2023-2024學(xué)年山東省名?？荚嚶?lián)盟高二下學(xué)期5月期中檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省名校考試聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A.2 B.1 C. D.4【答案】D【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，.故選：D.2.個位數(shù)大于十位數(shù)的兩位數(shù)共有（）個.A.36 B.40 C.42 D.56【答案】A【解析】個位數(shù)大于十位數(shù)的兩位數(shù)個位數(shù)顯然不能為0，故只需在1-9九個數(shù)字中選兩個，大的在個位，小的在十位即可，故共有種可能.故選：A3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象如圖所示，則的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知原函數(shù)應(yīng)是先增后減再增的，故在B、C中選擇，隨著的增大，導(dǎo)函數(shù)越來越大，故原函數(shù)增長越來越快，應(yīng)選C.故選：C4.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】易知，將代入可得，解得.故選：B.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.6 B.20 C.21 D.26【答案】D【解析】對有，則，，則中含的項為，則的系數(shù)為.故選：D.6.書架上已有四本書，小明又帶來了兩本不同的長篇小說和一本人物傳記要放到書架上，若兩本小說不能放到一起，則不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】人物傳記有種放法，這樣五本書之間有個空，將兩本不同的長篇小說選兩個空插入即可不相鄰，共有種方法，故選：D．7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，均由20個數(shù)相乘組成，其中前兩項和最后一項比較，其他項，直到，故，，其中里面前四項大于中的后五項，即，其他項均要對應(yīng)大于或等于剩余中的每一項，故.故選：C.8.已知曲線過點的切線與函數(shù)的圖象只有一個公共點，則的值為（）A.0或1 B.0或 C. D.1【答案】A【解析】設(shè)切線與曲線的切點為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故，解得，所以，故切線方程為，當(dāng)時，，顯然成立，當(dāng)時，與聯(lián)立，，其中，解得，綜上所述，的值為0或1.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，則（）A.共有種不同的排法B.若女生互不相鄰，共1440種不同的排法C.若男生站一起、女生站一起，共144種不同的排法D.若男生從左到右身高逐漸增加，共有210種不同的排法【答案】ABD【解析】對于A，7個人全排列，共有種不同的排法，A正確；對于B，先排男生，再把女生插入空隙，有種，B正確；對于C，分別把男生、女生視為一個整體排列，共有種，C錯誤；對于D，7個人全排列，而男生的排列方法只占，共有種，D正確.答案：ABD10.若奇函數(shù)在上可導(dǎo)，當(dāng)時，滿足，，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.不等式的解集為【答案】BC【解析】對于A，令，則，所以，所以選項A錯誤；對于B，構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時，，所以在0,+∞單調(diào)遞增；所以，所以，所以選項B正確；對于C，構(gòu)造函數(shù)，由時，，所以，由，又由選項B可知在0,+∞單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，所以選項C正確；對于D，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，由選項B可知在0,+∞單調(diào)遞增，又知，所以當(dāng)，gx>0，在，gx<0即當(dāng)時，在0,1為負(fù)，在1,+∞為正；由為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，在為負(fù)，在為正，所以不等式的解集為：，所以選項D錯誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)與直線交于兩點，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】函數(shù)定義域為對于A：，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以，故A正確；對于B：由A得，故錯誤；對于C：由，可令，，假設(shè)，即，由的單調(diào)性可知，只需，，即，設(shè)，則，可得在上單調(diào)遞增，則有，即，即，故成立，故C正確；對于D：因為，所以，令，所以，即證，設(shè)，所以，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨令，即證，即證，令，因為，因為，所以，所以，則在上單調(diào)遞減，則，所以得證，故D正確.故選：.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在處取得極值，則的值為__________.【答案】【解析】由題，因為在處取得極值，所以，所以，此時，為增函數(shù)，令，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在處取得極值，故.故答案為：.13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到，，三個項目的志愿者工作中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加項目，那么不同的志愿者分配方案共有_______種（用數(shù)字表示）.【答案】12【解析】分兩種情況：（1）只有甲參加C項目，則有種分配方案；（2）甲與另外一人共同參與C項目，則有種分配方案.綜上：共有12種分配方案.故答案為：1214.若存在正實數(shù)，使得不等式成立（是自然對數(shù)的底數(shù)），則的最大值為_________.【答案】【解析】存在正實數(shù)，使得不等式1aln存在正實數(shù)，使得不等式lnx≥a?3ax存在正實數(shù)，使得不等式成立，令，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，上述問題存在正實數(shù)，使得不等式成立，因為，結(jié)合在單調(diào)遞增，易得存在正實數(shù)使得成立，存在正實數(shù)，使得不等式成立，存正實數(shù)，使得不等式成立，存正實數(shù)，使得不等式成立，令，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）若，，判斷零點個數(shù)；（2）若，討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)，時，則，所以，解得或，，解得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，，所以只有一個零點.（2）因為，所以，所以，由解得，當(dāng)時，恒成立.當(dāng)時，，所以由，解得或.由，解得當(dāng)時，，所以，解得或.由，解得綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.16.設(shè).求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）令，可得，令，得，令得，兩式相加得，所以.（2）對兩邊同時求導(dǎo)得，，令可得.17.有一水平直角通道，其寬度分別為1米和米.現(xiàn)要將一批鋼管從通道水平抬至通道.為了計算能抬過去的鋼管最大長度，建立模型如圖所示，設(shè)一根長度為的鋼管經(jīng)過點且兩端與通道壁恰好接觸于，兩點時,鋼管與通道壁的夾角為（不計鋼管直徑）.（1）求長度與的函數(shù)關(guān)系式；（2）問能否將一長度為9米的鋼管水平抬過去，請說明理由.解：（1）依題意可得，，所以，即，；（2）法一：因為，又，令，解得，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，，所以不能將米的鋼管抬過去．法二：，又，令，解得，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，，所以不能將米的鋼管抬過去．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時，證明：；（3）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由得，故，，所以切線方程為，即．（2）方法1：，定義域為，，由于函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，，，所以存在唯一，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，取最小值．因此；方法2：，定義域為，令，，當(dāng)時，，在0,+∞上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，．令，，當(dāng)時，，在0,1單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在1,+∞單調(diào)遞減．所以，所以．因此．（3）方法1：因為恒成立，所以令，則，因為在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以．因此．方法2：定義域為，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，，此時不成立；當(dāng)時，均上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，；，，所以存在，使得，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增．所以因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以由得，因為，所以令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即．19.組合數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容之一是計數(shù)，母函數(shù)是重要的計數(shù)工具之一.其定義如下：對于序列，，，…，定義為序列，，，…的母函數(shù).母函數(shù)的計數(shù)方法與二項式定理的原理相似：假設(shè)有紅、黃、藍(lán)各一個小球，計算由它們組成的所有組合的個數(shù)，可考慮三步完成，即每個小球是否參與組合.我們用即1代表小球不參與，代表小球參與，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，代表一個小球是否參與組合的兩種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，用代數(shù)式表示三個小球是否參與組合的情況，所以母函數(shù)為，例如其中中的系數(shù)3就是由兩個小球構(gòu)成的所有組合個數(shù)，而總的組合個數(shù)就是.（1）假設(shè)有四個不同的小球，令為由它們組成的含有個小球的所有組合個數(shù)，試寫出，，，，的一個與問題對應(yīng)的母函數(shù)；（2）已知，其中.現(xiàn)有一序列，，，…，的母函數(shù)，其中，求；（3）在某班中的8位男同學(xué)和5位女同學(xué)中，組一個由偶數(shù)個男生和不少于兩個女生的小組，令為從8位男同學(xué)中選取位的所有組合個數(shù)，令為從5位女同學(xué)中選取位的所有組合個數(shù)；分別寫出，，，…，和，，，…，的與問題對應(yīng)的母函數(shù)和，并求總的組合個數(shù).解：（1）.（2）∵，故展開式中的系數(shù)為，∵故的系數(shù)為.（3）顯然，，，，，，故，同樣，，，，故，令中的系數(shù)為符合要求的個人組成的小組的數(shù)目，所有組合個數(shù)為.山東省名?？荚嚶?lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A.2 B.1 C. D.4【答案】D【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，.故選：D.2.個位數(shù)大于十位數(shù)的兩位數(shù)共有（）個.A.36 B.40 C.42 D.56【答案】A【解析】個位數(shù)大于十位數(shù)的兩位數(shù)個位數(shù)顯然不能為0，故只需在1-9九個數(shù)字中選兩個，大的在個位，小的在十位即可，故共有種可能.故選：A3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象如圖所示，則的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知原函數(shù)應(yīng)是先增后減再增的，故在B、C中選擇，隨著的增大，導(dǎo)函數(shù)越來越大，故原函數(shù)增長越來越快，應(yīng)選C.故選：C4.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】易知，將代入可得，解得.故選：B.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.6 B.20 C.21 D.26【答案】D【解析】對有，則，，則中含的項為，則的系數(shù)為.故選：D.6.書架上已有四本書，小明又帶來了兩本不同的長篇小說和一本人物傳記要放到書架上，若兩本小說不能放到一起，則不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】人物傳記有種放法，這樣五本書之間有個空，將兩本不同的長篇小說選兩個空插入即可不相鄰，共有種方法，故選：D．7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，均由20個數(shù)相乘組成，其中前兩項和最后一項比較，其他項，直到，故，，其中里面前四項大于中的后五項，即，其他項均要對應(yīng)大于或等于剩余中的每一項，故.故選：C.8.已知曲線過點的切線與函數(shù)的圖象只有一個公共點，則的值為（）A.0或1 B.0或 C. D.1【答案】A【解析】設(shè)切線與曲線的切點為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故，解得，所以，故切線方程為，當(dāng)時，，顯然成立，當(dāng)時，與聯(lián)立，，其中，解得，綜上所述，的值為0或1.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，則（）A.共有種不同的排法B.若女生互不相鄰，共1440種不同的排法C.若男生站一起、女生站一起，共144種不同的排法D.若男生從左到右身高逐漸增加，共有210種不同的排法【答案】ABD【解析】對于A，7個人全排列，共有種不同的排法，A正確；對于B，先排男生，再把女生插入空隙，有種，B正確；對于C，分別把男生、女生視為一個整體排列，共有種，C錯誤；對于D，7個人全排列，而男生的排列方法只占，共有種，D正確.答案：ABD10.若奇函數(shù)在上可導(dǎo)，當(dāng)時，滿足，，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.不等式的解集為【答案】BC【解析】對于A，令，則，所以，所以選項A錯誤；對于B，構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時，，所以在0,+∞單調(diào)遞增；所以，所以，所以選項B正確；對于C，構(gòu)造函數(shù)，由時，，所以，由，又由選項B可知在0,+∞單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，所以選項C正確；對于D，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，由選項B可知在0,+∞單調(diào)遞增，又知，所以當(dāng)，gx>0，在，gx<0即當(dāng)時，在0,1為負(fù)，在1,+∞為正；由為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，在為負(fù)，在為正，所以不等式的解集為：，所以選項D錯誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)與直線交于兩點，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】函數(shù)定義域為對于A：，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以，故A正確；對于B：由A得，故錯誤；對于C：由，可令，，假設(shè)，即，由的單調(diào)性可知，只需，，即，設(shè)，則，可得在上單調(diào)遞增，則有，即，即，故成立，故C正確；對于D：因為，所以，令，所以，即證，設(shè)，所以，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨令，即證，即證，令，因為，因為，所以，所以，則在上單調(diào)遞減，則，所以得證，故D正確.故選：.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在處取得極值，則的值為__________.【答案】【解析】由題，因為在處取得極值，所以，所以，此時，為增函數(shù)，令，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在處取得極值，故.故答案為：.13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到，，三個項目的志愿者工作中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加項目，那么不同的志愿者分配方案共有_______種（用數(shù)字表示）.【答案】12【解析】分兩種情況：（1）只有甲參加C項目，則有種分配方案；（2）甲與另外一人共同參與C項目，則有種分配方案.綜上：共有12種分配方案.故答案為：1214.若存在正實數(shù)，使得不等式成立（是自然對數(shù)的底數(shù)），則的最大值為_________.【答案】【解析】存在正實數(shù)，使得不等式1aln存在正實數(shù)，使得不等式lnx≥a?3ax存在正實數(shù)，使得不等式成立，令，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，上述問題存在正實數(shù)，使得不等式成立，因為，結(jié)合在單調(diào)遞增，易得存在正實數(shù)使得成立，存在正實數(shù)，使得不等式成立，存正實數(shù)，使得不等式成立，存正實數(shù)，使得不等式成立，令，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）若，，判斷零點個數(shù)；（2）若，討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)，時，則，所以，解得或，，解得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，，所以只有一個零點.（2）因為，所以，所以，由解得，當(dāng)時，恒成立.當(dāng)時，，所以由，解得或.由，解得當(dāng)時，，所以，解得或.由，解得綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.16.設(shè).求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）令，可得，令，得，令得，兩式相加得，所以.（2）對兩邊同時求導(dǎo)得，，令可得.17.有一水平直角通道，其寬度分別為1米和米.現(xiàn)要將一批鋼管從通道水平抬至通道.為了計算能抬過去的鋼管最大長度，建立模型如圖所示，設(shè)一根長度為的鋼管經(jīng)過點且兩端與通道壁恰好接觸于，兩點時,鋼管與通道壁的夾角為（不計鋼管直徑）.（1）求長度與的函數(shù)關(guān)系式；（2）問能否將一長度為9米的鋼管水平抬過去，請說明理由.解：（1）依題意可得，，所以，即，；（2）法一：因為，又，令，解得，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，，所以不能將米的鋼管抬過去．法二：，又，令，解得，所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，，所以不能將米的鋼管抬過去．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）當(dāng)時，證明：；（3）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）由得，故，，所以切線方程為，即．（2）方法1：，定義域為，，由于函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，，，所以存在唯一，使得，當(dāng)時，