；

（2）若已知AE平分NBAC,ZC=40°,求的度數(shù).

18.（2024?大埔縣一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_L8C于點。，點E為AB的中點，連結(jié)

DE.已知BC=10,AD=\2,求8。，OE的長.

19.（2024?濰城區(qū)二模）三角形的內(nèi)角和定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要定理，下面給出了該定理

的一種

證明方法.

已知：如圖甲，.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：如圖乙，作8c的延長線C。，在△ABC外部，以C4為一邊，作/ACE=/A.

所以，CE〃A8(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).

所以，ZB=ZECD().

因為，ZACB,ZACE,/ECD組成一個平角，

所以，ZACB+ZACE+ZECD^180°(平角的定義)，

所以，ZACB+ZA+ZB=180°().

(1)請將上面的“已知”和推理“依據(jù)”補充完整；

(2)該定理有多種證明方法，請再寫出一種證明方法.

20.（2024?青島一模）【探究1】

如圖1,NBA。的平分線AE與/BCD的平分線CE交于點E,AB//CD,ZABC=30°,ZADC

=36°,貝！|NAEC=°；

【探究2】

如圖2,ZBAD的三等分線AE與/BCD的三等分線CE交于點E,ZEAD=^-ZBAD,/BCE=!

33

ZBCD,AB//CD,ZABC=30°,ZADC=36°,則°；

【探究3】

如圖3,/BAD的〃等分線AE與/BCO的〃等分線CE交于點E,ZEAD=-^ZBAD,NBCE=L

nn

ZBCD,AB//CD,ZABC^x°,ZADC^y°,則NAEC=°（用含x,

21.(2024?柯橋區(qū)模擬)問題提出：

(1)如圖①，在△ABC中，點N分別是48,AC的中點，若BC=6,則MV的長為.

問題探究：

(2)如圖②，在正方形ABC。中，4￡>=6,點E為4。上的靠近點A的三等分點，點尸為AB上

的動點，將折疊，點A的對應(yīng)點G,求CG的最小值.

問題解決：

(3)如圖③，某地要規(guī)劃一個五邊形藝術(shù)中心ABCDE,已知NABC=120°,/BCD=60°,AB

=AE=20m,8c=CZ)=40M7,點C處為參觀入口，OE的中點P處規(guī)劃為''優(yōu)秀”作品展臺，求

點C與點尸之間的最小距離.

圖③

答案與解析

一.選擇題

1.（2024?湖南三模）下列各組長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.1,2,3B.1,1,2C.1,2,2D.1,5,7

【點撥】根據(jù)三角形的任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，只要把三邊代入，

看是否滿足即可.

【解析】解：41+2=3,不能構(gòu)成三角形，不合題意；

81+1=2,不能構(gòu)成三角形，不合題意；

C..l+2>2,能構(gòu)成三角形，符合題意；

O.1+5V7,不能構(gòu)成三角形，不合題意.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三

邊，任意兩邊之差小于第三邊.

2.（2024?拱墅區(qū)一模）王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作

的線段AD應(yīng)該是△ABC的（）

A

A.角平分線B.中線C.高線D.以上都不是

【點撥】根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答.

【解析】解：由三角形的面積公式可知，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分，

他所作的線段應(yīng)該是△ABC的中線，

故選：B.

【點睛】本題考查的是三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是

解題的關(guān)鍵.

3.（2024?鄲州區(qū)模擬）如圖，直線人〃/2,以直線/2上的點A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直

線人、/2于點3、C,連結(jié)AB、BC.若NACB=68°,則N1的度數(shù)為（）

A.22°B.32°C.44°D.68

【點撥】由題意可得AB=AC,則有/ABC=/ACB=68°,再利用三角形的內(nèi)角和即可求N1的

度數(shù).

【解析】解：：以直線/2上的點A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交直線A、/2于點2、C,

：.AB^AC,

：.ZABC=ZACB=68°,

在△ABC中，Zl=180°-ZABC-ZACB=44°.

故選：C.

【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是由題意得到AB=

AC.

4.（2024?橋西區(qū)模擬）平面內(nèi)，將長分別為1,1,3,尤的線段，首尾順次相接組成凸四邊形（如圖），

尤可能是（）

A.1B.3C.5D.7

【點撥】由三角形三邊關(guān)系定理得到2cAe<4,AC-l<x<AC+l,因此l<x<5,即可得到答案.

【解析】解：連接AC,

在△ACD中，3-1<AC<3+1,

.\2<AC<4,

在AABC中，AC-l<x<AC+l,

：.l<x<5,

?,-x可能是3.

故選：B.

【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是連接AC,應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系定理來解決問題.

5.（2024?山西模擬）為了比較述+1與Wi的大小，小亮先畫了一條數(shù)軸，然后在原點。處作了一

條垂線段OA,且04=1,點B表示的數(shù)是2,點C表示的數(shù)為3,連接AB,AC,由AB+8OAC

推出述+1>W3,這里小亮用到的數(shù)學(xué)思想是（）

A

-101234

A.統(tǒng)計思想B.數(shù)形結(jié)合C.模型思想D.分類討論

【點撥】由數(shù)形結(jié)合思想，即可得到答案.

【解析】解：這里小亮用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合.

故選：B.

【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)大小比較，數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)

合思想.

6.（2024?漢川市模擬）已知△ABC中，其中有兩邊長是2和5,且△ABC的第三邊長是偶數(shù)，則此

三角形的周長為（）

A.11B.12C.13D.11或13

【點撥】三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，設(shè)第

三邊長x,得到3〈尤<7,由△ABC的第三邊長是偶數(shù)，得至Ux=4或6,于是得到此三角形的周長.

【解析】解：設(shè)第三邊長X,

.*.5-2cx<5+2,

.,.3<x<7,

「△ABC的第三邊長是偶數(shù)，

.,.尤=4或6,

此三角形的周長為2+5+4=11或2+5+6=13.

故選：D.

【點睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理.

7.（2024?重慶模擬）如圖，在△ABC中，4。是高，AE是角平分線，是中線，則下列說法中錯

誤的是（）

A.BF=CFB.ZC+ZCAD=90°C.ZBAF=ZCAFD.S^ABC=2SAABF

【點撥】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷.

【解析】解：/是△ABC的中線，

：.BF=CF,A說法正確，不符合題意；

AD是高,

ZADC=90°,

：.ZC+ZCAD=90°,2說法正確，不符合題意；

是角平分線，

：.ZBAE=ZCAE,而NR4P與NC4/不一定相等，C說法錯誤，符合題意；

;BF=CF,

.".SAABC=2S^ABF,。說法正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?瑤海區(qū)一模）如圖，在△ABC中，ZB+ZC=110°,AM平分/BAC,交8c于點M,MN

//AB,交AC于點N,則NAMN的大小是（）

【點撥】先根據(jù)已知條件和三角形的內(nèi)角和為180°,求出NR4C的度數(shù)，再根據(jù)已知條件和角

平分線的定義，求出最后根據(jù)跖V〃AB,求出/AMN即可.

【解析】解：VZBAC+ZB+ZC=180°,

.*.ZBAC=180°-（ZB+ZC）=180°-110°=70°,

平分NBAC,

..?/BAM=//BAC=35°，

,:MN〃AB,

：.ZAMN=ZBAM=35°,

故選:B.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形三個內(nèi)

角的和是180°和平行線的性質(zhì).

9.（2024?肥東縣模擬）如圖，將一副三角板的直角頂點重合并部分重疊，若NBOD=20°,則NAEC

的度數(shù)為（)

D

A.30°B.35°C.40°D.45°

【點撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N2的度數(shù)，進而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出/APO的度數(shù),

再由三角形外角的性質(zhì)求出/DEP的度數(shù)，最后根據(jù)對頂角相等即可得到答案.

【解析】解：如圖，

由題意得，ZB=180°-30°-90°=60°,

VZBOD=20°,

：.ZAFO=ZBOD+ZB=?,0o,

NDEF=ZAFO-/￡>=35°,

ZAEC=ZDEB=35°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)

鍵.

10.（2024?榆陽區(qū)二模）將一副三角板和一個直尺按如圖所示的位置擺放，直角邊8c與直尺的一邊

重合，點E在AC上，NABC=NO=90°,NA=30°,/DEC=45°,則N1的度數(shù)為（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【點撥】在圖中標(biāo)記N2,利用三角形內(nèi)角和定理，可求出NACB及NDCE的度數(shù)，結(jié)合鄰補角

互補，可求出/2的度數(shù)，由直尺的對邊平行，再利用“兩直線平行，同位角相等”，即可求出N1

的度數(shù).

【解析】解：在圖中標(biāo)記N2,如圖所示.

VZACB=180°-90°-30°=60°,ZZ)CE=180°-90°-45°=45°,

；./2=180°-ZACB-ZZ>C￡=180°-60°-45°=75°.

???直尺的對邊平行，

.\Z1=Z2=75O.

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)以及余角和補角，利用三角形內(nèi)角和定理

及鄰補角互補，找出N2的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

11.（2024?西寧）如圖，在△ABC中，是角平分線，2E是中線，AD=BE,且垂足為

F,G為。C的中點，連接。E,EG.下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AAFB^AAFEB.ZADB=ZADEC.FD=^BED.AC￡G-ACBE

4

【點撥】根據(jù)三角形全等可判斷A,8兩選項，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，可判斷C選項，以及相

似三角形的判斷，從而得到結(jié)果.

【解析】解：是角平分線，

：.ZBAD=ZEAD,

:AD_LBE,

：.ZAFB=ZAFE=90°,

又廠，

AAAFB^AAFE（ASA）,

故A選項正確，不符合題意；

：.AB=AE,

"：ZBAD=ZEAD,AD=AD,

：.AADB^^ADE(SAS),

/.NADB=ZADE,

故B選項正確，不符合題意；

:BE1是中線，

：.CE=EA,

為DC的中點，

：.CG=GD,

；.EG是△C4D中位線，

：.EG=-^AD,EG//AD,

2

?.?EFGD,

FBBD

又：AAFB^AAFE,

:.BF=FE,

：.BD=GD,

/是△BEG的中位線，

：.DF^—EG,

2

：.DF^—AD,

4

"：AD=BE,

：.DF=^BE,

4

故C選項正確，不符合題意；

在△CEG和△C8E中，NC為公共角，

但NCEG和NCBE,NCGE和NCEB均不相等，相應(yīng)邊不成比例，

故ACEG和△CBE不相似，

故。選項錯誤，符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定，三角形中位線性質(zhì)應(yīng)用，相似三角形的判定，熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵.

12.(2024?寧夏)如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=3cm,BC=2cm,點A在直線/1上，

點B,C在直線/2上，h//l2,動點P從點A出發(fā)沿直線人以lcm/s的速度向右運動，設(shè)運動時間

為fS.

下列結(jié)論：

①當(dāng)t=2s時，四邊形ABCP的周長是10cm；

②當(dāng)f=4s時，點P到直線/2的距離等于5c優(yōu)；

③在點P運動過程中，A,PBC的面積隨著t的增大而增大；

④若點。，￡分別是線段尸3,PC的中點，在點P運動過程中，線段。E的長度不變.

其中正確的是()

A.①④B.②③C.①③D.②④

【點撥】①根據(jù)t=2s時得出四邊形ABCP為矩形，據(jù)此可解決問題.

②根據(jù)“平行線間的距離處處相等”即可解決問題.

③根據(jù)②中的發(fā)現(xiàn)即可解決問題.

④利用三角形的中位線定理即可解決問題.

【解析】解：①當(dāng)f=2s時，

AP=2cm,

貝!]AP=BC.

又因為ZABC=90°,

所以四邊形ABCP是矩形，

所以PC=AB=3cm,

所以四邊形ABCP的周長為：2X(2+3)=10(cm).

故①正確.

因為“平行線間的距離處處相等"，AB=3cm,/ABC=90°,

所以直線Z1與直線/2之間的距離是3cm,

所以當(dāng)t=4s時，點P到直線/2的距離仍然是3sl.

故②錯誤.

由上述過程可知，

點P到BC的距離為定值3cm,

即APBC的BC邊上的高為3cm,

又因為BC=2C77?,

所以△PBC的面積為定值.

故③錯誤.

因為點。，E分別是線段尸2,PC的中點，

所以O(shè)E是△PBC的中位線，

所以DE=/BC=1（a”）,

即線段DE的長度不變.

故④正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了三角形面積及三角形的中位線定理，熟知三角形的中位線定理及三角形

的面積公式是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

13.（2024?上饒一模）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放在直尺上，則/I的度數(shù)為75。.

4。U

【點撥】根據(jù)平角的定義得/2+60°+45°=180°,得/2=75°,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案.

【解析】解：如圖，

VZ2+6O0+45°=180°,

；./2=75°,

??,直尺的上下兩邊平行，

.".Z1=Z2=75°,

故答案為：75°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),平角的定義，熟練掌握三角板各角度數(shù)以及平行線的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（2024?海南）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經(jīng)過AB的中點O,0M與地面垂直于點

0M=4Qcm,當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時，另一端8離地面的高度為80

A.

C

【點撥】判斷出。。是△A2E的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的

一半可得BE=2OM.

【解析】解：：。是的中點，OM垂直于地面，BE垂直于地面，

：.OM是△ABE的中位線，

；.BE=20M=2X40=80(cm),

另一端B離地面的高度為SOcm,

故答案為：80.

ME\

【點睛】本題考查了三角形中位線定理，熟記定理是解題的關(guān)鍵.

15.(2025?鹿城區(qū)校級一模)如圖，點。、E分別為AB,AC的中點，BF平分NABC交DE于點、F,

若A8=4,8c=6,貝!jEF=1.

【點撥】根據(jù)三角形中位線定理得到DE=』BC=3,根據(jù)角平分線的定義、平行線的

性質(zhì)得到/。8尸得到DF=BD=2,計算即可.

【解析】解：?.?點。、E分別為AB,AC的中點，AB=4,

.?.DE是△ABC的中位線，BD=LAB=2,

2

；.Z)E=」BC=3,DE//BC,

2

：.ZDFB=ZFBC,

?.如平分乙4BC,

：./DFB=NFBC,

：.ZDBF=NDFB,

：.DF=BD=2,

：.EF=DE-DF=3-2=1,

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

16.（2024?湖南模擬）已知a,b,c是一個三角形的三邊，且a,b滿足J1+（b-2）2=0,則。

的取值范圍是l<c<3.

【點撥】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b,再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差

小于第三邊求解即可.

【解析】解：+（b-2）2=0

.,.a-1=0,b-2=0,

解得a=l,b=2,

V2-1=1,1+2=3,

.*.l<c<3.

故答案為：l<c<3.

【點睛】本題主要考查的是三角形三邊關(guān)系，非負數(shù)的性質(zhì)，熟知三角形兩邊之和大于第三邊；

三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵.

三.解答題

17.（2024?香洲區(qū)校級一模）已知如圖，ZVIBC過點A作/S.AB//DE,Z1=Z2.

（1）求證AO〃BC；

（2）若已知AE■平分NBAC,NC=40°,求/BAD的度數(shù).

【點撥】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出求出ND4E=/2,根據(jù)平行線的判定得出即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出NC4E,根據(jù)ZBEA求出ZEAC=ZDAC,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/C=/D4C,求出/C=N8AE=/ZMC=40°,即可得出答案.

【解析】（1）證明：?.NBaDE,

：.ZBAC=Z1,

VZ1=Z2,

.\ZBAC=Z1,

■:/DAE=4BAC,

：.ZDAE=Z2f

：.AD//BC；

(2)解：*：AD//BC,

?：/DAE=NBEA,

???ZBAE=ZEAC=ZDAC,

U：AD//BC,

：.ZC=ZDAC,

：.ZC=ZBAE=ZDAC=40°,

TAE平分N84C,

AZBAC=2ZBAE=80°,

AZBAD=ZBAC+ZCAD=120°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義等知識點，能靈活運用平行線的性質(zhì)

和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵.

18.(2024?大埔縣一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_L5C于點。，點E為A3的中點，連結(jié)

DE,已知8C=10,AD=12,求BD,DE的長.

【點撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD=/BC，根據(jù)勾股定理求出AB=13,

【解析】解,.N8=AC,于點。，

VBC=10,

：?BD=5,

?.?A0_LBC于點0,

AZADB=90°,

在RtZ\A3Z)中，AB2=Ab1+BD1,

VAZ)=12,

AB=VAD2+BD2=V122+52=13-

為AB的中點，。點為BC的中點，

DE3四吟.

【點睛】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（2024?濰城區(qū)二模）三角形的內(nèi)角和定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要定理，下面給出了該定理

的一種

證明方法.

已知：如圖甲，ZXABC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：如圖乙，作的延長線CD,在△ABC外部，以CA為一邊，作

所以，CE//AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

所以，ZB=ZECD（兩直線平行，同位角相等）.

因為，ZACB,ZACE,NECD組成一個平角，

所以，ZACB+ZAC￡+ZECZ）=180°（平角的定義），

所以，ZACB+ZA+ZB=180°（等量代換）.

（1）請將上面的“已知”和推理“依據(jù)”補充完整；

（2）該定理有多種證明方法，請再寫出一種證明方法.

【點撥】（1）在AABC外部，以C4為一邊，作/ACE=/A.根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及平角定

義求解即可；

（2）過點A作AO〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)ND4C=NC,ZBAD+ZB=180°,由此證明即可.

【解析】解：（1）已知：如圖甲，△ABC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：如圖乙，作BC的延長線CD,在△ABC外部，以CA為一邊，作NACE=NA.

所以，CEH\B（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

所以，NB=NECD（兩直線平行，同位角相等）.

因為，ZACB,ZACE,NEC。組成一個平角，

所以，ZACB+ZACE+ZECD=180°（平角的定義）,

所以，ZACB+ZA+ZB=180°（等量代換）.

故答案為：△ABC；兩直線平行，同位角相等；等量代換;

（2）如圖丙，過點A作A0〃8C,

丙

,JAD//BC,

...NZMC=/C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

ZBAD+ZB=1SO0（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

即NBAC+NZMC+NB=180°.

AZBAC+ZB+ZC=180°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理的證

明是解題的關(guān)鍵.

20.（2024?青島一模）【探究1】

如圖1,NBA。的平分線AE與的平分線CE交于點E,AB//CD,NABC=30°,ZADC

=36°,則NAEC=33

【探究2】

如圖2,ZBAD的三等分線AE與/BCD的三等分線CE交于點E,ZEAD=^ZBAD,/BCE=L

33

ZBCD,AB//CD,/ABC=30°,ZAZ)C=36°,則/AEC=44°；

【探究3】

如圖3,/BAD的〃等分線AE與NBC。的〃等分線CE交于點E,/EAD=L/BAD,/BCE=L

nn

ZBCD,AB//CD,ZABC^x°,ZADC^y°,則N4DC=(x+y)°(用含x,y,n

n

的式子表示）.圖1圖2圖3

【點撥】【探究1】過點后作E/〃AB,先證〃跖〃C。得//EA=NR4E,NFEC=/DCE,

則NAEC=NBAE+/Z）CE,再根據(jù)及角平分線的定義得NBAE=』/BAO=18°,ZDCE

2

=1ZBCD=15°,由此可得/4EC的度數(shù)；

2

【探究2】同理可證/AEC=/84E+NOCE,再根據(jù)及已知條件得/BAE=2/8AO=

3

24°,/DCE=2/BCD=20°,由此可得NAEC的度數(shù)；

3

【探究3】同理可證/AEC=/BAE+/￡>CE,再根據(jù)AB〃。及已知條件得/BAE=二二3/8。=

n

Qly°,Zr>CE=^zlzBCD=￡zlx0由此可得N4EC的度數(shù).

nnn

【解析】解：【探究1】過點￡作石尸〃A3,如圖1所示：

,:EF〃AB,AB//CD,

C.AB//EF//CD,

:?NFEA=/BAE,NFEC=NDCE,

：./FEA+/FEC=/BAE+/DCE,

即ZAEC=/BAE+/DCE,

*JAB//CD,

：.ZBCD=ZABC=30°,ZBAD=ZADC=36°,

TAE平分BA。、CE平分/BCD,

：.ZBAE=^ZBAD=^X36°=18°,ZDCE=-ZBCD=^X30°=15°,

2222

AZAEC=ZFEC+ZFEA=18°+15°=33°；

【探究2】同理可證：NAEC=NBAE+/DCE,

U：AB//CD,

：.ZBCD=ZABC=30°,ZBAD=ZADC=36°,

9

：ZEAD=-^ZBADfZBCE=—ZBCDf

33

AZBAE=^ZBAD=^X36°=24°,ZDCE=-ZBCD=^X30°=20°,

3333

AZAEC=ZBAE+ZDCE=240+20°=44°；

【探究3】同理可證：ZAEC=ZBAE-^-ZDCE,

'：AB//CD,

：.ZBCD=ZABC=x°,ZBAD=ZADC=y°,

VZEAZ)=-lzBA￡>,NBCE=L/BCD,

nn

Q

ZBAE=^lzJB￡>=-2Zly°,ZDCE^^-ZBCD=^^x

nnnn

AZAEC=ZBAE+ZDCE^^^v°+^-x°(》+>)°.

nnn

【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

21.(2024?柯橋區(qū)模擬)問題提出：

(1)如圖①，在△ABC中，點M,N分別是48,AC的中點，若BC=