2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷（帶答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷帶答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一'選擇題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(2,4)在拋物線丫=a/上，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)

B,點(diǎn)C、D在線段ZB上，分別過(guò)點(diǎn)C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點(diǎn).當(dāng)四邊形CDFE為正方形

時(shí)，線段CD的長(zhǎng)為()

A.2B.V3-1C.2V3-2D.2遙-2

二'填空題

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(2,4)在拋物線y=a(x-4)2±,過(guò)點(diǎn)/作x軸的平行線，交拋物線

于另一點(diǎn)B,點(diǎn)C、。線段ZB上，分別過(guò)點(diǎn)C、。作x軸的垂線交拋物線于F、E兩點(diǎn).當(dāng)四邊形CDEF為正方

3.4,4020y=/Bi，B2020y=K2

如圖，已知點(diǎn)A2,在函數(shù)位于第二象限的圖象上，點(diǎn)B2,在函數(shù)

位于第一象限的圖象上，點(diǎn)C1，C2,C2020在y軸的正半軸上，若四邊形。&QB1、c1A2c2B2,

。202遇2022c2022B2022都是正方形，則正方形。202遇2022c2022B2022的對(duì)角線長(zhǎng)為.

三'解答題

4.如圖，拋物線TH：y=-久2+bx+c(b,c為常數(shù))，其頂點(diǎn)E在正方形力BCD內(nèi)或邊上，已知點(diǎn)力(1,2),

C(2,l).

(2)設(shè)m與無(wú)軸交于點(diǎn)M,N,當(dāng)m的頂點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求線段MN的值；當(dāng)頂點(diǎn)E在正方形ZBCD內(nèi)

或邊上時(shí)，直接寫(xiě)出線段MN的取值范圍；

(3)若m經(jīng)過(guò)正方形ZBCO的兩個(gè)頂點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有符合條件的c的值.

5.如圖，拋物線y=ax2+bx(a豐0)過(guò)點(diǎn)4(4,0),點(diǎn)B是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作矩形BCDE,使邊CD

在x軸上(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè))，點(diǎn)E在拋物線上，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是加，當(dāng)加=4時(shí)，BC=1.

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形BCDE是正方形？

(3)保持1時(shí)的矩形BCDE不動(dòng)，將拋物線向右平移，平移后的拋物線與矩形邊BE、CD的交點(diǎn)分

別是G、H,直線GH平分矩形BCDE的面積，請(qǐng)直接寫(xiě)出平移后的拋物線解析式.

6.如圖，拋物線y=a/+b久+c(bH0)的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)A作線段ZB垂直y軸交于

點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作線段CD垂直拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D,我們稱(chēng)矩形4BCD為拋物線y=ax2+bx+c(b豐0)

(2)已知拋物線y=-——3x+2的“伴隨矩形”為矩形力BCD,若矩形ABC。的四邊與直線y=mx-

m+1共有兩個(gè)交點(diǎn)，且與雙曲線y=￥無(wú)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出機(jī)的取值范圍；

(3)若對(duì)于開(kāi)口向上的拋物線y=aK2+6工+慨(bH0),當(dāng)y=0時(shí)，方程a/+^久+怖=0的兩個(gè)根

為X〉久2,且滿足下列條件：①該拋物線的“伴隨矩形"2BCD為正方形；@1<SABCD<9(其中S.CD表

示矩形力BCD的面積)；③就+虐+(2-竽皿久2的最小值為-2。a請(qǐng)求出滿足條件的/值.

7.如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)

為D,對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)P在直線BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，作PF，x軸于F,點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線

上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F,N,G,M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

8.如圖，二次函數(shù)y=/+"+(：的圖象與x軸交于4(3,0),B(—1,0)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)P為拋物線AC段一動(dòng)點(diǎn)，「(？14?于點(diǎn)。，PGlx軸交47于點(diǎn)G,當(dāng)PQ的長(zhǎng)度最大時(shí),

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)M作MN〃久軸交直線AC于點(diǎn)N,點(diǎn)E為久軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),

當(dāng)以點(diǎn)M,N,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)”的坐標(biāo).

圖1備用圖

9.如圖，拋物線y=-x?+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是拋物線

的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E,連接DB.

(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.

①當(dāng)/MBA=/BDE時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②過(guò)點(diǎn)M作MN〃x軸，與拋物線交于點(diǎn)N,P為x軸上一點(diǎn)，連接PM,PN,將△PMN沿著MN翻

折，得AQMN,若四邊形MPNQ恰好為正方形，直接寫(xiě)出m的值.

10.如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的

頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.

(1)求經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)若P為BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PFLx軸于點(diǎn)F,G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為

直線PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

11.如圖，矩形。ABC的邊04OC在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，且在直線y=上，。4=8,點(diǎn)D

從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA邊向點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始沿OA邊向點(diǎn)O以每

秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)，DF1久軸，交OB于點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)

(2)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，若△DEF的面積等于2,求t的值.

(3)在整個(gè)過(guò)程中，

①若在矩形。ABC的邊上能找到點(diǎn)P,Q,使得以E,F,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求出所有滿

足條件的t的值.

②以DA,DF為鄰邊作矩形ZMGF,連接EG,取線段EG的中點(diǎn)Q,連接FQ,求FQ的最小值(直接寫(xiě)出

答案).

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與直線AB交于A、B兩點(diǎn)，A(l,-|

(2)如圖1,點(diǎn)P是第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若NPBA=NBAD,拋物線交x軸于點(diǎn)C.求△BPC

的面積；

(3)如圖2,點(diǎn)Q是第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、D重合)，連接BQ,以BQ為邊作正方形

BEFQ,當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo).

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與直線AB交于A、B兩點(diǎn)，A(L-|),

圖1圖2

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，且滿足BP//AD,拋物線交x軸于點(diǎn)C,M為直線AB下

方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PC平行線交BP于點(diǎn)N,求MN最大值；

(3)如圖2,點(diǎn)Q是拋物線第三象限上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、D重合)，連接BQ,以BQ為邊作正方形BEFQ,

當(dāng)頂點(diǎn)E或F恰好落在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo).

四'實(shí)踐探究題

14.【概念感知】

如圖1,我們把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1,對(duì)稱(chēng)軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)稱(chēng)為“友好

對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)例如：y=3/+6久一3的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)"為y=-2/一軌一3.

【特例求解】

(1)y=，/的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為;

y=-%2+2%-5的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”，為；

【性質(zhì)探究】

(2)關(guān)于“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是；(填序號(hào))

①二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒(méi)有“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”；

②二次項(xiàng)系數(shù)為4的二次函數(shù)的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”是它本身；

③y=ax2—2ax+3的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為y=(1-a)x2—2(1-a)x+3；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖2,二次函數(shù)如:)/=ax2-4ax+l(aH1)與其“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”2都與V軸交于點(diǎn)4點(diǎn)B、

C分別在加、心2上，點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)均為m(0<2),它們關(guān)于Li的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)爐、C，

連接BB‘、B,C'、C'C、CB.當(dāng)a=2,且四邊形BB'C'C是正方形時(shí)，

①請(qǐng)寫(xiě)出七的函數(shù)解析式；

②請(qǐng)求出ni的值.

圖z

參考答案

1.【答案】D

2.【答案】2V5-2

3.【答案】4044

4.【答案】(1)y=—x2+3x—1

(2)2V2,2<MN<2V2

(3)一1或1或一2

5.【答案】(1)拋物線的解析式為y=——+4x；

(2)m的值為3-遙；

(3)平移后的拋物線解析式y(tǒng)=-%2+7%-苧.

6.【答案】(1)解：Vy=2%2+4%-2=2(x+I)2-4,

—1,—4),

當(dāng)％=0時(shí)，y--2,

???C(0,-2),

???伴隨矩形ZBCD的面積=2x1=2；

(2)Ty=———3%+2=一(%+|)2+爭(zhēng)

「伴隨矩形"為矩形/BCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-1,學(xué))，3(04)，。(0,2),。(-1,2),直線經(jīng)過(guò)B

點(diǎn)時(shí)，—m+1=孕，解得7n=—學(xué)，

直線經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，——m+l=2,解得？7i=一,，

一號(hào)<血<—|時(shí)，矩形ABCD的四邊與直線y=mx-m+1共有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)雙曲線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，m=-/

二小〈一呆時(shí)，矩形ZBCD的四邊與雙曲線丫=誓無(wú)交點(diǎn)，

；?—學(xué)<m<一今時(shí)，滿足題意；

4o

22

(3)

%=收+"+|=式%+給+1-^

_上3_"),

做2a'24aJ

.?.拋物線的“伴隨矩形"ZBCD的頂點(diǎn)分別是應(yīng)一名4_哈，B(0,|—卷)c(0,|),0(—焉|)，

?.?“伴隨矩形"ABC。為正方形，

?,b_.b2.

罰=1一而卜

：.b=±2,

?14SABCD-9,

?.?拋物線開(kāi)口向上，

??CL>0,

**-1>a>

?.?方程Q%2+ft%+|=0的兩個(gè)根為xi,X2,

.*.△=4—6a>0,

.’2

?.a巧

?12

,-3-a-3J

2-<-a<-3

?,b3

??XI+%2=—萬(wàn)，刈,久2=茄，

???X彳+虐+(2_竽。％1久2=,—2?言+(2_竽0言=4。_。_4產(chǎn)，

'-"xj+%2+(2—竽t)為i%2的最小值為—203

當(dāng)￡>3時(shí)，4(3—t)2—4/=-203

解得"9；

當(dāng)”|時(shí),4(|-t)2-4t2=-20t,

解得t=—1；

O

當(dāng)［<t<3時(shí)，—20t—4^2,

解得t=0(舍)或t=5(舍)；

綜上所述：t的值為9或

O

7.【答案】(l)y=x2+2x-3；(2)(-2,-2)；(3)(十旦0),(zk_^l,0),,o),

0).

8.【答案】⑴y=x2-2x-3,C(0,—3)；(2)P(|,—竽)；(3)(一|,一尋),(-2,5)

9.【答案】⑴(1,4)；(2)①點(diǎn)M坐標(biāo)(-；,：)或(/-)；②m的值為3土嚴(yán)或縣尹

10.【答案】(1)y=-X2+2X+3；(2)Q(l,4)或Q(L—2)；(3)”(3+尸0),

(中M

11.【答案】(1)4,t

(2)解：'：DF=t,DE=8-2t-t=8-33

1

**2,(8-3t),t=2,

(3)解：①如圖，當(dāng)t=2時(shí)，DE=AE=2,

取力B的中點(diǎn)Q,以EF,EQ為鄰邊作正方形EFPQ,此時(shí)點(diǎn)P在BC邊上，且EF=EQ,符合題意;

如圖，當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，作正方形EQB4滿足條件;

888

當(dāng)

時(shí)

t力E

=-寸=-

3點(diǎn)D、E重合，此時(shí)EF=3作正方形EFPQ,滿足條件;

8

-

綜上所述：t=2或1=4或t3滿足條件;

12.【答案】(1)解：設(shè)拋物線解析式為：y=aQ—l)2—￡,且過(guò)點(diǎn)B(-2,0),

9

??0=9a—2,

,1

??。=2'

?■?拋物線解析式為：y=3(%—1尸—2—%—4；

(2)Vy=1%2-%-4與%軸交于B,C,交y軸與點(diǎn)D,

「?當(dāng)％=0,y=—49即點(diǎn)D(0,-4),

當(dāng)y=0時(shí)，0=3%2—%-4,

=—2,%2=4，

?,?點(diǎn)C(4,0),

?.?點(diǎn)A(1,—￡)，點(diǎn)D(0,-4)

設(shè)直線AD解析式為：y=kx—4,

把點(diǎn)A(1,-|)代入y=kx-4,得:一2=九一4,

解得：k=—*,

二直線AD解析式為：y=—4，

?.?NPBA=NBAD,

???BP〃AD,

???設(shè)直線BP解析式為：丫=一；％+血,且過(guò)點(diǎn)B(-2,0),

i

??0——1X(—2)+TTl，

.\m=—1,

.?.直線BP解析式為：y=—,

(y--1

聯(lián)立方程組可得：[12,

(y=2/-％-4

(--21%=3

：.]xX「，5,

I7=0(y=-2

.?.點(diǎn)P(3,-|),

iSIS

SABPC=]X(2+4)x|一引=-^-;

(3)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1一百，-3)或(2-同，1-V10)

9

y=a2

13.【答案】（1）解：設(shè)拋物線解析式為:-2且過(guò)點(diǎn)B(-2,0),

9

??0—9a—2，

,1

??CL=2，

二?拋物線解析式為：y=,（%—I）2—=2%2—%-4;

（2）解：由題意可得，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-4）

設(shè)函數(shù)AD的解析式為y=kx-4

9

--

2

，直線AD的解析式為y