2025年中考數(shù)學沖刺復習：統(tǒng)計和概率問題（九大題型）解析版

搶分秘籍03統(tǒng)計和概率問題

禺型概覽

目錄

【解密中考】總結(jié)?？键c及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量

【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖

【題型五】幾何面積求概率【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率

【題型七】通過概率比較游戲是否公平【題型八】由頻率估計概率

【題型九】統(tǒng)計與概率綜合問題

解密中考

考情分析：統(tǒng)計和概率綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些

考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看：統(tǒng)計部分以數(shù)據(jù)特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）和統(tǒng)計圖（條形圖、扇形圖、

折線圖）為主，年均2-3題，占分8-12分；概率側(cè)重簡單事件計算（樹狀圖/列表法）及用頻率估計概率,

年均1題，占分3-4分。

2.從題型角度看：選擇、填空多考基礎(chǔ)概念（如統(tǒng)計量計算、概率值）；解答題常結(jié)合實際情境，如

分析統(tǒng)計圖信息、設(shè)計抽樣方案或計算概率（如兩步試驗概率）。

備考策略：1.基礎(chǔ)強化：熟練掌握統(tǒng)計量公式（如方差）、統(tǒng)計圖解讀及概率計算步驟（如樹狀圖

法）。

2.易錯突破：注意統(tǒng)計圖表的單位、數(shù)據(jù)范圍，避免概率計算時遺漏結(jié)果。

3.實戰(zhàn)訓練：通過真題強化應用題（如用樣本估計總體），掌握“先易后難”答題節(jié)奏。

4.技巧提升：解答題規(guī)范步驟（如概率題需列舉所有可能結(jié)果），靈活運用“排除法”“代入法”解題。

6題型特訓提分-----------------------------------------

【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查

【例1】（2025?河南焦作?一模）下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（）

A.坐地鐵時對乘客行李的安檢

B.對班級內(nèi)的衛(wèi)生死角進行檢查

C.開學前學校對各班級桌椅數(shù)量的調(diào)查

D.對全國初中生目前睡眠情況的調(diào)查

【答案】D

【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

【分析】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普

查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.逐

項判斷即可.

【詳解】解：/、坐地鐵時對乘客行李的安檢，必須保證安全，故必須普查；

8、此種情況數(shù)量不是很大，故必須普查；

C、此種情況數(shù)量需要準確，適合普查；

。、全國初中生的人數(shù)比較多，適合采取抽樣調(diào)查.

故選：D.

本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義

或價值不大時，應選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.逐項判斷即

可.

彳的5175625麗南牛頂山一二稹廠下初函番市「運直菜再至曲躺國力與函戛一廠5

A.了解河南省的空氣質(zhì)量情況B.了解黃河河南段的水污染情況

C.了解河南省中小學生身高情況D.了解本班同學的作業(yè)完成情況

【答案】D

【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

【分析】本題主要考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，

根據(jù)"精度要求高的調(diào)查和事關(guān)重大的調(diào)查"選用全面調(diào)查，根據(jù)“具有破壞性，全面調(diào)查意義或價值不大"應

選擇抽樣調(diào)查，解答即可.

【詳解】解：因為了解河南省的空氣質(zhì)量，地域大，時間多，不能全面調(diào)查，所以N不符合題意；

因為了解黃河南段的水污染情況，工作任務量大，具有破壞性，不能全面調(diào)查，所以8不符合題意；

因為了解河南省中小學生身高情況，工作任務量大，不能全面調(diào)查，所以C不符合題意；

因為了解全班同學的作業(yè)完成情況，任務不大，能全面調(diào)查，所以。符合題意.

故選：D.

【變式1】（2025?廣西南寧?一模）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）方式的是（）

A.調(diào)查全市中學生每天體育鍛煉時間

B.調(diào)查某款新能源汽車的抗撞擊能力

C.調(diào)查神舟十九號飛船各零件是否合格

D.調(diào)查全市中學生視力情況

【答案】C

【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

【分析】本題主要考查了普查和抽樣調(diào)查.一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行全面調(diào)查、全面

調(diào)查的意義或價值不大，應選擇抽樣調(diào)查；對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用全面調(diào)查,

全面調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確，但所費人力、物力和時間較多.據(jù)此選擇即可.

【詳解】解：4調(diào)查全市中學生每天體育鍛煉時間，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項不符合題意；

8、調(diào)查某款新能源汽車的抗撞擊能力，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項不符合題意；

C、調(diào)查神舟十九號飛船各零件是否合格，最適合采用全面調(diào)查（普查），本選項符合題意；

。、調(diào)查全市中學生視力情況，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項不符合題意；

故選：C.

【變式2】（2025?河南濮陽?一模）下列調(diào)查活動適合采用全面調(diào)查的是（）

A.調(diào)查某班學生的身高B.調(diào)查某品牌手機電池的使用壽命

C.調(diào)查某市居民的環(huán)保意識D.調(diào)查全國中學生心理健康狀況

【答案】A

【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征

靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調(diào)查,

對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確，但所費人

力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可.

【詳解】解：/、調(diào)查某班學生的身高適合全面調(diào)查；符合題意；

8、調(diào)查某品牌手機電池的使用壽命適合抽樣調(diào)查；不符合題意；

。、調(diào)查某市居民的環(huán)保意識適合抽樣調(diào)查；不符合題意；

調(diào)查全國中學生心理健康狀況適合抽樣調(diào)查；不符合題意；

故選

【變式3】（2025?湖北孝感?一模）下列說法正確的是（）

"某同學投籃球，投中"是隨機事件

B.天氣預報"明天降水概率50%”,是指明天有12小時會下雨

C.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是醋=0.32,

暖=0.41,則乙的成績更穩(wěn)定

D.了解某市九年級學生的視力情況，采用全面調(diào)查

【答案】A

【知識點】根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性、事件的分類、判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、概率的意義理解

【分析】本題主要考查隨機事件、概率、方差及統(tǒng)計與調(diào)查，熟練掌握各個概念是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)隨機事件、概率、方差及統(tǒng)計與調(diào)查可進行求解.

【詳解】解：/、"某同學投籃球，投中”是隨機事件，說法正確，符合題意；

B、天氣預報"明天降水概率50%,是指明天有可能會降雨〃，原說法錯誤，故不符合題意；

C、甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是用=0.32,^=0.41,

所以魘＜s],則甲的成績更穩(wěn)定；原說法錯誤，不符合題意；

了解某市九年級學生的視力情況，應采用抽樣調(diào)查，原說法錯誤，故不符合題意；

故選

【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量

【例1】（2025,湖北孝感?二模）為了了解某市參加中考的45000名學生的身高情況，抽查了其中2000名學

生的身高進行統(tǒng)計分析.下列敘述錯誤的是（）

A.2000名學生的身高情況是總體的一個樣本

B.45000名學生的身高情況是總體

C.每名學生是總體的一個個體

D.樣本容量是2000

【答案】C

【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量

【分析】此題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問題中的總體、個體與樣本,

明確考查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包

含的個體的數(shù)目，不能帶單位.

根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的有關(guān)概念逐一排除即可.

【詳解】解：A、2000名學生的身高情況是總體的一個樣本，原選項敘述正確，不符合題意；

B、45000名學生的身高情況是總體，原選項敘述正確，不符合題意；

C、每名學生的身高是總體的一個個體，原選項敘述錯誤，符合題意；

D、樣本容量是2000,原選項敘述正確，不符合題意；

故選：C.

此題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問題中的總體、個體與樣本，明確考

查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個

體的數(shù)目，不能帶單位.

彳就-2K262二河正麗吾稹擬額湎T窠移為了麓初三孚里每篇妻寫虛玻芬英的灰藪售猊「信號環(huán)保熹以「施

機抽測了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計表：

垃圾分類次數(shù)（次）123456

人數(shù)（人）4481086

那么關(guān)于這次垃圾分類情況的調(diào)查和數(shù)據(jù)分析，下列說法錯誤的是（）

A.平均數(shù)是3.5次B.中位數(shù)是4次

C.眾數(shù)是4次D.樣本容量是40

【答案】A

【知識點】求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、總體、個體、樣本、樣本容量、求眾數(shù)、求中位數(shù)

【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，樣本容量.解題關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)的計算方

法、眾數(shù)和樣本容量的定義.

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法，求出平均數(shù)和中位數(shù)可判斷N、5,根據(jù)眾數(shù)和樣本容量的定義判斷

C、。即可.

【詳解】解：/、平均數(shù)為1X4+2X4+3X8；：X10+5X8+6X6=3.8,原說法錯誤，故此選項符合題意；

40

2、中位數(shù)是第20個和第21個數(shù)據(jù)點的平均值，均落在4次的范圍內(nèi)，因此中位數(shù)是4,正確，故此選項

不符合題意；

C、出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是4次（10人），因此眾數(shù)是4,正確，故此選項不符合題意；

D、樣本容量為4+4+8+10+8+6=40,正確，故此選項不符合題意.

故選：A.

【變式1】（2024?廣東中山?三模）為了了解某市九年級學生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了600名學生的肺活量,

這項調(diào)查中的樣本是（）

A.某市九年級學生的肺活量B.從中抽取的600名學生的肺活量

C.從中抽取的600名學生D.600

【答案】B

【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量

【分析】本題考查總體、個體、樣本、樣本容量的概念，根據(jù)樣本是總體中所抽取的一部分個體解答即可

得答案.熟練掌握概念是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：???了解某市九年級學生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了600名學生的肺活量，

二樣本是從中抽樣調(diào)查的600名學生的肺活量，

故選：B.

【變式2】（2024?廣西南寧?模擬預測）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基

礎(chǔ).為了解某校1000名九年級學生的睡眠時間，從15個班級中隨機抽取100名學生進行調(diào)查，下列說法

中正確的是（）

4.1000名學生是總體反15個班級是抽取的一個樣本

C100是樣本容量D.每個學生是個體

【答案】c

【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量

【分析】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是

明確考查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小.樣本容量是樣本中包

含的個體的數(shù)目，不能帶單位.總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是

總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目，據(jù)此逐項判斷即可.

【詳解】解：A.1000名學生的睡眠時間是總體，原說法錯誤，不符合題意；

8、100名學生的睡眠時間是抽取的一個樣本，原說法錯誤，不符合題意；

。、100是樣本容量，原說法正確，符合題意；

。、每個學生的睡眠時間是個體，原說法錯誤，不符合題意.

故選：C.

【變式3】（2024?云南楚雄?模擬預測）【教育熱點一一雙減】在推進國家"雙減"政策落實中，某校不斷增強教

育服務能力，把"減負"與"提質(zhì)"有機結(jié)合起來，全力打造特色課程，確保課后服務多元化.為了解全校3000

名學生參加課后服務的情況，李老師隨機抽取了50名學生對其參加課后服務的情況進行調(diào)查，下列敘述正

確的是（）

A.3000名學生是總體B.每名學生是個體

C.50名學生是所抽取的一個樣本D.樣本容量是50

【答案】D

【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量

【分析】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量的概念；根據(jù)總體是指考查的對象的全體，個體是總體

中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目逐項分

析即可求解.

【詳解】解：/、總體是3000名學生參加課后服務的情況，/選項不符合題意；

夙所抽取的每名學生參加課后服務的情況是個體，2選項不符合題意；

C、所抽取的50名學生參加課后服務的情況是抽取的樣本，C選項不符合題意；

D、樣本容量是50,。選項符合題意；

故選：D.

【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)'眾數(shù)

【例1】（2025?湖南岳陽?模擬預測）"五銖錢〃（如圖所示）是我國古代的一種銅制貨幣，某古幣愛好者收藏

了7枚“五銖錢"，測得它們的質(zhì)量（單位：g）分別為3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)

分別為（）

A.3.3,3.5B.3.4,3.5C.3.4,3.4D.3.5,3.4

【答案】B

【知識點】求中位數(shù)、求眾數(shù)

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺?/p>

列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，

則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).本題考查了求

眾數(shù)和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將3.5,3.4,3.5,3.4,3.3,3.3,3.5從小到大排列為:3.3,3.3,3.4,3.4,3.5,3.5,3.5

其中3.5出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)為3.5,

中位數(shù)為：3.4.

故選B.

本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，

如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中

間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).本題考查了求眾數(shù)

和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

一【河石瓦5：浙江嘉莢二稹廠二函藪搪從不到天印列為二二-「套國藪據(jù)的申在藪為二;

則X的值為（）

A.4B.5C.5.5D.6

【答案】D

【知識點】利用中位數(shù)求未知數(shù)據(jù)的值

【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可，解題的關(guān)鍵是正確理解將一組數(shù)據(jù)按照

從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【詳解】解：由中位數(shù)的概念可得，—=5,

2

解得：x=6,

故選：D.

【變式1】（2025,四川宜賓?一模）在"十?一”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：81,86,85,

82,84,85,85,分析這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是()

A.中位數(shù)是85B.眾數(shù)是85C.平均數(shù)是84D.方差是3

【答案】D

【知識點】求眾數(shù)、求方差、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)

【分析】本題考查了方差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)統(tǒng)計量的定義.根據(jù)平均

數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義逐一計算即可判斷.

【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為81,82,84,85,85,85,86,故中位數(shù)是85,故選項N不符合

題意；

眾數(shù)是85,故選項8不符合題意；

平均數(shù)為:'(81+82+84+85x3+86)=84,故選項C不符合題意；

120

22

方差為,X⑻-84)2+(82_84)2+(84_84y+3X(85-84)+(86-84)]=y,故選項D符合題意；

【答案】D

【知識點】求中位數(shù)、求眾數(shù)、折線統(tǒng)計圖、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

【分析】本題考查了折線統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，由折線統(tǒng)計圖可知，3月1日至5日每天的用水

量分別為4,6,10,2,8,再根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義逐項判斷即可求解，掌握平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由折線統(tǒng)計圖可知，3月1日至5日每天的用水量分別為4,6,10,2,8,

4+6+10+2+8

???平均數(shù)為=6噸，故選項A錯誤;

5

數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列為2,4,6,8,10,

中位數(shù)為卓=7噸，故選項B錯誤;

,?,每個數(shù)都出現(xiàn)了1次,

數(shù)據(jù)的每個數(shù)都是眾數(shù)，故選項c錯誤；

故選：D.

【變式3】（2025?安徽?一模）為增強學校之間的友誼，某市舉辦聯(lián)合籃球比賽，下表是/校籃球隊員的身高:

身高（cm）176178180181182185

人數(shù)123211

下列說法正確的是（）

A.籃球隊員身高的眾數(shù)是185cmB.籃球隊員的平均身高是180.1cm

C.籃球隊員身高的中位數(shù)是180.5cmD.籃球隊員身高的方差是3.2CH?

【答案】B

【知識點】求加權(quán)平均數(shù)、求方差、求中位數(shù)

【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計算方法

逐項分析即可.

【詳解】480cm出現(xiàn)的次數(shù)最多，

二眾數(shù)是180cm,故不正確；

B.平均數(shù)=x=Lx（176+178x2+180x3+181x2+182+185）=180.1cm,正確；

C.???從小到大排列后排在第5和第6位的是180cm,

???中位數(shù)是180cm,故不正確；

D.

22222

2_(176-180.1)+2(178-180.1)2+3(iso-18O.l)+2(181-180.1)+(182-180.1)+(185-180.1)_的

s——5.49，

10

不正確.

故選人

【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖

【例1】（2025?湖南長沙?模擬預測）2025年1月23日，中共中央、國務院、中央軍委給神舟十八號航天員

葉光富頒發(fā)"二級航天功勛獎章"，授予李聰、李廣蘇“英雄航天員"榮譽稱號并頒發(fā)“三級航天功勛獎章神

舟十八號載人飛行任務的圓滿成功，標志著中國航天事業(yè)在實現(xiàn)高水平科技自立自強的新征程中邁出關(guān)鍵

一步.此次任務不僅提升我國綜合國力和中華民族凝聚力，更進一步增強了全體中華兒女的民族自信心和

自豪感，對激勵全黨全軍全國各族人民團結(jié)奮進、砥礪前行具有重要意義.某校為了解本校學生對航天知

識的了解情況，對八年級學生進行了航天知識測試，測試成績?nèi)亢细瘢F(xiàn)隨機選取了部分學生的成績，

整理并制作成了如下不完整的圖表：

分數(shù)段頻數(shù)頻率

60<x<709a

70<x<80360.4

80<x<90270.3

90<x<100b0.2

頻數(shù)

V60708090100分數(shù)/分

請根據(jù)上述統(tǒng)計圖表，解答下列問題：

⑴表中"，b=；

⑵請補全頻數(shù)分布直方圖；

⑶根據(jù)以上數(shù)據(jù)，如果80分以上(含80分)為優(yōu)秀，若該學校八年級學生有900名，請你估算一下該學

校八年級學生成績優(yōu)秀的人數(shù).

【答案】⑴0.1,18

⑵見解析

⑶估計該學校八年級學生成績優(yōu)秀的人數(shù)為450人

【知識點】頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、由樣本所在的頻率區(qū)間估計總體的數(shù)量

【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖和統(tǒng)計圖是解

題的關(guān)鍵.

(1)用70Mx<80的頻數(shù)除以其頻率求出樣本容量，進而求出0、6的值即可；

(2)根據(jù)(1)所求補全統(tǒng)計圖即可；

(3)用900乘以樣本中80分以上(含80分)的頻率即可得到答案.

【詳解】(1)解：?.?樣本容量為36+0.4=90,

.?.”=9+90=0.1,6=90*0.2=18；

(2)解：補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：

(3)解：900x(0.2+0.3)-450(人),

答：估計該學校八年級學生成績優(yōu)秀的人數(shù)為450人.

本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖和統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2025?河南鄭州?二模）為慶祝中華人民共和國成立75周年，某校舉行了"中國近現(xiàn)代史"知識競賽

（百分制），為了解七、八年級學生的答題情況，從中各隨機抽取了40名學生的成績（單位：分），并對數(shù)

據(jù)（成績）進行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息:

七年級學生競賽成績的頻數(shù)分布表:

成績頻數(shù)頻率

50<x<6020.05

60<x<704m

70<x<80100.25

80<x<90140.35

90〈尤<100100.25

合計401.00

b.八年級學生競賽成績的扇形統(tǒng)計圖:

八年級學生競賽成績在80Mx<90這一組的數(shù)據(jù)是：80,80,82,83,83,

84,86,86,87,88,88,89,89,89.

d.七、八年級學生競賽成績的中位數(shù)如下：

FZ中位數(shù)?

?七年級O

八年級F

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

⑴寫出表中加，”的值，m=_,n=_.

⑵此次競賽中，若抽取的一名學生的成績?yōu)?3分，在他所在的年級，他的成績超過了一半以上被抽取的學

生的成績，他是哪個年級的學生?請說明理由.

【答案】⑴0.1,85

⑵他在七年級，理由見解析

【知識點】求中位數(shù)、求扇形統(tǒng)計圖的某項數(shù)目、頻數(shù)分布表

【分析】本題考查了統(tǒng)計圖與數(shù)據(jù)的分析綜合，涉及頻數(shù)和頻率，中位數(shù)等知識，從統(tǒng)計圖表獲取信息和

對中位數(shù)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)+總數(shù)，得出加的值，再根據(jù)扇形統(tǒng)計圖求出八年級學生在各個分數(shù)段的競賽成績?nèi)?/p>

數(shù)，最后根據(jù)中位數(shù)的概念可得〃的值；

（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可.

【詳解】（1）解："2=4+40=0.1,

八年級學生競賽成績在60Mx<70的人數(shù)有40xl5%=6（人），在70Vx<80的人數(shù)有40x20%=8（人），在

80Mx<90的人數(shù)有40x35%=14（人），在90Vx<100的人數(shù)有40x30%=12（人），

又???八年級學生競賽成績的中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列的第20、21位數(shù)的平均數(shù)，而第20、21位數(shù)分

別是80Vx<90這一組數(shù)據(jù)中的84、86,

二八年級學生競賽成績的平均數(shù)為n=—^―=85,

故答案為：0.1,85；

（2）他是七年級的學生，理由如下：

???七年級學生競賽成績的中位數(shù)為81,八年級學生競賽成績的中位數(shù)為85,

???七年級有一半的學生成績不高于81,八年級有一半的學生成績不高于85,

???七年級超過有一半的學生成績低于83,而八年級不確定超過有一半的學生成績低于83,

,他在七年級.

【變式1］（2025?陜西西安?一模）2025年哈爾濱亞冬會于2025年2月7日至2月14日舉行，亞冬會是繼

2022年北京冬奧會后中國舉辦的又一重大國際綜合性冰雪盛會.某校組織開展了冰雪知識競賽，為了解本

次競賽成績情況，從參賽學生中隨機抽取了若干名學生的競賽成績x（單位：分）進行統(tǒng)計，得到如下不完

整的統(tǒng)計圖表.

成績%/分頻數(shù)頻率各組總分/分

60<x<70150.11000

70<x<80a0.22250

80<x<90600.45000

90（尤<10045b4200

請根據(jù)上述信息解答下列問題：

⑴補全頻數(shù)分布直方圖，表中6=,所抽取學生競賽成績的中位數(shù)落在組；

⑵請求出所抽取學生的平均競賽成績；

⑶學校將成績?yōu)?0100的學生評為"優(yōu)秀"，若該學校共有800名學生參加此次競賽，請你估計該校此次

競賽被評為“優(yōu)秀”的學生人數(shù).

【答案】⑴見解析；0.3;80Vx<90

(2)83分

(3)240名

【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、頻數(shù)分布表、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)

【分析】本題考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計總體、中位數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)頻率之和計算出6的值，然后根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)計算出。的值，則可補全頻數(shù)分布直方圖；

再結(jié)合中位數(shù)的定義，可以直接寫出所抽取學生的競賽成績的中位數(shù)落在哪一段；

(2)根據(jù)平均數(shù)的計算方法進行計算即可；

(3)分析樣本的優(yōu)秀率，估計總體的情況即可.

【詳解】(1)解：Z)=l-0.1-0.2-0.4=0.3,a=15+(MxO.2=3O,

補全頻數(shù)分布直方圖如下：

頻數(shù)（學生人數(shù)）

共有150人，第75、76人的成績落在80Vx<90內(nèi),

故答案為：0.3；80<x<90.

1

（2）解:-----------------------------------X(1000+2250+5000+4200)=83(分),

15+30+60+45

所抽取學生的平均競賽成績?yōu)?3分.

(3)解：0.3x800=240(名),

二估計該校此次競賽被評為"優(yōu)秀"的學生人數(shù)為240名.

【變式2】（2025?安徽滁州,一模）某校組織開展主題為“節(jié)約用水，共建綠色校園”的社會實踐活動.對全校

七年級和八年級學生開展節(jié)約用水知識測試，隨機在兩個年級中分別抽取20人的測試成績進行統(tǒng)計分析

（滿分為100分）.測試成績?yōu)椋▁）,并繪制相關(guān)統(tǒng)計圖（不完整），請你根據(jù)相關(guān)信息完成下列任務:

信息1

七年級成績：84,78,98,92,98,92,69,92,89,89,85,84,83,79,92,79,83,78,92,58.

信息2

八年級成績在80Vx<90之間的數(shù)據(jù)為：89,88,85,81.

信息3

七年級抽取同學的成績頻數(shù)分布直方圖和八年級抽取同學的成績頻數(shù)分布扇形統(tǒng)計圖如下:

七年級抽取同學的成績頻數(shù)分布直方圖八年級抽取同學的成績扇形統(tǒng)計圖

人

80<x<90

⑴填空：?=,并補全七年級抽取同學的成績頻數(shù)分布直方圖;

⑵請你補全七年級和八年級抽取同學的成績數(shù)據(jù)的特征表：

平均眾數(shù)中位數(shù)方差

數(shù)

七

年84.7①________84.567.21

級

八

年83.796②________183.68

級

⑶若該校七年級和八年級分別有學生680人，測試成績90分以上(含90分)為優(yōu)秀，則兩個年級達到優(yōu)

秀的人數(shù)一共大約有多少人？

【答案】(1)45,圖見解析

(2)①92；②88.5

⑶544人

【知識點】頻數(shù)分布直方圖、求中位數(shù)、用樣本的某種“率”估計總體相應的“率"、求眾數(shù)

【分析】(1)先期初70Vx<80和80Mx<90的百分比，進而可求出〃的值；找出80Vx<90的人數(shù)即可補全頻

數(shù)分布直方圖；

(2)根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；

(3)用680乘以成績90分以上(含90分)所占的比例即可.

72°

【詳解】(1)解：?.?薪=20%,

?%=1-10%-5%-20%-20%=45%,

???〃=45.

七年級成績在804％<90的有：84,89,89,85,84,83,83,共7人，

七年級抽取同學的成績頻數(shù)分布直方圖

(2)解：:92出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多,

???七年級的眾數(shù)是92.

?,■20x45%=9,

???八年級成績的中位數(shù)在80Mx<90之間，

???80Mx<90之間的數(shù)據(jù)從小到大排列為:81,85,88,89,

二八年級的中位數(shù)為（88+89）+2=88.5.

故答案為:92,88.5；

7

（3）解：680x—+680x45%=544（人），

20

答：兩個年級達到優(yōu)秀的人數(shù)一共大約544人

【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，眾數(shù)，以及方差等知識，熟練掌握各知識點

是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3】（2025?陜西西安,模擬預測）社會生活中處處都有志愿者的身影，志愿者用熱情周到的志愿服務為

人們帶來溫暖，用行動書寫“奉獻、友愛、互助、進步”的故事.某學校為了解九年級未入團學生參加校志愿

活動的情況，從九年級未入團學生中隨機抽取20名學生，在校志愿者活動記錄上查到了他們參加志愿活動

的時長.部分數(shù)據(jù)如下：

a.20名學生校志愿活動時長（小時）：17、39、39、2、35、46、7、17、18、48、28、26、48、

39、19、27、32、33、32、44.

b.校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖，如圖：（數(shù)據(jù)分成5組：0<x<10,10<x<20,20Vx<30,

30Vx<40,40Vx<50)

校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖

志愿活動時長的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下

平均眾中位

數(shù)數(shù)數(shù)

29.55mn

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

⑴填空：m=；"=；

⑵補全校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖；

⑶根據(jù)學校共青團團委要求，參加校級志愿活動時長不夠20小時不能提出入團申請，若該校九年級未入團

學生有290人，從志愿活動時長的角度看，估計有資格提出入團申請的學生人數(shù).

【答案】⑴39,32；

⑵圖見詳解；

⑶估計有資格提出入團申請的學生人數(shù)203人.

【知識點】求中位數(shù)、由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、頻數(shù)分布直方圖、求眾數(shù)

【分析】本題考查求眾數(shù)，中位數(shù)，畫直方圖及利用樣本估算總體情況：

（1）根據(jù)出現(xiàn)最多的是眾數(shù)，最中間兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)直接求解即可得到答案;

（2）用樣本數(shù)減去已經(jīng)畫了的頻數(shù)即可得到頻數(shù)，再補充圖形即可得到答案；

（3）利用總數(shù)乘以頻率即可得到答案；

【詳解】（1）解：由題意可得，

39出現(xiàn)3次最多，最中間兩個數(shù)是32,

"7=39,〃=32,

故答案為：39,32；

（2）解：由直方圖得，

30Vx<40的人數(shù)為：20-2-4-3-4=7（人），

直方圖如圖所示，

校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖

估計有資格提出入團申請的學生人數(shù)為：290x當==203（人）,

答：估計有資格提出入團申請的學生人數(shù)203人.

【題型五】幾何面積求概率

【例1】（2025?山東濟南?一模）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成.向游戲板隨機投擲

一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是.

【答案】I4

【知識點】幾何概率

【分析】本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵.

飛鏢游戲板由大小相等的9個小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的4個小正方形格子構(gòu)成，根據(jù)概率

公式計算即可得到答案.

【詳解】解：.??飛鏢游戲板由大小相等的9個小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的4個小正方形格子

構(gòu)成，

4

???擊中陰影區(qū)域的概率是5，

4

故答案為：—.

本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵.

彳瘠562M妾徽吾胞二?。┮欢鴩?茬二不正方形的網(wǎng)格壬宥履-方丁石；一萬云不瓦一直熹連接其審

3個點，在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為.

IIIII

IIIII

----1------1--1--1------I---

--14羋4斗一

IIIII

____I___I______I_____

：E\\\D:

----r------1--1--1------1---

IIIII

IIIII

【答案】:7

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率

【分析】此題考查的概率公式求概率.找到所有三角形和其中的直角三角形，然后利用概率公式求概率即

可.

【詳解】解：從在格點上的點4民。,?！曛腥稳∪齻€點構(gòu)成的三角形有ABCD、"DE、

4BE、△/（?￡、ABCE、XBDE、KDE,共9個，根據(jù)網(wǎng)格的特點可得、△BCD、"DE、

△ABE、LACE、XBDE、AC￡>￡是直角三角形，“AD、ABCE不是直角三角形，即在構(gòu)成的三角形中，是

直角三角形的個數(shù)是7個，

7

二在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為5，

-7

故答案為：—.

【變式1】（2025?四川廣安?模擬預測）"趙爽弦圖"是我國漢代數(shù)學家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時給出的一種

驗證勾股定理的圖形.如圖，四個直角三角形是全等的，且直角三角形的長直角邊長與短直角邊長之比為

3:1.若隨機向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為.

【答案】|2

【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)概率公式計算概率

【分析】本題考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比.

針尖落在陰影區(qū)域的概率就是小正方形的面積與大正方形面積的比.

【詳解】解：設(shè)兩直角邊分別是3x,x,則斜邊即大正方形的邊長為J（3x『+f=怖,小正方形的邊長為

3x-x=2x,

二大正方形的面積為10元2,小正方形的面積為4f,

4/_2

針尖落在陰影區(qū)域的概率為

la?"5

2

故答案為：—?

【變式2］（2025?山東濟南?一模）《易經(jīng)》："易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦太極圖是關(guān)

于太極思想的圖示，里面包含表示一陰一陽的圖形，在不考慮顏色的情況下，它是一個中心對稱圖形.如

圖，在太極圖的大圓形內(nèi)部隨機取一點，則此點取自太極圖中黑色部分的概率是.

【答案】y

【知識點】中心對稱圖形的識別、幾何概率

【分析】本題考查幾何概率，中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握幾何概率等于幾何圖形面積比是解題的關(guān)鍵.

利用圖形的對稱性質(zhì)，圖形黑色部分與白色部分面積相等，等于圓面積的一半，根據(jù)幾何概率的計算公式

計算即可.

【詳解】解：???太極圖是中心對稱圖形，

二黑色部分與白色部分面積相等，即黑色陰影區(qū)域占圓的面積的一半，

???在太極圖中隨機取一點，

此點取自黑色部分的概率是

故答案為：y

【變式3】（2025?安徽合肥?一模）如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構(gòu)成的.若向圓面投擲飛鏢,

則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為—.

【分析】本題考查了概率的計算，計算出陰影部分的面積占總面積的比例是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，運用割補法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形，得到陰影部分的面積，再根據(jù)概率公式計算即可求

解.

類型1的有6塊，類型2的有6塊，

2121

其中類型1的陰影部分占類型1的;=彳，類型2的陰影部分占類型2的二=彳,

6363

???陰影部分的面積占整個圓的面積的747=：1,

123

飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為g，

故答案為：—.

【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率

【例1】（2025?江西新余?一模）早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其小吃精美、種類繁多、口味獨

特、價格實惠而聞名.張帆在廣州旅游期間，決定在"A.蝦餃，B.干蒸燒賣，C.艇仔粥，D.蜜汁叉

燒包，，四種茶點中選擇喜歡的進行品嘗.（選到每種茶點的可能性相同）

⑴如果只選其中一種茶點品嘗，張帆選到"蜜汁叉燒包"的概率是.

⑵如果選擇兩種茶點品嘗，請用畫樹狀圖或列表的方法求張帆選到"蝦餃"和"艇仔粥”的概率.

【答案】⑴:

⑵：

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)概率計算公式求解即可；

(2)先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到"蝦餃"和"艇仔粥”的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概

率計算公式求解即可.

【詳解】(1)解：???一共有4種茶點，每種茶點被選到的概率相同，

???只選其中一種茶點品嘗，張帆選到"蜜汁叉燒包”的概率是:;

(2)解：畫樹狀圖如圖所示:

開始

ABCD

BCDACDABDABC

由樹狀圖知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中選到"蝦餃"和"艇仔粥"的結(jié)

果有2種，

21

.■.P(張帆選到"蝦餃"和"艇仔粥")

本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)概率計算公式求解即可；

(2)先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到''蝦餃"和''艇仔粥"的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概

率計算公式求解即可.

彳的5175625：甘肅平?jīng)龆?一音蕭奢位于用國西北部「施施黃河工搟「見西施痔，一弓侵運直「奉音亍豐富

的物產(chǎn)和獨特的地方文化.某班的一次實踐活動課上，老師將分別印有A.莊浪蘋果，8.平?jīng)錾剿?，C.華亭

核桃，。.靜寧燒雞這四種特產(chǎn)的四張卡片(除特產(chǎn)不同外其余完全相同)背面朝上放在桌子上，讓每位學

生從這四張卡片中隨機抽取一張，并放回，然后對所抽取卡片上的特產(chǎn)進行介紹.

B.C.D.

⑴該班的張萌同學抽取的卡片上是A.莊浪蘋果的概率是；

⑵用列表或畫樹狀圖的方法，求該班的張麗和楊光兩名同學介紹的特產(chǎn)不同的概率.

【答案】⑴；

（2）1

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的

關(guān)鍵.

（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及該班的張麗和楊光兩名同學介紹的特產(chǎn)不同的結(jié)果數(shù)，再利用

概率公式可得出答案.

【詳解】（1）解：由題意得，該班的張萌同學抽取的卡片上是A.莊浪蘋果的概率是:.

故答案為：；;

（2）解：畫樹狀圖如下：

開始

楊光ABCDABCDABCDABCD

由樹狀圖可知，一共有16種等可能的結(jié)果，其中張麗和楊光同學介紹的特產(chǎn)不同的結(jié)果有12種,

張麗和楊光兩名同學介紹的特產(chǎn)不同的概率為-12=43，

164

【變式1】（2025?陜西西安?一模）隨著電影《哪吒2》火爆上映后，"哪吒"這一經(jīng)典文化爐便在消費市場上

掀起了一股熱潮.如圖，小文收集了/、2、C、E五個鑰匙扣，其中/為哪吒造型，她想讓好友云云和

珍珍分別選一件作為禮物.每件都很精美，一時之間不知如何選擇，于是她用抓閹的方式來確定禮物的歸

屬，將分別寫有4、B、C、D、E的五張紙片（上面的字母分別代表對應的鑰匙扣），折疊成外表完全一樣

的紙團，攪勻，她先讓云云從這5個紙團中隨機抽取一個，不放回，攪勻后，再讓珍珍從剩下的4個紙團

中隨機抽取一個.

A.B.C.D.E.

⑴云云抽到哪吒造型（A）的概率是；

⑵利用畫樹狀圖或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型G4）的概率.

【答案】⑴"

（2）1

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題考查了利用畫樹狀圖或列表法求隨機事件的概率，正確列表或樹狀圖是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)概率公式計算即可；

（2）利用列表法把所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列舉出來，進而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（/）的概率.

【詳解】（1）解：共有五個鑰匙扣，云云抽到哪吒造型（/）的概率即為g；

（2）根據(jù)題意列表如下：

云

ABcDE

云珍珍

A（反/）(5)(")（E,4）

B(AB)S)(D,B)（E,B）

C（4C）(瓦c)(“)(1)

D(40（B,D）CM

E(4町(c閭(D,E)

由表可得，一共有20種等可能的結(jié)果，其中云云和珍珍有一人抽到N的有8種結(jié)果，

Q2

,云云和珍珍有一人抽到/的概率=而=丁

【變式2】（2025?陜西西安?一模）甲骨文因鐫刻、書寫于龜甲與獸骨上而得名，是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代

最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈.酷愛中國古代文字研究的李洋和孫怡同

學制作了如圖所示的4張卡片（這4張卡片分別用字母月、B、C、。表示，正面文字依次是牛、雞、猴、

龍，這4張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同）用來玩游戲，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好，李

洋從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的字，放回并洗勻后，孫怡再從中隨機抽取一張.

A.牛B.雞C.猴D.龍

⑴李洋抽取的卡片正面文字是"龍"的概率為；

⑵請用列表法或畫樹狀圖的方法求李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是"?！钡母怕?

【答案】⑴:

⑵2

16

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題主要考查列表法或畫樹狀圖的方法求隨機事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖的方法是關(guān)鍵.

（1）共有4種結(jié)果，抽至『‘龍"的有一種，根據(jù)概率公式計算即可；

（2）列表法或畫樹狀圖的方法把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】（1）解：共有4張卡片，抽到"龍"的有一種結(jié)果，

二正面文字是"龍"的概率為9，

故答案為：；;

（2）解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

開始

李洋：ABCD

孫怡：ABCDABCDABCDABCD

由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是"牛"的結(jié)果有9種,

9

：.P（李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是"牛"）=—,

16

【變式3】（2025?陜西西安?三模）投壺源于射禮，是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲.張羽和

趙峰受投壺游戲的啟發(fā)，制作了如圖所示的簽和簽筒來玩，五支簽上分別寫有唱歌、跳舞、倒立、相聲、

魔術(shù)（依次用A、8、C、。、￡表示）這五個節(jié)目名稱，五支簽除了所寫的節(jié)目名稱不同外其余完全相

同，且當簽放在簽簡里時看不見所寫的節(jié)目名稱.張羽把五支簽放在簽筒里，搖勻并從中隨機抽取一支，

記錄簽上的節(jié)目名稱，不放回，然后趙峰再從簽筒里隨機抽取一支，記錄簽上的節(jié)目名稱，他們各自要完

成自己所抽取的簽上的節(jié)目.

工

1

倒

立三

.

:

率是

的概

舞"

至跳

羽抽

⑴張

概率.