2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《分式與二次根式》專項測試卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《分式與二次根式》專項測試卷（附答

案）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.7^12B.73c.布D.J冗-4

2.計算（工］的結(jié)果是（）

\a—b)

6a2B.畀6a29a2

A.———-C("4D?(j)2

a-ba-b

Q方門申加7孫

3.夕口>TvyjJAJCC?中的X、y都擴(kuò)大3倍,那么分式的值（）

2x-3y

C.縮小g

A.擴(kuò)大3倍B.擴(kuò)大9倍D.不變

11

分式(x+5)(5—x)2和（5+x）2（x.5）的取"年公分母是（）

A.(j;+5)3(5—x)3B.(X+5)2(X-5)2C.(X+5)3(%-5)2D.(%+5)2(x-5)3

5.下列方程中，有實數(shù)根的是（）

A.

-L-l=iB.y/x-5+Jx+l=0

x+1X

C.J2%—5=Jx+：3+<2-xD.y/x+2=-x

6.下列運(yùn)算正確的是()

A.V2+A/3=75B.3A/3-A/3=3

C.V3x>/5=V15D.后+而=4

1211

7.已知A=1—下列判斷：①計算結(jié)果A=-彳加+彳；②A隨機(jī)的增大而增

ni-lm-122

大；③當(dāng)機(jī)=2時，A=.其中正確的是（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

8.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式,

也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積為

S=ga62_]/+；c]|現(xiàn)已知VABC的三邊長分別為〃=省,6=2,o=如，則

VA3C面積為（）

A.；布B.|vnC.VnD.1V15

二、填空題

9.已知（a-2）0=1,那么。應(yīng)滿足的條件是.

io.觀察下列各式：/式=1一上，…請寫出你歸納的一般結(jié)論：—

1x222x3233x434

（用含"的代數(shù)式表示）.

-,11u加2〃+3ab-2b,,/土日

11.已知一一-=5,則--——1的值是_____

aba-2ab-b

12.已知庖-應(yīng)=a應(yīng)-應(yīng)=b近,貝!|a+%的值是.

13.如圖，一只螞蟻從長、寬都是3,高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到8點，那么它

所行的最短路線的長是.

B

//

/k——

2

14.已知一個分式幺（。為正整數(shù)），對該分式的分母與分子分別減1,成為一次操作，以

a

此類推，若干次操作后可以得到一個數(shù)串"，上^,通過實際操作，某

〃一1〃一2〃—3

同學(xué)得到了以下四個結(jié)論：

①第3次操作后得到的分式可化為近二2辿=止2+￡=。+3+±.

〃一3〃一3〃—3〃—3

12

②第4次操作后的分式可化為。+4+」—.

〃一4

③若第5次操作后得到的分式可以化為整數(shù)，則a的正整數(shù)值共有7個.

④若經(jīng)過〃次操作后得到的分式值為10,則滿足這個條件的。的值有1個，且“+〃=10.

以上四個結(jié)論中正確的有.（只填寫序號）

15.已知：如圖，在正方形438外取一點E,連接AE,BE,DE.過點A作AE的垂線

交DE于點尸，連接BP.若AE=AP=1,PB=>/5.下列四個結(jié)論中，正確的結(jié)論有個.

①△APD^AAEB；②EB_LED；③點8到直線AE的距離為及；④S正方形=4+布.

三、解答題

16.計算：2025。義卜5|+囪一[(]+V2cos45°.

17.計算:

⑴炳+版-巫；

⑵(01-1)++醫(yī)-

18.先化..*間*'再求值..：(力a一1卜?成丁+2a丁+1‘其中."=一十1

19,已知7=3-("+以"叫

bb

⑴化簡T;

(2)若在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點P("I)為反比例函數(shù)y==上一點，且0尸=5,求T的值.

20.觀察以下等式.

第1個等式：=

第2個等式：民=46.

第3個等式：n=5^??…

請根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題.

⑴直接寫出第4個等式：.

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含，的等式表示，〃為正整數(shù))，并證明該等式成立.

21.我們在學(xué)習(xí)二次根式的時候會發(fā)現(xiàn)：有時候兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有

22

二次根式，如&-8=a,(V5+V2)(A/5-^]=(A/5)-(V2)=3.課本中閱讀材料告訴我

們，兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不是二次根式，那么這兩個代數(shù)式

互為有理化因式.

請運(yùn)用有理化因式的知識，解決下列問題：

[

⑴化簡：產(chǎn)可

⑵比較大?。?^^礪-而丞)(用“>"、"=”或“<”填空)

向fpfcj*63+4,則出麻

(3)設(shè)有理數(shù)小人滿足:

(4)已知J12-x-j6-x=2,求J12-尤+J6-尤的值.

22.閱讀下面內(nèi)容：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn):

當(dāng)。>0,匕>0時，歷=。-2而+620

：.a+b>2y[^b,當(dāng)且僅當(dāng)a時取等號.

請利用上述結(jié)論解決以下問題:

(1)當(dāng)尤>0時，兀+，的最小值為二

x

⑵當(dāng)%>0時，求當(dāng)工取何值，>=立更有最小值，最小值是多少？

x

⑶當(dāng)x>3時，求當(dāng)無取何值，『-6工+眨有最小值,最小值是多少？

%-3

(4汝口圖，四邊形ABCD的對角線AC,BO相交于點O,AAC?、ACOD的面積分別為4和9,

求四邊形A3C。的面積的最小值.

參考答案

題號12345678

答案BDABDCDB

1.B

【分析】本題考查了二次根式的定義，一般形如彼(。上0)的形式叫做二次根式，掌握二次

根式的定義是解題的鍵.據(jù)此逐項判斷即可.

【詳解】解：A、Qi中-12<0,不是二次根式，不符合題意；

B、百是二次根式，符合題意；

C、狗不是二次根式，不符合題意；

D、1兀一4中.一4<0,不是二次根式，不符合題意；

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了分式的乘方運(yùn)算，根據(jù)分式的乘方運(yùn)算法則計算即可求解，掌握分式的

乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

_9/

【詳解】解：

\a-b)

故選：D.

3.A

【分析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，掌握分式的性質(zhì)和約分，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】解：???把分式產(chǎn)?中的x和,都擴(kuò)大3倍后，

2x-3y

加7-3x-3y_l-3x-3y_(Jxy)

yvf?2-3x-3-3y_3(2x-3y)—31(2x-3yJI，

二分式的值擴(kuò)大了3倍.

故選：A.

4.B

【分析】本題考查了最簡公分母“確定最簡公分母的一般方法：1、如果各分母都是單項式,

那么最簡公分母就是各項系數(shù)的最小公倍數(shù)和所有字母的最高次幕的積；2、如果各分母都

是多項式，先把它們分解因式，然后把每個因式當(dāng)做一個字母，再從系數(shù)、相同字母求最簡

公分母”，熟練掌握確定最簡公分母的方法是解題關(guān)鍵.根據(jù)確定最簡公分母的一般方法即

可得.

【詳解】解：；(％+5)(5-A：)?=(X+5)(X-5)2,(5+%)2(X-5)=(X+5)2(X-5),

1122

二分式25)(5-句和(5+X『(A5)的最簡公分母是(Ed；

故選：B.

5.D

【分析】本題考查解無理方程，分式方程.分別解無理方程，分式方程及二次根式的意義逐

一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A,=

x+1X

去分母整理得/+彳+1=0,

VA=Z?2-46ZC=l2-4xlxl=-3<0,

，方程無2+x+l=0無實數(shù)解；

即一1-工=1無解，該選項不符合題意；

X+1X

B、*.*-Jx-5+Jx+1=0,

J:-5>0,x+l>0,

.**x=5且％=—1,

，Jx—5+Jx+1=0無解,該選項不符合題意;

C、?[Zx—5—Jx+3+5/2—x，

2x-5>0

?'.<%+320f

2-x>0

解得該不等式組無解，

：.j2x-5=K石+7^1無實數(shù)解;原方程不符合題意；

D、*.*Jx+2=-x，

,?x+2=x2,，

解得：巧=-Lx2=2,

?Jx+2=—xN0f

x<0,

x=-l,

故方程&二=T有實數(shù)根，符合題意；

故選：D.

6.C

【分析】本題考查了二次根式的四則運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的

加、減、乘、除運(yùn)算法則逐項計算即可.

【詳解】解：A、忘和心不是同類二次根式，原計算錯誤，不符合題意；

B、373-73=273,原計算錯誤，不符合題意；

C、石x石=JF,原計算正確，符合題意；

D、724-76=74=2,原計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

7.D

【分析】本題考查了分式的混合計算和一次函數(shù)的性質(zhì).

先根據(jù)分式的計算法則化簡即可得4=+進(jìn)而判斷①計算正確，由一次函數(shù)的增減

性判斷錯誤，把相=2代入計算可得4=-；，即可判斷③.

12

【詳解】解：A=1--

m-1m-1

1(m-l)(m+l)

m—12

m+1

2

22

即：A=-^-m+}-,故①計算結(jié)果正確；

22

V--<0,

2

???A隨x增大而減小，故②結(jié)論錯誤；

當(dāng)〃z=2時，A=-—?/+—=--,故正確；

222

綜上所述：正確結(jié)論有①③.

故選D.

8.B

【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.把

a=^3,b=2,c=弋入計算即可.

【詳解】解：。=A/3,b=2,c=yfs，

12

〃=3,b=4fc=5f

故選：B.

9.aw2

【分析】本題主要考查零指數(shù)塞底數(shù)的條件，熟練掌握零指數(shù)塞的底數(shù)不為。是解題的關(guān)

鍵.由題意得到?！?w0,即可得到答案.

【詳解】解：由題意得到〃—2w0,

aw2.

故答案為：aw2.

1_1__1_

10.（九為正整數(shù)）

n(n+1)nn+\

【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化的規(guī)律，根據(jù)已知式子找出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

由已知等式可以猜想出結(jié)論;

1]___1_

【詳解】解：由已知等式可猜想一般結(jié)論:（九為正整數(shù)）,

n〃+1

11〃+1?_1

證明:

n〃+1n(n+1)n(n+1)n(n+1)

14-三（〃為正整數(shù)）.

故答案為:

-74

【分析】本題主要考查分式的化簡求值，將=5變最后整體代入計算即可形為

ab

再把”變形為t年

a-b=-5ab,最后整體代入計算即可.

【詳解】解：V--i=5,

ab

:J-a5

ab'

a-b=-5ab,

.2a+3ab-2b

a—lab-b

2(a—Z?)—3QZ?

^a-b)-2ab

2x(-5〃/?)一3〃/?

-Sab-2ab

_-13ab

-lab

13

-7.

13

故答案為：—

12.7

【分析】本題考查了根式的加減運(yùn)算，根據(jù)根式加減運(yùn)算法則直接求解即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，

5/32-^=4A/2-A/2=372，

,:叵-近=a正-叵=b亞,

a—l=b=39

b=3,。=4,

。+人=4+3=7,

故答案為：7.

13.10

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、幾何體的平面展開圖，分兩種情況展開，再結(jié)合勾股

定理計算即可得解.

【詳解】解：將長方體展開如圖（1）所示：此時=M+（8+3）2=限，

（1）

將長方體展開如圖（2）所示：此時=Jg+（3+3）2=10,

V10<A/130,

它所行的最短路線的長是10,

故答案為：10.

14.①②④

【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)新定義得到第3

次操作后得到的分式為L,可判斷①;根據(jù)新定義得到第4次操作后得到的分式為

CL—3ci—4

可判斷②；根據(jù)新定義得到第5次操作后得到的分式為土^,再變形為。+5+々，由分

a-5a-5

式可以化為整數(shù)得出（a-5）是20的因數(shù)，再結(jié)合。為正整數(shù)求出。的值，可判斷③；經(jīng)過〃

次操作后得到的分式為《二由題意得〃="。0一"）,結(jié)合。和〃都是正整數(shù)，求出符合

a-n9

題意的〃的值，可判斷④，即可得出結(jié)論.

a2-3

【詳解】解：第3次操作后得到的分式為

ci—3

Cl—39+6Cl_96c6Ir-r--rZz.

-------=-------------=--------+=a+3+，故①正確；

a—3ci—3a—3ci—3。一3

第4次操作后得到的分式為±1,

〃一4

"—4a2—16+12a2—161212土斤向工施

。一4a-4a-4a-4a-4

2

第5次操作后得到的分式為一a-5，

CL-J

a2-5a2-25+20=20

..—=Q+5H9

Q—5a—5a—5

又???第5次操作后得到的分式可以化為整數(shù),

二（。-5）是20的因數(shù)，

/.a—5=±1,+2,±4,±5,±10,+20,

/.a=-15,-5,0,1,3,4,6,7,9,10,15,25,

又?.?〃為正整數(shù)，

.?.々=1,3,4,6,7,9,10,15,25,

二。的正整數(shù)值共有9個，故③不正確;

經(jīng)過〃次操作后得到的分式為，

a-n

由題意得，上^=10,

a-n

整理得：且.」小

9

?/n>0,a>0,

/.0<<7<10,

又為正整數(shù)，

6Z=1,2,3,4,5,6,7,8,9,

Q”為正整數(shù)，

a）是9的倍數(shù)，

;.。=1或a=9,

1x9

當(dāng)a=l時，n=-^―=1,此時。=力=1,舍去；

9x1

當(dāng)a=9時，n=-^―=1,止匕時a+"=10；

滿足這個條件的a的值有1個，且a+〃=10,故④正確；

二綜上所述，正確的有①②④.

故答案為：①②④.

15.①②④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得=4。，再根據(jù)同角的余角相等求出的E=NZMP,然

后利用“邊角邊"證明四AA￡B,從而判斷①正確，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

ZAEB=ZAPD=135。，可證￡B_L￡D,從而判斷②正確，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PE,

再利用勾股定理列式求出班的長，過點8作MLAE,交AE的延長線于點尸，先求出

NBEF=NEBF=45°,由等腰三角形的性質(zhì)可求跖=3尸=交前=如，即可判斷出③錯誤；

22

由勾股定理可求得AB?,即可求正方形ABC。的面積，從而判斷④正確.

【詳解】解：??,四邊形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°,

,：APLAE,

AZBAE+ZBAP=90°,

XVZDAP-^ZBAP=ZBAD=9Q°f

：.ZBAE=ZDAP,

在△”￡＞和△AEB中，

VAB=AD,ZBAE=ZDAP,AE=APf

：.AAPD^^AEB,故①正確；

VAE=AP,AP±AE,

???△AEP是等腰直角三角形，

ZAEP=ZAPE=45°,

：.ZAPD=180°-45°=135°,

?：AAPD'AEB,

：.ZAEB=ZAPD=135°,

AZB￡P(guān)=135o-45°=90°,

AEBLED,故②正確；

,:AE=AP=lf

PE=O,

???BE=」BP2-PE2=3=不，

如圖，過點3作區(qū)尸_LAE,交AE的延長線于點R

AZBEF=45°,

VBF±AE,

:.ZBEF=/EBF=45。,

：.EF=BF,

??,BE=6,

：.EF=BF=—BE=—,

22

???點B到直線AE的距離為如；故③說法錯誤;

2

...AF=AE+EF=l+—,

；?S正方形=AB?=4+6，故④正確，

故答案為：①②④.

【點睛】此題分別考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積及勾股定

理，綜合性比較強(qiáng)，解題時要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識才能很好解決問題.

16.4

【分析】本題主要考查零次幕，算術(shù)平方根，負(fù)指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)的計算，掌握其

運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

先算零次哥，絕對值，算術(shù)平方根，負(fù)指數(shù)暴，特殊角的三角函數(shù)值，最后再根據(jù)實數(shù)的混

合運(yùn)算法則計算即可.

【詳解】解：2025°x|-5|+V9-^+0COS45°

=1X5+3-5+^X—

2

=5+3-5+1

=4.

17.(1)5^-375

(2)272-1

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序.

(1)化簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的加減即可；

(2)先算二次根式的除法，再進(jìn)行加減法運(yùn)算即可.

【詳解】(1)解:V27+V12-V45

=373+2^-375

=5A/3-3A/5

(2)解：(Q1)+疵+后

=72-1+72

=2^2—1

此石T2

【分析】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則對原式進(jìn)行化簡.

先對括號內(nèi)式子通分計算,再將除法轉(zhuǎn)化為乘法,然后根據(jù)分式基本性質(zhì)約分得到最簡分式,

最后代入求值.

aa-1“2—1

【詳解】解：原式=

a—14—1a2+2〃+1

Q-Q+1+1）

a-1（a+1）2

1

a+1'

1=1二1

當(dāng)Q=_7時，原式a+l1,i-

2

19.⑴a+b

⑵±7

【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是:

（1）根據(jù)同分母相加減的運(yùn)算法則計算即可；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出就=12,根據(jù)兩點間距離公式求出/+〃=,然后根據(jù)

完全平方公式求解即可。

【詳解】（1）解：T二史0_（a+b）（a”）

bb

_a2+aba2-b2

bb

a2+ab—Q2+b2

=b

_ab+b2

b

=a+b；

19

（2）解：??,點尸（。/）為反比例函數(shù)y=一上一點，

x

ab=12,

?：0P=5,

?2+Z?2=52=25,

（a+Z?）2=/+/+2^=25+2x12=49,

a+b—±7,即T=±7.

2。?⑴儲=6+

⑵E1=（"+2）任'證明見詳解

【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，二次根式性質(zhì)與化簡的計算，理解計算方法,找出規(guī)律是

解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)材料提示找出規(guī)律即可求解;

（2）結(jié)合（1）中的規(guī)律，并驗證即可.

【詳解】（1）解：已知第1個等式:

第2個等式:

第3個等式:

.?.第4個等式為:

故答案為:

?4=(n+2)./——，

（2）解:猜想的第〃個等式（用含〃的等式表示，〃為正整數(shù)）為:n-\--------

〃+4v勺幾+4

川(〃+)

證明：等式左邊=44A?+4〃+4

n+4H+4〃+4

為正整數(shù),

n+2>0,

???等式左邊=（〃+2）J*=等式右邊，

等式成立.

21.(1)互2

3

(2)<

(3)-6

(4)J12-X+y/6-x=3

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，理解題目中所給的有理化因式的定義，熟知

二次根式的運(yùn)算法則是解答關(guān)鍵.

（1）利用有理化因式的定義和二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡求解；

（2）根據(jù)題意得到所給的兩個二次根式都是正數(shù)，再結(jié)合有理化因式的定義比較它們倒數(shù)

的大小來求解；

ab

------------1-----------

（3）先利用有理化因式的定義進(jìn)行化簡(a+1)(A/2-I)，根據(jù)化簡結(jié)果列一元二次方程

組求解即可；

（4）設(shè)n?=J12—x+J6-X，〃=J12-x-J6-X=2,根據(jù)有理化因式的定義計算出〃的

值，根據(jù)〃的值得出加的值，即是結(jié)果.

【詳解】（1）解：（4-2）的有理化因式是（近+2卜

(夕+2)_甘+2_r+2

1

',(夕-2)(A/7-2)(A/7+2)7-43

故答案為：立±2.

3

J2025+J2024

1=72025+72024,

(2)解：?J2025-J2024(.025-J2024)(J2025+J2024)

72024+72023

1=72024+72023,

J2024-J2023(V2024-A/2023)(A/2024+V2023)

而42025+J2024>,2024+。2023，

,-------1------>--------1------

,?J2025-J2024J2024-J2023'

?.?(同石-血西)和都是大于o的數(shù),

(V2025-V2024)<(72024-72023),

故答案為：＜-

a

（3）解：:百1=（0+川0_1）=Q(^x/Z_1)=6^5/2-Cl,

2-1

M忘+i）忘+i）

bM=b(^2+^=b42+b,

A/2-1-(V2-1)(^+1)-2-1

ab

,-------------1------------=(a+b)+(/?_〃),

V2+1V2-1

ab=-672+4

a+。二一6

b—a=4

a=-5

解得:

b=-1

a+Z?=-5+(—1)——6,

故答案為：-6.

(4)角星：設(shè)