2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)：幾何壓軸題訓(xùn)練（含解析）

2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)幾何壓軸題訓(xùn)練

1.在RtZkABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,將△ABC繞點2順時針旋轉(zhuǎn)得到△4'

BC,其中點A,C的對應(yīng)點分別為點A',C.

(1)如圖1,當(dāng)點A'落在AC的延長線上時，求AA'的長；

(2)如圖2,當(dāng)點C'落在A8的延長線上時，連接CC',交A'8于點求的

長；

(3)如圖3,連接A4',CC',直線CC'交A4'于點。，點E為AC的中點，連接

DE.在旋轉(zhuǎn)過程中，OE是否存在最小值？若存在，求出。E的最小值；若不存在，請說

明理由.

2.如圖，在矩形48。中，線段ERG8分別平行于A。、AB,它們相交于點P,點尸1、

P2分別在線段PRPHI.,PPi=PG,PP2=PE,連接P1H、P2F,尸田與P2尸相交于點

Q.己知AG：GD=AE：EB=1：2,設(shè)AG=a,AE=b.

(1)四邊形E2HP的面積四邊形GPFD的面積(填”或“<”)

(2)求證：APIFQSAPZHQ；

(3)設(shè)四邊形PP1QP2的面積為Si,四邊形CPQ8的面積為S2,求善的值.

3.如圖，△048的頂點坐標(biāo)分別為0(0,0),A(3,4),B(6,0),動點P、Q同時從

點O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運動，速度分別為每秒3個單位和每秒2個

單位，點尸到達點2時點尸、。同時停止運動.過點。作分別交A。、AB于點

M、N,連接尸M、PN.設(shè)運動時間為，（秒）.

（1）求點M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；

（2）求四邊形MN8P面積的最大值或最小值;

（3）是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請求出直線/

的解析式；如果不存在，請說明理由;

（4）連接AP,當(dāng)NOAP=NBPN時，求點N到。4的距離.

4.【模型建立】

（1）如圖1,△ABC和△3OE都是等邊三角形，點C關(guān)于4。的對稱點尸在8。邊上.

①求證：AE=CD-,

②用等式寫出線段A。，BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

【模型應(yīng)用】

（2）如圖2,△ABC是直角三角形，AB^AC,CD±BD,垂足為。，點C關(guān)于AO的對

稱點尸在8。邊上.用等式寫出線段A。，BD,OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

【模型遷移】

（3）在（2）的條件下，若AD=4a,BD=3CD,求cos/AFB的值.

5.綜合與實踐:

數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律,

再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊

的數(shù)學(xué)天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在△A8C和△&￡f中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=

30°,連接BE,CF,延長BE交CP于點D則BE與CT的數(shù)量關(guān)系：,

ZBDC=0；

(2)類比探究：如圖2,在△ABC和△>!￡1尸中，AB^AC,AE^AF,/BAC=/EAF=

120°,連接BE,CF,延長BE,FC交于點、。.請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及N8OC

的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,△ABC和△&￡尸均為等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=9O°,

連接BE,CF,且點8,E,尸在一條直線上，過點A作川垂足為點則3凡

CF,AM之間的數(shù)量關(guān)系：；

(4)實踐應(yīng)用：正方形ABC。中，AB=2,若平面內(nèi)存在點尸滿足48尸。=90°,PD

=],則S^ABP=.

備用圖

V2

6.已知△A08和△MON都是等腰直角三角形(一OA<OM<OA),ZAOB=ZMON=90°.

2

(1)如圖1,連接AM,BN,求證：AM=BN；

(2)將△MON繞點。順時針旋轉(zhuǎn).

①如圖2,當(dāng)點M恰好在A8邊上時，求證：A序+2序=20序；

②當(dāng)點A,M,N在同一條直線上時，若04=4,0M=3,請直接寫出線段AM的長.

7.如圖，△ABC中，A(a,0),B(6,0),C(0,c),且滿足6=+后=H-2,

(1)BZ)_L4C于。，交y軸于M,求M點坐標(biāo)；

(2)過點A作AG_LBC于G,交OC于N,若NCAN=15°,求AN的長；

(3)尸為第一象限一點，PQ_L朋交y軸于。.在尸。上截取PE=B4,尸為CE的中點,

求/OPb的度數(shù).

8.(1)如圖1,在四邊形A8C。中，AB=AD,ZB=ZADC=90°，點E、F分別在邊BC、

。上，若/胡2+/曲。=/￡4尸則線段8及。/、所之間的數(shù)量關(guān)系是

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,點、E、尸分別在邊8C、

CO上，若EF=BE+FD,探究/瓦18、NFAD、/區(qū)4下的之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,E是線段AB上一點，CELCF,

且CE=CR過點E作即，尸C交CA的延長線于。，過E作EGLEC交BC于G,連接

DG.若DF=7,EG=1,求。G的長.

圖2圖3

9.如圖①，AABC是等邊三角形，48=6.點尸從點A出發(fā)，沿折線A8-BC運動.當(dāng)點

尸不與點A重合時，連結(jié)AP,以AP為邊向其右側(cè)作等腰三角形AP。,使/A。尸=120°,

延長AQ交邊BC于點。，當(dāng)點。與點C重合，點尸停止運動，連結(jié)尸。

(1)當(dāng)點P在邊AB上運動時，AD的長為.

(2)如圖②，當(dāng)點P在邊8c上時，求證：/.BAP+^CAD=^BAC.

(3)點P在整個運動過程中，當(dāng)△PD。是軸對稱圖形時，求尸。的長.

(4)點P在整個運動過程中，當(dāng)AB=3BP時，直接寫出尸。的長

圖②

10.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,。為AB中點，點E在8c邊上(點E不與點8,

C重合)，連接。E,過點。作。尸，?！杲籄C于點R連接所.

(1)求證：AF2+BE2=EF2

(2)若AC=7,BC=5,EC=1,直接寫出線段A尸的長.

CEB

11.如圖，ZABC=ZADC=90°，AC與8。相交于點E,ZABD=ZADB.

(1)求證：AC垂直平分瓦)；

(2)過點8作8尸〃CD交CA的延長線于凡如果A8=AF；

①求證：△2CZ)是等邊二角形；

②如果G、"分別是線段AC、線段。上的動點，當(dāng)G”+A”為最小值時，請確定點”

的位置，并思考此時G8與S有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

12.如圖，點E在正方形A2C。對角線BD上，連接AE、CE,點廠為AB上一點，連接

CF,

交2D于點G.連接ER若AE=EF.

(1)求證：AE=CE；

(2)求NEC「的度數(shù)；

(3)經(jīng)探究，DE、BG、EG三條線段滿足某種數(shù)量關(guān)系，請直接寫出們之間的關(guān)系式.

13.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D,E分別為BC上兩動點，BD=CE.

(1)如圖1,若于“交AB于K,求證：AE=EK；

(2)如圖2,若所〃交AC于RGFLAG,AG=GF,求證：AD+EF=V2CG；

1

(3)如圖3,若A8=4,將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得EM,N為中點，當(dāng)AN+^AM

取得最小值時，請直接寫出△AC。的面積.

14.如圖，在等腰三角形A8C中，AB=AC,NA8C=30°,點。為BC的中點，點。是線

段。8上的動點(點。不與點。，8重合)，將△A3。沿直線折疊得到△AEQ,連接

CE.

(1)若AB=AC=5,ZBAD=15°,求CE的長；

(2)若N8A￡)=a,貝！|NAEC=；

CE

(3)若是等邊三角形，請直接寫出一的值.

E

15.已知，如圖，A8是。。的直徑，弦CD_LA8于點E,G是前上一點，AG與。。的延

長線交于點F.

(1)求證：ZFGC=ZAGD.

(2)若C￡>=8,BE=2,求OO的半徑長；

(3)若G是公的中點，CE=位=2,求GB的長.

16.如圖1,F為正方形ABC。內(nèi)一點，點E在邊A。上(不與端點A,。重合)，8E垂直

平分交AF于點。，連接CF.過點。作。G〃CP交射線AF于點G.

(1)求NAFC的大?。?/p>

(2)求證：AF=V2DG.

DG

(3)如圖2,連接。。，若。OLOG,求—的值.

AD

圖2

17.△ABC中，AB^AC,將△ABC繞C逆時針旋轉(zhuǎn)得△￡>EC,旋轉(zhuǎn)角為a,連接BD,AD,

BE,DE.

(1)如圖1,求證：XMiCsXBEC；

(2)如圖2,若/8AC=90°,a=30°,EC=1+V3,求BE的長；

(3)如圖3,若/BAD=NBCD,AB=4,BE的長為x,ZkABE的面積為y,求y與x

的函數(shù)關(guān)系.

18.如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB=8,M為AC中點，。為8c邊上一動點，將

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,連接CE、DE、ME.

(1)求證：CD+CE=CA；

(2)求出點M到CE所在直線的距離;

7

(3)當(dāng)時，求CE的值.

參考答案

1.【解答】解：（1）VZACB=90°,AB=5,BC=3,

：.AC=7AB2-BC?=4,

?.?/ACB=90°,△ABC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)得到△&'8C'，點A'落在AC的延長線上,

/.ZA'CB=90°,A'B=AB=5,

RtZkA'BC中，A'C=y/A'B2-BC2=4,

；.AA』AC+AC=8；

(2)過C作CE^AB交AB于E,過C作CO_LAB于。，如圖:

?.?△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到BC,

：.ZA'BC=ZABC,BC=BC=3,

'：CE//A,B,

：.ZA'BC^ZCEB,

：.ZCEB=ZABC,

:.CE=BC=3,

RtzMBC中，S^ABC=^AC'BC=^AB'CD,AC=4,BC=3,AB=5,

.「八AC-BC12

=虧’

RtACED中，DE=y/CE2-CD2=卜_（第2=1）

Q

同理BD=寧

1OIOQQ

：.BE=DE+BD="=3。+成=3+m=芋

9：CE//AB,

.BM_BCi

??CE-CiE

.BM3

=_33",

3—

5

：.BM=弄15

（3）存在最小值1,理由如下:

過A作A尸〃AC交C。延長線于尸，連接AC,如圖:

:△ABC繞點3順時針旋轉(zhuǎn)得到BC,

:?BC=BC',ZACB=ZA'CB=90°,AC=A'C,

：.ZBCC=ZBCC,

而NACP=180°-ZACB-ZBCC^900-ZBCC,

ZA'CD=ZA'CB-ZBC'C=90°-Z.BCC,

：.ZACP^ZA'CD,

\'AP//A'C,

：./P=ZA'CD,

：.NP=ZACP,

：.AP=AC,

：.AP=A'C,

在△入「￡)和△4CD中,

2P=AA'C'D

/.PDA=AA'DC，

.AP=A'C

:.△APD2△AC。(AAS),

：.AD=A'D,即。是A4'中點，

:點E為AC的中點，

.,.OE是△A4'C的中位線，

：.DE=劑C,

要使DE最小，只需AC最小，此時A、。、B共線，AC的最小值為A5-5C=A8-

=2,

1

???Z)E最小為］AC=1.

2.【解答】解：(1),?,四邊形A3CQ為矩形，

AZA=ZB=ZC=90°,

9

\GH//ABf

：.ZB=ZGHC=9Q°,ZA=ZPGD=90°,

9

：EF//ADf

：.ZPGD=ZHPF=90°,

???四邊形尸產(chǎn)CH為矩形，

同理可得，四邊形AGPE、GDFP、EPHB均為矩形,

9：AG=a,AE=b,AG：GD=AE：EB=1：2,

：.PE=a,PG=b,GD=PF=2a,EB=PH=2b,

：.四邊形EBHP的面積=PE?尸H=2次?，四邊形GPFD的面積=PG?尸尸=2",

故答案為：=；

(2)?：PPi=PG,PP2=PE,

由(1)知PE?PH=2ab,PG?PF=2ab,

；?PP2?PH=PP\*PF,

PP2PF

即---=—，

PPiPH

又?：/FPP?=/HPPi,

：.△PP2F^APP1H,

，/PFP2=/PHP1,

'：ZP\QF=ZP2QH,

：?APIFQSLP2HQ：

(3)連接尸i尸2、FH,

..PP2a1PPrb1

*CH~2a~2CF~2b~2

,PP2PPi

??一,

CHCF

:/P1PP2=NC=9O°,

:.APP1P2sACFH,

.PS2_PPl_1SM1PP2_P1P22_1

FH~CF~2S&CFH—FH-4'

PiQFQ

由(2)中△PIBQS/^P2//Q,得」一=—,

P?QHQ

.PiQPQ

??一2，

FQHQ

,：ZPIQP2=ZFQH,

???△P1QP2s△尸QH,

?S"1QP2=(￡lf2)2=工，

S〉FQHFH4'

?Si=SAP'Pp?+S2P'Qp2,Sz=S/\CFH+S/\FQH,

Sl=扣△尸0H=,S2,

.皂=工

…S2—4

3.【解答】解：(1)過點A作x軸的垂線，交MN于點、E,交08于點R

由題意得：0Q=2t,0P=3t,PB=6-3r,

9：0(0,0),A(3,4),B(6,0),

22

AOF=FB=3,AF=4fOA=AB=V3+4=5,

■:MN〃OB,

：.ZOQM=ZOFAfZOMQ=ZAOFf

J.AOQM^AAFO,

.OQQM

??—,

AFOF

.2tQM

??—,

43

3

_3

???點M'的坐標(biāo)是(-32t).

2

(2)9：MN//OB,

???四邊形。所。是矩形，

，QE=OF,

3

：.ME=OF-QM=3-^t,

'：OA=AB.

:.ME=NE,

：.MN=2ME=6-3/,

.**S四邊形MNBP=SAMNP+SABNP

11

=.AW?0Q+.?5P?0Q

11

-](6-3t),2t+],(6-3t)?2t

=-6?+12/

=-6(r-1)2+6,

??,點尸到達點5時，P、。同時停止，

：.0<t<2,

?>=1時，四邊形MNB尸的最大面積為6,四邊形MN3P面積不存在最小值.

(3),:MN=6-3t,BP=6-3z,

:?MN=BP,

YMN〃BP,

：.四邊形MNBP是平行四邊形，

???平分四邊形MNB尸面積的直線經(jīng)過四邊形的中心，即MB的中點,

設(shè)中點為"（x,y\

3

9：M（一如2t）,B（6,0）,

2

133

x=2，（/+6）=4七+3,

.3-

??x=4y+3,

4

-X4

化簡得:3--

4

-%4

???直線/的解析式為:3--

(4)①當(dāng)。=0時，點M和點尸均在點。處，/BPN=/OAP=S,

此時點N在點3處，

???點N到。4的距離為△045邊04上的高，記為力，

11

VS/\0AB=/B?AF=20A?/?,

11

??一x6X4=77x5h,

22

.?.點N到。4的距離為：〃=普

②當(dāng)0</<2時，

3

VOQ=2t,QM=|r,

0M=去，

?；MN〃0B,

.0M_BN

??=,

OAAB

：?0M=BN=%,

9

：0A=ABf

???ZAOB=ZPBN,

又?：/OAP=/BPN,

：.△AOPs^PBN,

.OAOP

?*BP~BN'

■53t

??—,g-,

6-3t-t

2

11

解得：tl=yg,12=0(舍去).

3

*：MN—6-3t,AE=AF-OQ,ME=3-]t,

?..MN一6-c3x-1j1g=-2g5-,

人廠cli25

AE=47-12X正=百，

“廠o31125

ME=3-5xTTQ=-TTZJ

Zlo1Z

'-AM=VME2+W=J(1|)2+*)2=崇.

設(shè)點N到。4的距離為A,

*：S^AMN=*MN?AE=

125251125

X-X—=-X-----?fl,

269236

解得：力=孚

③當(dāng)片2時，不符合題意；

2410

綜上所述：點N到。4的距離為二或丁.

53

4.【解答】(1)證明：①???△ABC和△5。石都是等邊三角形,

：.AB=CB,EB=DB,ZABC=ZEBD=60°,

???NABE=NCBD,

：.AABE^ACBD,

：.AE=CD；

②解：AD=BD+DF.

理由如下：

???△3。正是等邊三角形，

:?BD=DE,

???點。與點/關(guān)于對稱,

：.CD=DF,

\"AD=AE+DE,

：.AD=BD+DF；

(2)BD+DF=V2AD.

理由如下:

如圖1,過點B作BE±AD于E,

:點C與點/關(guān)于A。對稱,

ZADC^ZADB,

y.'：CD±BD,

：.ZADC^ZADB^45°,

y.'：BE±AD,

ABDE是等腰直角三角形,

又???AABC是等腰直角三角形,

ABBEV2

—=—=—,NABC=NEBD=45°,

BCBD2

NABE=NCBD,

△ABEs^CBD,

CDBC

—=—=V2r,CD=DF,

AEAB

DF=y[2AE,

△BDE是等腰直角三角形,

BD=五DE,

BD+DF=V2(￡)E+AE~)=五AD,

即：BD+DF=0AD.

(3)解：如圖2,過點A作AGLB。于G,

又；乙4。3=45°,

...△AGO是等腰直角三角形,

又魚,

：.AG=DG=4,BD+DF=V2A￡)=8,

,:BD=3CD,CD=DF,

：.DF=2,

又???￡)G=4,

:?FG=DG-DF=2,

在RtzXAFG中，由勾股定理得：AF=yjAG2+FG2=V42+22=2遮,

■■COSZAFB=AF^^=T-

5.【解答】解：(1)BE=CF,ZBDC=30°,

理由如下：如圖1所示：

?/AABC和Z\ADE都是等腰三角形，

：.AB=AC,AE^AF,

又：/BAC=N￡AP=30°,

/.△ABE^AACF(SAS),

：.BE=CF,

：.NABE=NACD,

:ZAOE^ZABE+ZBAC,

ZAOE^ZACD+ZBDC,

：.ZBDC^ZBAC^30°；

(2)BE=CF,NBDC=60°,圖1

理由如下：如圖2所示：

證明：'：ZBAC=ZEAF=\20°,

：.ABAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即/BAEjCAR

又：AABC和△AEP都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF,

：./\BAE^/\CAF(SAS)

：.BE=CF,

：.NAEB=ZAFC,

VZ￡AF=120°,AE^AF,

；./AEF=/AFE=3Q°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=ZAEB+30°-(ZAFC-30°)=60°；

(3)BF^CF+2AM,

理由如下：如圖3所示：

△ABC和都是等腰三角形，

：.ZCAB=ZEAF^90°,AB^AC,AE^AF,

：.ZCAB-ZCAE=ZFAE-ZCAE,圖2

即：ZBAE=ZCAF,

：./\BAE^/\CAE(SAS),

:.BE=CF,

'：AM±BF,AE=AF,ZEAF=90°,

：.EF=2AM,

'：BF=BE+EF,

；.BF=CF+2AM；

(4))如圖4所示：

連接80,以8。為直徑作圓，

由題意，取滿足條件的點P,P',則尸D=PD=l.ZBPD^ZBP'D=90；

：.BD=241,

：.BP=<BD2-PD2=J(2魚尸—12=77,

連接B4,作AF_LPB于點R在BP上截取

,：ZPDA=ABE,AD=AB,

：.AADP^/\ABE(SAS),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP,

：.ZPAE=9Q°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

..PB-PD_V7-1

??AF—2—2，

：&PAB=^PB-AF=

同理可得：SAP，AB二里二

7+V77-V7

故△A8P的面積為：-----或-----.

44

6.【解答】（1）證明：如圖1,

■:/AOB=NMON=90°,

ZAOB+ZAON=ZMON+ZAON,

即ZAOM^ZBON,

「△AOB和△MON都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

:.AAOM父ABON(SAS),

:.AM=BN；

(2)①證明：如圖2,連接

?：/AOB=NMON=90°,

：.ZAOB-ZBOM=/MON-ZBOM,

即NA0M=N20N,

VAAOB和△MON都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

:AAOM父ABON(SAS),

ZMAO=ZNBO^45°,AM=BN,

:.NMBN=9Q°,

：.MB2+BN2=MN2,

：AMON是等腰直角三角形，

.,.MN2=20^,

，毋+即/=20知2；

②解：如圖3,

當(dāng)點N在線段AM上時，連接BN,設(shè)BN=x,

由（1）可知△AOM絲△30N,可得且AM_LBN,

在Rt^ABN中，A/V2+B^2=AB2,

「△AOB和△MON都是等腰直角三角形，。4=4,0M=3,

：.MN=3V2,AB=4A/2,

(x-3V2)2+f=(4V2)2

解得：x=回產(chǎn)，

.._,J46+39

..AM=BDNr=-------，

如圖4,

當(dāng)點M在線段AN上時，連接BN,設(shè)BN=x,

由(1)可知△AOM四△BOM可得且AM_L8M

在Rt2\ABN中，AN1+BN1=AB1,

圖4

「△AOB和△MON都是等腰直角三角形，。4=4,0M=3,

：.MN=3y/2,AB=4近，

(X+3A/2)2+X2=(4A/2)2,

解得：x=聞13生

：.AM=BN=同,生

綜上所述，線段AM的長為V——46+3V匚2或^V——46-3V—2.

22

7.【解答】解：(1)由題可得，a-c20,c-420,

.\a=c,即OA=OC,

???AAOC是等腰直角三角形，

.e.ZOA￡>=45°,

又,.?3O_LAC,

AZABZ)=45°,

又???NBOM=90°,

???ABOM是等腰直角三角形，

：.OB=OM,

,?*b=y/CL—c+y]c—CL—2,且a=c,

：.b=-2,即08=2,

：.0M=2,

：.M(0,2)；

(2)9：ZCAN=15°,ZOAC=45°,

：.ZOAN=30°,

VAGXBC,COLAO,NANO=/CNG,

:?/BCO=/OAN=30°,

在△BOC和中，

(ABCO=乙OAN

{CO=A0,

(“08=(AON

:.△BOC"ANOA(ASA),

:.BC=NA,

又?.?RtZ\30C中，80=250=4,

：.AN=4；

(3)如圖3,連接。尸，把△OCF繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°至△。4。處，連接。尸,

由旋轉(zhuǎn)可得，AD=CF=EF,ZOCF=ZOADfOF=OD,

VZAOQ+ZAPQ=1SO°,

???NQ4P+NOQP=180°,

XVZEQC+ZOQP=180°,

：.ZOAP=ZEQC

f圖1

NPEF=NPAD,

在△尸跖和△Bl。中，

EF=AD

Z-PEF=Z.PAD,

PE=PA

：.APEF^AB4D(SAS),

:?PF=PD,ZFPE=ZDPAf

：.ZFPD=ZQI^=90o,

?:在AOPF和△(?尸。中，

OF=OD

OP=OP,

PF=PD

:?△OPFQXOPD(SSS),

1

ZOPF=ZOPD=^ZFPZ)=45°.

8.【解答】解：(1)如圖，在防延長線上取點C,?BG=DF,連接AG.

在RtZXAO尸和RtZXABG中，AD=AB,DF=BG,

ARtAADF^RtAABG(HL).

：.AG=AF9/FAD=/GAB,

?/ZEAB+ZFAD=/EAF,

：.ZEAG=ZEAB+ZGAB=ZEAF.

在4G和△￡：?!月中，AG=AF,ZEAG=ZEAF,AE=AE,

：.^\EAG^/XEAF(SAS).

/.EF=GE=BG+BE=BE+DF.

故答案為：BE+DF^EF.

(2)結(jié)論：ZEAB+ZFAD=ZEAF.

理由：在班延長線上取點G,使BG=DF,連接AG.

VZABE+ZD=180°.

：./ABG=/D.

在△A。尸和△ABG中，AB=AD,ZABG=ZD,BG=DF,

：./\ADF^/\ABG(SAS).

：.AF=AG,ZFAD=ZGAB.

在△AEf'和△AEG中，AF^AG,EF=BE+DF=BE+BG=EG,AE^AF,

:.AAEF咨AAEG(SSS).

：.NEAF=NEAG,

：.ZEAF=ZGAB+ZEAB=ZEAB+ZFAD.

(3)在。尸上取點H,使HF=EG.根據(jù)題意△CEG和△CM都是直角三角形.

,:EC=FC,HF=EG,

：.RtACEG^RtACFH(.HL).

：.CG=CH,ZECG=ZFCH,

又?：NECH+/FCH=90°,

：.ZHCG=ZECH+ZECG=90°,

:.NDCG=NDCH=45°.

在△OCG和△OCH中，CG=CH,ZDCG=ZDCH,DC=DC,

:.△DCG"ADCH(SAS),

：.DG=DH=DF-HF=DF-EG=6.

9.【解答】解：⑴??,等腰三角形APQ,ZAQP=UO°,

ZAPQ=ZQPA=30°,

VAABC是等邊三角形，

：.ZBAC=60°,AB=AC,

：.ZDAC=30°,

：.AD平分NA4C,

：.AD±BC,

1

：.BD=^BC=3f

：.AD=WBD=3?

(2),：ZBAC=60°,NB4Q=30°,

1

/.ZBAP+ZCAD=30a=-ZBAC.

(3)①如圖，當(dāng)尸。=P。時.

VZAPQ=ZQR\=30°,

.?.NPQD=NAPQ+/QB4=60°,

...△P。。為等邊三角形，

/.ZADP=60°,

：.ZDPA=90°,

：.PD=|AD=竽.

②如圖1,ZPQD^60°,

故當(dāng)△P￡＞。有任意兩邊相等時，

^PDQ為等邊三角形，

?.ZPDQ=60°,

則NPDQ與/AC8重合.

如圖2所示：

1Q

貝UPD=^BC=|.

綜上所述，P〃=孚或右

（4）①如圖，當(dāng)此時AB=3B尸時，過P作PM_LAD

：.AP=4,

1

：.PM=^AP=2,

：.AM=V3PM=2V3,

：.MD=AD-AM=V3,

：.PD=7PM2+MD?=V7.

②如圖，當(dāng)此時時,

把△A8P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACN,連ND、NC,

過N作NM_L5C,交延長線于

:?CN=PB=2,ZACN=ZB=60°,NCAN=NBAP.

VZW=30o,

：.ZBAP+ZDAC=30°,

：.ZCAN+ZDAC=30°,

：.ZDAN=ZPAD=30°.

在△B4O和△W4O中，

PA=PN.

'乙DAN=乙PAD，

AD=AD

：./\PAD^/\NAD(SAS),

：.DP=DN.

VZNCM=180°-ZACB-ZACN=60°,

：.ZCNM=30°,

1

：.CM="N=l,

：.NM=WCM=V3.

?；BP=2,

.?.PC=4,

:?PN=PC+CN=5,

：.DN=PN-PD=5-x,

9：DN1+MN1=DM1,

(5-x)2+3=/,

綜上所述，PD=V7或g.

10.【解答】證明：（1）延長即至M使。M=Z）E,連接AM,

：￡＞為AB中點，

：.AD=BD,

在△BDE與△AOM■中，

（AD=BD

\AADM=乙BDE,

VDM=DE

.'.△BDE^AADM（SAS）,

：.AM=BE,NDAM=NB,

J.AM//BC,

：.ZAMF=180°-/C=90°,

連接MR

\'FD±ME,DE=DM,

：.MF=FE,

.?.在RtAJWAF中，

AA/2+AF2=MF2,

即：AF2+BE1=EF2；

解：（2）設(shè)AF=x,

VAC=7,BC=5,CE=\,

貝ijCF=AC-AF=1-x,

BE=BC-CE=4,

VZC=90°,

/.CF2+CE1=EF2,

即：￡產(chǎn)=（7-無）2+1,

由（1）知：MF=EF,ZBAF^9Qa,AM=BE,

；故盧=（7-x）2+l,AM=4,

VZBAF=90°,

：.AF2+AM2^MF2,

即：/+4?=(7-x)2+1,

解得：x=玲

17

即：AF=y~.

11.【解答】(1)證明：VZABD=ZADB,ZABC=ZADC=90°,

：.AB=ADfZABC-ZABD=ZADC-/ADB,

???A在5。的垂直平分上，NCBD=NCDB,

:?CB=CD,

???C在50的垂直平分上，

???AC垂直平分8。；

(2)①證明：設(shè)N_F=a,

'：AB=AF,

XABF—NF=a,

???NBAC是△ABb的外角，

???ZBAC=ZF+ZAFB=2a,

由(1)AC±BD,CB=CD,

；?NBCE=NDCE,

?：BF〃CD,

：.ZF=ZDCE,

:?/F=/BCE=CL,

VZABC=90°,

：.ZBCE+ZBAC=90°,即a+2a=90°,

則a=30°,

AZDCB=2ZBCE=60°,

,:BC=CD,

**?叢BCD是等邊三角形；

②G"+AH為最小值時，GH與CH的數(shù)量關(guān)系是CH=2GH,

理由:

延長至,使=AD

u：CDLAD,

???A與A'關(guān)于CD成軸對稱，過A'作A'G_LAC于G交。。于H,連接AH,

：.AH=A'H,

：.AH+GH=A'H+GH=A'G,此時GH+A”為最小，

由①知：Z￡)CE=30°,即NGCH=30°,

?「A'G_LAC即GH_LCG,

???在RtZXGCH中，ZGCH=30°,

:?CH=2GH,

???GH+AH為最小值時，GH與CH的數(shù)量關(guān)系是CH=2GH.

12.【解答】(1)證明：:四邊形ABC。是正方形，

；?NADE=NCDE=45°,

'：DA=DC,DE=DE,

：.AADE^ACDE(SAS),

：.AE=CE.

(2)解：?:EA=EF,

：.ZEAF=ZEFA.

設(shè)NDCE=NOAE=x,則NQEC=NZ)EA=135°-x,ZEAF=ZEFA=90°-x,

AZAEF=180°-2ZEAF=2x,

：.ZFEC=360°-2ZDEC-ZAEF=90°.

"：EF=EC,

90°

ZECF==45°?

(3)解：GE2=BG2+EZ)2,證明如下，

將ABCG繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△OCG,連接EG,

VZECF=45°,

NECG=ZDCG'+ZECD=ZBCG+Z￡0)=45°=NECG,

■:GC=GC,EC=EC,

.,.△GCE^AG'CE(SAS),

：.EG=EG.

VZEDG=ZEDC+ZG'DC=450+45°=90°,

：.ED2+G'D-=G'E2,

即GEr^B^+ED1.

13.【解答】(1)證明：：/BAC=90°,AB^AC,

180。-90。

???ZABD=ZACE=%=45。，

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

Z-ABD=Z-ACEJ

BD=CE

：.AABD^AACE(SAS)

：.ZBAD=ZCAE,

又???NBAC=90°,￡H_LA。于H交AB于K,

???NAKE=900-ABAD,ZKAE=90°-ACAE,

：.NAKE=NKAE,

：.AE=EK；

(2)證明：如圖，過點。作CHLAC,交比的延長線于點尸,

：.ZPCA=90°,AB=AC,

Q

???AABC是等腰直角三角形，

ZACB=ZABC=45°,

?；BD=CE,

：.AABD^AACE,

：.AD=AE,AB=PC=ACf

：.AD+EF=PE+EF=PF,

過G作QGLGC,使GC=GQ,

：.AGCQ是等腰直角三角形，

：.CQ=?CG,

連接/Q，CQ,

?/GF±AG,GF=AG,

AAGF是等腰直角三角形，

:.叢GACm叢GFQ,

：.AC^FQ,ZGAC^ZGFQ=45°,

AZAFQ=ZAFG^-ZGFQ=90°,

：.ZQFC=ZPCF=90°,

：.PC//FQ,

'：AC=PC=FQ.

???四邊形FPCQ是平行四邊形，

：.PF=CQ,

?；PF=AD+EF,

：.AD+EF=V2CG；

(3)解：如圖，過點A作AGLBC于G,過點M作M尸，3C延長線于尸，連接MC,

連接GN交AM于過點N作N/〃AM交A3于R

'：AE=ME,ZAEM=90°,

：.ZGAE+ZGEA=ZPEM+ZGEA=90°,

；?NGAE=NPEM,

在AGAE和△尸EM中，

/.GAE=乙PEM

L.AGE=乙EPM,

AE=EM

:.AGAE%APEM(AAS),

：.AG=EP,GE=PM,

又?.,AG=GC,

GC=EP,

：.GC-EC=EP-EC,

:.GE=CP,

；?PM=CP,

：.ZMCP=45°

???G為5C中點，N為BM中點、,

：.GN//CM,

：.ZNGC=45°,

:N為B/0中點，F(xiàn)N〃AM,

：.FN是△比!〃的中位線，

尸是AB的中點，F(xiàn)N=%M,

在△AGN和ACGN中，

AG=CG

乙AGN=ACGN,

GN=GN

....△GNA妾MGN(SAS),

:.AN=CN,

：.AN+^AM=CN+NF,

如圖，當(dāng)C、N、P三點共線時，CN+NF的值最?。▋牲c之間，線段最短）,

VZMCP=ZABC^45°,

C.MCI//AF,

y.'：NF//AM,

...四邊形AFCM是平行四邊形,

1

：.MC=FA=^AB=2f

CM

：.MP=EG=7T=V2,AG=BG=CG=卻也

:.BD=CE=2?C￡>=2夜+2或=3企,

11

**?S^ACD=2*CD9AG=2—X3A/2X2A/2=6.

14.【解答】解：(1)9：AB=AC,ZABC=30°,

/.ZABC=ZACB=30°,

ZBAC=180°-2ZABC=120°,

由折疊可得：ZBAE=2ZBAD=2X15°=30°,AE^AB,

：.ZCAE=ZBAC-ZBAE=90°,

???AACE是等腰直角三角形，

CE=V2AC=5V2；

(2)由折疊可得：ZBAE=2ZBAD=2a,AE=ABf

VAB=AC,

：.AE=AC,

180°-^CAE

???ZAEC=ZACE=

2

由（1）知：ZBAC=120°，

：.ZCAE=ZBAC-ZBAE=120°-2a,

???/AECJ8。。-（管。-2幻=30。+%

故答案為：30°+a；

（3）若aACE是等邊三角形，

：.ZCAE=ZAEC=60°,AC=CE=AE,

由（1）知：NA4c=120°,

：.ZBAE=ZBAC-ZCAE=60°,

：.ZBAE=ZCAE,

*：AB=AC,

???AE_L8C且過。點，

即COLAE,

'：AC=CEf

：.OE^OA=^AE,

:.CE=2OE,

在RtZXCOE中，

由勾股定理可得：C0=yJCE2-OE2=V3O￡,

:點。為BC的中點，

：.CB=2OE=2^T3OE,

.CE20EV3

"BC-2V3OE—3；

15.【解答】（1）證明：如圖1,連接AC,

是O。的直徑，弦

.?.弧弧AC,

：.AD=AC,

：.ZADC^ZACD,

:點A、D、C、G在。。上，

NFGC=ZADC,

,/ZAGD=ZACD,

：.ZFGC=ZAGD；

(2)解：TAB是OO的直徑，C0_LA5于E點,

：.DE=0.5CD=0.5X8=4,

ZADB=90°,

VCZ)±AB,

AZADB=ZBED=ZAED=90°,

ZABD+ZBAD=90°,

ZBAD+ZADE=90°,

ZADE=ZABD,

ARtAADE^RtADBE,

.DEAE

??—，

BEDE

：.DE1=AE*BE,

?；BE=2,

：.AE=AB-BE=AB-2,

A16=(AB-2)X2,

解得：AB=10,

：.OB=0.5AB=5,

???OO的半徑為：5；

(3)解：如圖，過點G作GH，。產(chǎn)于點H,

VZDAG+ZZ)CG=180°,

ZDCG+ZFCG=180°,

：.ZDAG=ZFCG,

???弧AG=MGC,

：.AG=CG,

,/NAGD=/FGC,

：.ADAGESAFCG(ASA),

：.CF=AD=3fDG=FG,

GHLDF,

:.DH=FH,

VAB±CZ）,

：.DE=EC=2,

尸=2+2+3=7,

:.DH=HF=35,

：.AE=y/AE2-DE2=V32-22=V5,

：.AF2=AE1+EF2

：.FA=V30,

'：GH//AEf

.GFFH

??—,

AFEF

.FG3.5

‘局二

7

16.【解答】解：（1）連接8月，

：BE垂直平分AR

：.BA=BF,

：.ZBOF=90°,ZABO=ZOBF,

作BQLCF于。，

：.ZBQF^90°

又YAB=BC,

：.BF=BC,

；.NCBQ=NFBQ,

,：ZCBQ+ZFBQ+ZABO+ZOBF^ZABC=90°,

：.ZFBQ+ZOBF=45°即NO30=